2009-7-24
本讲主要内容
（ 1）三重积分在柱坐标系下的计算；
作业,P215 2,3,4.
三重积分 在柱面及球 坐标系下的计算
（ 3）举例 ；
（ 2）三重积分在球坐标系下的计算；
4-2-1 柱面坐标系下三重积分的计算
1、柱面坐标
.),,(),,(
,
表示可用对应空间点面上点用极坐标表示时当在直角坐标系中
zzyxP
x oy

o
x
y
z P
P?

z
:,,之间关系为与其中yx
s i n,c o s yx
常数：当 轴为中心轴的圆柱面；以 z
常数：当 轴的半平面；过 z
常数：当?z 轴的平面；垂直于 z
zz?,
2、体积元素;, d
x
y
z
o
d
d
dz
dv
dzdddv
:)( V当用三族坐标面来划分;, d;,dzzzzz
则体积元素
)( ),,(V dvzyxf )(,),s i n,c o s(V dzddzf
:)( V设区域
)( ),,(V dvzyxf )(,),s i n,c o s(V dzddzf
3、化为累次积分
).,(),( 21 zzz
)( ),s i n,c o s(V dzddzf则
),( ),(21 ),s i n,c o s(zz dzzf
,1z
,2z
x
y
o
z
)( [dd]
,
）（投影域用极坐标表示
:)(?面投影域为在 x o y
例 1
.0
)(
,
222
)(
所围与由其中计算三重积分


z
yxRzV
z d vI
V
x
y
z
解


20
,0:)()(

Rx o yV xy 为圆面投影向 )(
xy?
)( [xy
22
0
R dzz
R dRd 0 2220 )(21
.0 22 Rz此时
.41 4R
思考,是否可考虑用切片法来求解？
dd]
I
.,)(
,)(
22
)(
22
所围由其中计算三重积分
hzyxzV
dvyxI
V


例 2
x
y
z
o
h
解


20
,0:)()(

hx oyV xy 为圆面投影域在
)( xy?
.,2 hz此时
)( [xy
h dz
2
2

h dhd 0 5320 )(
.61 3h
dd]
思考,本题是否也可考虑用切片法来求解？
I
4-2-2 球面坐标系下三重积分的计算
1、球面坐标
.),,(
),,(,
表示用空间点在球面坐标系中

zyxP
o
x
y
z
P
P?
s in?r其中
,c o ss i nc o s rx
r
c o s?z
,0其中,20,0
常数：当 中心在原点的球面；
常数：当 轴的半平面；过 z
常数：当 轴的圆锥面；顶点在原点，中心轴为 z
.s i ns i ns i n ry
z
2、体积元素
:)( V当用三族坐标面去划分
ddddv s i n2?
)( ),,(V dvzyxf
)( 2,s i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n(V dddf;, d;, d
d,
x
y
z
o
d
d
d
sin
dv
:dv则体积元素
ds indddv
3、化为累次积分
,s i ns i n,c o ss i n)1( yx用
c o s?z
);,(下形式化被积函数为球坐标系于两点，作一射线交、任取 )()2( V
即得单积分：
),( ),( 221 s i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n( df
.)3( 作积分、再对
2121 dd
)( ),,(V dvzyxf
x
y
z
o
,1?
,2?
例 3
.0
)(
,
222
)(
所围与由其中计算三重积分


z
yxRzV
z d vI
V
x
y
z
分析
,
,)(
故可用球面坐标面所围为由半球面与 x oyV
.0,20,20,R此时
20 dI? 2/0dR d0 2 s i nco s
.41 4R
例 4
.
)(
,)(
22
222
)(
222
所围与由其中计算三重积分
yxz
yxRzV
dvzyxI
V



x
y
z
分析
,
,)(
故可用球面坐标为由半球面与锥面所围V
.0,40,20,R此时
20 dI? 4/0dR d0 22 s i n
.
5
22 5R
练习
.2:)(,222
)(
zzyxVz dvI
V
其中算三重积分试用三种坐标系分别计
o
x
y
z
解法 1
)( 切片法直角坐标系
2 z?;2:)( 222 zzyxz,20 z
dzzdI
z
20 )(
dzz z 2
0
dzzzz 20 2 )2(?
.34
1
o
x
y
z
xy?
1
1
2
解法 2
)( Vz d v柱面坐标系计算;1:)( 22 yxx o y xy?面上投影为
:的范围则 z
.1111 22 z
1020 ddI

2
2
11
11
dzz
10 2122 d
.34
1)1( 222 zyx
o
x
y
z
2
zzyx 2222
其中球面为,c o s2,
.c o s20,20,20
2/020 ddIc o s20 2 s i nco s d
2/0 5 s i nco s42 d.34
解法 3
)( Vz d v球面坐标系计算