2009-7-24
本讲主要内容
( 1)化二重积分为极坐标系下二次积分;
( 2)曲面面积的计算;
作业,P190 3,6
P204 1,3
极坐标系下二重积分的计算和曲面面积的计算
( 3)举例 ;
第二节 极坐标系下二重积分的计算
1、面积元素
o x
d?
dd
:)( 进行划分一般用极坐标线对区域?;常数;常数
d则 dd?, dd?
极坐标系下面积元素
2、被积函数的转换;s i nc os:



x
x坐标转换为
),( yxf );c o s,c o s(f
)( ),(dyxf二重积分 )( )s i n,c o s( ddf
3、化二重积分为极坐标系下二次积分
.
,
累次积分化为不同积分次序的根据积分域的不同形状
.)c o s,c o s(,f注意此时被积函数为
:的二次积分为后极坐标系下先
)( )()( 21 )s i n,c o s()s i n,c o s( dfdddf
o
)(1
)(2,)().( 为极坐标系下设积分域?I
).()(,21 )(?
)( )(21 )s i n,c o s( dfd
)( )s i n,c o s( ddf;)( 交于两点引射线与任取
).()(,:)),(( 21 baII
同理当积分域为:
o x
a
b
)(2
)(1
)(?;)( 交于两点与逆时针引圆弧任取
)( )(21 )s i n,c o s( df?ba d?
)( )s i n,c o s( ddf
5、何时利用极坐标系计算?
一般可从两方面来考虑:;)()1( 与圆域有关时当积分域?;)()2( 22 因子时当被积函含有 yx?
222 yx
例 1
.:)(,222)( 22 Ryxde yx 为其中计算积分
分析 由于圆域用极坐标表示简单,因此常用极坐标系计算。
解,0,20:)( R在极坐标系下
)( )(21 )s i n,c o s( r dfdI积分
R ded 020 2
)1(212 2 Re?
).1( 2 Re?
o x
R
)(?
例 2
.0
24 22222
所围部分体积及与求由

z
ayyxyxaz
解 )(?:)(?在极坐标系
.0,s i n20 a
按二重积分几何意义,体积
)( 2224dyxaV
s i n20 220 4a dad
2/0 3
3
)co s1(316 da
).322(316
3
a
例 3,22 所围部分体积与求由 hzyxz
解 立体的投影为,0,:)( 22 zhyx?
)( 22)( )( dyxhdV
hh h dd
0
22
0
.
2
1
2
1
2
22
h
hh


)(?
o
x
y
z
下面来看二重积分的一个应用 —— 利用二重积分求曲面的面积 。
第三节 曲面面积的计算
)(),,()(?投影域为为已知曲面 yxfzS?
:现用元素法来求解;
)()1(
S
d
其对应曲面为进行剖分取元素对
)2( 的近似值找 S?; ),( SdSyx?代替曲面元素处切平面用其上
:
)3(
之间大小关系与其投影此时切平面?ddS
|c o s| dSd
ddS |s e c|
)(?
),( yxfz?
)(?d
)(?dSS )( |s ec| d )( 221dff yx
,1
|c o s|
1|s e c| 22
yx ff
}1,,{ ),()4( yx ffnyx 处的法向量对应曲面上例 1,2222 的面积求球面 Rzyx
)(?
x
y
z
o
,1S分面积为设球面位于第一卦限部解
)( 221 188dzzSS yx则
222 yxRz;
222 yxR
xz
x 222 yxR
yz
y
)( 2228dyxR RS
2/0d?
R
d
R
R
0 22

.4218 22 RR
例 2
.)0(
),0(,0222
截下部分的面积在第一卦限中被求


bby
mmyxxazy

.0,0:)(
22
myxby
x o yyaz


投影为面上的在曲面为
0;
22
xy z
ya
yz
x
y
z
o
)( 22dya aS myb dxya ady 0 220

b
m y dy
ya
a
0 22
).( 22 baaam
推导旋转面的面积公式
.
),0)((
轴旋转一周得一旋转面绕面上曲线设
x
bxaxfyxo y
x
y
o a b
)(xfy?
)( xy?
.)();(
)(1
22222 yxfzxfzy 即方程为第一卦限旋转面?
z
yz
z
xfxfz
yx
,)()( 2?
221 yx zz,
)(
)]([1)(
22
2
yxf
xfxf

:4),(3 倍所求面积为其面投影为它在 xyx o y
)( 22
2
)(
)]([1)(4
xy
d
yxf
xfxfS
所求面积为

)(
0 22
2
)(
)]([1)(4 xfb
a
dy
yxf
xfxfdx
.)]([1)(2 2 b
a
dxxfxf?
x
y
o a b
dS
微元法
dsxfdS2
,)]([12 2 dxxfxf