第三章 运动方程的应用
uP
D
uD
d
21
0 DDu?
)(1 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
D
Du xxxdx
)(1 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
y
p
D
Du yyydy
)(1 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
p
D
Du zzzdz
0)()()())()()((?
zuyuxuz
u
y
u
x
u
zyx
zyx
阻力系数
绕流流动与曳力系数
AuCF Dd 2
2
0；—物体表面的受力面积—
速度；—远离物体表面的流体—
—曳力系数；—
曳力；—流体对物体施加的总—
A
u
C
F
D
d
0
阻力系数
总曳力 Fd由二部分所组成：
– 形体曳力；
– 摩擦曳力
dsdfd FFF
dfF
Au
FC d
D 2
0
2
dsF
管内流动与范宁摩擦系数
τ
p p-Δp
L
ri
r稳态：推动力＝阻力
rLprLpr 222
ALpdAF sds 4
i
s r
r
L
pD
s 4
壁面处：
管内流动与范宁摩擦系数
21 pppp f
2
2
b
s
u
f
L
dp f
s 4
A
L
dpF f
ds 4
AufF bds 221 2
2
1
bs uf
流体的平均流速；流体与壁面的接触面积范宁摩擦系数；
bu
A
f
运动方程的应用
平板间的稳态平行流；
平壁面的降落液膜流动
园管与套管环隙的稳态流；
爬流；
势流；
y
x
z
δ
x
y
平板间的稳态平行流
x
y
z
2yb
流向
0 zuyuxu zyx
)(1 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
D
Du xxxdx
平板间的稳态平行流
①一维流：
②不可压缩，稳态：
③无限宽 —ux不随 z变化，
x
y
z
2yb
流向
0,0 zy uu
0 zuyuxu zyx 0;0 2
2
xuxu xx
0?
z
uu
y
uu
x
uuu
D
Du
ux
x
z
x
y
x
x
xx
x
＋
求随体导数：方向对
;0 zux
)(1 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
D
Du xxxdx
2
2
2
2
,10 yuxpyuxp xdxd ＝或者平板间的稳态平行流
Z方向：
Y方向,
∴ 偏导 → 常导
0,10 ＝即 zpzp dd
0,10 ＝即 ypyp dd
2
2
dy
ud
xd
dp xd?＝
m a x
2
0
2
0
0
2
0m a x
2
0
m a x
3
2
3
1
3
2
1*2
2
1;1
0
uy
dx
dp
u
y
dx
dp
udyu
y
dx
dp
u
y
y
uu
b
y
b
平均：
积分：
平壁面的降落液膜流动
0 zuyuxu zyx
yy
z
y
y
y
x
u
z
uu
y
uu
x
uu
)(1 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
y
pY yyy
～
δ
x
y
平壁面的降落液膜流动
0 zuyuxu zyx
yy
z
y
y
y
x
u
z
uu
y
uu
x
uu
)(1 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
y
pY yyy
0,0 yuuu yzx?;0yu;0,0 ＝变化，不随 zuzuyp yy 0;0 yuuu yzx
0
0,0
2
2
2
2
g
dx
ud
z
u
y
u
g
x
u
y
yyy
平壁面的降落液膜流动
)(2 22 xgu y0,0
,0
x
u
x
ux
y
y?
0
)1(dxuV ys
3)1)((
)1( 2
0 g
dxu
A
Vu
y
S
b
2/1)3(
g
u b
园管与套管环隙的稳态流
y x
θ
0 z
流向条件：稳态，不可压缩，轴对称所用方程：柱坐标连续性和 N-S方程
0)()(1)(1 zr uzurrrur
222
2
2
21
)(
11
z
u
r
u
rr
u
r
rr
p
X
z
u
u
u
r
u
r
u
u
u
z
zzz
z
z
z
zz
r
z
分量：
园管的稳态流
z
pu
rr
u
rr
u zzz
111
2
2
22
2
沿 z方向的一维流动，
,0,0,0 ＝稳态一维流动, zr uuu
z
p
r
u
rr
u zz
11
2
2
dz
dp
dr
du
rdr
ud
11
2
2
0)()(1)(1 zr uzurrrur
0
,0,0
＝
z
u
uu
z
r
Z分量方程简化为：
园管的稳态流
2)(12
i
bz r
ruu
2
8
i
bdf
r
u
dz
dp
L
p
buu 2m a x?
（ 3-51） Hagen-Poiseuille Equation
2
m a x
22 )(1
4 iiz r
rurr
L
pu
i
b
rr
z
S r
u
dr
du
i
4
Re
161682
2
bibib uduru
sf
4/R e,/64f故＝摩擦系数毛细管粘度计
Lu
pr
b
fi
8
2?
奥氏、乌氏粘度计
gLp
d
Lu
p
Lu
pr
b
fi
若令
2
2
32
,
8
000
4
8.12
t
t
t
V
dg
套管环隙中稳态流
0)()(1)(1 zr uzurrrur
222
2
2
21
)(
11
z
u
r
u
rr
u
r
rr
p
X
z
u
u
u
r
u
r
u
u
u
z
zzz
z
z
z
zz
r
z
分量：
)(
2
1 2
m a x
2 rr
dz
dp
dr
du
r
套管环隙中稳态流
)ln2(2 1
1
2
m a x
2
1
2
r
rrrr
dz
dpu d
z?
)ln2(2 1
2
2
m a x
2
2
2
r
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dz
dpu d
z?
)/ln (2
12
2
1
2
2
m a x rr
rrr
)2(8 1 2m a x2221 rrrdzdpu db
)21(8 2
m a x
2
2
2
1 rrr
udzdpLp bdf
旋转粘度计
0)()(1)(1 zr uzurrrur
0))(1(rurrr 0))(1(rudrdrdrd
小结
步骤
– 根据已知条件对 N-S方程和连续性方程简化；
– 将偏微分方程转化为常微分方程；
– 求解常微分方程；
只能解决有限个简单的问题；
爬流和势流
爬流（蠕动流）：
– 非常低速的流体，雷诺数非常低的流动。如细粒子在流体中的自由沉降。
– 由于速度慢,雷诺数非常低，惯性力小，可以忽略惯性力影响。
uPuPFD uD gz
22
AucufR
mgRgmmg
dt
xd
m
dt
du
m
D
r
f
2
0
2
2
2
1
)( 阻力＝
爬流
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p xxx
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
y
p yyy
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
p zzz
粒子在爬流中的沉降与斯托克斯定律一个不可压缩流体以很慢的流速沿 z轴由下而上绕过一个球体流过。
相对球体至上而下缓慢地运动求速度分布 ur,uθ和压力 p分布方程表达式。
),,/,(
),/,(
),/,(
000
002
001
urprpp
rurfu
rurfu r
00
0000
6
42
ur
urur
FFF dsdfd
势流雷诺数很高，粘性力远小于惯性力的作用，接近于理想流体。粘度为零，没有阻力损失
2
0
2
0
2
0
00
22
u
pp
A
ppuu
点，流速为零。在势流
)(31)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
xz
u
y
u
x
u
x
pX
D
Du zyxxxxx
)(31)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
yz
u
y
u
x
u
y
pY
D
Du zyxyyyy
)(
3
1)(
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
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y
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x
u
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D
Du zyxzzzz
势流
x
pX
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Du x
y
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D
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u
zz
z
z
y
z
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yy
z
y
y
y
x
xx
z
x
y
x
x
1
1
1
理想流体的运动微分方程,Euler equation.由于边界层靠近壁面处，存在很大剪切效应，所以此处不适合。
在远离壁面处，则基本正确。
流线与流函数
电场 电力线；
– 电场中的一系列曲线，曲线上每一点的切线方向都与该点处的场强 E的方向一致。
磁场 磁力线；
流场 流线。
– 在给定的瞬间 θ,流场中的这样一条曲线，
落在线上的每一个质点的流速方向必定在该点处与该曲线上的切线相重合。流线一般为曲线，有时也为直线。
流线性质
在给定的瞬间 θ,流场中每一空间点都有一条流线经过，流场中的流线是一曲线族；
流线和流线族具有瞬时性（时时刻刻变化）
在同一瞬间，空间中每一点只能有一条流线通过，流线不能相交。
稳态时，流线与迹线重合。
– 迹线：一质点的运动轨迹。
流线方程
u 流线T B
A ds
y
z
x
,、轴夹角分别为：、、
与，、、三个分量为：
，：处流体质点速度向量为设
zyx
uuuu
uA
zyx
u
uco n
u
uco n
u
uco n zyx,
ds
dzc o n
ds
dyc o n
ds
dxc o n,
zyx u
dz
u
dy
u
dx
流线微分方程：
zyx
zyx
u
dz
u
dy
u
dx
d
dudzdudydudx
,,
迹线微分方程：
流线与迹线
方程形式基本相同；
迹线 —θ为独立的自变量；流线 —θ为参变量，瞬间；
稳态时二者相重合。
二维平面上流线微分方程
0
dxudyu
u
dy
u
dx
yx
yx
迹线录像二个燃烧喷嘴流线图流函数
平面流：流体在平行的诸平面上的运动情况完全相同。三维 → 二维。
设流体为不可压缩、稳态。
任意两条相邻流线间的质量流率,Ψ＋ 3dψ
1
ψ
3
4
2
uxdy Ψ＋ 3dψ
Ψ＋ 2dψ
uds
-uydx
x
y
dsudxudyu
udsdw
xyx
流函数
,,
),,,(
,0;/;
x
u
y
u
dyudxud
dy
y
dx
x
dzyx
dw
d
dw
dxudyu
dwdxudyu
yx
xy
yx
yx
常数当两线重合时，
流函数 ψ,通过基准流线附近垂直于纸面方向上的一个单位厚度这样的流道所构成的截面流动的体积流率，（ m3/m.s)
Ψ＋ 3dψ
1
ψ
3
4
2
uxdy Ψ＋ 3dψ
Ψ＋ 2dψ
uds
-uydx
x
y
流函数代入：的定义式将二维平面：
x
u
y
u
y
u
x
u
Yx
yx
;
0
足连续性方程二维流动时，流函数满
0
22
xyyx
总结
N-S方程的应用；
爬流和势流概念；
流线与流函数；
作业
P72-73
– 1,2,7,8,11
uP
D
uD
d
21
0 DDu?
)(1 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
D
Du xxxdx
)(1 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
y
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)(1 2
2
2
2
2
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z
u
y
u
x
u
z
p
D
Du zzzdz
0)()()())()()((?
zuyuxuz
u
y
u
x
u
zyx
zyx
阻力系数
绕流流动与曳力系数
AuCF Dd 2
2
0；—物体表面的受力面积—
速度；—远离物体表面的流体—
—曳力系数；—
曳力；—流体对物体施加的总—
A
u
C
F
D
d
0
阻力系数
总曳力 Fd由二部分所组成：
– 形体曳力；
– 摩擦曳力
dsdfd FFF
dfF
Au
FC d
D 2
0
2
dsF
管内流动与范宁摩擦系数
τ
p p-Δp
L
ri
r稳态：推动力＝阻力
rLprLpr 222
ALpdAF sds 4
i
s r
r
L
pD
s 4
壁面处：
管内流动与范宁摩擦系数
21 pppp f
2
2
b
s
u
f
L
dp f
s 4
A
L
dpF f
ds 4
AufF bds 221 2
2
1
bs uf
流体的平均流速；流体与壁面的接触面积范宁摩擦系数；
bu
A
f
运动方程的应用
平板间的稳态平行流；
平壁面的降落液膜流动
园管与套管环隙的稳态流；
爬流；
势流；
y
x
z
δ
x
y
平板间的稳态平行流
x
y
z
2yb
流向
0 zuyuxu zyx
)(1 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
D
Du xxxdx
平板间的稳态平行流
①一维流：
②不可压缩，稳态：
③无限宽 —ux不随 z变化，
x
y
z
2yb
流向
0,0 zy uu
0 zuyuxu zyx 0;0 2
2
xuxu xx
0?
z
uu
y
uu
x
uuu
D
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ux
x
z
x
y
x
x
xx
x
＋
求随体导数：方向对
;0 zux
)(1 2
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2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
D
Du xxxdx
2
2
2
2
,10 yuxpyuxp xdxd ＝或者平板间的稳态平行流
Z方向：
Y方向,
∴ 偏导 → 常导
0,10 ＝即 zpzp dd
0,10 ＝即 ypyp dd
2
2
dy
ud
xd
dp xd?＝
m a x
2
0
2
0
0
2
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2
0
m a x
3
2
3
1
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1*2
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u
y
dx
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y
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dp
u
y
y
uu
b
y
b
平均：
积分：
平壁面的降落液膜流动
0 zuyuxu zyx
yy
z
y
y
y
x
u
z
uu
y
uu
x
uu
)(1 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
y
pY yyy
～
δ
x
y
平壁面的降落液膜流动
0 zuyuxu zyx
yy
z
y
y
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u
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uu
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uu
)(1 2
2
2
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2
2
z
u
y
u
x
u
y
pY yyy
0,0 yuuu yzx?;0yu;0,0 ＝变化，不随 zuzuyp yy 0;0 yuuu yzx
0
0,0
2
2
2
2
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dx
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z
u
y
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y
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平壁面的降落液膜流动
)(2 22 xgu y0,0
,0
x
u
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3)1)((
)1( 2
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Vu
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S
b
2/1)3(
g
u b
园管与套管环隙的稳态流
y x
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0 z
流向条件：稳态，不可压缩，轴对称所用方程：柱坐标连续性和 N-S方程
0)()(1)(1 zr uzurrrur
222
2
2
21
)(
11
z
u
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u
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u
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z
分量：
园管的稳态流
z
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111
2
2
22
2
沿 z方向的一维流动，
,0,0,0 ＝稳态一维流动, zr uuu
z
p
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11
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Z分量方程简化为：
园管的稳态流
2)(12
i
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8
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L
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（ 3-51） Hagen-Poiseuille Equation
2
m a x
22 )(1
4 iiz r
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2
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旋转粘度计
0)()(1)(1 zr uzurrrur
0))(1(rurrr 0))(1(rudrdrdrd
小结
步骤
– 根据已知条件对 N-S方程和连续性方程简化；
– 将偏微分方程转化为常微分方程；
– 求解常微分方程；
只能解决有限个简单的问题；
爬流和势流
爬流（蠕动流）：
– 非常低速的流体，雷诺数非常低的流动。如细粒子在流体中的自由沉降。
– 由于速度慢,雷诺数非常低，惯性力小，可以忽略惯性力影响。
uPuPFD uD gz
22
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2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
p zzz
粒子在爬流中的沉降与斯托克斯定律一个不可压缩流体以很慢的流速沿 z轴由下而上绕过一个球体流过。
相对球体至上而下缓慢地运动求速度分布 ur,uθ和压力 p分布方程表达式。
),,/,(
),/,(
),/,(
000
002
001
urprpp
rurfu
rurfu r
00
0000
6
42
ur
urur
FFF dsdfd
势流雷诺数很高，粘性力远小于惯性力的作用，接近于理想流体。粘度为零，没有阻力损失
2
0
2
0
2
0
00
22
u
pp
A
ppuu
点，流速为零。在势流
)(31)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
xz
u
y
u
x
u
x
pX
D
Du zyxxxxx
)(31)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
yz
u
y
u
x
u
y
pY
D
Du zyxyyyy
)(
3
1)(
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
zz
u
y
u
x
u
z
pZ
D
Du zyxzzzz
势流
x
pX
D
Du x
y
pY
D
Du y
z
pZ
D
Du z
z
p
Z
u
z
u
u
y
u
u
x
u
u
y
p
Y
u
z
u
u
y
u
u
x
u
u
x
p
X
u
z
u
u
y
u
u
x
u
u
zz
z
z
y
z
x
yy
z
y
y
y
x
xx
z
x
y
x
x
1
1
1
理想流体的运动微分方程,Euler equation.由于边界层靠近壁面处，存在很大剪切效应，所以此处不适合。
在远离壁面处，则基本正确。
流线与流函数
电场 电力线；
– 电场中的一系列曲线，曲线上每一点的切线方向都与该点处的场强 E的方向一致。
磁场 磁力线；
流场 流线。
– 在给定的瞬间 θ,流场中的这样一条曲线，
落在线上的每一个质点的流速方向必定在该点处与该曲线上的切线相重合。流线一般为曲线，有时也为直线。
流线性质
在给定的瞬间 θ,流场中每一空间点都有一条流线经过，流场中的流线是一曲线族；
流线和流线族具有瞬时性（时时刻刻变化）
在同一瞬间，空间中每一点只能有一条流线通过，流线不能相交。
稳态时，流线与迹线重合。
– 迹线：一质点的运动轨迹。
流线方程
u 流线T B
A ds
y
z
x
,、轴夹角分别为：、、
与，、、三个分量为：
，：处流体质点速度向量为设
zyx
uuuu
uA
zyx
u
uco n
u
uco n
u
uco n zyx,
ds
dzc o n
ds
dyc o n
ds
dxc o n,
zyx u
dz
u
dy
u
dx
流线微分方程：
zyx
zyx
u
dz
u
dy
u
dx
d
dudzdudydudx
,,
迹线微分方程：
流线与迹线
方程形式基本相同；
迹线 —θ为独立的自变量；流线 —θ为参变量，瞬间；
稳态时二者相重合。
二维平面上流线微分方程
0
dxudyu
u
dy
u
dx
yx
yx
迹线录像二个燃烧喷嘴流线图流函数
平面流：流体在平行的诸平面上的运动情况完全相同。三维 → 二维。
设流体为不可压缩、稳态。
任意两条相邻流线间的质量流率,Ψ＋ 3dψ
1
ψ
3
4
2
uxdy Ψ＋ 3dψ
Ψ＋ 2dψ
uds
-uydx
x
y
dsudxudyu
udsdw
xyx
流函数
,,
),,,(
,0;/;
x
u
y
u
dyudxud
dy
y
dx
x
dzyx
dw
d
dw
dxudyu
dwdxudyu
yx
xy
yx
yx
常数当两线重合时，
流函数 ψ,通过基准流线附近垂直于纸面方向上的一个单位厚度这样的流道所构成的截面流动的体积流率，（ m3/m.s)
Ψ＋ 3dψ
1
ψ
3
4
2
uxdy Ψ＋ 3dψ
Ψ＋ 2dψ
uds
-uydx
x
y
流函数代入：的定义式将二维平面：
x
u
y
u
y
u
x
u
Yx
yx
;
0
足连续性方程二维流动时，流函数满
0
22
xyyx
总结
N-S方程的应用；
爬流和势流概念；
流线与流函数；
作业
P72-73
– 1,2,7,8,11
