第四章 边界层流动
)(312 uuPFD uD g
uPF
D
uD
g
z
2
对于不可压缩流体：
势流（忽略粘性力）：
和质量力：对于爬流，忽略惯性力
uP
2
0
符合。事实证明与实际情况不
)(,E q u a t i o nE u l erPF
D
uD
g
边界层的概念
在实际流体沿固体壁面流动时，紧贴壁面的一层极薄的流体，将附在壁面不滑脱，即壁面上的流体流速为零。
在与流体流动垂直方向上，流速由壁面上零值迅速增大而趋近于一定值（速度梯度大） 。
∵
∴ 不能忽略粘性力的作用，在边界层内要同时考虑惯性力和粘性力的作用。在边界层外，可以只考虑惯性力作用
dy
du x
边界层的概念边界层的形成有层流边界层转变为湍流边界层的临界距离 xc与壁面前沿形状、壁面粗糙度、流体性质以及流速大小等有关。
0Re ux c
x c?
边界层厚度的定义
1、理论上，边界层厚度随 x增加而不断增加
2、取流速到边界层外均匀流速的 0.99的 y向距离为边界层厚度。
3、可假设一边界层速度分布方程，如抛物线型。
x
y
y0
边界层方程
设流体在一无限大平板表面上稳态流过（ Re较高 ）
此时二维平面连续性方程和 N-S方程：
0 yuxu yx
)(
1
2
2
2
2
y
u
x
u
x
p
y
u
u
x
u
u
xx
x
y
x
x
)(1 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
y
p yyy
yuuxuu yyyx
x
y
Prandtl方程的推导
1,Re较大，惯性力影响大于粘性力，但边界层内粘性力作用不能忽略。
2、边界层厚 δ较定性长度 x小得多。
3、数量级分析,方程中小项可以忽略，如
1000＋ 5000＋ 0.1=6000，
4、取 x,u0为标准数量级，标记为（ 1）
x=0(1),u0=0(1),则 δ很小,δ＝ 0（ δ）
)1(0)1)(1( )1(),1(0)1( )1( 22 xuxuxu xxx
y≤δ,∴ y＝ 0（ δ）
Prandtl方程的推导
0 yuxu yx?
)
1
(0),
1
(0
)(0),(0
)1(0);1(0
22
2
y
u
y
u
uy
y
u
x
u
xx
y
yx
Prandtl方程的推导
0 yuxu yx
)(1 2
2
2
2
y
u
x
u
x
p
y
uu
x
uu xxxyxx
yuuxuu yyyx
)(1 2
2
2
2
y
u
x
u
y
p yy
0(1) 0(1)
(1) (1) （ δ） (1/δ) ≤1 δ2 （ 1） （ 1/δ2）
(1) (δ) （ δ） (1 ) δ δ2 （ δ） （ 1/δ2）
Prandtl方程的推导最后得：
0 yuxu yx
)(1 2
2
y
u
x
p
y
uu
x
uu xxyxx
物体自由落体：
AucufR
mgRgmmg
dt
xd
m
dt
du
m
D
r
f
2
0
2
2
2
1
)( 阻力＝
方程的可解性
0 yuxu yx
)(1 2
2
y
u
x
p
y
uu
x
uu xxyxx
。复杂但方程为非线性，求解
、数二个方程，解二个未知
②
①
再利用边界条件：
程解出无关），可由柏努力方、与
)1 6 41 6 2(
.77
,
0,0,0
(
0
P
uuP
uuy
uuy
zyp
dx
dp
yx
x
yx
边界层积分动量方程取一流体体积微元,x方向长 dx,厚（ z） 1个单位，
高（ y） 取 l(l>δ),主体流速 W为 u0。
稳态：
质量：入＝出，入 -出＝ 0
动量,∑Fi+入＝出
∑Fi ＝ 出 —入边界层积分动量方程
l
x dyu
0
质量：
l
x dyu
0
2?动量：
dxdyuxdyu
l
x
l
x )(
00
dxdyuxdyu
l
x
l
x )(
0
2
0
2
dxdyux
l
x )(
0
dxdyux
l
x )(
0
2?
入 出 出 —入稳态，底面为壁面,z方向无流动
∴ 质量差部分必由（ 2-3-7-6）面流入补偿主体流中，
这部分质量流率必为：
dxdyux
l
x )(
0
边界层积分动量方程
而其中代入的动量（注意：主体流流速为 u0):
动量,∑Fi ＝ 出 —入
入＝入 1-2-5-6＋入 2-3-7-6 ∴ 出 —入 1-2-5-6＋入 2-3-7-6＝
速度＊质量）()(
0
0
dxdyu
xu
l
x?
dxdyuxdyu
l
x
l
x )(
0
2
0
2
dxdyu
xu
l
x )(
0
0
l
xx dyuuux
0
0 )(?
边界层积分动量方程
1))((1)( ldxxpdxF si?
x
pldyuuu
x s
l
xx?
0
0 )(
odyuuu
dyuuudyuuudyuuu
xx
l
xxxx
l
xx
0
0
0
0
0
0
0
)(
)()()(
x
pldyuuu
x sx
x
0
0 )(
边界层积分动量方程
dx
dp
ldyuuu
dx
d
x
sxx
0
0 )(
方向流动：只考虑在 P77作数量级分析时，有 即边界层压力 p在 y方向近似不变，等于边界层外面流体的压力。边界层外，
p’1,p”2（ 按理想流体势流）
0＝xp
p”1,p”2
p’1,p’2
"
2
"
1
0
0
2
0,00)2(
22
pp
dx
dp
dx
du
u
dx
dpu
p,常数，
边界层积分动量方程
,0
,,,0 '1'2'2"2'1"1
dy
dp
pppppp
dy
dp
边界层内，
sxx dyuuudx
d
0
0 )(
（ 5—14）
卡门边界层积分动量方程。适用于层流、湍流，精度取决于 ux=f(x,y)
可预先假定一个速度分布方程，如：
代入，求得近似解。
2cybyau x
流体沿平板壁面流动时层流边界层计算
32 dycybyau x
设：不可压缩流体，二维流动（ x,y),在某 x处：
062,1550
2
0,0,01
2
2
02
2
0
cdycy
dy
ud
dy
ud
dy
du
auy
x
y
x
y
x
x
），代入（＝
体加速均不突然为常数，流速很低，流、设
、
332
0
03
δ＋
δ,、
dbdycybyauu
uuy
x
x
3
002
2
2
22
3
30
δ；
δ
δ，代入：＝δ
u
d
u
bdb
dy
ud
y
x
流体沿平板壁面流动时层流边界层计算
δ ））
δ
（
δ
＝
δ；
δ
δ，代入：＝δ
,(
2
1
2
3
22
3
30
3
0
3
002
2
2
yf
yy
u
u
u
d
u
bdb
dy
ud
x
y
x
δ ））
δ
（
δ
＝
δ；
δ
δ，代入：＝δ
,(
2
1
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3
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3
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002
2
2
yf
yy
u
u
u
d
u
bdb
dy
ud
x
y
x
δ＝＝代入,02
0
0
0
0 28 0
39)()( udyuuudyuuu
dx
d
xxsxx
流体沿平板壁面流动时层流边界层计算
)(64.4
),
2
3
(
195,
2 8 0
39
1
0
0
00
2
xfc
u
x
u
dy
du
dx
d
u
s
y
x
ss
δ ＝
代入上式并积分：
δ
）代入（＝＝
δ
00
1
64.464.4
0,0,0
u
x
u
x
cx
δ ＝
δ ＝从平板前沿算起，
(5-27)
流体沿平板壁面流动时湍流边界层的计算
sxx dyuuudx
d
0
0 )(
δ ））δ＝（,(7/1
0
yfyuu x?
计算出边界层厚度 δ,流体对板面施加的总曳力 Fd、
平均曳力系数 CD等。
δ
利用边界层积分动量方程：
要点总结
边界层理论；
普兰德边界层方程的推导，数量级简化；
边界层积分动量方程的推导
边界层分离作业
P95
– 1,6
)(312 uuPFD uD g
uPF
D
uD
g
z
2
对于不可压缩流体：
势流（忽略粘性力）：
和质量力：对于爬流，忽略惯性力
uP
2
0
符合。事实证明与实际情况不
)(,E q u a t i o nE u l erPF
D
uD
g
边界层的概念
在实际流体沿固体壁面流动时，紧贴壁面的一层极薄的流体，将附在壁面不滑脱，即壁面上的流体流速为零。
在与流体流动垂直方向上，流速由壁面上零值迅速增大而趋近于一定值（速度梯度大） 。
∵
∴ 不能忽略粘性力的作用，在边界层内要同时考虑惯性力和粘性力的作用。在边界层外，可以只考虑惯性力作用
dy
du x
边界层的概念边界层的形成有层流边界层转变为湍流边界层的临界距离 xc与壁面前沿形状、壁面粗糙度、流体性质以及流速大小等有关。
0Re ux c
x c?
边界层厚度的定义
1、理论上，边界层厚度随 x增加而不断增加
2、取流速到边界层外均匀流速的 0.99的 y向距离为边界层厚度。
3、可假设一边界层速度分布方程，如抛物线型。
x
y
y0
边界层方程
设流体在一无限大平板表面上稳态流过（ Re较高 ）
此时二维平面连续性方程和 N-S方程：
0 yuxu yx
)(
1
2
2
2
2
y
u
x
u
x
p
y
u
u
x
u
u
xx
x
y
x
x
)(1 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
y
p yyy
yuuxuu yyyx
x
y
Prandtl方程的推导
1,Re较大，惯性力影响大于粘性力，但边界层内粘性力作用不能忽略。
2、边界层厚 δ较定性长度 x小得多。
3、数量级分析,方程中小项可以忽略，如
1000＋ 5000＋ 0.1=6000，
4、取 x,u0为标准数量级，标记为（ 1）
x=0(1),u0=0(1),则 δ很小,δ＝ 0（ δ）
)1(0)1)(1( )1(),1(0)1( )1( 22 xuxuxu xxx
y≤δ,∴ y＝ 0（ δ）
Prandtl方程的推导
0 yuxu yx?
)
1
(0),
1
(0
)(0),(0
)1(0);1(0
22
2
y
u
y
u
uy
y
u
x
u
xx
y
yx
Prandtl方程的推导
0 yuxu yx
)(1 2
2
2
2
y
u
x
u
x
p
y
uu
x
uu xxxyxx
yuuxuu yyyx
)(1 2
2
2
2
y
u
x
u
y
p yy
0(1) 0(1)
(1) (1) （ δ） (1/δ) ≤1 δ2 （ 1） （ 1/δ2）
(1) (δ) （ δ） (1 ) δ δ2 （ δ） （ 1/δ2）
Prandtl方程的推导最后得：
0 yuxu yx
)(1 2
2
y
u
x
p
y
uu
x
uu xxyxx
物体自由落体：
AucufR
mgRgmmg
dt
xd
m
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D
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f
2
0
2
2
2
1
)( 阻力＝
方程的可解性
0 yuxu yx
)(1 2
2
y
u
x
p
y
uu
x
uu xxyxx
。复杂但方程为非线性，求解
、数二个方程，解二个未知
②
①
再利用边界条件：
程解出无关），可由柏努力方、与
)1 6 41 6 2(
.77
,
0,0,0
(
0
P
uuP
uuy
uuy
zyp
dx
dp
yx
x
yx
边界层积分动量方程取一流体体积微元,x方向长 dx,厚（ z） 1个单位，
高（ y） 取 l(l>δ),主体流速 W为 u0。
稳态：
质量：入＝出，入 -出＝ 0
动量,∑Fi+入＝出
∑Fi ＝ 出 —入边界层积分动量方程
l
x dyu
0
质量：
l
x dyu
0
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l
x
l
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x
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2
0
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l
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0
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2?
入 出 出 —入稳态，底面为壁面,z方向无流动
∴ 质量差部分必由（ 2-3-7-6）面流入补偿主体流中，
这部分质量流率必为：
dxdyux
l
x )(
0
边界层积分动量方程
而其中代入的动量（注意：主体流流速为 u0):
动量,∑Fi ＝ 出 —入
入＝入 1-2-5-6＋入 2-3-7-6 ∴ 出 —入 1-2-5-6＋入 2-3-7-6＝
速度＊质量）()(
0
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xu
l
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0
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边界层积分动量方程
1))((1)( ldxxpdxF si?
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0 )(
边界层积分动量方程
dx
dp
ldyuuu
dx
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x
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0
0 )(
方向流动：只考虑在 P77作数量级分析时，有 即边界层压力 p在 y方向近似不变，等于边界层外面流体的压力。边界层外，
p’1,p”2（ 按理想流体势流）
0＝xp
p”1,p”2
p’1,p’2
"
2
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1
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22
pp
dx
dp
dx
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p,常数，
边界层积分动量方程
,0
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dy
dp
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边界层内，
sxx dyuuudx
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0
0 )(
（ 5—14）
卡门边界层积分动量方程。适用于层流、湍流，精度取决于 ux=f(x,y)
可预先假定一个速度分布方程，如：
代入，求得近似解。
2cybyau x
流体沿平板壁面流动时层流边界层计算
32 dycybyau x
设：不可压缩流体，二维流动（ x,y),在某 x处：
062,1550
2
0,0,01
2
2
02
2
0
cdycy
dy
ud
dy
ud
dy
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auy
x
y
x
y
x
x
），代入（＝
体加速均不突然为常数，流速很低，流、设
、
332
0
03
δ＋
δ,、
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x
x
3
002
2
2
22
3
30
δ；
δ
δ，代入：＝δ
u
d
u
bdb
dy
ud
y
x
流体沿平板壁面流动时层流边界层计算
δ ））
δ
（
δ
＝
δ；
δ
δ，代入：＝δ
,(
2
1
2
3
22
3
30
3
0
3
002
2
2
yf
yy
u
u
u
d
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δ ））
δ
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δ
＝
δ；
δ
δ，代入：＝δ
,(
2
1
2
3
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30
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3
002
2
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yf
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u
u
u
d
u
bdb
dy
ud
x
y
x
δ＝＝代入,02
0
0
0
0 28 0
39)()( udyuuudyuuu
dx
d
xxsxx
流体沿平板壁面流动时层流边界层计算
)(64.4
),
2
3
(
195,
2 8 0
39
1
0
0
00
2
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u
x
u
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d
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y
x
ss
δ ＝
代入上式并积分：
δ
）代入（＝＝
δ
00
1
64.464.4
0,0,0
u
x
u
x
cx
δ ＝
δ ＝从平板前沿算起，
(5-27)
流体沿平板壁面流动时湍流边界层的计算
sxx dyuuudx
d
0
0 )(
δ ））δ＝（,(7/1
0
yfyuu x?
计算出边界层厚度 δ,流体对板面施加的总曳力 Fd、
平均曳力系数 CD等。
δ
利用边界层积分动量方程：
要点总结
边界层理论；
普兰德边界层方程的推导，数量级简化；
边界层积分动量方程的推导
边界层分离作业
P95
– 1,6
