7.3 d)用积分法求梁的挠曲线方程、端截面转角θA和θB、跨度中点的挠度和最大挠度。设EI=常量。
解：1、挠曲线近似微分方程
RA
AC:
3
12
EIv1 ' ' = qlx1? qx1
8
2
3
13
2
EIv1 ' = qlx1? qx1 + C1
16
6
RB
3
R A = ql,
8
1
RB = ql
8
BC:
1
EIv 2 ' ' = ql (l? x 2 )
8
1
2
EIv 2 ' =? ql (l? x 2 ) + C 2
16
1
3
EIv 2 =
ql (l? x 2 ) + C 2 x1 + D2
2
48
1
1
3
4
EIv1 = qlx1?
qx1 + C1 x1 + D1
16
24
3
13
2
EIv1 ' = qlx1? qx1 + C1
16
6
1
1
3
4
EIv1 = qlx1?
qx1 + C1 x1 + D1
16
24
1
2
EIv2 ' =? ql(l? x2 ) + C2
16
1
3
EIv = ql(l? x2 ) + C2 (l? x2 ) + D2
2
48
2、挠曲线方程由边界条件和连续条件确定积分常数
x1 = 0,v1 = 0? D1 = 0;
l
x1 = x2 =,v1 ' = v2 '
2
x2 = l,v 2 = 0
D2 = 0
v1 = v 2
3
7
3
3
C1 =?
ql,C2 =
ql
128
384
1?1 3 1 4 3 3?
1?1
73
3
v1 =? qlx? qx1?
ql x1?,2 =? ql(l? x2 )?
v
ql (l? x2 )?
1
EI? 48
384
EI?16
24
128
2
1?1
1 4 3 3?
1?1
73
3
3
v
ql (l? x2 )?
v1 =? qlx1? qx1?
ql x1?,2 =? ql(l? x2 )?
384
EI? 48
EI? 16
24
128
1?3
1 3 3 3?
2
ql?，
θ1 =? qlx1? qx1?
EI? 16
6
128?
1? 1
7 3?
2
ql?
θ2 = ql(l? x2 ) +
EI? 16
384?
3,求θΑ、θB和跨中挠度、最大挠度
θA
x1 =0
3 ql
=?
,
128 EI
3
θB
x2 = l
7 ql
=
,
384 EI
3
5ql
vl =?
768 EI
2
4
4
4
l
7?
5.04ql
ql
1?
l = 0.46l <,v
x1 =?
=?0.006564
max =?
24?
2
768EI
EI
3
7.4 a)求图示悬臂梁的挠曲线方程及自由端的挠度和转角。设EI=
常数。
解,AC,EIv' ' =? P(a? x )
P2
EIv ' = x? Pax + C
2
P3 P 2
EIv = x? ax + Cx + D
6
2
x = 0,v' = 0,? C = 0;
x = 0,v = 0,? D = 0
1?P 2
1? P 3 P 2?
v =? x? ax?,v′ =
x? Pax?
2
EI? 6
EI? 2
1 Pa 2
θ B =θC =?
2 EI
Pa
Pa
1 Pa
(l? a ) =?
(3l? a )
f B = f C + θ C (l? a ) =?
3EI 2 EI
6 EI
3
2
2
4
7.7 用叠加法求梁截面A的挠度和截面B的转角。EI为已知常数。
l?
P
3
2? =? Pl,
P单独作用,f A1 =?
3EI
24 EI
l2
m( )
Pl 3
m单独作用,f A2 =? 2 =?
,
2 EI
8EI
3
l?
P
Pl 2
2? =?
θ B1 = θ A =?
2 EI
8EI
2
θ B2
ml
Pl 2
=?
=?
EI
EI
9 Pl 2
=?
8 EI
叠加,f A = f A1 + f A2
Pl 3
=?
,
6 EI
θ B = θ B1 + θ B 2
5
7.8 用叠加法求外伸梁外伸端的挠度和转角。EI为已知常数。
解:
悬臂梁C点：
2
ma
ql a
ma
ql a
=
θC1 =?
=?
,f C1 =
2 EI
4 EI
EI
2 EI
简支梁C点：
θC 2
ml
ql 3
5ql 3
= θA =?
=?
3EI 24 EI
24 EI
2
2
2
fC 2
5ql a
= θ Aa =
24 EI
3
θ C = θ C1 + θ C 2
ql 2
ma 5ql 3
=?
=?
(5l + 12a)
EI 24 EI
24 EI
2
2
3
2
ql a
5ql a qal
(5l + 6a )
+
=
f C = f C1 + θ A a =
4 EI
24 EI 24 EI
7.12 直角拐AB与AC轴刚性连接，A处为一轴承，允许AC轴的端截面在轴承内自由转动，但不能上下移动。已知P=60N，
E=210GPa，G=0.4E。试求截面B的垂直位移。
解,AB段弯曲,AC段扭转
AC段扭转角
Tl
=
θ=
GI P
(60 × 300) × 500
= 6.8 × 10?3 rad
π? 204
0.4 × 210 × 103 ×
32
3
60 × 300
Pl
+ 0.0068 × 300 = 8.22mm
f = f1 + f 2 =
+ θ? 300 =
3
5 × 10
3EI
3
3 × 210 × 10 ×
12
3
7
7.12 直角拐AB与AC轴刚性连接，A处为一轴承，允许AC轴的端截面在轴承内自由转动，但不能上下移动。已知P=60N，
E=210GPa，G=0.4E。试求截面B的垂直位移。
解,AB段,M ( x ) = Px
T
AC段,( x ) = 300 P
U =∫
300
300
0
M ( x)
T? 500
dx +
2 EI
2GI P
2
2
2
( Px ) x
300 P? 500
U
dx +
yB =
=∫
= 8.22mm
0
EI
GI P
P
8
7.20 图示静不定梁。设EI=常量。试作梁的剪力图和弯矩图。
解,1）求梁的支座力
y A = 0,
ql 4 RAl 3
查表叠加：y A =?
+
=0
8EI 3EI
RA
Q
3ql
8
O
x
3l
8
9 ql 2
128
M
5ql
8
3ql
RA =
8
5ql
∑ y = 0,? RB = 8
2
ql
∑ M B = 0,M B = 8
2）作梁的剪力图和弯矩图
9
x
O
ql
8
2
7.20 图示静不定梁。设EI=常量。试作梁的剪力图和弯矩图。
解：
1）求梁的支座力
y A = 0,
U =∫
l
0
RA
Q
x
M 2 ( x)
dx
2 EI
3ql
8
O
l M ( x )?M ( x )
U
yA =
=∫
dx
0
RA
RA
EI
x
3l
8
9 ql 2
128
5ql
8
x?M ( x )
M ( x ) = RA x? q,
=x
2
RA
2
M
x
O
3ql
y A = 0? RA =
8
2）作梁的剪力图和弯矩图
10
ql 2
8
7-22 图示结构，梁为16号工字钢；拉杆截面为圆形，d=10mm。
两者均为A3钢，E=200GPa。试求梁及拉杆内的最大正应力。
解,求拉杆的轴力N
变形协调条件：
4
3
ql
Nl
Nl '
f q? f N = Δl,8EI? 3EI = EA
查表,I = 1130cm,W = 141cm
4
3
N = 14.51kN
1
M max =? × 10 × 4 2 + 14.51× 4 =?21.96kN? m
2
N 14.51 × 103
= 185MPa
杆内：σ max = = π
A
2
× 10
4
梁内,max
σ
M max 21.96 × 106
=
=
= 156MPa
3
141 × 10
Wz
11