补充题：矩形截面简支梁如图，计算（1）图示梁的支座反力；
（2）画出剪力图、弯矩图；（3）求梁内的最大正应力。
解,1）求梁的支座力
q=1.6kN/m
4kN·m
200mm
∑M
B
R
= 0,A ×6? q × 2×5? 4 = 0
RA
2m
2m
2m
RB
100mm
∑F
RA＝3.33kN
= 0，R B? q × 2 + N A = 0
y
RB＝-0.138kN
2）剪力图、弯矩图如图所示
3）求梁内的最大正应力最大弯矩在D截面，由梁的最大正应力为
σ max
M max 6 × 3.72 × 103
=
=
Pa = 5.625MPa
1
2
Wz
0.01× 0.02
6.1 矩形截面悬臂梁，已知l=4m，b/h=2/3，q=10kN/m，
[σ]=10MPa。试确定此梁横截面的尺寸。
解：
M max
121
2
= ql = × 10 × 4 = 80kN? m
2
2
6
M
6 × 80 × 10
M max
≤ [σ ]
σ=
≤ [σ ],
22
W
hh
3
x
80 kN? m
3 × 6 × 80 × 10
h≥
2 × 10
3
6
h = 416mm,
2
b = h = 277 mm
3
2
6.4 简支梁承受均布载荷。分别采用截面面积相同的实心和空心圆截面，D1=40mm，d2 / D2=3/5，分别计算它们的最大正应力。
空心圆比实心圆截面的最大正应力减少了百分之几？
1
解：RC = RE = 2q?
2
RA
RB
π
4
D1 =
2
π
(D
4
2
2
d22
)
D2 = 50mm,d 2 = 30mm
ql 2 ×10 × 2
Mmax =
=
N? m =1kN? m
8
8
2
3
2
实心 σ max
′
空心 σ max
M max 32 M max
=
=
= 159MPa
3
πD1
W
M
M max
= 93.6MPa
=
=
4
W πD 3 d
2
1 2
32 D2
′
σ max? σ max
= 41.1%
σ max
3
6.13 ⊥形截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图。[σt]=40MPa，
[σc]=160MPa，Iz=10181cm4，h1=9.64cm，试计算该梁的许可载荷P。
解：弯矩的两个极值是
MA=0.8P，MC=0.6P
σ max
M
=
y max ≤ [σ ]
Iz
0.8P
h1 ≤ [σ t ]
A截面：σ t max =
Iz
0.8P
σ c max =
h2 ≤ [σ c ]
Iz
0.6 P
h2 ≤ [σ t ]
C截面：σ t max =
Iz
P ≤ 52.8kN
P ≤ 132kN
P ≤ 44 kN
显然C截面的压应力小于A截面的压应力，不必进行计算。许可
4
载荷
P ≤ 44 kN
6.14 铸铁梁的载荷及截面尺寸如图。[σt]=40MPa，[σc]=160MPa。
试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，将T形横截面倒置，是否合理？何故？
解：1）求梁的支座力
∑M
B
= 0,A＝10kN
R
∑F
= 0,RB＝30kN
y
2)截面的几何性质
20 × 3 × 10 + 20 × 3 × 21.5
yC =
= 15.8cm
2 × 20 × 3
1
1
3
2
I z = × 3 × 20 + 20 × 3 × 5.75 + × 20 × 32
12
12
5
+ 20 × 3 × (21.5? 15.75) = 6010cm
2
4
强度校核
B截面：
σ t max
σ c max
20 ×106 × 72
= 24MPa < [σ t ]
=
6
60.1×10
6
20 ×10 ×158
=
= 52.4MPa < [σ c ]
6
60.1×10
6
C截面：σ t max
10 ×10 ×158
=
= 26.3MPa < [σ t ]
6
60.1×10
10 × 10 6 × 72
=
= 12MPa < [σ c ]
6
60.1× 10
σ c max
若截面倒置成⊥型，Ｂ截面的最大拉应力将增大成
σ t max = 52.4MPa > [σ t ]
这样拉应力强度不够，因而截面倒置不合理。
6
6.23 由三根木条胶合而成的悬臂梁截面尺寸如图，l=1m。胶合面上的许用切应力为0.34MPa，木材的[σ]=10MPa，[τ]=1MPa，
试求许可载荷P。
解 1 ）按木条弯曲正应力强度
M max
P ×1
σ=
=
≤ [σ ] = 10
1
W
× 100 × 1502
6
P ≤ 3750N
P
3Q 3
≤ [τ ] = 1? P ≤ 10000N
2）按木条切应力强度 τ = × = ×
2 A 2 100 × 150
QS
P(50 × 100 × 50)
=
≤ 0.34
3）胶合面切应力强度 τ ' =
1
I zb
× 100 × 1503 × 100
12
P ≤ 3825N
Z
选取最小者 P ≤ 3.75kN
7
（2）画出剪力图、弯矩图；（3）求梁内的最大正应力。
解,1）求梁的支座力
q=1.6kN/m
4kN·m
200mm
∑M
B
R
= 0,A ×6? q × 2×5? 4 = 0
RA
2m
2m
2m
RB
100mm
∑F
RA＝3.33kN
= 0，R B? q × 2 + N A = 0
y
RB＝-0.138kN
2）剪力图、弯矩图如图所示
3）求梁内的最大正应力最大弯矩在D截面，由梁的最大正应力为
σ max
M max 6 × 3.72 × 103
=
=
Pa = 5.625MPa
1
2
Wz
0.01× 0.02
6.1 矩形截面悬臂梁，已知l=4m，b/h=2/3，q=10kN/m，
[σ]=10MPa。试确定此梁横截面的尺寸。
解：
M max
121
2
= ql = × 10 × 4 = 80kN? m
2
2
6
M
6 × 80 × 10
M max
≤ [σ ]
σ=
≤ [σ ],
22
W
hh
3
x
80 kN? m
3 × 6 × 80 × 10
h≥
2 × 10
3
6
h = 416mm,
2
b = h = 277 mm
3
2
6.4 简支梁承受均布载荷。分别采用截面面积相同的实心和空心圆截面，D1=40mm，d2 / D2=3/5，分别计算它们的最大正应力。
空心圆比实心圆截面的最大正应力减少了百分之几？
1
解：RC = RE = 2q?
2
RA
RB
π
4
D1 =
2
π
(D
4
2
2
d22
)
D2 = 50mm,d 2 = 30mm
ql 2 ×10 × 2
Mmax =
=
N? m =1kN? m
8
8
2
3
2
实心 σ max
′
空心 σ max
M max 32 M max
=
=
= 159MPa
3
πD1
W
M
M max
= 93.6MPa
=
=
4
W πD 3 d
2
1 2
32 D2
′
σ max? σ max
= 41.1%
σ max
3
6.13 ⊥形截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图。[σt]=40MPa，
[σc]=160MPa，Iz=10181cm4，h1=9.64cm，试计算该梁的许可载荷P。
解：弯矩的两个极值是
MA=0.8P，MC=0.6P
σ max
M
=
y max ≤ [σ ]
Iz
0.8P
h1 ≤ [σ t ]
A截面：σ t max =
Iz
0.8P
σ c max =
h2 ≤ [σ c ]
Iz
0.6 P
h2 ≤ [σ t ]
C截面：σ t max =
Iz
P ≤ 52.8kN
P ≤ 132kN
P ≤ 44 kN
显然C截面的压应力小于A截面的压应力，不必进行计算。许可
4
载荷
P ≤ 44 kN
6.14 铸铁梁的载荷及截面尺寸如图。[σt]=40MPa，[σc]=160MPa。
试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，将T形横截面倒置，是否合理？何故？
解：1）求梁的支座力
∑M
B
= 0,A＝10kN
R
∑F
= 0,RB＝30kN
y
2)截面的几何性质
20 × 3 × 10 + 20 × 3 × 21.5
yC =
= 15.8cm
2 × 20 × 3
1
1
3
2
I z = × 3 × 20 + 20 × 3 × 5.75 + × 20 × 32
12
12
5
+ 20 × 3 × (21.5? 15.75) = 6010cm
2
4
强度校核
B截面：
σ t max
σ c max
20 ×106 × 72
= 24MPa < [σ t ]
=
6
60.1×10
6
20 ×10 ×158
=
= 52.4MPa < [σ c ]
6
60.1×10
6
C截面：σ t max
10 ×10 ×158
=
= 26.3MPa < [σ t ]
6
60.1×10
10 × 10 6 × 72
=
= 12MPa < [σ c ]
6
60.1× 10
σ c max
若截面倒置成⊥型，Ｂ截面的最大拉应力将增大成
σ t max = 52.4MPa > [σ t ]
这样拉应力强度不够，因而截面倒置不合理。
6
6.23 由三根木条胶合而成的悬臂梁截面尺寸如图，l=1m。胶合面上的许用切应力为0.34MPa，木材的[σ]=10MPa，[τ]=1MPa，
试求许可载荷P。
解 1 ）按木条弯曲正应力强度
M max
P ×1
σ=
=
≤ [σ ] = 10
1
W
× 100 × 1502
6
P ≤ 3750N
P
3Q 3
≤ [τ ] = 1? P ≤ 10000N
2）按木条切应力强度 τ = × = ×
2 A 2 100 × 150
QS
P(50 × 100 × 50)
=
≤ 0.34
3）胶合面切应力强度 τ ' =
1
I zb
× 100 × 1503 × 100
12
P ≤ 3825N
Z
选取最小者 P ≤ 3.75kN
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