8.2 构件受力如图（a）、（b）、（c）、（d）所示。（1）确定危险点的位置。（2）用单元体表示危险点的应力状态。
解：（a）杆上各点均为危险点。
（b）圆轴BC段外表面上各点均为危险点。
（c）圆杆固定端截面竖向直径上下端点1和2点为危险点。
（d）圆杆外表面上各点均为危险点。
1
8.2 构件受力如图（a）、（b）、（c）、（d）所示。（1）确定危险点的位置。（2）用单元体表示危险点的应力状态。
（2）
2
8.2 已知应力状态如图示，图中应力单位为MPa。试用解析法及图解法求：（1）主应力大小，主平面位置；（2）在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；（3）最大剪应力。
解 (b) σ x = 50 MPa,σ y = 0,τ xy =?20 MPa
1）解析法
50 + 0
57MPa
σ max? σ x + σ y? σ x? σ y?
50? 0?
2
2
±?
+ τ xy =?
+ (? 20)? =?
=
±?
2?
σ min?
2
7MPa
2
2?
2
2
σ1
σ 1 = 57 MPa，σ 2 = 0，σ 3 =?7 MPa
2 × (? 20 )
α 0 = 19.3?
tan 2α 0 =?
=
= 0.8，
σ x?σ y
50? 0
2τ xy
σ3
主应力单元体
τ max =
σ1? σ 3
2
57? (? 7 )
=
= 32MPa
2
3
解 (b) σ x = 50 MPa,σ y = 0,τ xy =?20 MPa
（2）图解法
σ 1 = 57MPa，σ 2 = 0，σ 3 =?7 MPa
α 0 = 19.3
σ1
主应力单元体
σ3
-7
57
4
8.2 已知应力状态如图示，图中应力单位为MPa。试用解析法及图解法求：（1）主应力大小，主平面位置；（2）在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；（3）最大剪应力。
解 (c)
σ x = 0，σ y = 0，τ xy = 25MPa
1）解析法
σ
σ max? σ x + σ y? σ x?,y?
2
+ τ xy
=
±?
2?
σ min?
2
2
2
0 + 0
25MPa
0?0?
2
=?
±?
+ 25? =?
2
25MPa
2?
σ3
σ 1 = 25MPa，σ 2 = 0，σ 3 =?25MPa
2 × 25
tan 2α 0 =?
=?
=?∞，α 0 =?45
0?0
σ x?σ y
2τ xy
σ1
主应力单元体
τ max =
σ1? σ 3
2
25? (? 25)
= 25MPa
=
2
5
解 (c) σ x = 0，σ y = 0，τ xy = 25MPa
（2）图解法
σ 1 = 25MPa，σ 2 = 0，σ 3 =?25MPa
α 0 =?45
σ3
主应力单元体
σ1
-25
25
6
8.3 在图示各单元体中，试用解析法和图解法求斜截面ab上的应力。应力的单位为MPa。
解 (a) σ x = 70MPa，σ y = 0，τ xy =?70MPa,α = 30?
1）解析法
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x?σ y
2
cos 2α? τ xy sin 2α
70? 70 70 + 70
=?
+
cos 60°? 0? = 35MPa
2
2
σ x?σ y
τα =
sin 2α + τ xy cos 2α
2
70 + 70
sin 60° + 0? = 60.6MPa
=?
2
2）图解法
7
8.3 在图示应力状态中应力单位MPa,试用解析法和图解法求出指定斜截面上的应力。
σ x =?40MPa，σ y = 0，τ xy = 20MPa,α = 60?
解 (a)
600
（1）解析法
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x?σ y
2
cos 2α? τ xy sin 2α
40 + 0? 40? 0
cos120°? 20 sin 120°? =?27.3MPa
=?
+
2
2
τα =
σ x?σ y
2
sin 2α + τ xy cos 2α
40? 0? 40? 0
cos120°? 20 sin120°? =?27.3MPa
=?
+
2
2
8
解 (a) σ x =?40MPa，σ y = 0，τ xy = 20MPa，α = 60?
（2）图解法
600
σ α =?27.3MPa，τ α =?27.3MPa
9
8.3解 (c) 已知 σ x = 0，σ y = 60MPa，τ xy = 40MPa，α = 45
（1）解析法
450
σα =
σ x + σ y σ x?σ y
2
σ x?σ y
+
2
cos2α?τ xy sin2α =?10MPa
τα =
2
sin 2α + τ xy cos2α =?30MPa
（2）图解法
10
8.6 矩形截面梁某截面上的弯矩及剪力分别为M=10kN?m，FS=120kN，
试绘出截面上1、2、3、4各点应力状态的单元体，并求其主应力。
解,各点的应力状态的单元体如图求各点主应力
M = 10kN? m，FS = 120 kN
bh 3 0.05 × 0.13
Iz =
=
= 4.17 × 10?6 m 4
12
12
1点：
h
M
10 × 103 × 0.05
σx = 2 =
= 120MPa
6
Iz
4.17 × 10
σ y = τ xy = 0
σ 1 = σ 2 = 0，σ 3 =?120 MPa
11
求各点主应力 M = 10kN? m，FS = 120 kN
2点：
bh 3
Iz =
= 4.17 × 10?6 m 4
12
σx =σy = 0
τ xy
3 FS 3 120 ×10
=
=×
= 36MPa
2 A 2 0.05 × 0.1
3
σ 1 = 36 MPa,σ 2 = 0，σ 3 =?36 MPa
纯剪切应力状态
12
求各点主应力 M = 10kN? m，FS = 120 kN
3点：
bh 3
Iz =
= 4.17 × 10?6 m 4
12
My 10 × 103 × 0.025
σx =
=
= 60MPa
6
Iz
4.17 × 10
σy =0
τ xy
FS S z? 120 × 103 × 0.05 × 0.025 × 0.0375
=
=
bI z
0.050 × 4.17 × 10?6
= 27MPa
σ max? σ x + σ y
σ x?σ y
±?
=
σ min?
2
2
70.4MPa
2
+ τ xy =?
- 10.4MPa
2
σ 1 = 70.4MPa，σ 2 = 0，σ 3 =?10.4MPa
σ
4点是单向应力状态,x的大小与1点的相同，但是拉应力。
σ y = τ xy = 0，σ x = 120 MPa? σ 1 = 120 MPa，σ 2 = σ 3 = 0
13
8.10 图示薄壁圆筒扭转-拉伸试验的示意图。若P=20kN，
T=600N?m，且d=50mm，δ=2mm，试求：（1）A点在指定斜截面上的应力；（2）A点的主应力的大小及方向（用单元体表示）。
解 (1) A点在指定斜截面上的应力围绕A点取一单元体
N
P
20 × 103
σx = =
=
= 61.2MPa
A π (d + δ )δ π × (50 + 2 )× 2
2T
2 × 600×103
=?
=?70.6MPa
τxy =?
2
2
π (d + δ ) δ
π × (50 + 2) × 2
σα =
σ x + σ y σ x?σ y
2
+
2
61.2 + 0 61.2? 0
+
cos 240° + 70.6 sin 240° =?45.8MPa
cos2α?τ xy sin2α =
2
2
τα =
σ x?σ y
2
sin 2α + τ xy cos2α =
61.2? 0
sin 240°? 70.6 cos 240° = 8.8MPa
2
14
(2) A点的主应力大小及方向
A点单元体
σ x = 61.2MPa，τ xy =?70.6MPa
σ max? σ x + σ y
σ x?σ y?
2
+ τ xy
=
±?
σ min?
2
2?
2
108MPa
61.2 + 0
61.2? 0?
2
=
±?
+ 70.6 =?
2
2?
46.3MPa
2
2 × (? 70.6 )
tan 2α 0 =?
=?
= 2.31，α 0 = 33.3?
σ x?σ y
61.2? 0
2τ xy
σ 1 = 108MPa，σ 2 = 0，σ 3 =?46.3MPa
A点的主应力大小与方向如图
15
8.16 木质悬臂梁的横截面是高为200mm、宽为60mm的矩形。
在A点木材纤维与水平线的倾角为20°。试求通过A点沿纤维方向的斜面上的正应力和剪应力。
解 围绕A点取一单元体
σ x =σ y = 0
τ xy
FS 3 2 × 103
3
=
=×
= 0.25MPa
2 bh 2 200 × 60
α = 110
σα =
σ x + σ y σ x?σ y
2
+
2
cos2α?τ xy sin2α =?0.25 × sin 220° = 0.16MPa
τα =
σ x?σ y
2
sin 2α + τ xy cos 2α = 0.25 × cos 220° =?0.19MPa
16
解：（a）杆上各点均为危险点。
（b）圆轴BC段外表面上各点均为危险点。
（c）圆杆固定端截面竖向直径上下端点1和2点为危险点。
（d）圆杆外表面上各点均为危险点。
1
8.2 构件受力如图（a）、（b）、（c）、（d）所示。（1）确定危险点的位置。（2）用单元体表示危险点的应力状态。
（2）
2
8.2 已知应力状态如图示，图中应力单位为MPa。试用解析法及图解法求：（1）主应力大小，主平面位置；（2）在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；（3）最大剪应力。
解 (b) σ x = 50 MPa,σ y = 0,τ xy =?20 MPa
1）解析法
50 + 0
57MPa
σ max? σ x + σ y? σ x? σ y?
50? 0?
2
2
±?
+ τ xy =?
+ (? 20)? =?
=
±?
2?
σ min?
2
7MPa
2
2?
2
2
σ1
σ 1 = 57 MPa，σ 2 = 0，σ 3 =?7 MPa
2 × (? 20 )
α 0 = 19.3?
tan 2α 0 =?
=
= 0.8，
σ x?σ y
50? 0
2τ xy
σ3
主应力单元体
τ max =
σ1? σ 3
2
57? (? 7 )
=
= 32MPa
2
3
解 (b) σ x = 50 MPa,σ y = 0,τ xy =?20 MPa
（2）图解法
σ 1 = 57MPa，σ 2 = 0，σ 3 =?7 MPa
α 0 = 19.3
σ1
主应力单元体
σ3
-7
57
4
8.2 已知应力状态如图示，图中应力单位为MPa。试用解析法及图解法求：（1）主应力大小，主平面位置；（2）在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；（3）最大剪应力。
解 (c)
σ x = 0，σ y = 0，τ xy = 25MPa
1）解析法
σ
σ max? σ x + σ y? σ x?,y?
2
+ τ xy
=
±?
2?
σ min?
2
2
2
0 + 0
25MPa
0?0?
2
=?
±?
+ 25? =?
2
25MPa
2?
σ3
σ 1 = 25MPa，σ 2 = 0，σ 3 =?25MPa
2 × 25
tan 2α 0 =?
=?
=?∞，α 0 =?45
0?0
σ x?σ y
2τ xy
σ1
主应力单元体
τ max =
σ1? σ 3
2
25? (? 25)
= 25MPa
=
2
5
解 (c) σ x = 0，σ y = 0，τ xy = 25MPa
（2）图解法
σ 1 = 25MPa，σ 2 = 0，σ 3 =?25MPa
α 0 =?45
σ3
主应力单元体
σ1
-25
25
6
8.3 在图示各单元体中，试用解析法和图解法求斜截面ab上的应力。应力的单位为MPa。
解 (a) σ x = 70MPa，σ y = 0，τ xy =?70MPa,α = 30?
1）解析法
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x?σ y
2
cos 2α? τ xy sin 2α
70? 70 70 + 70
=?
+
cos 60°? 0? = 35MPa
2
2
σ x?σ y
τα =
sin 2α + τ xy cos 2α
2
70 + 70
sin 60° + 0? = 60.6MPa
=?
2
2）图解法
7
8.3 在图示应力状态中应力单位MPa,试用解析法和图解法求出指定斜截面上的应力。
σ x =?40MPa，σ y = 0，τ xy = 20MPa,α = 60?
解 (a)
600
（1）解析法
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x?σ y
2
cos 2α? τ xy sin 2α
40 + 0? 40? 0
cos120°? 20 sin 120°? =?27.3MPa
=?
+
2
2
τα =
σ x?σ y
2
sin 2α + τ xy cos 2α
40? 0? 40? 0
cos120°? 20 sin120°? =?27.3MPa
=?
+
2
2
8
解 (a) σ x =?40MPa，σ y = 0，τ xy = 20MPa，α = 60?
（2）图解法
600
σ α =?27.3MPa，τ α =?27.3MPa
9
8.3解 (c) 已知 σ x = 0，σ y = 60MPa，τ xy = 40MPa，α = 45
（1）解析法
450
σα =
σ x + σ y σ x?σ y
2
σ x?σ y
+
2
cos2α?τ xy sin2α =?10MPa
τα =
2
sin 2α + τ xy cos2α =?30MPa
（2）图解法
10
8.6 矩形截面梁某截面上的弯矩及剪力分别为M=10kN?m，FS=120kN，
试绘出截面上1、2、3、4各点应力状态的单元体，并求其主应力。
解,各点的应力状态的单元体如图求各点主应力
M = 10kN? m，FS = 120 kN
bh 3 0.05 × 0.13
Iz =
=
= 4.17 × 10?6 m 4
12
12
1点：
h
M
10 × 103 × 0.05
σx = 2 =
= 120MPa
6
Iz
4.17 × 10
σ y = τ xy = 0
σ 1 = σ 2 = 0，σ 3 =?120 MPa
11
求各点主应力 M = 10kN? m，FS = 120 kN
2点：
bh 3
Iz =
= 4.17 × 10?6 m 4
12
σx =σy = 0
τ xy
3 FS 3 120 ×10
=
=×
= 36MPa
2 A 2 0.05 × 0.1
3
σ 1 = 36 MPa,σ 2 = 0，σ 3 =?36 MPa
纯剪切应力状态
12
求各点主应力 M = 10kN? m，FS = 120 kN
3点：
bh 3
Iz =
= 4.17 × 10?6 m 4
12
My 10 × 103 × 0.025
σx =
=
= 60MPa
6
Iz
4.17 × 10
σy =0
τ xy
FS S z? 120 × 103 × 0.05 × 0.025 × 0.0375
=
=
bI z
0.050 × 4.17 × 10?6
= 27MPa
σ max? σ x + σ y
σ x?σ y
±?
=
σ min?
2
2
70.4MPa
2
+ τ xy =?
- 10.4MPa
2
σ 1 = 70.4MPa，σ 2 = 0，σ 3 =?10.4MPa
σ
4点是单向应力状态,x的大小与1点的相同，但是拉应力。
σ y = τ xy = 0，σ x = 120 MPa? σ 1 = 120 MPa，σ 2 = σ 3 = 0
13
8.10 图示薄壁圆筒扭转-拉伸试验的示意图。若P=20kN，
T=600N?m，且d=50mm，δ=2mm，试求：（1）A点在指定斜截面上的应力；（2）A点的主应力的大小及方向（用单元体表示）。
解 (1) A点在指定斜截面上的应力围绕A点取一单元体
N
P
20 × 103
σx = =
=
= 61.2MPa
A π (d + δ )δ π × (50 + 2 )× 2
2T
2 × 600×103
=?
=?70.6MPa
τxy =?
2
2
π (d + δ ) δ
π × (50 + 2) × 2
σα =
σ x + σ y σ x?σ y
2
+
2
61.2 + 0 61.2? 0
+
cos 240° + 70.6 sin 240° =?45.8MPa
cos2α?τ xy sin2α =
2
2
τα =
σ x?σ y
2
sin 2α + τ xy cos2α =
61.2? 0
sin 240°? 70.6 cos 240° = 8.8MPa
2
14
(2) A点的主应力大小及方向
A点单元体
σ x = 61.2MPa，τ xy =?70.6MPa
σ max? σ x + σ y
σ x?σ y?
2
+ τ xy
=
±?
σ min?
2
2?
2
108MPa
61.2 + 0
61.2? 0?
2
=
±?
+ 70.6 =?
2
2?
46.3MPa
2
2 × (? 70.6 )
tan 2α 0 =?
=?
= 2.31，α 0 = 33.3?
σ x?σ y
61.2? 0
2τ xy
σ 1 = 108MPa，σ 2 = 0，σ 3 =?46.3MPa
A点的主应力大小与方向如图
15
8.16 木质悬臂梁的横截面是高为200mm、宽为60mm的矩形。
在A点木材纤维与水平线的倾角为20°。试求通过A点沿纤维方向的斜面上的正应力和剪应力。
解 围绕A点取一单元体
σ x =σ y = 0
τ xy
FS 3 2 × 103
3
=
=×
= 0.25MPa
2 bh 2 200 × 60
α = 110
σα =
σ x + σ y σ x?σ y
2
+
2
cos2α?τ xy sin2α =?0.25 × sin 220° = 0.16MPa
τα =
σ x?σ y
2
sin 2α + τ xy cos 2α = 0.25 × cos 220° =?0.19MPa
16
