2009-7-26
1
线性代数第 10讲线性方程组
2009-7-26
2
3.4 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构
2009-7-26
3
对于以 m?n矩阵 A为系数矩阵的齐次线性方程组
AX=0 (3.15)
如果把 A按列分块为 A=[a1,a2,...,an],它就可以表示为向量等式
x1a1+x2a2+...+xnan=0 (3.16)
因此,(3.15)有非零解的充分必要条件是
a1,a2,...,an线性相关,
秩 (A)=秩 {a1,a2,...,an}<n.
定理 1 设 A是 m?n矩阵,则齐次线性方程组
AX=0有非零解的充要条件为 秩 (A)<n.
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4
设秩 (A)=r,则矩阵 A存在 r个线性无关的行向量,其余 m-r个行向量可由这 r个线性无关的行向量线性表示,因此,对 A作初等行变换可将其化为有 r个非零行的阶梯阵
2
2
11 2 1 1
2 2 2
0
00
0 0 0 0
r
r
r
i i n
iin
r i r n
c c c c
c c c
U
cc
2009-7-26
5
由 UX=0与 AX=0是同解方程组,以及 UX=0有非零解的充要条件为 r<n,就使本定理得证,
定理 1的等价命题是,齐次线性方程组 AX=0只有零解的充要条件是 秩 (A)=A的列数,
当 A为 n阶矩阵时,AX=0有非零解的充要条件还可以叙述为 |A|=0,AX=0只有零解的充要条件可以叙述为 |A|?0.
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6
例 1 设 A是 n阶矩阵,证明,存在 n?s矩阵 B?0,使得 AB=0的充要条件是 |A|=0.
证 将 B按列分块为 [B1,B2,...,Bs],则 AB=0等价于
ABj=0,j=1,2,...,s,
即 B的每一列都是齐次线性方程组 AX=0的解,
若 AB=0,B?0,则 AX=0有非零解,故 |A|=0; 反之,
若 |A|=0,取 AX=0的 s个非零解作为 B的 s个列,
则 B?0,但它使得 AB=0.
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7
定理 2 若 X1,X2是齐次线性方程组 AX=0的两个解,则 k1X1+k2X2(k1,k2为任意常数 )也是它的解,
证 因为 A(k1X1+k2X2)=k1AX1+k2AX2=
=k10+k20=0,故 k1X1+k2X2是 AX=0的解,
定理 2的结论显然对于有限多个解也成立,即若 X1,X2,...,Xr是齐次线性方程组 AX=0的 r个解,
则 k1X1+k2X2+...+krXr(k1,...,kr为任意常数 )也是
AX=0的解,
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8
定义 1 设 X1,X2,...,Xp是 AX=0的解向量,如果,
(1)X1,X2,...,Xp线性无关 ; (2) AX=0的任一个解向量可由 X1,X2,...,Xp线性表示,则称 X1,X2,...,Xp
是 AX=0的一个基础解系,
如果找到了 AX=0的基础解系 X1,X2,...,Xp,那末
k1X1+k2X2+...+kpXp对任意常数 k1,k2,...,kp作成的集合,就是 AX=0的全部解的解集合,
2009-7-26
9
例 2 求齐次线性方程组 AX=0的一般解,其系数矩阵为 1 2 1 1 1
2 4 3 1 1
1 2 1 3 3
0 0 2 5 2
A
- - -
-
解 对矩阵 A作初等行变换,将其化为行简化阶梯矩阵,
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10
21
3 1
32
42
1 2 1 1 1
2 4 3 1 1
1 2 1 3 3
0 0 2 5 2
1 2 1 1 1
0 0 1 1 1( 2)
0 0 2 4 2
0 0 2 5 2
1 2 1 1 1
0 0 1 1 1( 2)
( 2) 0 0 0 6 0
0 0 0 7 0
A
- - -
-
-- -
-
-
-- -
-
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11
1 2 1 1 1 1 2 1 1 1
0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
0 0 0 6 0 0 0 0 1 0
0 0 0 7 0 0 0 0 0 0
1 2 1 0 1 1 2 0 0 2
0 0 1 0 1 0 0 1 0 1
0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
U
- - - -
--
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12
UX=O即 1 2 5
35
4
2 2 0
0
0
x x x
xx
x
-
x2和 x5为自由变元,令 x2=k1,x5=k2,k1,k2
为任意常数,则 x1?-2k1-2k2,x3=k2,x4=0.
1 2 0 0 2
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
U
-
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13
将 x1?-2k1-2k2,x2=k1,x3=k2,x4=0,x5=k2,写成向量形式,
1 12
2 1
3 122
4
25
1 1 2 2
22 22
10
01
000
01
x kk
x k
xX k kk
x
kx
k X k X
-- --
其中 X1=[-2,1,0,0,0]T,X2=[-2,0,1,0,1]T构成基础解系,
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14
定理 3 设 A是 m?n矩阵,若秩 (A)=r<n,则齐次线性方程组 AX=0存在基础解系,且基础解系含
n-r个解向量,
证 先证存在 n-r个线性无关的解向量,按高斯消元法的步骤对 A作初等行变换,将 A化为行简化的阶梯阵 U,
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15
不失一般性,可设
1,1 1
2,1 2
,1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
rn
rn
r r r n
cc
cc
U cc
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16
UX=O,即 1 1,1 1 1
2 2,1 1 1
,1 1
0,
0,
( 3,1 7 )
0,
r r n n
r r n n
r r r r r n n
x c x c x
x c x c x
x c x c x
是 AX=O的同解方程组,取 xr+1,xr+2,...,xn
为自由未知量,将它们的下列 n-r组值,
1,0,0,...,0; 0,1,0,...,0;,..; 0,0,0,...,1分别代入上式可求得 n个解,
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1 1,1 1 1
2 2,1 1 1
,1 1
0,
0,
( 3,1 7 )
0,
r r n n
r r n n
r r r r r n n
x c x c x
x c x c x
x c x c x
X
1=[d11,d21,...,dr1,1,0,0,...,0]T,
X2=[d12,d22,...,dr2,0,1,0,...,0]T,
.................................
Xn-r=[d1,n-r,d2,n-r,...,dr,n-r,0,0,0,...,1]T.
显然,X1,X2,...,Xn-r是线性无关的,
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18
再证 AX=0的任一个解 X可由 X1,X2,...,Xn-r线性表示,则我们将任意给定的这个解表示为
X=[d1,d2,...,dr,k1,k2,...,kn-r]T.
我们要证明这个 X其实和
X*=k1X1+k2X2+...+kn-rXn-r
是相等的,即 X=X*,也就是要证明 X-X*=0,
当然,X-X*也是 AX=0的解,只要证明它是
AX=0的零解,也就证明了 X-X*=0,就证明了任给的一个解能够用 X1,X2,...,Xn-r线性表示,即
X1,X2,...,Xn-r确实是 AX=0的一个含有 n-r个解向量的基础解系,
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19
是相应于自由未知量 xr+1,xr+2,...,xn全取零时的
AX=O的解,确实是 AX=O的零解,
*
1 11 1 1 2 1
2 22 1 2 2 2
12
12
1
2
1 0 00
0 1 00
0 0 01
nr
nr
r r r rr n r
nr
r
XX
d dd d d
d dd d d
d d d dd
k k k
k
k
k
-
-
-
-
-
- - - -?
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20
3.5 非齐次线性方程组有解的条件及解的结构
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21
以 m?n矩阵 A为系数矩阵的非齐次线性方程组
AX=b (3.18)
可以表示为一个向量等式
x1a1+x2a2+...+xnan=b (3.19)
其中 a1,a2,...,an是 A的 n个列向量,因此,方程组
(3.18)是否有解的充要条件是 b可由 A的列向量组线性表示,从而秩 {a1,a2,...,an,b}=秩 {a1,a2,...,an},
即 r([A,b])=r(A).
于是有后面的定理,
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22
定理 1 对于非齐次线性方程组 AX=b,下列条件等价,
(i)AX=b有解 (或相容 );
(ii)b可由 A的列向量组线性表示 ;
(iii)增广矩阵 [A,b]的秩等于系数矩阵 A的秩,
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23
另一种证明,对 [A,b]作初等行变换化为阶梯阵,
1 1,1 1 1
,1
1
1
01
[,] 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
( 3.2 0)
r r n
r r r n r
r
c c c d
c c d
Cd d
则 CX=d与 AX=b是同解方程组,因此,
AX=b有解?dr+1=0?r([C,d])=r(C)
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24
AX=b有解?dr+1=0?r([C,d])=r(C)
但,r([C,d])=r([A,b]),r(C)=r(A),
故 AX=b有解? r([A,b])=r(A),即秩 {a1,a2,...,an,b}=秩 {a1,a2,...,an} (3.21)
其中 a1,a2,...,an是 A的向量组,显然,(3.21)式成立的充要条件是 b可由 a1,a2,...,an线性表示,不然的话,
秩 {a1,a2,...,an,b}=秩 {a1,a2,...,an}+1.
2009-7-26
25
推论 AX=b有唯一解的充要条件是
r([A,b])=r(A)=A的列数,(3.22)
这是因为,b可由 A的向量组 a1,a2,...,an线性表示,且表示法唯一的充要条件是 a1,a2,...,an线性无关,或者由 (3.20)式得
AX=b有唯一解?dr+1=0且 r=n?(3.22)式成立,
下面讨论非齐次线性方程组 AX=b的解的结构,
为此先讨论 AX=b的解的性质,
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26
定理 2 若 X1,X2是 AX=b的解,则 X1-X2是对应齐次方程组 AX=O的解,
证 因为 A(X1-X2)=AX1-AX2=b-b=O,故 X1-X2是
AX=O的解,
由此可进一步可得非齐次线性方程组的解的结构定理,
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27
定理 3 若 AX=b有解,则其一般解为
X=X0 +?X,
其中 X0是 AX=b的一个特解 (某一个解 );
X = k1X1+...+kpXp是 AX=O的一般解,
证 由于 A(X0 +?X)=A X0 + A?X=b,所以 X0 +?X
是 AX=b的解,设 X*是 AX=b的一个解,则 X*-X0
是 AX=O的解,而
X*=X0+(X*-X0)
因此 X*可以表示为 X0 +?X的形式,所以它是
AX=b的一般解,
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例 3 设非齐次线性方程组 AX=b的增广矩阵
1 1 1 0 0 0
1 1 1 1 2 1
[,]
2 2 0 1 2 1
5 5 3 4 8 4
Ab
- - -
--
- - -
解 先对增广矩阵作初等行变换变为行简化阶梯矩阵,
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21
3 1
14
1 1 1 0 0 0
1 1 1 1 2 1
[,]
2 2 0 1 2 1
5 5 3 4 8 4
1 1 1 0 0 0
( 1 )
0 0 2 1 2 1( 2)
( 5 ) 0 0 2 1 2 1
0 0 8 4 8 4
Ab
- - -
--
- - -
-
- - -
-
- - - -
- - -
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30
1 1 1 0 0 0
0 0 2 1 2 1
0 0 2 1 2 1
0 0 8 4 8 4
1 1 1 0 0 0
0 0 1 1 / 2 1 1 / 2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
- - -
- - -
- - -
-
2009-7-26
31
1 2 4 5
3 4 5
1 1 1 0 0 0
0 0 1 1 / 2 1 1 / 2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 1 0 1 / 2 1 1 / 2
0 0 1 1 / 2 1 1 / 2
[,]
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
11
22
11
22
U
x x x x
x x x
-
--
-
- -?
-
d
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32
令 x2=k1,x4=k2,x5=k3,k1,k2,k3为任意常数,
1 1 2 3
3 2 3
11
22
11
22
x k k k
x k k
-
- - -
将它们用向量形式表示,
1 2 4 5
3 4 5
11
22
11
22
x x x x
x x x
- -?
-
2009-7-26
33
1 2 3
1
2 1
3
23
4
2
5
3
1 2 3
11
22
11
22
1 / 2 1 1 / 2 1
0 1 0 0
1 / 2 0 1 / 2 1
0 0 1 0
0 0 0 1
k k k
x
x k
xX
kk
x
kx
k
k k k
-
- - -
-
- - -
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这是一般的解的形式,其中 X0是特解,X1,X2,X3
是 AX=0的基础解系,
1 2 3
0 1 1 2 2 3 3
1 / 2 1 1 / 2 1
0 1 0 0
1 / 2 0 1 / 2 1
0 0 1 0
0 0 0 1
X k k k
X k X k X k X
-
- - -
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35
可以验算
1 2 3
1 2 3 4 5
1 2 4 5
1 2 3 4 5
0
21
2 2 2 1
5 5 3 4 8 4
x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
- - -
- -?
- - -
1
2
3 1 2 3
4
5
1 / 2 1 1 / 2 1
0 1 0 0
1 / 2 0 1 / 2 1
0 0 1 0
0 0 0 1
x
x
xX k k k
x
x
-
- - -
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36
今天作业,第 148页开始
28,29题
1
线性代数第 10讲线性方程组
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2
3.4 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构
2009-7-26
3
对于以 m?n矩阵 A为系数矩阵的齐次线性方程组
AX=0 (3.15)
如果把 A按列分块为 A=[a1,a2,...,an],它就可以表示为向量等式
x1a1+x2a2+...+xnan=0 (3.16)
因此,(3.15)有非零解的充分必要条件是
a1,a2,...,an线性相关,
秩 (A)=秩 {a1,a2,...,an}<n.
定理 1 设 A是 m?n矩阵,则齐次线性方程组
AX=0有非零解的充要条件为 秩 (A)<n.
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4
设秩 (A)=r,则矩阵 A存在 r个线性无关的行向量,其余 m-r个行向量可由这 r个线性无关的行向量线性表示,因此,对 A作初等行变换可将其化为有 r个非零行的阶梯阵
2
2
11 2 1 1
2 2 2
0
00
0 0 0 0
r
r
r
i i n
iin
r i r n
c c c c
c c c
U
cc
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5
由 UX=0与 AX=0是同解方程组,以及 UX=0有非零解的充要条件为 r<n,就使本定理得证,
定理 1的等价命题是,齐次线性方程组 AX=0只有零解的充要条件是 秩 (A)=A的列数,
当 A为 n阶矩阵时,AX=0有非零解的充要条件还可以叙述为 |A|=0,AX=0只有零解的充要条件可以叙述为 |A|?0.
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6
例 1 设 A是 n阶矩阵,证明,存在 n?s矩阵 B?0,使得 AB=0的充要条件是 |A|=0.
证 将 B按列分块为 [B1,B2,...,Bs],则 AB=0等价于
ABj=0,j=1,2,...,s,
即 B的每一列都是齐次线性方程组 AX=0的解,
若 AB=0,B?0,则 AX=0有非零解,故 |A|=0; 反之,
若 |A|=0,取 AX=0的 s个非零解作为 B的 s个列,
则 B?0,但它使得 AB=0.
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定理 2 若 X1,X2是齐次线性方程组 AX=0的两个解,则 k1X1+k2X2(k1,k2为任意常数 )也是它的解,
证 因为 A(k1X1+k2X2)=k1AX1+k2AX2=
=k10+k20=0,故 k1X1+k2X2是 AX=0的解,
定理 2的结论显然对于有限多个解也成立,即若 X1,X2,...,Xr是齐次线性方程组 AX=0的 r个解,
则 k1X1+k2X2+...+krXr(k1,...,kr为任意常数 )也是
AX=0的解,
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定义 1 设 X1,X2,...,Xp是 AX=0的解向量,如果,
(1)X1,X2,...,Xp线性无关 ; (2) AX=0的任一个解向量可由 X1,X2,...,Xp线性表示,则称 X1,X2,...,Xp
是 AX=0的一个基础解系,
如果找到了 AX=0的基础解系 X1,X2,...,Xp,那末
k1X1+k2X2+...+kpXp对任意常数 k1,k2,...,kp作成的集合,就是 AX=0的全部解的解集合,
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9
例 2 求齐次线性方程组 AX=0的一般解,其系数矩阵为 1 2 1 1 1
2 4 3 1 1
1 2 1 3 3
0 0 2 5 2
A
- - -
-
解 对矩阵 A作初等行变换,将其化为行简化阶梯矩阵,
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10
21
3 1
32
42
1 2 1 1 1
2 4 3 1 1
1 2 1 3 3
0 0 2 5 2
1 2 1 1 1
0 0 1 1 1( 2)
0 0 2 4 2
0 0 2 5 2
1 2 1 1 1
0 0 1 1 1( 2)
( 2) 0 0 0 6 0
0 0 0 7 0
A
- - -
-
-- -
-
-
-- -
-
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11
1 2 1 1 1 1 2 1 1 1
0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
0 0 0 6 0 0 0 0 1 0
0 0 0 7 0 0 0 0 0 0
1 2 1 0 1 1 2 0 0 2
0 0 1 0 1 0 0 1 0 1
0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
U
- - - -
--
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12
UX=O即 1 2 5
35
4
2 2 0
0
0
x x x
xx
x
-
x2和 x5为自由变元,令 x2=k1,x5=k2,k1,k2
为任意常数,则 x1?-2k1-2k2,x3=k2,x4=0.
1 2 0 0 2
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
U
-
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将 x1?-2k1-2k2,x2=k1,x3=k2,x4=0,x5=k2,写成向量形式,
1 12
2 1
3 122
4
25
1 1 2 2
22 22
10
01
000
01
x kk
x k
xX k kk
x
kx
k X k X
-- --
其中 X1=[-2,1,0,0,0]T,X2=[-2,0,1,0,1]T构成基础解系,
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14
定理 3 设 A是 m?n矩阵,若秩 (A)=r<n,则齐次线性方程组 AX=0存在基础解系,且基础解系含
n-r个解向量,
证 先证存在 n-r个线性无关的解向量,按高斯消元法的步骤对 A作初等行变换,将 A化为行简化的阶梯阵 U,
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15
不失一般性,可设
1,1 1
2,1 2
,1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
rn
rn
r r r n
cc
cc
U cc
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16
UX=O,即 1 1,1 1 1
2 2,1 1 1
,1 1
0,
0,
( 3,1 7 )
0,
r r n n
r r n n
r r r r r n n
x c x c x
x c x c x
x c x c x
是 AX=O的同解方程组,取 xr+1,xr+2,...,xn
为自由未知量,将它们的下列 n-r组值,
1,0,0,...,0; 0,1,0,...,0;,..; 0,0,0,...,1分别代入上式可求得 n个解,
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1 1,1 1 1
2 2,1 1 1
,1 1
0,
0,
( 3,1 7 )
0,
r r n n
r r n n
r r r r r n n
x c x c x
x c x c x
x c x c x
X
1=[d11,d21,...,dr1,1,0,0,...,0]T,
X2=[d12,d22,...,dr2,0,1,0,...,0]T,
.................................
Xn-r=[d1,n-r,d2,n-r,...,dr,n-r,0,0,0,...,1]T.
显然,X1,X2,...,Xn-r是线性无关的,
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再证 AX=0的任一个解 X可由 X1,X2,...,Xn-r线性表示,则我们将任意给定的这个解表示为
X=[d1,d2,...,dr,k1,k2,...,kn-r]T.
我们要证明这个 X其实和
X*=k1X1+k2X2+...+kn-rXn-r
是相等的,即 X=X*,也就是要证明 X-X*=0,
当然,X-X*也是 AX=0的解,只要证明它是
AX=0的零解,也就证明了 X-X*=0,就证明了任给的一个解能够用 X1,X2,...,Xn-r线性表示,即
X1,X2,...,Xn-r确实是 AX=0的一个含有 n-r个解向量的基础解系,
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是相应于自由未知量 xr+1,xr+2,...,xn全取零时的
AX=O的解,确实是 AX=O的零解,
*
1 11 1 1 2 1
2 22 1 2 2 2
12
12
1
2
1 0 00
0 1 00
0 0 01
nr
nr
r r r rr n r
nr
r
XX
d dd d d
d dd d d
d d d dd
k k k
k
k
k
-
-
-
-
-
- - - -?
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20
3.5 非齐次线性方程组有解的条件及解的结构
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以 m?n矩阵 A为系数矩阵的非齐次线性方程组
AX=b (3.18)
可以表示为一个向量等式
x1a1+x2a2+...+xnan=b (3.19)
其中 a1,a2,...,an是 A的 n个列向量,因此,方程组
(3.18)是否有解的充要条件是 b可由 A的列向量组线性表示,从而秩 {a1,a2,...,an,b}=秩 {a1,a2,...,an},
即 r([A,b])=r(A).
于是有后面的定理,
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定理 1 对于非齐次线性方程组 AX=b,下列条件等价,
(i)AX=b有解 (或相容 );
(ii)b可由 A的列向量组线性表示 ;
(iii)增广矩阵 [A,b]的秩等于系数矩阵 A的秩,
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另一种证明,对 [A,b]作初等行变换化为阶梯阵,
1 1,1 1 1
,1
1
1
01
[,] 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
( 3.2 0)
r r n
r r r n r
r
c c c d
c c d
Cd d
则 CX=d与 AX=b是同解方程组,因此,
AX=b有解?dr+1=0?r([C,d])=r(C)
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AX=b有解?dr+1=0?r([C,d])=r(C)
但,r([C,d])=r([A,b]),r(C)=r(A),
故 AX=b有解? r([A,b])=r(A),即秩 {a1,a2,...,an,b}=秩 {a1,a2,...,an} (3.21)
其中 a1,a2,...,an是 A的向量组,显然,(3.21)式成立的充要条件是 b可由 a1,a2,...,an线性表示,不然的话,
秩 {a1,a2,...,an,b}=秩 {a1,a2,...,an}+1.
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推论 AX=b有唯一解的充要条件是
r([A,b])=r(A)=A的列数,(3.22)
这是因为,b可由 A的向量组 a1,a2,...,an线性表示,且表示法唯一的充要条件是 a1,a2,...,an线性无关,或者由 (3.20)式得
AX=b有唯一解?dr+1=0且 r=n?(3.22)式成立,
下面讨论非齐次线性方程组 AX=b的解的结构,
为此先讨论 AX=b的解的性质,
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定理 2 若 X1,X2是 AX=b的解,则 X1-X2是对应齐次方程组 AX=O的解,
证 因为 A(X1-X2)=AX1-AX2=b-b=O,故 X1-X2是
AX=O的解,
由此可进一步可得非齐次线性方程组的解的结构定理,
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定理 3 若 AX=b有解,则其一般解为
X=X0 +?X,
其中 X0是 AX=b的一个特解 (某一个解 );
X = k1X1+...+kpXp是 AX=O的一般解,
证 由于 A(X0 +?X)=A X0 + A?X=b,所以 X0 +?X
是 AX=b的解,设 X*是 AX=b的一个解,则 X*-X0
是 AX=O的解,而
X*=X0+(X*-X0)
因此 X*可以表示为 X0 +?X的形式,所以它是
AX=b的一般解,
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例 3 设非齐次线性方程组 AX=b的增广矩阵
1 1 1 0 0 0
1 1 1 1 2 1
[,]
2 2 0 1 2 1
5 5 3 4 8 4
Ab
- - -
--
- - -
解 先对增广矩阵作初等行变换变为行简化阶梯矩阵,
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21
3 1
14
1 1 1 0 0 0
1 1 1 1 2 1
[,]
2 2 0 1 2 1
5 5 3 4 8 4
1 1 1 0 0 0
( 1 )
0 0 2 1 2 1( 2)
( 5 ) 0 0 2 1 2 1
0 0 8 4 8 4
Ab
- - -
--
- - -
-
- - -
-
- - - -
- - -
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1 1 1 0 0 0
0 0 2 1 2 1
0 0 2 1 2 1
0 0 8 4 8 4
1 1 1 0 0 0
0 0 1 1 / 2 1 1 / 2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
- - -
- - -
- - -
-
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31
1 2 4 5
3 4 5
1 1 1 0 0 0
0 0 1 1 / 2 1 1 / 2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 1 0 1 / 2 1 1 / 2
0 0 1 1 / 2 1 1 / 2
[,]
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
11
22
11
22
U
x x x x
x x x
-
--
-
- -?
-
d
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令 x2=k1,x4=k2,x5=k3,k1,k2,k3为任意常数,
1 1 2 3
3 2 3
11
22
11
22
x k k k
x k k
-
- - -
将它们用向量形式表示,
1 2 4 5
3 4 5
11
22
11
22
x x x x
x x x
- -?
-
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1 2 3
1
2 1
3
23
4
2
5
3
1 2 3
11
22
11
22
1 / 2 1 1 / 2 1
0 1 0 0
1 / 2 0 1 / 2 1
0 0 1 0
0 0 0 1
k k k
x
x k
xX
kk
x
kx
k
k k k
-
- - -
-
- - -
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这是一般的解的形式,其中 X0是特解,X1,X2,X3
是 AX=0的基础解系,
1 2 3
0 1 1 2 2 3 3
1 / 2 1 1 / 2 1
0 1 0 0
1 / 2 0 1 / 2 1
0 0 1 0
0 0 0 1
X k k k
X k X k X k X
-
- - -
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可以验算
1 2 3
1 2 3 4 5
1 2 4 5
1 2 3 4 5
0
21
2 2 2 1
5 5 3 4 8 4
x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
- - -
- -?
- - -
1
2
3 1 2 3
4
5
1 / 2 1 1 / 2 1
0 1 0 0
1 / 2 0 1 / 2 1
0 0 1 0
0 0 0 1
x
x
xX k k k
x
x
-
- - -
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今天作业,第 148页开始
28,29题
