2009-7-26
1
线性代数第 4讲
2.2 矩阵的加法 数量乘法乘法
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2
定义 1 如果两个矩阵 A=[aij]和 B=[bij]的行数和列数分别相等,且各对应元素也相等,即 aij=bij
(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n),就称 A和 B相等,记作
A=B.
例如由
1 8 3 1
0 4 0 2 4
xz
y
立即可得 x=3,y=2,z8.
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3
应注意矩阵与行列式的本质区别,行列式是一个算式,一个数字行列式经过计算可求得其值,
而矩阵是一个数表,它的行数和列数也可以不同,对于 n阶方阵,虽然有时也要算它的行列式,
记作 |A|或 det A,但是方阵 A和方阵 A的行列式是不同的概念,
当 det A=0(此时 A不一定是零矩阵 )时,称 A为 奇异矩阵 ;
当 det A?0时,称 A为 非奇异矩阵,
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4
2.2.1 矩阵的加法定义 2 设 A=[aij]和 B=[bij]是两个 m?n矩阵,规定 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
[]
( 2.1 2)
nn
nn
ij ij
m m m m m n m n
a b a b a b
a b a b a b
A B a b
a b a b a b
并称 A+B为 A与 B之和,
只有行数与列数都相同的矩阵 (即同型矩阵 )才能相加,且同型矩阵之和仍是同型矩阵,
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5
矩阵的加法满足规律,
(i)交换律,A+B=B+A;
(ii)结合律,(A+B)+C=A+(B+C);
(iii)零矩阵满足,A+0=A,其中 0与 A同型 ;
(iv)存在矩阵 (?A)满足 A+(?A)=0,如 A=[aij]m?n
11 12 1
21 22 2
12
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
称 (?A)为 A的 负矩阵,
还可定义矩阵的减法 A?B=A+(?B)
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6
2.2.2 矩阵的数量乘法 (简称数乘 )
定义 3 设 k是数域 F中的任意一个数,A=[aij]是一个 m?n矩阵,规定
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
[ ],( 2.13 )
n
n
ij
m m m n
k a k a k a
k a k a k a
k A k a
k a k a k a
并称这个矩阵为 k与 A的 数量乘积,
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7
注意,数 k乘一个矩阵 A,需要把数 k乘矩阵 A的每一个元素,这与行列式的性质一个数乘行列式等于这个数乘行列式的一行或者一列,是不同的,
矩阵的数量乘法满足规律,
(i) 1A=A;
(ii) (kl)A=k(lA);
(iii) (k+l)A=kA+lA;
(iv) k(A+B)=kA+kB;
其中 1,k,l是数域 F中的数,
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8
2.2.3 矩阵的乘法定义 4 设 A是一个 m?n矩阵,B是一个 n?s矩阵
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
1 2 1 2
,
nn
nn
m m m n m m m n
a a a b b b
a a a b b b
AB
a a a b b b
1 1 2 2
1
,( 2,1 4 )
n
i j i j i j i n n j i k k j
k
c a b a b a b a b
则 A与 B之 乘积 AB(记作 C=[cij])是一个
m?s矩阵,且
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9
根据矩阵乘法定义,可把 AB=C形象地表示成其中矩阵 C的第 i行第 j列元素 cij,是 A的第 i行 n个元素与 B的第 j列相应的 n个元素分别相乘的乘积之和,
m
行
n列
s列
n
行 =
s列
m
行A B C
第 i行第 j列
cij
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10
例 1 设
04
1 0 1 2
12
1 1 3 0,
32
0 5 7 6
11
AB
10
80
10 10
AB
则注意 BA没有意义 (不可乘 ).
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11
例 2 设 A,B分别是 n?1和 1?n矩阵,且
1
2
12
,[,,,],
n
n
a
a
A B b b b
a
计算 AB和 BA.
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12
解
1 1 1 1 2 1
2 2 1 2 2 2
12
12
1
2
1 2 1 1 2 2
[,,,]
[,,,]
n
n
n
n n n n n
n n n
n
a a b a b a b
a a b a b a b
A B b b b
a a b a b a b
a
a
B A b b b b a b a b a
a
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13
例 3 设
,
a a b b
AB
a a b b
0 0 2 2
,
0 0 2 2
a b a b
A B B A
a b a b
则如 AB=0,称 A是 B的左零因子,B是 A的右零因子,一个非零矩阵如果有左 (右 )零因子,
其左 (右 )零因子不唯一,
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14
例如对于
b b c c
BC
b b c c
和都是 A的右零因子,即 AB=AC=0.
因此一般情况下,当 AB=AC时,不能消去 A,而得到 B=C,这说明矩阵乘法不适合消去律,
11
11
A
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15
矩阵乘法满足下列运算律,
(i) 结合律 (AB)C=A(BC);
(ii) 数乘结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB),其中 k是数 ;
(iii) 左分配律 A(B+C)=AB+AC;
右分配律 (B+C)A=BA+CA.
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定义 5 主对角元全为 1,其余元素全为零的 n阶矩阵,称为 n阶 单位矩阵,记作 In或 I; 主对角元全为非零常数 k,其余元素全为零的 n阶矩阵,
称为 n阶 数量矩阵,记作 kIn或 kI,即
1
1
,( 0).
1
nn
n n n n
k
k
I k I k
k
ImAm?n=Am?n,Am?nIn=Am?n.
(kI)A=k(IA)=kA; A(kI)=k(AI)=kA,
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定义 6 非主对角元皆为零的 n阶矩阵称为 n阶对角矩阵 (简称 对角阵 ),记作 A,即
1
2
12
di a g(,,,)
n
n
a
a
A a a a
a
1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1
2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2
1 2 1 2
nn
n n n n n n n n n n n n
a b b b a b a b a b
a b b b a b a b a b
a b b b a b a b a b
显然有
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1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1
2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
n n n
n n n
n n n n n n n n n n
n n n n
b b b a a b a b a b
b b b a a b a b a b
b b b a a b a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
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定义 7 n阶矩阵 A=[aij]m?n,当 i>j时,aij=0,
(j=1,2,...,n?1)的矩阵称为 上三角矩阵 ; 当 i<j时,
aij=0(j=2,3,...,n)的矩阵称为 下三角矩阵,
易证两个上三角矩阵的乘积还是上三角矩阵,
两个下三角矩阵的乘积还是下三角矩阵,
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线性方程组
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
,
,
( 2,15 )
.
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
12
n
n
m m m n n m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
可用矩阵乘法表示为
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21
记 11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
12
,,
( 2.1 6)
n
n
m m m n n m
a a a x b
a a a x b
A X b
a a a x b
则线性方程组 (2.15)可简洁地表示成
AX=b (2.17)
并称矩阵 A为线性方程组的系数矩阵,
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22
定理 设 A,B是两个 n阶矩阵,则乘积 AB的行列式等于 A和 B的行列式的乘积,即
|AB|=|A||B|
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例 5 设
a b c d
b a d c
A
c d a b
d c b a
计算 (det A)2和 det A
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解
T
a b c d
b a d c
A
c d a b
d c b a
因 |AT|=|A|,|A|2=|A||AT|=|AAT|
=det((a2+b2+c2+d2)I)=(a2+b2+c2+d2)4.
因此 |A|=?(a2+b2+c2+d2)2.
但 A的主对角元全是 a,行列式 |A|中的 a4项的符号为 "+",故 |A|=(a2+b2+c2+d2)2
a b c d
b a d c
A
c d a b
d c b a
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例 6 设
1 1 1 2 1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 1 2 2 2 2*
1 2 1 2
,
nn
nn
n n n n n n n n
a a a A A A
a a a A A A
AA
a a a A A A
其中 Aij是行列式 |A|中元素 aij的代数余子式,
A*称作 A的伴随矩阵,
证明 当 |A|?0时,|A*|=|A|n?1.
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26
证 设 AA*=C=[cij],其中
*
||
||
| |,( 2,1 9 )
||
||
n
A
A
A A A I
A
A
于是
.,,2,1,
,0
|,|
2211
nji
ij
ijA
AaAaAac
jninjijiij
当当因此 |A||A*|=|AA*|=|A|n,因 |A|?0,则 |A*|=|A|n?1
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定义 8 设 A是 n阶矩阵,k个 A的连乘积称为 A的
k次幂,记作 Ak,即
个k
k AAAA?
由定义可以证明 ; 当 m,k为正整数时,
AmAk=Am+k,(2.20)
(Am)k=Amk,(2.21)
但是要注意,当 AB不可交换时,
(AB)k?AkBk.
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定义 9 设 f(x)=akxk+ak?1xk?1+...+a1x+a0是 x的 k次多项式,A是 n阶矩阵,则
f(A)=akAk+ak?1Ak?1+...+a1A+a0I,
称为矩阵 A的 k次多项式 (注意常数项为 a0I).
由定义容易证明,若 f(x),g(x)为多项式,A,B是 n
阶矩阵,则 f(A)g(A)=g(A)f(A)
例如 (A+3I)(2A?I)=(2A?I)(A+3I)=2A2+5A+3I.
(A+lI)k=
=Ak+Ck1lAk?1+Ck2l2Ak?2+...+Ckk?1lk?1A+lkI
其中 l为常数,
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29
但一般情况下 f(A)g(B)?g(B)f(A)
例如当 AB不可交换时,
(A+B)2?A2+2AB+B2
(A+B)(A?B)?(A?B)(A+B)?A2?B2.
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30
2.3 矩阵的转置 对称矩阵
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31
定义 1 把一个 m?n矩阵 11 12 1
21 22 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
11 21 1
12 22 2
12
m
mT
n n mn
a a a
a a a
A
a a a
的行列互换得到的一个 n?m矩阵,称之为 A
的转置矩阵,记作 A'或 AT,即
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32
矩阵的转置运算满足以下运算规律,
(i) (AT)T=A;
(ii) (A+B)T=AT+BT;
(iii) (kA)T=kAT (k是数 );
(iv) (AB)T=BTAT
(A1A2...Ak)T=AkT...A2TA1T.
),,2,1;,,2,1(
][,][,
njmiaa
aAaA
ij
T
ji
mn
T
ji
T
nmij
则如果记由定义可知
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定义 2 设是一个 n阶矩阵,如果 aij=aji(i,j=1,2,...,n),
则称 A为对称矩阵 ; 如果 aij
aji(i,j=1,2,...,n),则称 A为反对称矩阵,
反对称矩阵 A,由于 aiiaii(i=1,2,...,n)所以其主对角元 aii全为零,
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
A
a a a
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34
A为对称阵的充要条件是 AT=A;
A为反对称阵的充要条件是 ATA.
必须注意,对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵,
例 1 设 B是一个 m?n矩阵,则 BTB和 BBT都是对称矩阵,因为 BTB是 n阶矩阵,且
(BTB)T=BT(BT)T=BTB.
同理 BBT是 m阶对称矩阵,
例 2 设 A是 n阶反对称矩阵,B是 n阶对称矩阵,
则 AB+BA是反对称矩阵,这是因为
(AB+BA)T=(AB)T+(BA)T=BTAT+ATBT
=B(?A)+(?A)B=?(AB+BA)
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今天作业,第 93页开始 习题第 9,10,11,12,13,14,16题
1
线性代数第 4讲
2.2 矩阵的加法 数量乘法乘法
2009-7-26
2
定义 1 如果两个矩阵 A=[aij]和 B=[bij]的行数和列数分别相等,且各对应元素也相等,即 aij=bij
(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n),就称 A和 B相等,记作
A=B.
例如由
1 8 3 1
0 4 0 2 4
xz
y
立即可得 x=3,y=2,z8.
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3
应注意矩阵与行列式的本质区别,行列式是一个算式,一个数字行列式经过计算可求得其值,
而矩阵是一个数表,它的行数和列数也可以不同,对于 n阶方阵,虽然有时也要算它的行列式,
记作 |A|或 det A,但是方阵 A和方阵 A的行列式是不同的概念,
当 det A=0(此时 A不一定是零矩阵 )时,称 A为 奇异矩阵 ;
当 det A?0时,称 A为 非奇异矩阵,
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2.2.1 矩阵的加法定义 2 设 A=[aij]和 B=[bij]是两个 m?n矩阵,规定 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
[]
( 2.1 2)
nn
nn
ij ij
m m m m m n m n
a b a b a b
a b a b a b
A B a b
a b a b a b
并称 A+B为 A与 B之和,
只有行数与列数都相同的矩阵 (即同型矩阵 )才能相加,且同型矩阵之和仍是同型矩阵,
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5
矩阵的加法满足规律,
(i)交换律,A+B=B+A;
(ii)结合律,(A+B)+C=A+(B+C);
(iii)零矩阵满足,A+0=A,其中 0与 A同型 ;
(iv)存在矩阵 (?A)满足 A+(?A)=0,如 A=[aij]m?n
11 12 1
21 22 2
12
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
称 (?A)为 A的 负矩阵,
还可定义矩阵的减法 A?B=A+(?B)
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6
2.2.2 矩阵的数量乘法 (简称数乘 )
定义 3 设 k是数域 F中的任意一个数,A=[aij]是一个 m?n矩阵,规定
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
[ ],( 2.13 )
n
n
ij
m m m n
k a k a k a
k a k a k a
k A k a
k a k a k a
并称这个矩阵为 k与 A的 数量乘积,
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注意,数 k乘一个矩阵 A,需要把数 k乘矩阵 A的每一个元素,这与行列式的性质一个数乘行列式等于这个数乘行列式的一行或者一列,是不同的,
矩阵的数量乘法满足规律,
(i) 1A=A;
(ii) (kl)A=k(lA);
(iii) (k+l)A=kA+lA;
(iv) k(A+B)=kA+kB;
其中 1,k,l是数域 F中的数,
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2.2.3 矩阵的乘法定义 4 设 A是一个 m?n矩阵,B是一个 n?s矩阵
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
1 2 1 2
,
nn
nn
m m m n m m m n
a a a b b b
a a a b b b
AB
a a a b b b
1 1 2 2
1
,( 2,1 4 )
n
i j i j i j i n n j i k k j
k
c a b a b a b a b
则 A与 B之 乘积 AB(记作 C=[cij])是一个
m?s矩阵,且
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9
根据矩阵乘法定义,可把 AB=C形象地表示成其中矩阵 C的第 i行第 j列元素 cij,是 A的第 i行 n个元素与 B的第 j列相应的 n个元素分别相乘的乘积之和,
m
行
n列
s列
n
行 =
s列
m
行A B C
第 i行第 j列
cij
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10
例 1 设
04
1 0 1 2
12
1 1 3 0,
32
0 5 7 6
11
AB
10
80
10 10
AB
则注意 BA没有意义 (不可乘 ).
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11
例 2 设 A,B分别是 n?1和 1?n矩阵,且
1
2
12
,[,,,],
n
n
a
a
A B b b b
a
计算 AB和 BA.
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12
解
1 1 1 1 2 1
2 2 1 2 2 2
12
12
1
2
1 2 1 1 2 2
[,,,]
[,,,]
n
n
n
n n n n n
n n n
n
a a b a b a b
a a b a b a b
A B b b b
a a b a b a b
a
a
B A b b b b a b a b a
a
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13
例 3 设
,
a a b b
AB
a a b b
0 0 2 2
,
0 0 2 2
a b a b
A B B A
a b a b
则如 AB=0,称 A是 B的左零因子,B是 A的右零因子,一个非零矩阵如果有左 (右 )零因子,
其左 (右 )零因子不唯一,
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14
例如对于
b b c c
BC
b b c c
和都是 A的右零因子,即 AB=AC=0.
因此一般情况下,当 AB=AC时,不能消去 A,而得到 B=C,这说明矩阵乘法不适合消去律,
11
11
A
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15
矩阵乘法满足下列运算律,
(i) 结合律 (AB)C=A(BC);
(ii) 数乘结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB),其中 k是数 ;
(iii) 左分配律 A(B+C)=AB+AC;
右分配律 (B+C)A=BA+CA.
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16
定义 5 主对角元全为 1,其余元素全为零的 n阶矩阵,称为 n阶 单位矩阵,记作 In或 I; 主对角元全为非零常数 k,其余元素全为零的 n阶矩阵,
称为 n阶 数量矩阵,记作 kIn或 kI,即
1
1
,( 0).
1
nn
n n n n
k
k
I k I k
k
ImAm?n=Am?n,Am?nIn=Am?n.
(kI)A=k(IA)=kA; A(kI)=k(AI)=kA,
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定义 6 非主对角元皆为零的 n阶矩阵称为 n阶对角矩阵 (简称 对角阵 ),记作 A,即
1
2
12
di a g(,,,)
n
n
a
a
A a a a
a
1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1
2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2
1 2 1 2
nn
n n n n n n n n n n n n
a b b b a b a b a b
a b b b a b a b a b
a b b b a b a b a b
显然有
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1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1
2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
n n n
n n n
n n n n n n n n n n
n n n n
b b b a a b a b a b
b b b a a b a b a b
b b b a a b a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
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定义 7 n阶矩阵 A=[aij]m?n,当 i>j时,aij=0,
(j=1,2,...,n?1)的矩阵称为 上三角矩阵 ; 当 i<j时,
aij=0(j=2,3,...,n)的矩阵称为 下三角矩阵,
易证两个上三角矩阵的乘积还是上三角矩阵,
两个下三角矩阵的乘积还是下三角矩阵,
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20
线性方程组
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
,
,
( 2,15 )
.
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
12
n
n
m m m n n m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
可用矩阵乘法表示为
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记 11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
12
,,
( 2.1 6)
n
n
m m m n n m
a a a x b
a a a x b
A X b
a a a x b
则线性方程组 (2.15)可简洁地表示成
AX=b (2.17)
并称矩阵 A为线性方程组的系数矩阵,
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定理 设 A,B是两个 n阶矩阵,则乘积 AB的行列式等于 A和 B的行列式的乘积,即
|AB|=|A||B|
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例 5 设
a b c d
b a d c
A
c d a b
d c b a
计算 (det A)2和 det A
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解
T
a b c d
b a d c
A
c d a b
d c b a
因 |AT|=|A|,|A|2=|A||AT|=|AAT|
=det((a2+b2+c2+d2)I)=(a2+b2+c2+d2)4.
因此 |A|=?(a2+b2+c2+d2)2.
但 A的主对角元全是 a,行列式 |A|中的 a4项的符号为 "+",故 |A|=(a2+b2+c2+d2)2
a b c d
b a d c
A
c d a b
d c b a
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例 6 设
1 1 1 2 1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 1 2 2 2 2*
1 2 1 2
,
nn
nn
n n n n n n n n
a a a A A A
a a a A A A
AA
a a a A A A
其中 Aij是行列式 |A|中元素 aij的代数余子式,
A*称作 A的伴随矩阵,
证明 当 |A|?0时,|A*|=|A|n?1.
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证 设 AA*=C=[cij],其中
*
||
||
| |,( 2,1 9 )
||
||
n
A
A
A A A I
A
A
于是
.,,2,1,
,0
|,|
2211
nji
ij
ijA
AaAaAac
jninjijiij
当当因此 |A||A*|=|AA*|=|A|n,因 |A|?0,则 |A*|=|A|n?1
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定义 8 设 A是 n阶矩阵,k个 A的连乘积称为 A的
k次幂,记作 Ak,即
个k
k AAAA?
由定义可以证明 ; 当 m,k为正整数时,
AmAk=Am+k,(2.20)
(Am)k=Amk,(2.21)
但是要注意,当 AB不可交换时,
(AB)k?AkBk.
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定义 9 设 f(x)=akxk+ak?1xk?1+...+a1x+a0是 x的 k次多项式,A是 n阶矩阵,则
f(A)=akAk+ak?1Ak?1+...+a1A+a0I,
称为矩阵 A的 k次多项式 (注意常数项为 a0I).
由定义容易证明,若 f(x),g(x)为多项式,A,B是 n
阶矩阵,则 f(A)g(A)=g(A)f(A)
例如 (A+3I)(2A?I)=(2A?I)(A+3I)=2A2+5A+3I.
(A+lI)k=
=Ak+Ck1lAk?1+Ck2l2Ak?2+...+Ckk?1lk?1A+lkI
其中 l为常数,
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但一般情况下 f(A)g(B)?g(B)f(A)
例如当 AB不可交换时,
(A+B)2?A2+2AB+B2
(A+B)(A?B)?(A?B)(A+B)?A2?B2.
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2.3 矩阵的转置 对称矩阵
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定义 1 把一个 m?n矩阵 11 12 1
21 22 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
11 21 1
12 22 2
12
m
mT
n n mn
a a a
a a a
A
a a a
的行列互换得到的一个 n?m矩阵,称之为 A
的转置矩阵,记作 A'或 AT,即
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矩阵的转置运算满足以下运算规律,
(i) (AT)T=A;
(ii) (A+B)T=AT+BT;
(iii) (kA)T=kAT (k是数 );
(iv) (AB)T=BTAT
(A1A2...Ak)T=AkT...A2TA1T.
),,2,1;,,2,1(
][,][,
njmiaa
aAaA
ij
T
ji
mn
T
ji
T
nmij
则如果记由定义可知
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定义 2 设是一个 n阶矩阵,如果 aij=aji(i,j=1,2,...,n),
则称 A为对称矩阵 ; 如果 aij
aji(i,j=1,2,...,n),则称 A为反对称矩阵,
反对称矩阵 A,由于 aiiaii(i=1,2,...,n)所以其主对角元 aii全为零,
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
A
a a a
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A为对称阵的充要条件是 AT=A;
A为反对称阵的充要条件是 ATA.
必须注意,对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵,
例 1 设 B是一个 m?n矩阵,则 BTB和 BBT都是对称矩阵,因为 BTB是 n阶矩阵,且
(BTB)T=BT(BT)T=BTB.
同理 BBT是 m阶对称矩阵,
例 2 设 A是 n阶反对称矩阵,B是 n阶对称矩阵,
则 AB+BA是反对称矩阵,这是因为
(AB+BA)T=(AB)T+(BA)T=BTAT+ATBT
=B(?A)+(?A)B=?(AB+BA)
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今天作业,第 93页开始 习题第 9,10,11,12,13,14,16题
