2009-7-26
1
线性代数第 7讲分块矩阵
2009-7-26
2
把一个 5阶矩阵
2 1 1 0 1
1 2 2 3 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
A
用水平和垂直的虚线分成 4块,
12
0 0 1 0 0
2 1 1 0 1
,,0 0,0 1 0
1 2 2 2 0
0 0 0 0 1
A A O I
12
1
AA
OI
2009-7-26
3
把一个 m?n矩阵 A,在行的方向上分成 s块,在列的方向分成 t块,称为 A的 s?t分块矩阵,记作
A=[Akl]s?t,其中 Akt(k=1,2,...,s,l=1,2,...,t)称为 A的子块,它们是各种类型的小矩阵,
常用的分块矩阵,除了上面的 4块矩阵,还有以下几种形式,
2009-7-26
4
按行分块
11 12 1 1
21 22 2 2
12
12
,
[ ] 1,2,,.
n
n
m m m n m
i i i in
a a a A
a a a A
A
a a a A
A a a a i m
2009-7-26
5
按列分块
11 12 1
21 22 2
12
12
1
2
[,,,]
,1,2,,.
s
s
s
n n ns
j
j
j
nj
b b b
b b b
B B B B
b b b
b
b
B j s
b
2009-7-26
6
当 n阶矩阵 C中非零元素都集中在主对角线附近,有时可以分块成 对角块矩阵 (准对角矩阵 )
1
2
,
n
C O O
O C O
C
O O C
其中 Ci是 ri阶方阵 (i=1,2,...,m; r1+r2+...+rm=n)
2009-7-26
7
例如
1
2
3
1 2 3
0 1 0 0 0 0
1 2 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0
0 0 1 1 2 0
0 0 0 2 2 0
0 0 0 0 0 3
1 1 0
01
,1 1 2,3,
12
0 2 2
B
BB
B
B B B
2009-7-26
8
下面讨论分块矩阵的运算
1,分块矩阵的加法设分块矩阵 A=[Akl]s?t,B=[Bkl]s?t,如果 A与 B对应的子块 Akl和 Bkl都是同型矩阵,则
A+B=[Akl+Bkl]s?t
例如
1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2
2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2
A A B B A B A B
A A B B A B A B
其中 A11与 B11,A12与 B12,A21与 B21,A22与
B22分别都是同型小矩阵 (子块 ).
2009-7-26
9
2,分块矩阵的数量乘法设分块矩阵 A=[Akl]s?t,h是一个数,则
hA=[hAkl]s?t.
2009-7-26
10
3,分块矩阵的乘法设 A是 m?n矩阵,B是 n?p矩阵,如 A分块为 r?s分块矩阵 [Akl]r?s,B分块为 s?t分块矩阵 [Bkl]s?t,且
A的列的分块法和 B的行的分块法完全相同,
则
2009-7-26
11
可以证明 (但略去 ),用分块乘法求得的 AB与不分块作乘法求得的 AB是相等的,
12
11 12 111 12 1
1
21 22 221 22 2
2
1212
1
[ ],
( 1,2,,; 1,2,,)
s
ts
ts
s s s tr r r s
s
k l r t
s
k l k i il
i
j j j
B B BA A A j
B B BA A A j
AB
B B BA A A j
CC
C A B k r l t
列 列 列行行行
2009-7-26
12
例 1 将下列 5阶矩阵 A,B分成 4块阵,并用分块矩阵的乘法计算 AB.
1 0 0 0 0 3 2 0 1 0
0 1 0 0 0 1 3 0 0 1
,1 2 1 0 0 1 0 0 0 0
1 1 0 1 0 0 1 0 0 0
2 0 0 0 1 0 0 1 0 0
AB
2009-7-26
13
解 由观察,可将 A分成如下 4块阵
2 2 3
13
1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
,1 2 1 0 0
1 1 0 1 0
2 0 0 0 1
12
11
20
IO
A
AI
A
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14
将 B分块为
12
2 3 2
1
3 2 0 1 0
1 3 0 0 1
,1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
3 2 0
130
BI
B
IO
B
2009-7-26
15
则
146
044
042
100
010
001
031
023
02
11
21
,
311
1311
21
3
21
31
2
IBA
AIBA
IB
OI
IB
IA
OI
AB
其中
2009-7-26
16
故
3 2 0 1 0
1 3 0 0 1
2 4 0 1 2
4 4 0 1 1
6 4 1 2 0
AB
2009-7-26
17
例 2 设 A是 m?n矩阵,B是 n?s矩阵,B按列分块成 1?s分块矩阵,将 A看成 1?1分块矩阵,则
AB=A[B1,B2,...,Bs]=[AB1,AB2,...,ABs].
若已知 AB=0,则显然有 ABi=0,i=1,2,...,n,因此,
B的每一列都是线性方程组 Ax=0的解,
2009-7-26
18
例 3 若 n阶矩阵 C,D可以分块成同型对角块矩阵,即 11
22
,,
mm
CD
CD
CD
CD
11
22
mm
CD
CD
CD
CD
其中 Ci和 Di是同阶方阵 (i=1,2,...,m),则
2009-7-26
19
例 4 证明,若 n阶上三角矩阵 A可逆,则其逆 A?1
也是上三角阵,
证 对 n作数学归纳法,n=1时,[a]?1=[1/a],结论成立,(一阶矩阵可认为是上三角矩阵 ).假设命题对 n?1阶可逆上三角阵成立,考虑 n阶情况,
设
11 12 1
22 2 11
1
0
00
( 0,1,2,,),
n
n
nn
ii
a a a
aa a
A
OA
a
a i n
2009-7-26
20
其中 A1是 n?1阶可逆的上三角阵,设 A的逆矩阵为
11 12 1
21 22 2 11
1
12
,
n
n
n n nn
b b b
b b b b
B
B
b b b
1 1 1 1
111
1 1 1 1 1 1 1
11 1 1
1
1
n
n
n
Oab
A B I
OIO A B
Oa b a B
OIA A B
则
2009-7-26
21
于是,A1?=O=>?=A?1O=O
A1B1=In?1=>B1=A1?1,根据归纳假设,B1是 n?1阶上三角矩阵,因此
1 11
1
b
AB
OB
是上三角矩阵 (其中 b11=a11?1;a11?1?A1?1).
2009-7-26
22
4,分块矩阵的转置
].,,,[,
.,
.,,2,1;,,2,1,
,][
][
21
2
1
2313
2212
2111
232221
131211
T
m
TTT
m
TT
TT
TT
T
T
kllk
stlk
T
tskl
BBBB
B
B
B
B
AA
AA
AA
A
AAA
AAA
A
sktlAB
BA
AA
则则例如其中的转置矩阵为分块矩阵按行分块
2009-7-26
23
5,可逆分块矩阵的逆矩阵对角块矩阵 (准对角矩阵 )1
2
m
A
A
A
A
1
1
1
1 2
1
m
A
A
A
A
的行列式为 |A|=|A1||A2|...|Am|,因此,对角块矩阵 A可逆的充要条件为 |Ai|?0 i=1,2,...,m,这时
2009-7-26
24
例 5
1
,,,
A
ADB
DC
OB
A
可逆并求证皆为可逆方阵其中设
1,XYA
ZT
解 |A|=|B||D|?0,A可逆,设其中 X与 B,T与 D分别是同阶方阵,于是由
1
2
B O X Y B X B Y
C D Z T C X D Z C Y D T
IO
OI
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25
BX=I1,故 X=B?1.
BY=O,故 Y=B?1O=O.
CX+DZ=O,故 DZCXCB?1,
ZD?1CB?1.
CY+DT=I2,故 DT=I2,T=D?1.
所以
1
1
1 1 1,
BOA
D C B D
1
2
IOB X B Y
CX D Z CY D T O I
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26
例如
03
30
21
,,
21
12
,
10003
01030
00121
00021
00012
3
CIDB
DC
OB
A
可逆其中
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27
则
10012
01021
00110
0003/23/1
0003/13/2
12
21
10
,,
21
12
3
1
111
1
11
3
11
DCBD
OB
A
CBDIDB
即得
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28
6,分块矩阵的初等变换与分块初等阵这里仅就 2?2分块矩阵为例来讨论,对于分块矩阵
11 12
21 22
AA
A
AA
1
2
m
n
C O I O
OI OC
或可以同样定义它的三种初等行变换和列变换,并相应地定义三类分块初等矩阵,
(i) 分块倍乘阵 (C1,C2是可逆阵 )
2009-7-26
29
(ii) 分块倍加阵
4
3
.mm
nn
I O I C
C I O I
或
.n
m
OI
IO
(iii)分块对换阵分块初等矩阵是方阵,它们左乘 (或右乘 )分块矩阵 A(不一定是方阵 ),在保证可乘的情况下,
其作用与前述初等矩阵相同,
2009-7-26
30
例 6 设 n阶矩阵 A分块表示为
1
11
2 1 1 1 2
,
IO
P
A A I?
解 先对分块阵 A作初等变换,将其化为上三角块矩阵,为此左乘分块倍加阵
.,.
,,,
1
22
1
112122
112211
2221
1211
AAAAA
AAAA
AA
AA
A
并求可逆证明可逆和且为方阵其中其中 I1,I2为单位阵,其阶数分别与 A11,A22相同,
2009-7-26
31
于是
12
1
112122
12
1
112122
11
12
1
112122
111
12
1
112122111
12
1
112122
1211
1
.
,0
||
||
||
0||,0||,1||
.||||||
,
AAAAQ
AAAA
A
A
AAAA
AAP
AAAAAAP
B
AAAAO
AA
AP
记可逆故所以由于记作
2009-7-26
32
为求 A?1,将 B化为对角块矩阵,为此取
2
1
1121
1
2
1
121
1
1
11
12
11
11
12
1
12
11
2
2
1
121
2
)(
,)(,
,
,
IAA
OI
IO
QAI
QO
OA
PPCA
CPPACAPP
C
QO
OA
BP
IO
QAI
P
因此两边取逆得即于是记作
2009-7-26
33
记
.
,
,
,
12
1
112122
1
1121
1
21
1
12
1
1112
1
22
1
1121
1
12
1
11
1
1111
2221
12111
AAAAQ
AAQDQAAD
QDAAQAAAD
DD
DD
A
其中则
2009-7-26
34
例 7
.||||d e t
:,,
1
BCADAQ
A
DC
BA
Q
证明可逆且设
.,
,1
同阶与同阶与其中 DIAI
ICA
OI
P
mn
m
n
证 先用分块倍加阵左乘 Q,使之化为上三角块矩阵,为此取
2009-7-26
35
如此则有
.,1||
||||||||
,
,
1
1
命题得证由于得将上式两端求行列式
P
BCADAQP
BCADO
BA
PQ
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36
今天作业,第 98页开始
58题,62题
1
线性代数第 7讲分块矩阵
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2
把一个 5阶矩阵
2 1 1 0 1
1 2 2 3 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
A
用水平和垂直的虚线分成 4块,
12
0 0 1 0 0
2 1 1 0 1
,,0 0,0 1 0
1 2 2 2 0
0 0 0 0 1
A A O I
12
1
AA
OI
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3
把一个 m?n矩阵 A,在行的方向上分成 s块,在列的方向分成 t块,称为 A的 s?t分块矩阵,记作
A=[Akl]s?t,其中 Akt(k=1,2,...,s,l=1,2,...,t)称为 A的子块,它们是各种类型的小矩阵,
常用的分块矩阵,除了上面的 4块矩阵,还有以下几种形式,
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4
按行分块
11 12 1 1
21 22 2 2
12
12
,
[ ] 1,2,,.
n
n
m m m n m
i i i in
a a a A
a a a A
A
a a a A
A a a a i m
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5
按列分块
11 12 1
21 22 2
12
12
1
2
[,,,]
,1,2,,.
s
s
s
n n ns
j
j
j
nj
b b b
b b b
B B B B
b b b
b
b
B j s
b
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6
当 n阶矩阵 C中非零元素都集中在主对角线附近,有时可以分块成 对角块矩阵 (准对角矩阵 )
1
2
,
n
C O O
O C O
C
O O C
其中 Ci是 ri阶方阵 (i=1,2,...,m; r1+r2+...+rm=n)
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7
例如
1
2
3
1 2 3
0 1 0 0 0 0
1 2 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0
0 0 1 1 2 0
0 0 0 2 2 0
0 0 0 0 0 3
1 1 0
01
,1 1 2,3,
12
0 2 2
B
BB
B
B B B
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8
下面讨论分块矩阵的运算
1,分块矩阵的加法设分块矩阵 A=[Akl]s?t,B=[Bkl]s?t,如果 A与 B对应的子块 Akl和 Bkl都是同型矩阵,则
A+B=[Akl+Bkl]s?t
例如
1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2
2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2
A A B B A B A B
A A B B A B A B
其中 A11与 B11,A12与 B12,A21与 B21,A22与
B22分别都是同型小矩阵 (子块 ).
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9
2,分块矩阵的数量乘法设分块矩阵 A=[Akl]s?t,h是一个数,则
hA=[hAkl]s?t.
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10
3,分块矩阵的乘法设 A是 m?n矩阵,B是 n?p矩阵,如 A分块为 r?s分块矩阵 [Akl]r?s,B分块为 s?t分块矩阵 [Bkl]s?t,且
A的列的分块法和 B的行的分块法完全相同,
则
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11
可以证明 (但略去 ),用分块乘法求得的 AB与不分块作乘法求得的 AB是相等的,
12
11 12 111 12 1
1
21 22 221 22 2
2
1212
1
[ ],
( 1,2,,; 1,2,,)
s
ts
ts
s s s tr r r s
s
k l r t
s
k l k i il
i
j j j
B B BA A A j
B B BA A A j
AB
B B BA A A j
CC
C A B k r l t
列 列 列行行行
2009-7-26
12
例 1 将下列 5阶矩阵 A,B分成 4块阵,并用分块矩阵的乘法计算 AB.
1 0 0 0 0 3 2 0 1 0
0 1 0 0 0 1 3 0 0 1
,1 2 1 0 0 1 0 0 0 0
1 1 0 1 0 0 1 0 0 0
2 0 0 0 1 0 0 1 0 0
AB
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13
解 由观察,可将 A分成如下 4块阵
2 2 3
13
1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
,1 2 1 0 0
1 1 0 1 0
2 0 0 0 1
12
11
20
IO
A
AI
A
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14
将 B分块为
12
2 3 2
1
3 2 0 1 0
1 3 0 0 1
,1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
3 2 0
130
BI
B
IO
B
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15
则
146
044
042
100
010
001
031
023
02
11
21
,
311
1311
21
3
21
31
2
IBA
AIBA
IB
OI
IB
IA
OI
AB
其中
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16
故
3 2 0 1 0
1 3 0 0 1
2 4 0 1 2
4 4 0 1 1
6 4 1 2 0
AB
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17
例 2 设 A是 m?n矩阵,B是 n?s矩阵,B按列分块成 1?s分块矩阵,将 A看成 1?1分块矩阵,则
AB=A[B1,B2,...,Bs]=[AB1,AB2,...,ABs].
若已知 AB=0,则显然有 ABi=0,i=1,2,...,n,因此,
B的每一列都是线性方程组 Ax=0的解,
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18
例 3 若 n阶矩阵 C,D可以分块成同型对角块矩阵,即 11
22
,,
mm
CD
CD
CD
CD
11
22
mm
CD
CD
CD
CD
其中 Ci和 Di是同阶方阵 (i=1,2,...,m),则
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19
例 4 证明,若 n阶上三角矩阵 A可逆,则其逆 A?1
也是上三角阵,
证 对 n作数学归纳法,n=1时,[a]?1=[1/a],结论成立,(一阶矩阵可认为是上三角矩阵 ).假设命题对 n?1阶可逆上三角阵成立,考虑 n阶情况,
设
11 12 1
22 2 11
1
0
00
( 0,1,2,,),
n
n
nn
ii
a a a
aa a
A
OA
a
a i n
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20
其中 A1是 n?1阶可逆的上三角阵,设 A的逆矩阵为
11 12 1
21 22 2 11
1
12
,
n
n
n n nn
b b b
b b b b
B
B
b b b
1 1 1 1
111
1 1 1 1 1 1 1
11 1 1
1
1
n
n
n
Oab
A B I
OIO A B
Oa b a B
OIA A B
则
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21
于是,A1?=O=>?=A?1O=O
A1B1=In?1=>B1=A1?1,根据归纳假设,B1是 n?1阶上三角矩阵,因此
1 11
1
b
AB
OB
是上三角矩阵 (其中 b11=a11?1;a11?1?A1?1).
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22
4,分块矩阵的转置
].,,,[,
.,
.,,2,1;,,2,1,
,][
][
21
2
1
2313
2212
2111
232221
131211
T
m
TTT
m
TT
TT
TT
T
T
kllk
stlk
T
tskl
BBBB
B
B
B
B
AA
AA
AA
A
AAA
AAA
A
sktlAB
BA
AA
则则例如其中的转置矩阵为分块矩阵按行分块
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5,可逆分块矩阵的逆矩阵对角块矩阵 (准对角矩阵 )1
2
m
A
A
A
A
1
1
1
1 2
1
m
A
A
A
A
的行列式为 |A|=|A1||A2|...|Am|,因此,对角块矩阵 A可逆的充要条件为 |Ai|?0 i=1,2,...,m,这时
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例 5
1
,,,
A
ADB
DC
OB
A
可逆并求证皆为可逆方阵其中设
1,XYA
ZT
解 |A|=|B||D|?0,A可逆,设其中 X与 B,T与 D分别是同阶方阵,于是由
1
2
B O X Y B X B Y
C D Z T C X D Z C Y D T
IO
OI
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BX=I1,故 X=B?1.
BY=O,故 Y=B?1O=O.
CX+DZ=O,故 DZCXCB?1,
ZD?1CB?1.
CY+DT=I2,故 DT=I2,T=D?1.
所以
1
1
1 1 1,
BOA
D C B D
1
2
IOB X B Y
CX D Z CY D T O I
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例如
03
30
21
,,
21
12
,
10003
01030
00121
00021
00012
3
CIDB
DC
OB
A
可逆其中
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则
10012
01021
00110
0003/23/1
0003/13/2
12
21
10
,,
21
12
3
1
111
1
11
3
11
DCBD
OB
A
CBDIDB
即得
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6,分块矩阵的初等变换与分块初等阵这里仅就 2?2分块矩阵为例来讨论,对于分块矩阵
11 12
21 22
AA
A
AA
1
2
m
n
C O I O
OI OC
或可以同样定义它的三种初等行变换和列变换,并相应地定义三类分块初等矩阵,
(i) 分块倍乘阵 (C1,C2是可逆阵 )
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(ii) 分块倍加阵
4
3
.mm
nn
I O I C
C I O I
或
.n
m
OI
IO
(iii)分块对换阵分块初等矩阵是方阵,它们左乘 (或右乘 )分块矩阵 A(不一定是方阵 ),在保证可乘的情况下,
其作用与前述初等矩阵相同,
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例 6 设 n阶矩阵 A分块表示为
1
11
2 1 1 1 2
,
IO
P
A A I?
解 先对分块阵 A作初等变换,将其化为上三角块矩阵,为此左乘分块倍加阵
.,.
,,,
1
22
1
112122
112211
2221
1211
AAAAA
AAAA
AA
AA
A
并求可逆证明可逆和且为方阵其中其中 I1,I2为单位阵,其阶数分别与 A11,A22相同,
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于是
12
1
112122
12
1
112122
11
12
1
112122
111
12
1
112122111
12
1
112122
1211
1
.
,0
||
||
||
0||,0||,1||
.||||||
,
AAAAQ
AAAA
A
A
AAAA
AAP
AAAAAAP
B
AAAAO
AA
AP
记可逆故所以由于记作
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为求 A?1,将 B化为对角块矩阵,为此取
2
1
1121
1
2
1
121
1
1
11
12
11
11
12
1
12
11
2
2
1
121
2
)(
,)(,
,
,
IAA
OI
IO
QAI
QO
OA
PPCA
CPPACAPP
C
QO
OA
BP
IO
QAI
P
因此两边取逆得即于是记作
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记
.
,
,
,
12
1
112122
1
1121
1
21
1
12
1
1112
1
22
1
1121
1
12
1
11
1
1111
2221
12111
AAAAQ
AAQDQAAD
QDAAQAAAD
DD
DD
A
其中则
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例 7
.||||d e t
:,,
1
BCADAQ
A
DC
BA
Q
证明可逆且设
.,
,1
同阶与同阶与其中 DIAI
ICA
OI
P
mn
m
n
证 先用分块倍加阵左乘 Q,使之化为上三角块矩阵,为此取
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如此则有
.,1||
||||||||
,
,
1
1
命题得证由于得将上式两端求行列式
P
BCADAQP
BCADO
BA
PQ
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今天作业,第 98页开始
58题,62题
