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线性代数第 12讲正交矩阵及其性质
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定义 6 设 A为 n阶方阵,如果 ATA=I,就称 A为正交矩阵,
定理 4 A为 n阶正交矩阵的充分必要条件是 A
的列向量组为 Rn的一组标准正交基,
证 设 11 12 1
21 22 2
12
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
按列分块为 [a1,a2,...,an],
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3
于是
1 1 1 2 11
2 2 1 2 2 2
12
12
,,,
T T TT
n
T T T T
T n
n
T T T T
n n n n n
AA
a a a a a aa
a a a a a a a
a a a
a a a a a a a
.
},,,{
.,,2,1,,,0),(;,,2,1,1),(
21
的一组标准正交基为的向量组即且
n
n
jij
T
i
iii
T
i
R
A
njiij
ni
aaa
aaaa
aaaa
因此 ATA=I的充分必要条件是
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4
定理 5 设 A,B皆是 n阶正交矩阵,则,
(i) det A=1或 -1; (ii) A-1=AT; (iii) AT(即 A-1)也是正交矩阵 ; (iv) AB也是正交矩阵,
证 (i) det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2,所以成立,
(ii) ATA=I,当然就是 A-1=AT,
(iii) (AT)TAT=AAT=AA-1=I,所以 AT(即 A-1)也是正交矩阵,从而 A的行向量组也是 Rn的一组标准正交基,
(iv) 由 (AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I,即得 AB也是正交矩阵,
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定理 6 若列向量 X,Y?Rn在 n阶正交矩阵 A作用下变换为 AX,AY?Rn,则向量的内积与长度及向量间的夹角都保持不变,即
(AX,AY)=(X,Y),|AX|=|X|,
{AX,AY}={X,Y}.
证 (AX,AY)=(AX)T(AY)=XT(ATA)Y
=XTY=(X,Y).
当 Y=X时,有 (AX,AX)=(X,X),即 |AX|=|X|,因此
(,) (,)c o s,c o s,,
| | | | | | | |
A X A Y X YA X A Y X Y
A X A Y X Y
所以 AX与 AY夹角与 X,Y的夹角相同,
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4.3 线性空间的定义及简单性质
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定义 数域 F上的线性空间 V是一个非空集合,
其上定义有加法 a+b和数乘 la的运算,其中
a,b?V,l?F,V对两种运算封闭且满足性质,
a,b,g?V,?k,l?F
(1) a+b=b+a
(2) (a+b)+g=a+(b+g)
(3)?q?V,a+q=a,q称为 V的零元素
(4)?-a?V,a+(-a)=q,-a称为 a的负元素
(5) 1a=a
(6) k(la)=(kl)a
(7) (k+l)a=ka+la
(8) k(a+b)=ka+kb
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F为实 (复 )数域时,称为 实 (复 )线性空间,简称实 (复 )空间,
线性空间 V中元素也常称为 向量,线性空间中的加法和数乘运算称为 线性运算,
显然,三维几何向量空间和 Rn都是线性空间的具体模型,
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例 1 数域 F上的全体多项式 F[x],对通常的多项式加法和数乘多项式的运算构成数域 F上的线性空间,所有次数小于 n的多项式,也构成数域 F上的线性空间,记作 F[x]n
例 3 区间 [a,b]上的全体实连续函数,对通常的函数加法和数与函数的乘法运算构成实数域上的线性空间,记作 C[a,b],在 (a,b)上全体 k阶导数连续的实函数 Ck(a,b)对同样的加法和数乘运算也构成实线性空间,
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由线性空间的定义可证下列性质,
(i) 线性空间的零元素是唯一的,
(ii) 线性空间中任一元素 a的负元素是唯一的,
(iii) 若 a,b?V,k?F,则有
k(a-b)=ka-kb
(k-l)a=ka-la
(iv) kq=q,k(-b)?-(kb),0a=q,(-l)a=(-(la),特别,(-1)a?-a,以后,-(la)简记作 -la.
(v) 设 a?V,k?F,若 ka=q,则 k=0或 a=q.
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4.4 线性子空间
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定义 1 设 V(F)是一个线性空间,W是 V的一个非空子集合,如果 W对 V(F)中定义的线性运算也构成数域 F上的线性空间,就称 W为 V(F)的一个线性子空间 (或简称子空间 )
定理 1 线性空间 V(F)的非空子集合 W为 V的子空间的充分必要条件是 W对于 V的两种运算封闭,
在线性空间 V中,由单个零向量组成的子集合
{q}是 V的一个子空间,叫做 零子空间 ; V本身也是 V的一个子空间,这两个子空间也叫做 V
的 平凡子空间,其它子空间叫 非平凡子空间,
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例 2 设 A是 m?n矩阵,则齐次线性方程组 AX=0
的解集合
S={X|AX=0}
是 Fn的一个子空间,叫做齐次线性方程组的解空间 (也称矩阵 A的零空间,记作 N(A)),但是非齐次线性方程组 AX=b的解集合不是 Fn的子空间,
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定理 2 设 V是数域 F上的线性空间,S是 V的一个非空子集合,则 S中一切向量组的所有线性组合组成的集合
W={k1a1+...+kmam|ai?S,ki?F,i=1,...,m}
是 V中包含 S的最小的子空间,
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定理 2中的 W称为由 V的非空子集 S生成的 V的子空间,或者说 S生成 W,当 S为有限子集
{a1,a2,...,am}时,记 W=L(a1,a2,...,am),并称 W是由向量组 a1,a2,...,am生成的子空间例如,齐次线性方程组 AX=0的解空间是由它的基础解系生成的子空间 ; R3中任一个过原点的平面上的全体向量所构成的子空间,由由该平面上任意两个线性无关的向量生成的子空间,
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定理 3 设 W1,W2是数域 F上的线性空间 V的两个子空间,且 W1=L(a1,...,as),W2是 L(b1,...,bt),则
W1=W2的充要条件是两个向量组 a1,...,as与
b1,...,bt可以互相线性表示,
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4.5 线性空间的基 维数 向量的坐标
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18
由于线性空间关于两种运算和 Fn关于其线性运算一样满足相同的 8条规则和简单的性质,
因此,Fn中的向量的线性相关性的定义及有关的基本结论也都适用于一般的线性空间 V,对此,不再重复叙述,但要注意,那里的向量
a,b,g,...,在这里是 V中的元素,那里的零向量是这里的 V的零元素,
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定义 1 如果线性空间 V(F)中存在线性无关的向量组 B=(a1,a2,...,an},且任一 a?V都可由 B线性表示为
a=x1a1+x2a2+...+xnan,(4.17)
则称 V是 n维线性空间 (或说 V的维数为 n,记作
dim V = n); B是 V的一个 基 ; 有序数组
(x1,x2,...,xn)为 a关于基 B(或说在基 B下 )的 坐标
(向量 ),记作
aB=[x1,x2,...,xn]T?Fn,(4.18)
如果 V(F)中有任意多个线性无关的向量,则称
V是 无限维线性空间,
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容易证明,在 F[X]中,1,x,x2,...,xn(n为任意正整数 )是线性无关的,因此,F[X]是无限维线性空间,C[a,b]也是无限维线性空间,
在 n维线性空间 V中,任意 n+1个元素
b1,b2,...,bn+1都可由 V的一个基 a1,a2,...,an线性表出,因此,根据 3.1节定理 4可知,n维线性空间中任意 n+1个元素都是线性相关的,所以,n
维线性空间 V中,任何 n个线性无关的向量都是 V的一个基,
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在线性空间 V中,由向量组 a1,a2,...,as生成的子空间 L(a1,a2,...,as)的维数等于向量组
a1,a2,...,as的秩,向量组 a1,a2,...,as的极大线性无关组是 L(a1,a2,...,as)的基,
齐次线性方程组 AX=0的基础解系是其解空间
N(A)的基,如果 A是 m?n矩阵,秩 A=r,则解空间
N(A)的维数为 n-r.
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关于 n维线性空间 V(F)中向量在基 B下的坐标的概念,是与 Fn中向量关于基 B的坐标概念是完全类似的,那里的主要结论,
(i)向量在给定基下的坐标是唯一确定的 ;
(ii)由基 B1到基 B2的过渡矩阵的概念以及过渡矩阵是可逆的 ;
(iii)基变换与坐标变换的公式,即定理 2.
在这里都是适用的,
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给定了 n维线性空间 V(F)的基 B={b1,b2,...,bn},
V(F)中的向量与其坐标 (Fn中的向量 )不仅是一一对应的,而且这种对应保持线性运算关系不变,即,
V(F)中 a+z对应于 Fn中的 aB+zB;
V(F)中 la对应于 Fn中的 laB.
事实上,如 a=x1b1+...+xnbn,z=y1b1+...+ynbn,
l?F,便有
a+z=(x1+y1)b1+...+(xn+yn)bn,
la=(lx1)b1+...+(lxn)bn
故 (a+z)B=aB+zB,(la)B=laB.
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具有上述对应关系的两个线性空间 V(F)与 Fn,
我们称它们是 同构 的,上述对应关系表明,研究任何 n维线性空间 V(F),都可以通过基和坐标,转化为研究 n维向量空间 Fn,这样,我们对不同的 n维线性空间就有了统一的研究方法,
统一到研究 Fn,因此,通常把线性空间也称为向量空间,线性空间中的元素也称为 向量,
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4.6 向量空间的线性变换
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定义 1 设 X,Y是两个非空集合,如果有一个法则 s,它使 X中每个元素 a都有 Y中唯一确定的一个元素 b与之对应,就称 s是 X到 Y的一个 映射,记作 s,X?Y,
并称 b为 a在 s下的 象,a为 b在 s下的一个 原象,
记作 s,a?b 或 s(a)=b.
注意,s的象是唯一的,但 b的原象不一定是唯一的,由 X到自身的映射 s,常称为 变换,
如果?a1,a2?X,a1?a2,都有 s(a1)?s(a2),就称
s为 单射,如果?b?Y,都有 a?X,使 s(a)=b,就称 s为 满射,如 s即是单射又是满射,就称 s为双射 (或称 一一对应 ).
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大家熟知的一元函数中的线性函数,
y=f(x)=ax (4.21)
是 R?R的映射,它显然是双射,这个映射具有以下的性质,
(i) f(x1+x2)=f(x1)+f(x2); (4.22)
(ii) f(lx)=lf(x),l是常数,
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现在把一元线性函数推广到 n维向量空间,设
A为 n阶矩阵,如果对每一个列向量 X?Rn,映射
X?AX 即 s(X)=AX
是 Rn?Rn的一个映射,满足以下性质,
s(X1+X2)=A(X1+X2)=AX1+AX2=s(X1)+s(X2)
s(lX)=A(lX)=lAX=ls(X),l?R.
把这个映射 s称为 Rn?Rn的 线性映射 (也称 线性变换 ),更一般,如 A是 m?n矩阵,X?Rn,映射
s,X?AX?Rm
是 Rn到 Rm的线性映射,本节主要讨论 Rn?Rn的线性映射
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定义 1 设 V(F)是一个向量空间,如果 V(F)的一个变换 s,满足条件,?a,b?V和 l?F,
(i) s(a+b)=s(a)+s(b),(4.23)
(ii) s(la)=ls(a).
就称 s是 V(F)的一个 线性变换,并称 s(a)为 a的象,a为 s(a)的 原象,
(4.23)式也可等价地写作,?a,b?V和 l,m?F
s(la+mb)=ls(a)+ms(b),(4.23)'
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设 {a1,a2,...,an}是 V(F)的一组基,s是 V(F)的一个线性变换,任给 a?V(F),设
a=x1a1+x2a2+...+xnan
则根据线性变换的性质可得
s(a)=x1s(a1)+x2s(a2)+...+xns(an).
因此,对于 s来讲,如果知道了 s关于 V(F)的基的象 s(a1),s(a2),...,s(an),则任一个向量 a的象
s(a)就知道了,
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定理 1 设 {a1,a2,...,an}是 V(F)的一组基,如果
V(F)的两个线性变换 s和 t关于这组基的象相同,即
s(ai)=t(ai),i=1,2,...,n.
则 s=t.
证 s=t的意义是每个向量在它们的作用下的象相同,即对于任意的 a?V,有 s(a)=t(a),但
s(a)=x1s(a1)+x2s(a2)+...+xns(an)
=x1t(a1)+x2t(a2)+...+xnt(an)=t(a).
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由于基象 s(ai)?V(F),(i=1,2,...,n),所以它们可经 V(F)的基 a1,a2,...,an线性表出,即有1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 1
1 1 2 2
()
()
( 4,30 )
()
nn
nn
n n n nn n
a a a
a a a
a a a
s a a a a
s a a a a
s a a a a
记
s[a1,a2,...,an]=[s(a1),s(a2),...,s(an)],
(4.31)
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将 (4.30)式形式地写作矩阵形式 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2 1 2
12
[,,,] [,,,]
n
n
nn
n n n n
a a a
a a a
a a a
s a a a a a a
(4.32)
或 s[a1,a2,...,an]=[a1,a2,...,an]A (4.32)'
其中 (4.32)右端矩阵 A是 (4.30)式右端
a1,a2,...,an的系数矩阵的转置,A中第 j列是
s(aj)在基 a1,a2,...,an下的坐标,
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定义 2 如果 V(F)中的线性变换 s,使得 V(F)的基 {a1,a2,...,an)和 s关于基的象
s(a1),s(a2),...,s(an)具有 (4.30)式即 (4.32)式的关系,就称 (4.32)式中的矩阵 A是 s在基
{a1,a2,...,an}下 (对应 )的矩阵,
定理 2 设 V(F)的线性变换 s在基 {a1,a2,...,an}
下的矩阵为 A,向量 a在基下的坐标向量为
X=[x1,x2,...,xn]T,s(a)在基下的坐标向量为
Y=[y1,y2,...,yn]T,则
Y=AX,(4.33)
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定理 3 设线性变换 s在基 B1={a1,a2,...,an}和基
B2={b1,b2,...,bn}下的矩阵分别为 A和 B,且基 B1
到基 B2的过渡矩阵为 C,则
B=C-1AC (4.36)
证 根据已知条件有
s[a1,a2,...,an]=[a1,a2,...,an]A,
[b1,b2,...,bn]=[a1,a2,...,an]C.
则 [a1,a2,...,an]=[b1,b2,...,bn]C-1,
因此 s[b1,b2,...,bn]=s[a1,a2,...,an]C
=[a1,a2,...,an]AC=[b1,b2,...,bn]C-1AC.
由此得 B=C-1AC.
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今天作业,第 211页开始第 15题
1
线性代数第 12讲正交矩阵及其性质
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2
定义 6 设 A为 n阶方阵,如果 ATA=I,就称 A为正交矩阵,
定理 4 A为 n阶正交矩阵的充分必要条件是 A
的列向量组为 Rn的一组标准正交基,
证 设 11 12 1
21 22 2
12
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
按列分块为 [a1,a2,...,an],
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3
于是
1 1 1 2 11
2 2 1 2 2 2
12
12
,,,
T T TT
n
T T T T
T n
n
T T T T
n n n n n
AA
a a a a a aa
a a a a a a a
a a a
a a a a a a a
.
},,,{
.,,2,1,,,0),(;,,2,1,1),(
21
的一组标准正交基为的向量组即且
n
n
jij
T
i
iii
T
i
R
A
njiij
ni
aaa
aaaa
aaaa
因此 ATA=I的充分必要条件是
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4
定理 5 设 A,B皆是 n阶正交矩阵,则,
(i) det A=1或 -1; (ii) A-1=AT; (iii) AT(即 A-1)也是正交矩阵 ; (iv) AB也是正交矩阵,
证 (i) det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2,所以成立,
(ii) ATA=I,当然就是 A-1=AT,
(iii) (AT)TAT=AAT=AA-1=I,所以 AT(即 A-1)也是正交矩阵,从而 A的行向量组也是 Rn的一组标准正交基,
(iv) 由 (AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I,即得 AB也是正交矩阵,
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定理 6 若列向量 X,Y?Rn在 n阶正交矩阵 A作用下变换为 AX,AY?Rn,则向量的内积与长度及向量间的夹角都保持不变,即
(AX,AY)=(X,Y),|AX|=|X|,
{AX,AY}={X,Y}.
证 (AX,AY)=(AX)T(AY)=XT(ATA)Y
=XTY=(X,Y).
当 Y=X时,有 (AX,AX)=(X,X),即 |AX|=|X|,因此
(,) (,)c o s,c o s,,
| | | | | | | |
A X A Y X YA X A Y X Y
A X A Y X Y
所以 AX与 AY夹角与 X,Y的夹角相同,
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6
4.3 线性空间的定义及简单性质
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定义 数域 F上的线性空间 V是一个非空集合,
其上定义有加法 a+b和数乘 la的运算,其中
a,b?V,l?F,V对两种运算封闭且满足性质,
a,b,g?V,?k,l?F
(1) a+b=b+a
(2) (a+b)+g=a+(b+g)
(3)?q?V,a+q=a,q称为 V的零元素
(4)?-a?V,a+(-a)=q,-a称为 a的负元素
(5) 1a=a
(6) k(la)=(kl)a
(7) (k+l)a=ka+la
(8) k(a+b)=ka+kb
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F为实 (复 )数域时,称为 实 (复 )线性空间,简称实 (复 )空间,
线性空间 V中元素也常称为 向量,线性空间中的加法和数乘运算称为 线性运算,
显然,三维几何向量空间和 Rn都是线性空间的具体模型,
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例 1 数域 F上的全体多项式 F[x],对通常的多项式加法和数乘多项式的运算构成数域 F上的线性空间,所有次数小于 n的多项式,也构成数域 F上的线性空间,记作 F[x]n
例 3 区间 [a,b]上的全体实连续函数,对通常的函数加法和数与函数的乘法运算构成实数域上的线性空间,记作 C[a,b],在 (a,b)上全体 k阶导数连续的实函数 Ck(a,b)对同样的加法和数乘运算也构成实线性空间,
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由线性空间的定义可证下列性质,
(i) 线性空间的零元素是唯一的,
(ii) 线性空间中任一元素 a的负元素是唯一的,
(iii) 若 a,b?V,k?F,则有
k(a-b)=ka-kb
(k-l)a=ka-la
(iv) kq=q,k(-b)?-(kb),0a=q,(-l)a=(-(la),特别,(-1)a?-a,以后,-(la)简记作 -la.
(v) 设 a?V,k?F,若 ka=q,则 k=0或 a=q.
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4.4 线性子空间
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定义 1 设 V(F)是一个线性空间,W是 V的一个非空子集合,如果 W对 V(F)中定义的线性运算也构成数域 F上的线性空间,就称 W为 V(F)的一个线性子空间 (或简称子空间 )
定理 1 线性空间 V(F)的非空子集合 W为 V的子空间的充分必要条件是 W对于 V的两种运算封闭,
在线性空间 V中,由单个零向量组成的子集合
{q}是 V的一个子空间,叫做 零子空间 ; V本身也是 V的一个子空间,这两个子空间也叫做 V
的 平凡子空间,其它子空间叫 非平凡子空间,
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例 2 设 A是 m?n矩阵,则齐次线性方程组 AX=0
的解集合
S={X|AX=0}
是 Fn的一个子空间,叫做齐次线性方程组的解空间 (也称矩阵 A的零空间,记作 N(A)),但是非齐次线性方程组 AX=b的解集合不是 Fn的子空间,
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定理 2 设 V是数域 F上的线性空间,S是 V的一个非空子集合,则 S中一切向量组的所有线性组合组成的集合
W={k1a1+...+kmam|ai?S,ki?F,i=1,...,m}
是 V中包含 S的最小的子空间,
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定理 2中的 W称为由 V的非空子集 S生成的 V的子空间,或者说 S生成 W,当 S为有限子集
{a1,a2,...,am}时,记 W=L(a1,a2,...,am),并称 W是由向量组 a1,a2,...,am生成的子空间例如,齐次线性方程组 AX=0的解空间是由它的基础解系生成的子空间 ; R3中任一个过原点的平面上的全体向量所构成的子空间,由由该平面上任意两个线性无关的向量生成的子空间,
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定理 3 设 W1,W2是数域 F上的线性空间 V的两个子空间,且 W1=L(a1,...,as),W2是 L(b1,...,bt),则
W1=W2的充要条件是两个向量组 a1,...,as与
b1,...,bt可以互相线性表示,
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4.5 线性空间的基 维数 向量的坐标
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由于线性空间关于两种运算和 Fn关于其线性运算一样满足相同的 8条规则和简单的性质,
因此,Fn中的向量的线性相关性的定义及有关的基本结论也都适用于一般的线性空间 V,对此,不再重复叙述,但要注意,那里的向量
a,b,g,...,在这里是 V中的元素,那里的零向量是这里的 V的零元素,
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定义 1 如果线性空间 V(F)中存在线性无关的向量组 B=(a1,a2,...,an},且任一 a?V都可由 B线性表示为
a=x1a1+x2a2+...+xnan,(4.17)
则称 V是 n维线性空间 (或说 V的维数为 n,记作
dim V = n); B是 V的一个 基 ; 有序数组
(x1,x2,...,xn)为 a关于基 B(或说在基 B下 )的 坐标
(向量 ),记作
aB=[x1,x2,...,xn]T?Fn,(4.18)
如果 V(F)中有任意多个线性无关的向量,则称
V是 无限维线性空间,
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20
容易证明,在 F[X]中,1,x,x2,...,xn(n为任意正整数 )是线性无关的,因此,F[X]是无限维线性空间,C[a,b]也是无限维线性空间,
在 n维线性空间 V中,任意 n+1个元素
b1,b2,...,bn+1都可由 V的一个基 a1,a2,...,an线性表出,因此,根据 3.1节定理 4可知,n维线性空间中任意 n+1个元素都是线性相关的,所以,n
维线性空间 V中,任何 n个线性无关的向量都是 V的一个基,
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在线性空间 V中,由向量组 a1,a2,...,as生成的子空间 L(a1,a2,...,as)的维数等于向量组
a1,a2,...,as的秩,向量组 a1,a2,...,as的极大线性无关组是 L(a1,a2,...,as)的基,
齐次线性方程组 AX=0的基础解系是其解空间
N(A)的基,如果 A是 m?n矩阵,秩 A=r,则解空间
N(A)的维数为 n-r.
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22
关于 n维线性空间 V(F)中向量在基 B下的坐标的概念,是与 Fn中向量关于基 B的坐标概念是完全类似的,那里的主要结论,
(i)向量在给定基下的坐标是唯一确定的 ;
(ii)由基 B1到基 B2的过渡矩阵的概念以及过渡矩阵是可逆的 ;
(iii)基变换与坐标变换的公式,即定理 2.
在这里都是适用的,
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给定了 n维线性空间 V(F)的基 B={b1,b2,...,bn},
V(F)中的向量与其坐标 (Fn中的向量 )不仅是一一对应的,而且这种对应保持线性运算关系不变,即,
V(F)中 a+z对应于 Fn中的 aB+zB;
V(F)中 la对应于 Fn中的 laB.
事实上,如 a=x1b1+...+xnbn,z=y1b1+...+ynbn,
l?F,便有
a+z=(x1+y1)b1+...+(xn+yn)bn,
la=(lx1)b1+...+(lxn)bn
故 (a+z)B=aB+zB,(la)B=laB.
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具有上述对应关系的两个线性空间 V(F)与 Fn,
我们称它们是 同构 的,上述对应关系表明,研究任何 n维线性空间 V(F),都可以通过基和坐标,转化为研究 n维向量空间 Fn,这样,我们对不同的 n维线性空间就有了统一的研究方法,
统一到研究 Fn,因此,通常把线性空间也称为向量空间,线性空间中的元素也称为 向量,
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4.6 向量空间的线性变换
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定义 1 设 X,Y是两个非空集合,如果有一个法则 s,它使 X中每个元素 a都有 Y中唯一确定的一个元素 b与之对应,就称 s是 X到 Y的一个 映射,记作 s,X?Y,
并称 b为 a在 s下的 象,a为 b在 s下的一个 原象,
记作 s,a?b 或 s(a)=b.
注意,s的象是唯一的,但 b的原象不一定是唯一的,由 X到自身的映射 s,常称为 变换,
如果?a1,a2?X,a1?a2,都有 s(a1)?s(a2),就称
s为 单射,如果?b?Y,都有 a?X,使 s(a)=b,就称 s为 满射,如 s即是单射又是满射,就称 s为双射 (或称 一一对应 ).
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大家熟知的一元函数中的线性函数,
y=f(x)=ax (4.21)
是 R?R的映射,它显然是双射,这个映射具有以下的性质,
(i) f(x1+x2)=f(x1)+f(x2); (4.22)
(ii) f(lx)=lf(x),l是常数,
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现在把一元线性函数推广到 n维向量空间,设
A为 n阶矩阵,如果对每一个列向量 X?Rn,映射
X?AX 即 s(X)=AX
是 Rn?Rn的一个映射,满足以下性质,
s(X1+X2)=A(X1+X2)=AX1+AX2=s(X1)+s(X2)
s(lX)=A(lX)=lAX=ls(X),l?R.
把这个映射 s称为 Rn?Rn的 线性映射 (也称 线性变换 ),更一般,如 A是 m?n矩阵,X?Rn,映射
s,X?AX?Rm
是 Rn到 Rm的线性映射,本节主要讨论 Rn?Rn的线性映射
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定义 1 设 V(F)是一个向量空间,如果 V(F)的一个变换 s,满足条件,?a,b?V和 l?F,
(i) s(a+b)=s(a)+s(b),(4.23)
(ii) s(la)=ls(a).
就称 s是 V(F)的一个 线性变换,并称 s(a)为 a的象,a为 s(a)的 原象,
(4.23)式也可等价地写作,?a,b?V和 l,m?F
s(la+mb)=ls(a)+ms(b),(4.23)'
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设 {a1,a2,...,an}是 V(F)的一组基,s是 V(F)的一个线性变换,任给 a?V(F),设
a=x1a1+x2a2+...+xnan
则根据线性变换的性质可得
s(a)=x1s(a1)+x2s(a2)+...+xns(an).
因此,对于 s来讲,如果知道了 s关于 V(F)的基的象 s(a1),s(a2),...,s(an),则任一个向量 a的象
s(a)就知道了,
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定理 1 设 {a1,a2,...,an}是 V(F)的一组基,如果
V(F)的两个线性变换 s和 t关于这组基的象相同,即
s(ai)=t(ai),i=1,2,...,n.
则 s=t.
证 s=t的意义是每个向量在它们的作用下的象相同,即对于任意的 a?V,有 s(a)=t(a),但
s(a)=x1s(a1)+x2s(a2)+...+xns(an)
=x1t(a1)+x2t(a2)+...+xnt(an)=t(a).
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由于基象 s(ai)?V(F),(i=1,2,...,n),所以它们可经 V(F)的基 a1,a2,...,an线性表出,即有1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 1
1 1 2 2
()
()
( 4,30 )
()
nn
nn
n n n nn n
a a a
a a a
a a a
s a a a a
s a a a a
s a a a a
记
s[a1,a2,...,an]=[s(a1),s(a2),...,s(an)],
(4.31)
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将 (4.30)式形式地写作矩阵形式 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2 1 2
12
[,,,] [,,,]
n
n
nn
n n n n
a a a
a a a
a a a
s a a a a a a
(4.32)
或 s[a1,a2,...,an]=[a1,a2,...,an]A (4.32)'
其中 (4.32)右端矩阵 A是 (4.30)式右端
a1,a2,...,an的系数矩阵的转置,A中第 j列是
s(aj)在基 a1,a2,...,an下的坐标,
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定义 2 如果 V(F)中的线性变换 s,使得 V(F)的基 {a1,a2,...,an)和 s关于基的象
s(a1),s(a2),...,s(an)具有 (4.30)式即 (4.32)式的关系,就称 (4.32)式中的矩阵 A是 s在基
{a1,a2,...,an}下 (对应 )的矩阵,
定理 2 设 V(F)的线性变换 s在基 {a1,a2,...,an}
下的矩阵为 A,向量 a在基下的坐标向量为
X=[x1,x2,...,xn]T,s(a)在基下的坐标向量为
Y=[y1,y2,...,yn]T,则
Y=AX,(4.33)
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定理 3 设线性变换 s在基 B1={a1,a2,...,an}和基
B2={b1,b2,...,bn}下的矩阵分别为 A和 B,且基 B1
到基 B2的过渡矩阵为 C,则
B=C-1AC (4.36)
证 根据已知条件有
s[a1,a2,...,an]=[a1,a2,...,an]A,
[b1,b2,...,bn]=[a1,a2,...,an]C.
则 [a1,a2,...,an]=[b1,b2,...,bn]C-1,
因此 s[b1,b2,...,bn]=s[a1,a2,...,an]C
=[a1,a2,...,an]AC=[b1,b2,...,bn]C-1AC.
由此得 B=C-1AC.
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