2009-7-26
1
线性代数第 6讲可逆矩阵的逆矩阵
2009-7-26
2
矩阵运算中定义了加法和负矩阵,就可以定义矩阵的减法,那么定义了矩阵的乘法,是否可以定义矩阵的除法呢? 由于矩阵乘法不满足交换律,因此我们不能一般地定义矩阵的除法,
在数的运算中,当数 a?0时,aa-1=a-1a=1,这里
a-1=1/a称为 a的倒数,(或称 a的逆 ); 在矩阵乘法运算中,单位矩阵 I相当于数的乘法中的 1,
则对于一个矩阵 A,是否存在一个矩阵 A-1,使得 AA-1=A-1A=I呢? 如果存在这样的矩阵 A-1,
就称 A是可逆矩阵,并称 A-1是 A的逆矩阵,
2009-7-26
3
定义 1 对于矩阵 A,如果存在一个矩阵 B,使得
AB=BA=I,(2.22)
就称 A为 可逆矩阵,(简称 A可逆 ),并称 B是 A的逆矩阵,记作 A-1,即 A-1=B.
由定义可知,可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵,
由于 (2.22)式中,A与 B的地位是平等的,所以也可称 A是 B的逆矩阵,
2009-7-26
4
定理 1 若 A是可逆矩阵,则 A的逆矩阵是唯一的,
证 设 B和 C都是 A的逆矩阵,则由
AB=BA=I,
AC=CA=I,
可得
B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=C,
故 A的逆矩阵是唯一的,
2009-7-26
5
下面讨论矩阵 A可逆的充分必要条件,
如果 A可逆,其逆为 B,则 |A||B|=|AB|=|I|=1,必有
|A|?0,因此,|A|?0是 A可逆的必要条件,
下面要证明 |A|?0也是 A可逆的充分条件,为此要引入伴随矩阵 (adjoint matrix)的概念,
2009-7-26
6
定义 2 设 A是一个 n阶矩阵,
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
[]
n
n
ij n n
n n n n
a a a
a a a
Aa
a a a
Aij是行列式 |A|中元素 aij的代数余子式,称 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
c o f [ ]
n
n
ij n n
n n n n
A A A
A A A
AA
A A A
是 A的代数余子式矩阵,
2009-7-26
7
称 cof A的转置矩阵是 A的伴随矩阵,记作 adj A
或 A*
1 1 2 1 1
1 2 2 2 2*
12
( c o f )
n
nT
n n n n
A A A
A A A
AA
A A A
*
||
||
||
||
A
A
A A A I
A
在 2.2节的例 6中已经证明了
2009-7-26
8
同理可证,A*A=|A|I,于是
AA*=A*A=|A|I,(2.23)
当 |A|?0时,可得
**11,( 2,2 4 )
| | | |
A A A A I
AA
1* 1,( 2,2 5 )
||
AA
A
-?
故当 |A|?0时,A可逆,且
2009-7-26
9
定理 2 矩阵 A可逆的充分必要条件是,
|A|?0,且
1*1
||
AA
A
-?
2009-7-26
10
推论 若 A,B都是 n阶矩阵,且 AB=I,则 BA=I,即
A,B皆可逆,且 A,B互为逆矩阵,
证 由 AB=I,得 |A||B|=1,|A|?0,B?0,A,B皆可逆,
于是,
BA=IBA=A-1ABA=A-1IA=A-1A=I
因此,判断 B是否为 A的逆,只需验证 AB=I或
BA=I的一个等式成立即可,
2009-7-26
11
例 1 下列矩阵 A,B是否可逆? 若可逆,求其逆矩阵
1
2
3
3 2 1
1 1 1,
1 0 1
b
A B b
b
2009-7-26
12
解
*1
3 2 1 2 2 1
1 1 1,| | 0 1 1 2 0
1 0 1 0 0 1
1 2 1 1 2 1
1
0 2 2,0 2 2
2
1 2 1 1 2 1
AA
AA
-
--
-? -
--
2009-7-26
13
如 b1b2b3?0,B可逆,且
1
2
3
b
Bb
b
1
1
2
3
1/
1/
1/
b
Bb
b
-
求逆运算容易出错,在求得 A-1后,应验证
AA-1=I,保证结果是正确的,
2009-7-26
14
例 2 设
1 1 1 2
2 1 2 2
aa
A
aa
2 2 1 21*
2 1 1 1
11 aa
AA
aadd
-
-
-
的行列式 det A=a11a12-a12a21=d?0,则其逆矩阵
2009-7-26
15
例 3 设方阵满足方程 A2-3A-10I=O,证明 A,
A+4I都可逆,并求它们的逆矩阵,
).(
6
1
)4(
,)4(
6)4)((
0644103
).3(
10
1
,,)3(
10
1
1
22
1
IAIA
IA
IIAIA
IIAAAIAA
IAAAIIAA
-
-
-?
--?-?--
-
-
-
-
可逆故可逆故
2009-7-26
16
例 4 已知非齐次线性方程组 AX=b的系数矩阵
A如 例 1所给,b=[5,1,1]T,问方程组是否有解?
如有解,求其解,
解 由于 A是可逆矩阵,且逆矩阵是唯一的,因此等式 AX=b两端都左乘 A-1,即
A-1(AX)=A-1b,即 X=A-1b
便得此方程组的唯一解,
1
1
2
3
1 / 2 1 1 / 2 5 2
0 1 1 1 0
1 / 2 1 1 / 2 1 1
x
X x A
x
-
-
-?
--
b
2009-7-26
17
可逆矩阵 A有以下性质,
1 1 1 1
1 1 1 1 1
11
1
( ) ( ) ; ( ) ( ) ;
( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ;
11
( ) de t ( ),| |
de t ( ) | |
TT
i A A i i k A A
k
i i i AB B A i v A A
v A A
AA
- - - -
- - - - -
--
或
2009-7-26
18
例 5 证明,若 A是可逆的反对称矩阵,则 A-1也是反对称矩阵,
证 因为 AT?-A,则
(A-1)T=(AT)-1=(-A)-1?-A-1,所以 A-1也是反对称矩阵,
同理,可逆对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵,
2009-7-26
19
矩阵的初等变换和初等矩阵
2009-7-26
20
用高斯消元法解线性方程组,其消元步骤是对增广矩阵做三类行变换,
(i) 以非零常数 c乘矩阵的某一行 ;
(ii) 将矩阵的某一行乘以常数 c并加到另一行 ;
(iii) 将矩阵的某两行对换位置,
这三类行变换统称为 矩阵的初等行变换,(i)称为 倍乘变换,(ii)称为 倍加变换,(iii)称为 对换变换,
在矩阵的其他一些问题里 (如展开方阵的行列式 ),也要对矩阵作上述三类初等列变换,初等行,列变换统称为 初等变换,
2009-7-26
21
初等变换在矩阵的理论中具有十分重要的作用,矩阵的初等变换不只是可用语言表达,而且可用矩阵的乘法运算来表示,为此要引入初等矩阵的概念,
定义 将单位矩阵作一次初等变换所得的矩阵称为 初等矩阵,
对应于三类初等行,列变换,有三种类型的初等矩阵,
2009-7-26
22
(i) 初等倍乘矩阵
Ei(c)是由单位矩阵第 i行 (或列 )乘 c(c?0)
得到,
( ) dia g( 1,,1,,1,,1 )
1
1
1
1
i
E c c
c
2009-7-26
23
(ii) 初等倍加矩阵
1
1
()
1
1
ij
Ec
c
Eij(c)是由单位矩阵第 i行乘 c加到第 j行而得到的,或由第 j列乘 c加到第 i列而得到,
2009-7-26
24
(iii) 初等对换矩阵
1
01
1
1
10
1
ij
E
Eij是由单位矩阵第 i,j行 (或列 )对换而得到的,
2009-7-26
25
例 1 计算下列初等矩阵与矩阵 A=[aij]3?n,
A=[aij]3?2,B=[bij]3?3的乘积,
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
31 32 3 31 32 3
11 31 12 3211 12
21 22 21 22
31 32 31 32
1 0 0
00
0 0 1
10
0 1 0
0 0 1
nn
nn
nn
a a a a a a
c a a a c a c a c a
a a a a a a
a c a a c aaac
a a a a
a a a a
2009-7-26
26
由例 1可见,初等矩阵左乘 A(右乘 B)的结果是对 A(B)作初等行 (列 )变换,而且,如果初等矩阵是由单位矩阵作某种行 (列 )变换所得,那末它在左乘 A(右乘 B)也是对 A(B)作该种行 (列 )初等变换,
1 1 1 2 1 1 1 2
2 1 2 2 2 1 2 2
3 1 3 2 3 1 3
1 3 1 3
2 3 2 3
3 3 3 3 2
1 0 0
0 0 1
0 1 0
b b b b
b b b b
b b b b
bb
bb
bb
2009-7-26
27
不难证明下面的一般结论,
Ei(c)A 表示 A的第 i行乘 c;
Eij(c)A 表示 A的第 i行乘 c加至第 j行 ;
EijA 表示 A的第 i行与第 j行对换位置 ;
BEi(c) 表示 B的第 i列乘 c;
BEij(c) 表示 B的第 j列乘 c加至第 i列 ;
BEij 表示 B的第 i列与第 j列对换位置,
2009-7-26
28
初等矩阵的行列式都不等于零,因此初等矩阵都是可逆矩阵,由于对初等矩阵再作一次初等变换就化为单位矩阵,即
1 ( ),( ) ( ),,
i i ij ij ij ijE E c I E c E c I E E Ic
-
1 1 11( ),( ) ( ),
i i ij ij ij ijE c E E c E c E Ec
- - - -?
所以,初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵,即
2009-7-26
29
例 2 设初等矩阵
12
3
0 0 1 0 1
0 1 0 0 0 1
,,
1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 1
1
1
1
PP
c
k
P
试求 P1P2P3及 [P1P2P3]-1.
2009-7-26
30
解
1 2 3
0 0 1 0 1 1
0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 1 0 0 1 1
0 0 1 0 1 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 1
k
P P P
c
kk
cc
2009-7-26
31
1 1 1 1
1 2 3 3 2 1
[]
1
1 0 0 1 0
1
0 1 0 1 0 00
0 0 1 1 0 0 0
0 0 1
0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 1
1 0 0 1 0
0 0 1 0
11
0 1 0 00 0 0 0
1 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0
0 0 1
0 0 0 1 0 0 1
P P P P P P
k
c
kk
c
c
- - - -
-
-
-
2009-7-26
32
定理 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵,
证 n阶可逆矩阵 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
A
a a a
的行列式 |A|?0,所以它的第一列元素不全为零,不妨假设 a11?0(如 a11=0,必存在 ai1?0,此时先把第 1行与第 i行交换 ),
先将第一行乘 1/a11,再将变换后的第一行乘 (-ai1)加至第 i行 (i=2,3,...,n)得
2009-7-26
33
其中 P11,P12,...,P1m是对 A所作初等行变换所对应的初等矩阵,由于 |A1|=|P1m...P12P11A|?0,故对 B中 A1继续作如对 A所作的初等变换,直至把 B化为主对角元为 1的上三角矩阵,即
12 1
22 2
1 12 11
1
1
0
0
1
,
0
n
n
m
n nn
aa
aa
P P P A
aa
B
A
2009-7-26
34
再将 C中第 n,n-1,...,2行依次分别乘某些常数加到前面的第 n-1,n-2,...,1行,就可使 C化为单位矩阵,即 P3k...P32P31C=I.
综上就有
(P3k...P32P31)(P2l...P22P21)(P1m...P12P11)A=I
其中 A左边的矩阵都是初等矩阵,定理得证,
1 2 1
2
2 2 2 2 1
1
1
.
1
n
n
l
aa
a
P P P B C
2009-7-26
35
推论 1 可逆矩阵 A可以表示为若干个初等矩阵的乘积,
证 根据定理,存在初等矩阵 P1,P2,...,Ps,使得
Ps...P2P1A=I (2.26)
所以
A=(Ps...P2P1)-1=P1-1P2-1...Ps-1,(2.27)
其中 P1-1,P2-1,...,Ps-1仍是初等矩阵,推论得证由 (2.26)知
A-1=Ps...P2P1=Ps...P2P1I,(2.28)
由 (2.26)和 (2.28)式,即得
2009-7-26
36
推论 2 如果对可逆矩阵 A和同阶单位矩阵 I作同样的初等行变换,则当 A变为单位矩阵时,I
就变为 A-1,即
[A,I] [I,A-1]
初等行变换
2009-7-26
37
例 4 用初等行变换求 1 2 3
2 1 2
1 3 3
A
1 2 3 1 0 0
[,] 2 1 2 0 1 0
1 3 3 0 0 1
AI
的逆矩阵解
2009-7-26
38
21
31
23
32
1 2 3 1 0 0
[,] 2 1 2 0 1 0
1 3 3 0 0 1
1 2 3 1 0 0
( 2)
0 3 4 2 1 0
( 1 )
0 1 0 1 0 1
1 2 3 1 0 0
0 1 0 1 0 1
3
0 0 4 5 1 3
AI
-
- - -
-
-
-
--
2009-7-26
39
12
3
13
1 2 3 1 0 0
0 1 0 1 0 1
0 0 4 5 1 3
1 0 3 3 0 2
( 2)
0 1 0 1 0 1
( 1 / 4)
0 0 1 5 / 4 1 / 4 3 / 4
1 0 0 3 / 4 3 / 4 1 / 4
( 3 )
0 1 0 1 0 1
0 0 1 5 / 4 1 / 4 3 / 4
-
--
-
-
-
-
--
-
-
-
--
2009-7-26
40
故 1
1
1 2 3 3 3 1
1
2 1 2 4 0 4
4
1 3 3 5 1 3
A
-
-
--
-
--
1 0 0 3 / 4 3 / 4 1 / 4
[,] 0 1 0 1 0 1
0 0 1 5 / 4 1 / 4 3 / 4
AI
-
-
--
2009-7-26
41
例 5 假设矩阵 A,B满足如下关系
.,
321
011
324
,2 BABAAB 求其中
-
2 2 3
| 2 | 1 1 0 1 0,
1 2 1
AI-? -? -?
-
解 由 AB=A+2B,得 AB-2B=(A-2I)B=A,
其中 I是单位矩阵,因
A-2I可逆,且 B=(A-2I)-1A,
2009-7-26
42
-
--
--
-?
-
--
--
-
--
--
-
-
9122
692
683
321
011
324
461
351
341
,
461
351
341
)2(
1
B
IA
故
2009-7-26
43
今天作业,第 96页开始
40题,50题
1
线性代数第 6讲可逆矩阵的逆矩阵
2009-7-26
2
矩阵运算中定义了加法和负矩阵,就可以定义矩阵的减法,那么定义了矩阵的乘法,是否可以定义矩阵的除法呢? 由于矩阵乘法不满足交换律,因此我们不能一般地定义矩阵的除法,
在数的运算中,当数 a?0时,aa-1=a-1a=1,这里
a-1=1/a称为 a的倒数,(或称 a的逆 ); 在矩阵乘法运算中,单位矩阵 I相当于数的乘法中的 1,
则对于一个矩阵 A,是否存在一个矩阵 A-1,使得 AA-1=A-1A=I呢? 如果存在这样的矩阵 A-1,
就称 A是可逆矩阵,并称 A-1是 A的逆矩阵,
2009-7-26
3
定义 1 对于矩阵 A,如果存在一个矩阵 B,使得
AB=BA=I,(2.22)
就称 A为 可逆矩阵,(简称 A可逆 ),并称 B是 A的逆矩阵,记作 A-1,即 A-1=B.
由定义可知,可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵,
由于 (2.22)式中,A与 B的地位是平等的,所以也可称 A是 B的逆矩阵,
2009-7-26
4
定理 1 若 A是可逆矩阵,则 A的逆矩阵是唯一的,
证 设 B和 C都是 A的逆矩阵,则由
AB=BA=I,
AC=CA=I,
可得
B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=C,
故 A的逆矩阵是唯一的,
2009-7-26
5
下面讨论矩阵 A可逆的充分必要条件,
如果 A可逆,其逆为 B,则 |A||B|=|AB|=|I|=1,必有
|A|?0,因此,|A|?0是 A可逆的必要条件,
下面要证明 |A|?0也是 A可逆的充分条件,为此要引入伴随矩阵 (adjoint matrix)的概念,
2009-7-26
6
定义 2 设 A是一个 n阶矩阵,
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
[]
n
n
ij n n
n n n n
a a a
a a a
Aa
a a a
Aij是行列式 |A|中元素 aij的代数余子式,称 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
c o f [ ]
n
n
ij n n
n n n n
A A A
A A A
AA
A A A
是 A的代数余子式矩阵,
2009-7-26
7
称 cof A的转置矩阵是 A的伴随矩阵,记作 adj A
或 A*
1 1 2 1 1
1 2 2 2 2*
12
( c o f )
n
nT
n n n n
A A A
A A A
AA
A A A
*
||
||
||
||
A
A
A A A I
A
在 2.2节的例 6中已经证明了
2009-7-26
8
同理可证,A*A=|A|I,于是
AA*=A*A=|A|I,(2.23)
当 |A|?0时,可得
**11,( 2,2 4 )
| | | |
A A A A I
AA
1* 1,( 2,2 5 )
||
AA
A
-?
故当 |A|?0时,A可逆,且
2009-7-26
9
定理 2 矩阵 A可逆的充分必要条件是,
|A|?0,且
1*1
||
AA
A
-?
2009-7-26
10
推论 若 A,B都是 n阶矩阵,且 AB=I,则 BA=I,即
A,B皆可逆,且 A,B互为逆矩阵,
证 由 AB=I,得 |A||B|=1,|A|?0,B?0,A,B皆可逆,
于是,
BA=IBA=A-1ABA=A-1IA=A-1A=I
因此,判断 B是否为 A的逆,只需验证 AB=I或
BA=I的一个等式成立即可,
2009-7-26
11
例 1 下列矩阵 A,B是否可逆? 若可逆,求其逆矩阵
1
2
3
3 2 1
1 1 1,
1 0 1
b
A B b
b
2009-7-26
12
解
*1
3 2 1 2 2 1
1 1 1,| | 0 1 1 2 0
1 0 1 0 0 1
1 2 1 1 2 1
1
0 2 2,0 2 2
2
1 2 1 1 2 1
AA
AA
-
--
-? -
--
2009-7-26
13
如 b1b2b3?0,B可逆,且
1
2
3
b
Bb
b
1
1
2
3
1/
1/
1/
b
Bb
b
-
求逆运算容易出错,在求得 A-1后,应验证
AA-1=I,保证结果是正确的,
2009-7-26
14
例 2 设
1 1 1 2
2 1 2 2
aa
A
aa
2 2 1 21*
2 1 1 1
11 aa
AA
aadd
-
-
-
的行列式 det A=a11a12-a12a21=d?0,则其逆矩阵
2009-7-26
15
例 3 设方阵满足方程 A2-3A-10I=O,证明 A,
A+4I都可逆,并求它们的逆矩阵,
).(
6
1
)4(
,)4(
6)4)((
0644103
).3(
10
1
,,)3(
10
1
1
22
1
IAIA
IA
IIAIA
IIAAAIAA
IAAAIIAA
-
-
-?
--?-?--
-
-
-
-
可逆故可逆故
2009-7-26
16
例 4 已知非齐次线性方程组 AX=b的系数矩阵
A如 例 1所给,b=[5,1,1]T,问方程组是否有解?
如有解,求其解,
解 由于 A是可逆矩阵,且逆矩阵是唯一的,因此等式 AX=b两端都左乘 A-1,即
A-1(AX)=A-1b,即 X=A-1b
便得此方程组的唯一解,
1
1
2
3
1 / 2 1 1 / 2 5 2
0 1 1 1 0
1 / 2 1 1 / 2 1 1
x
X x A
x
-
-
-?
--
b
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17
可逆矩阵 A有以下性质,
1 1 1 1
1 1 1 1 1
11
1
( ) ( ) ; ( ) ( ) ;
( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ;
11
( ) de t ( ),| |
de t ( ) | |
TT
i A A i i k A A
k
i i i AB B A i v A A
v A A
AA
- - - -
- - - - -
--
或
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18
例 5 证明,若 A是可逆的反对称矩阵,则 A-1也是反对称矩阵,
证 因为 AT?-A,则
(A-1)T=(AT)-1=(-A)-1?-A-1,所以 A-1也是反对称矩阵,
同理,可逆对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵,
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19
矩阵的初等变换和初等矩阵
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20
用高斯消元法解线性方程组,其消元步骤是对增广矩阵做三类行变换,
(i) 以非零常数 c乘矩阵的某一行 ;
(ii) 将矩阵的某一行乘以常数 c并加到另一行 ;
(iii) 将矩阵的某两行对换位置,
这三类行变换统称为 矩阵的初等行变换,(i)称为 倍乘变换,(ii)称为 倍加变换,(iii)称为 对换变换,
在矩阵的其他一些问题里 (如展开方阵的行列式 ),也要对矩阵作上述三类初等列变换,初等行,列变换统称为 初等变换,
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21
初等变换在矩阵的理论中具有十分重要的作用,矩阵的初等变换不只是可用语言表达,而且可用矩阵的乘法运算来表示,为此要引入初等矩阵的概念,
定义 将单位矩阵作一次初等变换所得的矩阵称为 初等矩阵,
对应于三类初等行,列变换,有三种类型的初等矩阵,
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22
(i) 初等倍乘矩阵
Ei(c)是由单位矩阵第 i行 (或列 )乘 c(c?0)
得到,
( ) dia g( 1,,1,,1,,1 )
1
1
1
1
i
E c c
c
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23
(ii) 初等倍加矩阵
1
1
()
1
1
ij
Ec
c
Eij(c)是由单位矩阵第 i行乘 c加到第 j行而得到的,或由第 j列乘 c加到第 i列而得到,
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24
(iii) 初等对换矩阵
1
01
1
1
10
1
ij
E
Eij是由单位矩阵第 i,j行 (或列 )对换而得到的,
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25
例 1 计算下列初等矩阵与矩阵 A=[aij]3?n,
A=[aij]3?2,B=[bij]3?3的乘积,
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
31 32 3 31 32 3
11 31 12 3211 12
21 22 21 22
31 32 31 32
1 0 0
00
0 0 1
10
0 1 0
0 0 1
nn
nn
nn
a a a a a a
c a a a c a c a c a
a a a a a a
a c a a c aaac
a a a a
a a a a
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26
由例 1可见,初等矩阵左乘 A(右乘 B)的结果是对 A(B)作初等行 (列 )变换,而且,如果初等矩阵是由单位矩阵作某种行 (列 )变换所得,那末它在左乘 A(右乘 B)也是对 A(B)作该种行 (列 )初等变换,
1 1 1 2 1 1 1 2
2 1 2 2 2 1 2 2
3 1 3 2 3 1 3
1 3 1 3
2 3 2 3
3 3 3 3 2
1 0 0
0 0 1
0 1 0
b b b b
b b b b
b b b b
bb
bb
bb
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不难证明下面的一般结论,
Ei(c)A 表示 A的第 i行乘 c;
Eij(c)A 表示 A的第 i行乘 c加至第 j行 ;
EijA 表示 A的第 i行与第 j行对换位置 ;
BEi(c) 表示 B的第 i列乘 c;
BEij(c) 表示 B的第 j列乘 c加至第 i列 ;
BEij 表示 B的第 i列与第 j列对换位置,
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初等矩阵的行列式都不等于零,因此初等矩阵都是可逆矩阵,由于对初等矩阵再作一次初等变换就化为单位矩阵,即
1 ( ),( ) ( ),,
i i ij ij ij ijE E c I E c E c I E E Ic
-
1 1 11( ),( ) ( ),
i i ij ij ij ijE c E E c E c E Ec
- - - -?
所以,初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵,即
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29
例 2 设初等矩阵
12
3
0 0 1 0 1
0 1 0 0 0 1
,,
1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 1
1
1
1
PP
c
k
P
试求 P1P2P3及 [P1P2P3]-1.
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30
解
1 2 3
0 0 1 0 1 1
0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 1 0 0 1 1
0 0 1 0 1 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 1
k
P P P
c
kk
cc
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31
1 1 1 1
1 2 3 3 2 1
[]
1
1 0 0 1 0
1
0 1 0 1 0 00
0 0 1 1 0 0 0
0 0 1
0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 1
1 0 0 1 0
0 0 1 0
11
0 1 0 00 0 0 0
1 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0
0 0 1
0 0 0 1 0 0 1
P P P P P P
k
c
kk
c
c
- - - -
-
-
-
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定理 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵,
证 n阶可逆矩阵 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
A
a a a
的行列式 |A|?0,所以它的第一列元素不全为零,不妨假设 a11?0(如 a11=0,必存在 ai1?0,此时先把第 1行与第 i行交换 ),
先将第一行乘 1/a11,再将变换后的第一行乘 (-ai1)加至第 i行 (i=2,3,...,n)得
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其中 P11,P12,...,P1m是对 A所作初等行变换所对应的初等矩阵,由于 |A1|=|P1m...P12P11A|?0,故对 B中 A1继续作如对 A所作的初等变换,直至把 B化为主对角元为 1的上三角矩阵,即
12 1
22 2
1 12 11
1
1
0
0
1
,
0
n
n
m
n nn
aa
aa
P P P A
aa
B
A
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34
再将 C中第 n,n-1,...,2行依次分别乘某些常数加到前面的第 n-1,n-2,...,1行,就可使 C化为单位矩阵,即 P3k...P32P31C=I.
综上就有
(P3k...P32P31)(P2l...P22P21)(P1m...P12P11)A=I
其中 A左边的矩阵都是初等矩阵,定理得证,
1 2 1
2
2 2 2 2 1
1
1
.
1
n
n
l
aa
a
P P P B C
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推论 1 可逆矩阵 A可以表示为若干个初等矩阵的乘积,
证 根据定理,存在初等矩阵 P1,P2,...,Ps,使得
Ps...P2P1A=I (2.26)
所以
A=(Ps...P2P1)-1=P1-1P2-1...Ps-1,(2.27)
其中 P1-1,P2-1,...,Ps-1仍是初等矩阵,推论得证由 (2.26)知
A-1=Ps...P2P1=Ps...P2P1I,(2.28)
由 (2.26)和 (2.28)式,即得
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36
推论 2 如果对可逆矩阵 A和同阶单位矩阵 I作同样的初等行变换,则当 A变为单位矩阵时,I
就变为 A-1,即
[A,I] [I,A-1]
初等行变换
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例 4 用初等行变换求 1 2 3
2 1 2
1 3 3
A
1 2 3 1 0 0
[,] 2 1 2 0 1 0
1 3 3 0 0 1
AI
的逆矩阵解
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38
21
31
23
32
1 2 3 1 0 0
[,] 2 1 2 0 1 0
1 3 3 0 0 1
1 2 3 1 0 0
( 2)
0 3 4 2 1 0
( 1 )
0 1 0 1 0 1
1 2 3 1 0 0
0 1 0 1 0 1
3
0 0 4 5 1 3
AI
-
- - -
-
-
-
--
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39
12
3
13
1 2 3 1 0 0
0 1 0 1 0 1
0 0 4 5 1 3
1 0 3 3 0 2
( 2)
0 1 0 1 0 1
( 1 / 4)
0 0 1 5 / 4 1 / 4 3 / 4
1 0 0 3 / 4 3 / 4 1 / 4
( 3 )
0 1 0 1 0 1
0 0 1 5 / 4 1 / 4 3 / 4
-
--
-
-
-
-
--
-
-
-
--
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40
故 1
1
1 2 3 3 3 1
1
2 1 2 4 0 4
4
1 3 3 5 1 3
A
-
-
--
-
--
1 0 0 3 / 4 3 / 4 1 / 4
[,] 0 1 0 1 0 1
0 0 1 5 / 4 1 / 4 3 / 4
AI
-
-
--
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例 5 假设矩阵 A,B满足如下关系
.,
321
011
324
,2 BABAAB 求其中
-
2 2 3
| 2 | 1 1 0 1 0,
1 2 1
AI-? -? -?
-
解 由 AB=A+2B,得 AB-2B=(A-2I)B=A,
其中 I是单位矩阵,因
A-2I可逆,且 B=(A-2I)-1A,
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42
-
--
--
-?
-
--
--
-
--
--
-
-
9122
692
683
321
011
324
461
351
341
,
461
351
341
)2(
1
B
IA
故
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今天作业,第 96页开始
40题,50题
