2009-7-26
1
线性代数第 13讲特征值和特征向量 矩阵的对角化
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2
5 特征值和特征向量 矩阵的对角化
5.1 矩阵的特征值和特征向量 相似矩阵
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3
5.1.1 特征值和特征向量的基本概念定义 1 设 A为复数域 K上的 n阶矩阵,如果存在数 l?K和 非零 的 n维向量 X,使得
AX=lX,(5.1)
就称 l是矩阵 A的 特征值,X是 A的属于 (或对应于 )特征值 l的 特征向量,
注意,特征向量 X?0; 特征值问题是对方阵而言的,本章的矩阵如不加说明,都是方阵,
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4
AX=lX,
(5.1)
根据定义,n阶矩阵 A的特征值,就是齐次线性方程组
(lI-A)X=0
有非零解的 l值,即满足方程
det(lI-A)=0 (5.2)
的 l都是矩阵 A的特征值,因此,特征值是 l的多项式 det(lI-A)的根,
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5
AX=lX,(5.1)
det(lI-A)=0 (5.2)
定义 2 设 n阶矩阵 A=[aij],则
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
( ) d e t( )
( 5,3 )
n
n
n n n n
f I A
a a a
a a a
a a a
ll
l
l
l
-
- - -
- - -
- - -
称为矩阵 A的 特征多项式,lI-A称为 A
的 特征矩阵,(5.2)式称为 A的 特征方程,
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显然,n阶矩阵 A的特征多项式是 l的 n次多项式,特征多项式的 k重根也称为 k重特征值,当
n?5时,特征多项式没有一般的求根公式,即使是三阶矩阵的特征多项式,一般也难以求根,
所以求矩阵的特征值一般要采用近似计算的方法,它是计算方法课中的一个专题,
在作业和考试中,一般是三阶行列式求特征值,
一般用 0,1,-1,2,-2进行尝试先得到一个根,则剩下的两个根可用解一元二次方程的办法解,
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7
例 1 求矩阵 1 1 0
4 3 0
1 0 2
A
-
-
1 1 0
d e t( ) 4 3 0 0,
1 0 2
IA
l
ll
l
-
-? -?
--
的特征值和特征向量,
解 矩阵 A的特征方程为化简得 (l-1)(l-1)2=0,A的特征值为 l1=2,
l2=1(二重特征值 ).
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8
当 l1=2时,由 (l1I-A)X=0,即
1
2
3
3 1 0 0
4 1 0 0,
1 0 0 0
x
x
x
-
-?
-
得其基础解系为 X1=(0,0,1)T,因此
k1X1(k1?0为常数 )是 A的对应于 l1=2的特征向量,
1 1 0
4 3 0
1 0 2
A
-
-
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当 l2=1时,由 (l2I-A)X=0,即
1
2
3
2 1 0 0
4 2 0 0,
1 0 1 0
x
x
x
-
-?
--
得其基础解系为 X2=(1,2,-1)T,因此
k2X2(k2?0为常数 )是 A的对应于 l2=1的特征向量,
1 1 0
4 3 0
1 0 2
A
-
-
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例 2 主对角元为 a11,a22,...,ann的对角阵 A或上
(下 )三角阵 B的特征多项式是
|lI-A|=|lI-B|=(l-a11)(l-a22)...(l-ann),
故 A,B的 n个特征值就是 n个主对角元,
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5.1.2 特征值和特征向量的性质定理 1 若 X1和 X2都是 A的属于特征值 l0的特征向量,则 k1X1+k2X2也是 A的属于 l0的特征向量
(其中 k1,k2是任意常数但 k1X1+k2X2?0)
证 由于 X1,X2是齐次线性方程组
(l0I-A)X=0
的解,因此 k1X1+k2X2也是上式的解,故当
k1X1+k2X2?0时,是 A的属于 l0的特征向量,
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定理 2 设 n阶矩阵 A=[aij]的 n个特征值为
l1,l2,...,ln,则
),)t r (
,,(
.de t)(;)(
1
1
11
A
AAa
Aii
ai
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
记作的迹称为主对角元之和是其中?
l
l
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由定理 2可知,当 det A?0时,A的特征值全为非零数 ; 当 det A=0时,A至少有一个零特征值,
矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征向量不能属于不同的特征值,
这是因为,如果 X同时是 A的属于特征值
l1,l2(l1?l2)的特征向量,即有
AX=l1X且 AX=l2X,
则 l1X=l2X 即 (l1-l2)X=0.
由于 l1-l2?0,则 X=0,而这是不可能的,
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14
矩阵的特征值和特征向量还有以下性质,
性质 1,若 l是矩阵 A的特征值,X是 A在属于 l的特征向量,则
(i) kl是 kA的特征值 (k是任意常数 ),
(ii) lm是 Am的特征值 (m是正整数 ),
(iii) 当 A可逆时,l-1是 A-1的特征值 ;
且 X仍是矩阵 kA,Am,A-1的分别对应于特征值
kl,lm,1/l的特征向量,
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证 已知 AX=lX
(i) kl是 kA的特征值 (k是任意常数 ),
这是因为 (kA)X=k(AX)=klX,即 kl是 kA的特征值,X是 kA的属于特征值 kl的特征向量,
(ii) A(AX)=A(lX)=l(AX)=l(lX),
即 A2X=l2X
再继续上述步骤 m-2次,就得 AmX=lmX.
(iii) 当 A可逆时,l?0,由 AX=lX可得
A-1(AX)=A-1(lX)=lA-1X,
因此 A-1X=l-1X
故 l-1是 A-1的特征值,且 X也是 A-1对应于 l-1的特征向量,
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性质 2 矩阵 A和 AT的特征值相同,
证 因为 (lI-A)T=(lI)T-AT=lI-AT
所以 det(lI-A)=det(lI-AT)
因此,A和 AT有完全相同的特征值,
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5.1.3 相似矩阵及其性质定义 3 对于矩阵 A和 B,若存在可逆矩阵 P,使
P-1AP=B,就称 A相似于 B,记作 A~B.
矩阵的相似关系也是一种等价关系,即也有以下三条性质,
(i) 反身性,A~A
(ii) 对称性,若 A~B,则 B~A
(iii) 传递性,若 A~B,B~C,则 A~C.
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相似矩阵有以下性质,
(1) P-1(k1A1+k2A2)P=k1P-1A1P
+k2P-1A2P(其中 k1,k2是任意常数 ).
(2) P-1(A1A2)P=(P-1A1P)(P-1A2P),
(3) 若 A~B,则 Am~Bm,(m为正整数 ).
证 因为 A~B,存在可逆阵 P使 P-1AP=B,
于是 Bm=(P-1AP)(P-1AP)...(P-1AP)=P-1AmP,
故 Am~Bm.
(4) 若 A~B,则 f(A)~f(B),其中
f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0
f(A)=anAn+an-1An-1+...+a1A+a0I
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定理 4 相似矩阵的特征值相同证 只需证明相似矩阵有相同的特征多项式,
设 A~B,则存在可逆矩阵 P,使得
P-1AP=B.
于是
|lI-B|=|lP-1IP-P-1AP|
=|P-1(lI-A)P|=|P-1||lI-A||P|
=|lI-A| (因 |P-1||P|=1)
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5.2 矩阵可对角化的条件
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21
所谓矩阵可对角化的条件指的是,矩阵与对角阵相似,本节讨论矩阵可对角化的条件,其主要结论是,矩阵可对角化的充分必要条件是 n
阶矩阵有 n个线性无关的特征向量,或矩阵的每个特征值的 (代数 )重数等于对应特征子空间的 (几何维数 ).
今后常将主对角元为 a1,a2,...,an的对角阵记为
diag(a1,a2,...,an),或记作 L.
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定理 1 n阶矩阵 A与对角阵相似的充要条件是,
A有 n个线性无关的特征向量,
证 设 P-1AP=diag(l1,l2,...,ln)=L,AP=PL
将 P按列分块为 P=(X1,X2,...,Xn),则
1
2
1 2 1 2
[,,,] [,,,],
nn
n
A X X X X X X
l
l
l
即 [AX1,AX2,...,AXn]=[l1X1,l2X2,...,lnXn],
于是 AXi=liXi (i=1,2,...,n) 故 X1,X2,...,Xn是 A
分别对应于特征值 l1,l2,...,ln的特征向量,由于 P可逆,它们是线性无关的,反之亦然,
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例 3 设
1 1 1
2 2 2
1 1 1
A
-
-
--
(i) 求 A的特征值和特征向量
(ii) 求可逆阵 P,使 P-1AP为对角阵
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解
2
1 1 1 1 0 1
| | 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
1 0 1
2 2 [ ( 1 ) ( 3 ) 3 ]
3 0 3
( 2),
IA
ll
l l l
l l l
l
l l l l
l
ll
- - - -
-? -? -? - -
-
--
- -? -
A的特征值 l1=l2=0,l3?-2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
A
-
-
--
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当 l1=0时,由 (l1I-A)X=0即 AX=0,但得基础解系 X1=(1,1,0)T,X2=(-1,0,1)T,故
A对应于 l1=0的全体特征向量为
k1(1,1,0)T+k2(-1,0,1)T(其中 k1,k2为不全为零的任意常数 ).
1 1 1 1 1 1
2 2 2 0 0 0
1 1 1 0 0 0
A
--
-?
--
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当 l3?-2时,由 (l3I-A)X=O,则
3
3 1 1 1 0 1
2 0 2 0 1 2
1 1 1 0 0 0
IAl
--
-? - -?
--
得基础解系为 X3=(-1,-2,1)T,A对应于
l3?-2的全体特征向量为 k3X3=k3(-1,-
2,1)T,(k3为非零任意常数 ).
1 1 1
2 2 2
1 1 1
A
-
-
--
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(ii) 取
1 2 3
1 1 1 0
[,,] 1 0 2,0
0 1 1 2
P X X X L
--
-?
-
则 AP=PL,且 |P|=2?0,因此有 P-1AP=L为对角阵,
11
22
33
0 ( 1,1,0 )1 1 1
2 2 2 0 ( 1,0,1 )
1 1 1 2 ( 1,2,1 )
T
T
T
X
AX
X
l
l
l
-
- -
--
- - -
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定理 2 矩阵 A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的,(证略 )
推论 若 n阶矩阵 A有 n个互不相同的特征值,
则 A与对角阵相似,
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29
例 1 设实对称矩阵 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
A
---
- - -
- - -
---
问,Ａ 是否与对角阵相似? 若与对角阵相似,求对角阵 L及可逆阵 P,使得 P-1AP=L,
再求 A100
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30
解 A的特征多项式
3
1 1 1 1
1 1 1 1
||
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 2 0 0
( 2) ( 2)
1 1 1 0 0 2 0
1 1 1 1 0 0 0 2
( 2) ( 2),
IA
l
l
l
l
l
ll
ll
ll
ll
ll
-
-
-?
-1
-
--
- 1 -
--
-
所以 A的特征值 l1?-2(单根 ),l2=2(三重根 )
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31
对 l1?-2解 (l1I-A)X=0,则
1
3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 0
IAl
-
-
-
-
-
-
-
-
得 l1对应的特征向量为 {k1X1|X1=(1,1,1,1)T,
k1?0).
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32
对 l2=2,解 (l2I-A)X=0,即 x1+x2+x3+x4=0,得基础解系为 X21=(1,-1,0,0)T,X22=(1,0,-1,0)T,
X23=(1,0,0,-1)T,A有 4个线性无关的特征向量,
故 A与对角阵相似,取
1 2 1 2 2 2 3
1 1 1 1
1 1 0 0
(,,,)
1 0 1 0
1 0 0 1
P X X X X
-
-
-
则 P-1AP=diag(-2,2,2,2)=L,因为 L100=2100I,
A100=(PLP-1)100=PL100P-1=P(2100I)P-1
=2100I
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33
关于实对称矩阵的定理定理 1 实对称矩阵 A的任一个特征值都是实数,
定理 2 实对称矩阵 A对应于不同特征值的特征向量是正交的,
定理 3 对于任一个 n阶实对称矩阵 A,存在 n阶正交矩阵 T,使得
T-1AT=diag(l1,l2,...,ln)
2009-7-26
34
今天作业,第 247页开始第 1题第 (1),(6)小题,第 16题对应的第 (1),(6)小题,
1
线性代数第 13讲特征值和特征向量 矩阵的对角化
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2
5 特征值和特征向量 矩阵的对角化
5.1 矩阵的特征值和特征向量 相似矩阵
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3
5.1.1 特征值和特征向量的基本概念定义 1 设 A为复数域 K上的 n阶矩阵,如果存在数 l?K和 非零 的 n维向量 X,使得
AX=lX,(5.1)
就称 l是矩阵 A的 特征值,X是 A的属于 (或对应于 )特征值 l的 特征向量,
注意,特征向量 X?0; 特征值问题是对方阵而言的,本章的矩阵如不加说明,都是方阵,
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4
AX=lX,
(5.1)
根据定义,n阶矩阵 A的特征值,就是齐次线性方程组
(lI-A)X=0
有非零解的 l值,即满足方程
det(lI-A)=0 (5.2)
的 l都是矩阵 A的特征值,因此,特征值是 l的多项式 det(lI-A)的根,
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5
AX=lX,(5.1)
det(lI-A)=0 (5.2)
定义 2 设 n阶矩阵 A=[aij],则
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
( ) d e t( )
( 5,3 )
n
n
n n n n
f I A
a a a
a a a
a a a
ll
l
l
l
-
- - -
- - -
- - -
称为矩阵 A的 特征多项式,lI-A称为 A
的 特征矩阵,(5.2)式称为 A的 特征方程,
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显然,n阶矩阵 A的特征多项式是 l的 n次多项式,特征多项式的 k重根也称为 k重特征值,当
n?5时,特征多项式没有一般的求根公式,即使是三阶矩阵的特征多项式,一般也难以求根,
所以求矩阵的特征值一般要采用近似计算的方法,它是计算方法课中的一个专题,
在作业和考试中,一般是三阶行列式求特征值,
一般用 0,1,-1,2,-2进行尝试先得到一个根,则剩下的两个根可用解一元二次方程的办法解,
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例 1 求矩阵 1 1 0
4 3 0
1 0 2
A
-
-
1 1 0
d e t( ) 4 3 0 0,
1 0 2
IA
l
ll
l
-
-? -?
--
的特征值和特征向量,
解 矩阵 A的特征方程为化简得 (l-1)(l-1)2=0,A的特征值为 l1=2,
l2=1(二重特征值 ).
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当 l1=2时,由 (l1I-A)X=0,即
1
2
3
3 1 0 0
4 1 0 0,
1 0 0 0
x
x
x
-
-?
-
得其基础解系为 X1=(0,0,1)T,因此
k1X1(k1?0为常数 )是 A的对应于 l1=2的特征向量,
1 1 0
4 3 0
1 0 2
A
-
-
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当 l2=1时,由 (l2I-A)X=0,即
1
2
3
2 1 0 0
4 2 0 0,
1 0 1 0
x
x
x
-
-?
--
得其基础解系为 X2=(1,2,-1)T,因此
k2X2(k2?0为常数 )是 A的对应于 l2=1的特征向量,
1 1 0
4 3 0
1 0 2
A
-
-
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例 2 主对角元为 a11,a22,...,ann的对角阵 A或上
(下 )三角阵 B的特征多项式是
|lI-A|=|lI-B|=(l-a11)(l-a22)...(l-ann),
故 A,B的 n个特征值就是 n个主对角元,
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5.1.2 特征值和特征向量的性质定理 1 若 X1和 X2都是 A的属于特征值 l0的特征向量,则 k1X1+k2X2也是 A的属于 l0的特征向量
(其中 k1,k2是任意常数但 k1X1+k2X2?0)
证 由于 X1,X2是齐次线性方程组
(l0I-A)X=0
的解,因此 k1X1+k2X2也是上式的解,故当
k1X1+k2X2?0时,是 A的属于 l0的特征向量,
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定理 2 设 n阶矩阵 A=[aij]的 n个特征值为
l1,l2,...,ln,则
),)t r (
,,(
.de t)(;)(
1
1
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A
AAa
Aii
ai
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
记作的迹称为主对角元之和是其中?
l
l
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由定理 2可知,当 det A?0时,A的特征值全为非零数 ; 当 det A=0时,A至少有一个零特征值,
矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征向量不能属于不同的特征值,
这是因为,如果 X同时是 A的属于特征值
l1,l2(l1?l2)的特征向量,即有
AX=l1X且 AX=l2X,
则 l1X=l2X 即 (l1-l2)X=0.
由于 l1-l2?0,则 X=0,而这是不可能的,
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矩阵的特征值和特征向量还有以下性质,
性质 1,若 l是矩阵 A的特征值,X是 A在属于 l的特征向量,则
(i) kl是 kA的特征值 (k是任意常数 ),
(ii) lm是 Am的特征值 (m是正整数 ),
(iii) 当 A可逆时,l-1是 A-1的特征值 ;
且 X仍是矩阵 kA,Am,A-1的分别对应于特征值
kl,lm,1/l的特征向量,
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证 已知 AX=lX
(i) kl是 kA的特征值 (k是任意常数 ),
这是因为 (kA)X=k(AX)=klX,即 kl是 kA的特征值,X是 kA的属于特征值 kl的特征向量,
(ii) A(AX)=A(lX)=l(AX)=l(lX),
即 A2X=l2X
再继续上述步骤 m-2次,就得 AmX=lmX.
(iii) 当 A可逆时,l?0,由 AX=lX可得
A-1(AX)=A-1(lX)=lA-1X,
因此 A-1X=l-1X
故 l-1是 A-1的特征值,且 X也是 A-1对应于 l-1的特征向量,
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性质 2 矩阵 A和 AT的特征值相同,
证 因为 (lI-A)T=(lI)T-AT=lI-AT
所以 det(lI-A)=det(lI-AT)
因此,A和 AT有完全相同的特征值,
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5.1.3 相似矩阵及其性质定义 3 对于矩阵 A和 B,若存在可逆矩阵 P,使
P-1AP=B,就称 A相似于 B,记作 A~B.
矩阵的相似关系也是一种等价关系,即也有以下三条性质,
(i) 反身性,A~A
(ii) 对称性,若 A~B,则 B~A
(iii) 传递性,若 A~B,B~C,则 A~C.
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相似矩阵有以下性质,
(1) P-1(k1A1+k2A2)P=k1P-1A1P
+k2P-1A2P(其中 k1,k2是任意常数 ).
(2) P-1(A1A2)P=(P-1A1P)(P-1A2P),
(3) 若 A~B,则 Am~Bm,(m为正整数 ).
证 因为 A~B,存在可逆阵 P使 P-1AP=B,
于是 Bm=(P-1AP)(P-1AP)...(P-1AP)=P-1AmP,
故 Am~Bm.
(4) 若 A~B,则 f(A)~f(B),其中
f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0
f(A)=anAn+an-1An-1+...+a1A+a0I
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定理 4 相似矩阵的特征值相同证 只需证明相似矩阵有相同的特征多项式,
设 A~B,则存在可逆矩阵 P,使得
P-1AP=B.
于是
|lI-B|=|lP-1IP-P-1AP|
=|P-1(lI-A)P|=|P-1||lI-A||P|
=|lI-A| (因 |P-1||P|=1)
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5.2 矩阵可对角化的条件
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21
所谓矩阵可对角化的条件指的是,矩阵与对角阵相似,本节讨论矩阵可对角化的条件,其主要结论是,矩阵可对角化的充分必要条件是 n
阶矩阵有 n个线性无关的特征向量,或矩阵的每个特征值的 (代数 )重数等于对应特征子空间的 (几何维数 ).
今后常将主对角元为 a1,a2,...,an的对角阵记为
diag(a1,a2,...,an),或记作 L.
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定理 1 n阶矩阵 A与对角阵相似的充要条件是,
A有 n个线性无关的特征向量,
证 设 P-1AP=diag(l1,l2,...,ln)=L,AP=PL
将 P按列分块为 P=(X1,X2,...,Xn),则
1
2
1 2 1 2
[,,,] [,,,],
nn
n
A X X X X X X
l
l
l
即 [AX1,AX2,...,AXn]=[l1X1,l2X2,...,lnXn],
于是 AXi=liXi (i=1,2,...,n) 故 X1,X2,...,Xn是 A
分别对应于特征值 l1,l2,...,ln的特征向量,由于 P可逆,它们是线性无关的,反之亦然,
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例 3 设
1 1 1
2 2 2
1 1 1
A
-
-
--
(i) 求 A的特征值和特征向量
(ii) 求可逆阵 P,使 P-1AP为对角阵
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解
2
1 1 1 1 0 1
| | 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
1 0 1
2 2 [ ( 1 ) ( 3 ) 3 ]
3 0 3
( 2),
IA
ll
l l l
l l l
l
l l l l
l
ll
- - - -
-? -? -? - -
-
--
- -? -
A的特征值 l1=l2=0,l3?-2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
A
-
-
--
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当 l1=0时,由 (l1I-A)X=0即 AX=0,但得基础解系 X1=(1,1,0)T,X2=(-1,0,1)T,故
A对应于 l1=0的全体特征向量为
k1(1,1,0)T+k2(-1,0,1)T(其中 k1,k2为不全为零的任意常数 ).
1 1 1 1 1 1
2 2 2 0 0 0
1 1 1 0 0 0
A
--
-?
--
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当 l3?-2时,由 (l3I-A)X=O,则
3
3 1 1 1 0 1
2 0 2 0 1 2
1 1 1 0 0 0
IAl
--
-? - -?
--
得基础解系为 X3=(-1,-2,1)T,A对应于
l3?-2的全体特征向量为 k3X3=k3(-1,-
2,1)T,(k3为非零任意常数 ).
1 1 1
2 2 2
1 1 1
A
-
-
--
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(ii) 取
1 2 3
1 1 1 0
[,,] 1 0 2,0
0 1 1 2
P X X X L
--
-?
-
则 AP=PL,且 |P|=2?0,因此有 P-1AP=L为对角阵,
11
22
33
0 ( 1,1,0 )1 1 1
2 2 2 0 ( 1,0,1 )
1 1 1 2 ( 1,2,1 )
T
T
T
X
AX
X
l
l
l
-
- -
--
- - -
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定理 2 矩阵 A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的,(证略 )
推论 若 n阶矩阵 A有 n个互不相同的特征值,
则 A与对角阵相似,
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例 1 设实对称矩阵 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
A
---
- - -
- - -
---
问,Ａ 是否与对角阵相似? 若与对角阵相似,求对角阵 L及可逆阵 P,使得 P-1AP=L,
再求 A100
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解 A的特征多项式
3
1 1 1 1
1 1 1 1
||
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 2 0 0
( 2) ( 2)
1 1 1 0 0 2 0
1 1 1 1 0 0 0 2
( 2) ( 2),
IA
l
l
l
l
l
ll
ll
ll
ll
ll
-
-
-?
-1
-
--
- 1 -
--
-
所以 A的特征值 l1?-2(单根 ),l2=2(三重根 )
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对 l1?-2解 (l1I-A)X=0,则
1
3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 0
IAl
-
-
-
-
-
-
-
-
得 l1对应的特征向量为 {k1X1|X1=(1,1,1,1)T,
k1?0).
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对 l2=2,解 (l2I-A)X=0,即 x1+x2+x3+x4=0,得基础解系为 X21=(1,-1,0,0)T,X22=(1,0,-1,0)T,
X23=(1,0,0,-1)T,A有 4个线性无关的特征向量,
故 A与对角阵相似,取
1 2 1 2 2 2 3
1 1 1 1
1 1 0 0
(,,,)
1 0 1 0
1 0 0 1
P X X X X
-
-
-
则 P-1AP=diag(-2,2,2,2)=L,因为 L100=2100I,
A100=(PLP-1)100=PL100P-1=P(2100I)P-1
=2100I
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关于实对称矩阵的定理定理 1 实对称矩阵 A的任一个特征值都是实数,
定理 2 实对称矩阵 A对应于不同特征值的特征向量是正交的,
定理 3 对于任一个 n阶实对称矩阵 A,存在 n阶正交矩阵 T,使得
T-1AT=diag(l1,l2,...,ln)
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今天作业,第 247页开始第 1题第 (1),(6)小题,第 16题对应的第 (1),(6)小题,
