2009-7-26
1
线性代数第 14讲二次型
2009-7-26
2
二次型就是二次多项式,在解析几何中讨论的有心二次曲线,当中心与坐标原点重合时,其一般方程是
ax2+2bxy+cy2=f (1)
方程的左端就是 x,y的一个二次齐次多项式,
为了便于研究这个二次曲线的几何性质,通过基变换 (坐标变换 ),把方程 (1)化为不含 x,y混合项的标准方程
a'x'2+c'y'2=f (2)
在二次曲面的研究中也有类似的问题,
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3
6.1 二次型的定义和矩阵表示 合同矩阵
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4
定义 1 n元变量 x1,x2,...,xn的二次多项式
12
2
1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 1
2
2 2 2 2 3 2 3 2 2
2
(,,,)
2 2 2
22
( 6,1 )
n
nn
nn
n n n
f x x x
a x a x x a x x a x x
a x a x x a x x
ax
当系数属于数域 F时,称为数域 F上的一个 n元二次型,本章讨论实数域上的 n
元二次型,简称 二次型,
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5
由于 xixj=xjxi,具有对称性,若令
aji=aij,i<j,(6.2)
则 2aijxixj=aijxixj+ajixixj(i<j),于是 (6.1)式可以写成对称形式
2
1 2 11 1 12 1 2 1 1
2
21 2 1 22 2 2 2
2
1 1 2 2
11
(,,,)
,( 6.3 )
n n n
nn
n n n n nn n
nn
ij i j
ij
f x x x a x a x x a x x
a x x a x a x x
a x x a x x a x
a x x
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6
记 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
,( 6,4)
n
n
n n n n
a a a
a a a
A
a a a
12
11
(,,,) (6,5 )
nn
T
n i j i j
ij
f x x x a x x X A X
X=[x1,x2,...,xn]T,二次型 (6.3)可以用矩阵乘积形式简单表示为
2009-7-26
7
把 A称为二次型对应的矩阵,对于任意一个二次型 (6.1),总可以通过 (6.2)使其写成对称形式
(6.3),并对应矩阵 A,由 (6.2)知,A为对称矩阵,
又若 A,B为 n阶对称方阵,且
f(x1,x2,...,xn)=XTAX=XTBX,
则必有 A=B,故二次型和它的矩阵是相互唯一确定的,所以,研究二次型的性质转化为研究
A所具有的性质,
12
11
(,,,) (6,5 )
nn
T
n i j i j
ij
f x x x a x x X A X
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8
例 1 设
2
1 2 3 4 1 1 2 1 3
22
2 4 3 4
(,,,) 2 2
45
f x x x x x x x x x
x x x x
1
2 1 0
2
1
0 0 2
2
1 0 1 0
0 2 0 5
A
则它的矩阵为
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9
一个二次型 XTAX也可看成 n维向量 a的一个函数,即
f(a)=XTAX,(6.6)
其中 X=[x1,x2,...,xn]T是 a在 Rn的一组基下的坐标向量,所以二次型 XTAX是向量 a的 n个坐标的二次齐次函数,因此二次型作为 n维向量 a
的函数,它的矩阵是与一组基相联系的,
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10
如果 a在两组基 {e1,e2,...,en}和 {h1,h2,...,hn}下的坐标向量分别为
X=[x1,x2,...,xn]T和 Y=[y1,y2,...,yn]T,
又 [h1,h2,...,hn]=[e1,e2,...,en]C,
于是 X=CY,(6.7)
如此则有二次型
f(a)=XTAX=YT(CTAC)Y,(6.8)
即二次型 f(a)在两组基 {e1,e2,...,en}和
{h1,h2,...,hn}下所对应的矩阵分别为
A 和 CTAC
其中 CTAC仍是对称阵,YT(CTAC)Y是 y1,y2,...,yn
的一个二次型,
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11
例 2 设向量 a在自然基 {e1,e2}下的坐标 [x1,x2]T
满足方程
22
1 2 1 25 5 6 4 ( 1 )x x x x
1 2 1 2
c o s 4 5 s in 4 5[,] [,],( 2 )
s in 4 5 c o s 4 5
h h e e
作基变换,将 e1,e2逆时针旋转 45?变为 h1,h2
即则 a在基 {h1,h2}下的坐标 [y1,y2]T满足
11
22
c o s 4 5 s in 4 5
,( 3 )
s in 4 5 c o s 4 5
xy
X C Y
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12
将 (3)式代入 (1)式
1
12
2
22
12
53
[,] 4,
35
2 8 4,
T
T T T
x
X A X x x
x
X A X Y C A CY y y
得
2 2 2 2
532 2 2 2
352 2 2 2
2 2 2 2
20
08
T
C AC
其中
2009-7-26
13
这样,我们就把方程化成了在基 {h1,h2}的坐标系下的标准方程,它的图形是一个椭圆,
x1
x2
O
y1y
2
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14
对于一般的二次型 f(x1,x2,...,xn),将其化为
y1,y2,...,yn的纯平方项之代数和 (简称平方和 ),
是研究二次型的一个基本问题,解决这个问题的基本方法是作一个非退化的线性变换
X=CY,
(其中 C为可逆阵,这个变换也可看成向量 a在基变换下的坐标变换 ),使得
XTAX=YT(CTAC)Y
成为 y1,y2,...,yn的平方和,
这个基本问题,从矩阵的角度来说,就是对于一个实对称矩阵,寻找一个可逆矩阵 C,使得
CTAC成为对角形,
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15
定义 2 对于两个矩阵 A和 B,如果存在可逆阵 C,
使得 CTAC=B,就称 A合同 于 B,记作 A?B.
由定义容易证明,矩阵之间的合同关系也具有反身性,对称性和传递性,由于合同关系有对称性,所以 A合同于 B,也说成 A与 B是合同的,
或 A,B是 合同矩阵,
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16
6.2 化二次型为标准型
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17
本节讨论的问题是,如何通过非退化线性变换
X=CY,把二次型 f(x1,x2,...,xn)=XTAX化为
y1,y2,...,yn的平方和,即为化
d1y12+d2y22+...+dnyn2.
我们把含平方项而不含混合项的二次型称为标准的二次型,或称化成的这种标准的二次型称作二次型 XTAX的标准型,
化二次型为标准型,就是对实对称矩阵 A,寻找可逆阵 C,使 CTAC成对角形,
2009-7-26
18
6.2.1 正交变换法在 5.3节讲过,对于任一个 n阶实对称矩阵 A,一定存在正交矩阵 Q,使得 QTAQ=L,由于
Q?1=QT,所以有
QTAQ=diag(l1,l2,...,ln).
因此有下面的定理,
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19
定理 1(主轴定理 ) 对于任一个 n元二次型
f(x1,x2,...,xn)=XTAX,
存在正交变换 X=QY(Q为 n阶正交矩阵 ),使得
XTAX=Y(QTAQ)Y=l1y12+l2y22+...+lnyn2,
(6.9)
其中 l1,l2,...,ln是实对称矩阵 A的 n个特征值,Q
的 n个列向量 a1,a2,...,an是 A对应于特征值
l1,l2,...,ln的标准正交特征向量,
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20
6.3 惯性定理和二次型的规范形
2009-7-26
21
定理 4(惯性定理 ) 对于一个 n元二次型 XTAX,
不论作怎样的非退化线性变换使之化为标准型,其中正平方项的项数 p和负平方项的项数 q
都是唯一确定的,
2009-7-26
22
即,对一 n阶实对称阵 A,不论取怎样的可逆阵
C,只要使
1
1
0
0
p
p
T
pq
d
d
d
C AC
d
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23
di>0 (i=1,2,...,p+q) p+q?n成立,则 p和 q是由 A
唯一确定的,
定义 3 二次型 XTAX(所化成 )的标准形中,正平方项的项数 (即与 A合同的对角阵中正对角元的个数 ),称为二次型 (或 A)的 正惯性指数 ; 负平方项的项数 (即与 A合同的对角阵中负对角元的个数 ),称为二次型 (或 A)的 负惯性指数 ;
正负惯性指数的差称为 负号差,
n阶实对称阵 A的秩为 r,正惯性指数为 p,则负惯性指数 q=r?p,符号差 p?q=2p?r,与 A合同的对角阵的零对角元个数为 n?r.
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24
推论 设 A为 n阶实对称阵,若 A的正负惯性指数分别为 p和 q,则
A?diag(1,...,1,?1,...,?1,0,...,0) (6.14)
其中 1有 p个,?1有 q个,0有 n?(p+q)个,
或者说,对于二次型 XTAX,存在非退化线性变换 X=CY,使得
2 2 2 2
11,( 6,1 5 )
T
p p p qX A X y y y y
并把 (6.15)式右端的二次型称为 XTAX的规范形 ; 把 (6.14)式中的对角阵称为 A的合同规范形,
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25
证 根据惯性定理,存在可逆阵 C1,使得
),0,,0,1,,1,1,,1di a g ()(
,
),1,,1,
1
,,
1
,
1
,,
1
di a g (
),,,1,,,1(0
),0,,0,,,,,,di a g (
2112
22
11
2
1111
CACCC
CC
dddd
C
qpppid
ddddACC
TT
T
qppp
i
qppp
T
并有则取可逆阵其中其中?1分别有 p,q个,0有 n?p+q个,取
C=C1C2,(6.14)式成立 ; 取 X=CY(C可逆 )(6.15)式成立,
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26
如果两个 n阶实对称矩阵 A,B合同,我们也称它们对应的二次型 XTAX和 YTAY合同,
根据上面的结果不难证明,
两个对称矩阵 A,B合同的充要条件是,A,B有相同的正惯性指数和相同的负惯性指数,
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27
6.4 正定二次型和正定矩阵
2009-7-26
28
定义 4 如果对于任意的非零向量
X=[x1,x2,...,xn]T,恒有
11
0,(6,1 6 )
nn
T
i j i j
ij
a x x X A X
222221121 ),,,()( nnn ydydydyyyfi二次型就称 XTAX为 正定二次型,称 A为 正定矩阵,
根据定义可得结论,
正定的充分必要条件是 di>0 (i=1,2,...,n),充分性是显然的,用反证法证必要性,设 di?0,
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29
取 yi=1,yj=0(j?i),代入二次型,得
f(0,...,0,1,0,...,0)=di?0,
与二次型 f(y1,y2,...,yn)正定矛盾,
(ii) 一个二次型 XTAX,经过非退化线性变换
X=CY,化为 YT(CTAC)Y,其正定性保持不变,
即当 XTAX=YT(CTAC)Y (C可逆 )
时,等式两端的二次型有相同的正定性,这是
.0)(
,.0,
,),(
,],,,[,:
0000
000
00
)0()0(
2
)0(
10
为正定二次型即对于任意的则正定若相对应的所以与可逆由于即对于任意的因为
AXXYACCY
YAXXAXX
XYCCYX
yyyY
TTT
TT
T
n
0
0
00?
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30
由上述两个结论可见,一个二次型
XTAX(或实对称矩阵 A),通过非退化线性变换 X=CY,将其化成标准型 (或规范形 )
2
1
()
n
TT
ii
i
Y C A C Y d y
(或将 A合同于对角阵,即 CTAC=L),就容易判别其正定性,
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31
定理 5 若 A是 n阶实对称矩阵,则下列命题等价,
(i) XTAX是正定二次型 (或 A是正定矩阵 );
(ii) A的正惯性指数为 n,即 A?I;
(iii) 存在可逆阵 P,使得 A=PTP;
(iv) A的 n个特征值 l1,l2,...,ln全大于零,
----------------------------------------------------------
证 (i)?(ii) 对于 A,存在可逆阵 C使得
CTAC=diag(d1,d2,...,dn),令 X=CY就有
XTAX=YT(CTAC)Y=d1y12+d2y22+...+dnyn2
如有一个 di?0,则上式必不恒大于零,与命题 (i)
矛盾,故 A的正惯性指数为 n,从而 A?I.
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32
定理 5 若 A是 n阶实对称矩阵,则下列命题等价,
(i) XTAX是正定二次型 (或 A是正定矩阵 );
(ii) A的正惯性指数为 n,即 A?I;
(iii) 存在可逆阵 P,使得 A=PTP;
(iv) A的 n个特征值 l1,l2,...,ln全大于零,
----------------------------------------------------------
(ii)?(iii) 由 CTAC=I(C可逆 ),得 A=(CT)?1C?1
=(C?1)TC?1,取 P=C?1,则有 A=PTP.
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33
定理 5 若 A是 n阶实对称矩阵,则下列命题等价,
(i) XTAX是正定二次型 (或 A是正定矩阵 );
(ii) A的正惯性指数为 n,即 A?I;
(iii) 存在可逆阵 P,使得 A=PTP;
(iv) A的 n个特征值 l1,l2,...,ln全大于零,
----------------------------------------------------------
(ii)?(iii) 设 AX=lX,即 (PTP)X=lX,于是便有
XTPTPX=lXTX,即 (PX,PX)=l(X,X).
由于特征向量 X?0,从而 PX?0,故 A的特征值
(,) 0.
(,)
P X P X
XXl
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34
定理 5 若 A是 n阶实对称矩阵,则下列命题等价,
(i) XTAX是正定二次型 (或 A是正定矩阵 );
(ii) A的正惯性指数为 n,即 A?I;
(iii) 存在可逆阵 P,使得 A=PTP;
(iv) A的 n个特征值 l1,l2,...,ln全大于零,
----------------------------------------------------------
(iv)?(i) 对于 n阶实对称矩阵 A,存在正交阵 Q,
使得 QTAQ=diag(l1,l2,...,ln),
作正交变换 X=QY,得
XTAX=l1y12+l2y22+...+lnyn2.
由于已知特征值 l1,l2,...,ln都大于零,故 XTAX
正定
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35
今天作业,第 291页开始第 27,28题
1
线性代数第 14讲二次型
2009-7-26
2
二次型就是二次多项式,在解析几何中讨论的有心二次曲线,当中心与坐标原点重合时,其一般方程是
ax2+2bxy+cy2=f (1)
方程的左端就是 x,y的一个二次齐次多项式,
为了便于研究这个二次曲线的几何性质,通过基变换 (坐标变换 ),把方程 (1)化为不含 x,y混合项的标准方程
a'x'2+c'y'2=f (2)
在二次曲面的研究中也有类似的问题,
2009-7-26
3
6.1 二次型的定义和矩阵表示 合同矩阵
2009-7-26
4
定义 1 n元变量 x1,x2,...,xn的二次多项式
12
2
1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 1
2
2 2 2 2 3 2 3 2 2
2
(,,,)
2 2 2
22
( 6,1 )
n
nn
nn
n n n
f x x x
a x a x x a x x a x x
a x a x x a x x
ax
当系数属于数域 F时,称为数域 F上的一个 n元二次型,本章讨论实数域上的 n
元二次型,简称 二次型,
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5
由于 xixj=xjxi,具有对称性,若令
aji=aij,i<j,(6.2)
则 2aijxixj=aijxixj+ajixixj(i<j),于是 (6.1)式可以写成对称形式
2
1 2 11 1 12 1 2 1 1
2
21 2 1 22 2 2 2
2
1 1 2 2
11
(,,,)
,( 6.3 )
n n n
nn
n n n n nn n
nn
ij i j
ij
f x x x a x a x x a x x
a x x a x a x x
a x x a x x a x
a x x
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6
记 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
,( 6,4)
n
n
n n n n
a a a
a a a
A
a a a
12
11
(,,,) (6,5 )
nn
T
n i j i j
ij
f x x x a x x X A X
X=[x1,x2,...,xn]T,二次型 (6.3)可以用矩阵乘积形式简单表示为
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7
把 A称为二次型对应的矩阵,对于任意一个二次型 (6.1),总可以通过 (6.2)使其写成对称形式
(6.3),并对应矩阵 A,由 (6.2)知,A为对称矩阵,
又若 A,B为 n阶对称方阵,且
f(x1,x2,...,xn)=XTAX=XTBX,
则必有 A=B,故二次型和它的矩阵是相互唯一确定的,所以,研究二次型的性质转化为研究
A所具有的性质,
12
11
(,,,) (6,5 )
nn
T
n i j i j
ij
f x x x a x x X A X
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8
例 1 设
2
1 2 3 4 1 1 2 1 3
22
2 4 3 4
(,,,) 2 2
45
f x x x x x x x x x
x x x x
1
2 1 0
2
1
0 0 2
2
1 0 1 0
0 2 0 5
A
则它的矩阵为
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9
一个二次型 XTAX也可看成 n维向量 a的一个函数,即
f(a)=XTAX,(6.6)
其中 X=[x1,x2,...,xn]T是 a在 Rn的一组基下的坐标向量,所以二次型 XTAX是向量 a的 n个坐标的二次齐次函数,因此二次型作为 n维向量 a
的函数,它的矩阵是与一组基相联系的,
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10
如果 a在两组基 {e1,e2,...,en}和 {h1,h2,...,hn}下的坐标向量分别为
X=[x1,x2,...,xn]T和 Y=[y1,y2,...,yn]T,
又 [h1,h2,...,hn]=[e1,e2,...,en]C,
于是 X=CY,(6.7)
如此则有二次型
f(a)=XTAX=YT(CTAC)Y,(6.8)
即二次型 f(a)在两组基 {e1,e2,...,en}和
{h1,h2,...,hn}下所对应的矩阵分别为
A 和 CTAC
其中 CTAC仍是对称阵,YT(CTAC)Y是 y1,y2,...,yn
的一个二次型,
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11
例 2 设向量 a在自然基 {e1,e2}下的坐标 [x1,x2]T
满足方程
22
1 2 1 25 5 6 4 ( 1 )x x x x
1 2 1 2
c o s 4 5 s in 4 5[,] [,],( 2 )
s in 4 5 c o s 4 5
h h e e
作基变换,将 e1,e2逆时针旋转 45?变为 h1,h2
即则 a在基 {h1,h2}下的坐标 [y1,y2]T满足
11
22
c o s 4 5 s in 4 5
,( 3 )
s in 4 5 c o s 4 5
xy
X C Y
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12
将 (3)式代入 (1)式
1
12
2
22
12
53
[,] 4,
35
2 8 4,
T
T T T
x
X A X x x
x
X A X Y C A CY y y
得
2 2 2 2
532 2 2 2
352 2 2 2
2 2 2 2
20
08
T
C AC
其中
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13
这样,我们就把方程化成了在基 {h1,h2}的坐标系下的标准方程,它的图形是一个椭圆,
x1
x2
O
y1y
2
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14
对于一般的二次型 f(x1,x2,...,xn),将其化为
y1,y2,...,yn的纯平方项之代数和 (简称平方和 ),
是研究二次型的一个基本问题,解决这个问题的基本方法是作一个非退化的线性变换
X=CY,
(其中 C为可逆阵,这个变换也可看成向量 a在基变换下的坐标变换 ),使得
XTAX=YT(CTAC)Y
成为 y1,y2,...,yn的平方和,
这个基本问题,从矩阵的角度来说,就是对于一个实对称矩阵,寻找一个可逆矩阵 C,使得
CTAC成为对角形,
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15
定义 2 对于两个矩阵 A和 B,如果存在可逆阵 C,
使得 CTAC=B,就称 A合同 于 B,记作 A?B.
由定义容易证明,矩阵之间的合同关系也具有反身性,对称性和传递性,由于合同关系有对称性,所以 A合同于 B,也说成 A与 B是合同的,
或 A,B是 合同矩阵,
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16
6.2 化二次型为标准型
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17
本节讨论的问题是,如何通过非退化线性变换
X=CY,把二次型 f(x1,x2,...,xn)=XTAX化为
y1,y2,...,yn的平方和,即为化
d1y12+d2y22+...+dnyn2.
我们把含平方项而不含混合项的二次型称为标准的二次型,或称化成的这种标准的二次型称作二次型 XTAX的标准型,
化二次型为标准型,就是对实对称矩阵 A,寻找可逆阵 C,使 CTAC成对角形,
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18
6.2.1 正交变换法在 5.3节讲过,对于任一个 n阶实对称矩阵 A,一定存在正交矩阵 Q,使得 QTAQ=L,由于
Q?1=QT,所以有
QTAQ=diag(l1,l2,...,ln).
因此有下面的定理,
2009-7-26
19
定理 1(主轴定理 ) 对于任一个 n元二次型
f(x1,x2,...,xn)=XTAX,
存在正交变换 X=QY(Q为 n阶正交矩阵 ),使得
XTAX=Y(QTAQ)Y=l1y12+l2y22+...+lnyn2,
(6.9)
其中 l1,l2,...,ln是实对称矩阵 A的 n个特征值,Q
的 n个列向量 a1,a2,...,an是 A对应于特征值
l1,l2,...,ln的标准正交特征向量,
2009-7-26
20
6.3 惯性定理和二次型的规范形
2009-7-26
21
定理 4(惯性定理 ) 对于一个 n元二次型 XTAX,
不论作怎样的非退化线性变换使之化为标准型,其中正平方项的项数 p和负平方项的项数 q
都是唯一确定的,
2009-7-26
22
即,对一 n阶实对称阵 A,不论取怎样的可逆阵
C,只要使
1
1
0
0
p
p
T
pq
d
d
d
C AC
d
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di>0 (i=1,2,...,p+q) p+q?n成立,则 p和 q是由 A
唯一确定的,
定义 3 二次型 XTAX(所化成 )的标准形中,正平方项的项数 (即与 A合同的对角阵中正对角元的个数 ),称为二次型 (或 A)的 正惯性指数 ; 负平方项的项数 (即与 A合同的对角阵中负对角元的个数 ),称为二次型 (或 A)的 负惯性指数 ;
正负惯性指数的差称为 负号差,
n阶实对称阵 A的秩为 r,正惯性指数为 p,则负惯性指数 q=r?p,符号差 p?q=2p?r,与 A合同的对角阵的零对角元个数为 n?r.
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推论 设 A为 n阶实对称阵,若 A的正负惯性指数分别为 p和 q,则
A?diag(1,...,1,?1,...,?1,0,...,0) (6.14)
其中 1有 p个,?1有 q个,0有 n?(p+q)个,
或者说,对于二次型 XTAX,存在非退化线性变换 X=CY,使得
2 2 2 2
11,( 6,1 5 )
T
p p p qX A X y y y y
并把 (6.15)式右端的二次型称为 XTAX的规范形 ; 把 (6.14)式中的对角阵称为 A的合同规范形,
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证 根据惯性定理,存在可逆阵 C1,使得
),0,,0,1,,1,1,,1di a g ()(
,
),1,,1,
1
,,
1
,
1
,,
1
di a g (
),,,1,,,1(0
),0,,0,,,,,,di a g (
2112
22
11
2
1111
CACCC
CC
dddd
C
qpppid
ddddACC
TT
T
qppp
i
qppp
T
并有则取可逆阵其中其中?1分别有 p,q个,0有 n?p+q个,取
C=C1C2,(6.14)式成立 ; 取 X=CY(C可逆 )(6.15)式成立,
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如果两个 n阶实对称矩阵 A,B合同,我们也称它们对应的二次型 XTAX和 YTAY合同,
根据上面的结果不难证明,
两个对称矩阵 A,B合同的充要条件是,A,B有相同的正惯性指数和相同的负惯性指数,
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6.4 正定二次型和正定矩阵
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定义 4 如果对于任意的非零向量
X=[x1,x2,...,xn]T,恒有
11
0,(6,1 6 )
nn
T
i j i j
ij
a x x X A X
222221121 ),,,()( nnn ydydydyyyfi二次型就称 XTAX为 正定二次型,称 A为 正定矩阵,
根据定义可得结论,
正定的充分必要条件是 di>0 (i=1,2,...,n),充分性是显然的,用反证法证必要性,设 di?0,
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取 yi=1,yj=0(j?i),代入二次型,得
f(0,...,0,1,0,...,0)=di?0,
与二次型 f(y1,y2,...,yn)正定矛盾,
(ii) 一个二次型 XTAX,经过非退化线性变换
X=CY,化为 YT(CTAC)Y,其正定性保持不变,
即当 XTAX=YT(CTAC)Y (C可逆 )
时,等式两端的二次型有相同的正定性,这是
.0)(
,.0,
,),(
,],,,[,:
0000
000
00
)0()0(
2
)0(
10
为正定二次型即对于任意的则正定若相对应的所以与可逆由于即对于任意的因为
AXXYACCY
YAXXAXX
XYCCYX
yyyY
TTT
TT
T
n
0
0
00?
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由上述两个结论可见,一个二次型
XTAX(或实对称矩阵 A),通过非退化线性变换 X=CY,将其化成标准型 (或规范形 )
2
1
()
n
TT
ii
i
Y C A C Y d y
(或将 A合同于对角阵,即 CTAC=L),就容易判别其正定性,
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定理 5 若 A是 n阶实对称矩阵,则下列命题等价,
(i) XTAX是正定二次型 (或 A是正定矩阵 );
(ii) A的正惯性指数为 n,即 A?I;
(iii) 存在可逆阵 P,使得 A=PTP;
(iv) A的 n个特征值 l1,l2,...,ln全大于零,
----------------------------------------------------------
证 (i)?(ii) 对于 A,存在可逆阵 C使得
CTAC=diag(d1,d2,...,dn),令 X=CY就有
XTAX=YT(CTAC)Y=d1y12+d2y22+...+dnyn2
如有一个 di?0,则上式必不恒大于零,与命题 (i)
矛盾,故 A的正惯性指数为 n,从而 A?I.
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定理 5 若 A是 n阶实对称矩阵,则下列命题等价,
(i) XTAX是正定二次型 (或 A是正定矩阵 );
(ii) A的正惯性指数为 n,即 A?I;
(iii) 存在可逆阵 P,使得 A=PTP;
(iv) A的 n个特征值 l1,l2,...,ln全大于零,
----------------------------------------------------------
(ii)?(iii) 由 CTAC=I(C可逆 ),得 A=(CT)?1C?1
=(C?1)TC?1,取 P=C?1,则有 A=PTP.
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定理 5 若 A是 n阶实对称矩阵,则下列命题等价,
(i) XTAX是正定二次型 (或 A是正定矩阵 );
(ii) A的正惯性指数为 n,即 A?I;
(iii) 存在可逆阵 P,使得 A=PTP;
(iv) A的 n个特征值 l1,l2,...,ln全大于零,
----------------------------------------------------------
(ii)?(iii) 设 AX=lX,即 (PTP)X=lX,于是便有
XTPTPX=lXTX,即 (PX,PX)=l(X,X).
由于特征向量 X?0,从而 PX?0,故 A的特征值
(,) 0.
(,)
P X P X
XXl
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定理 5 若 A是 n阶实对称矩阵,则下列命题等价,
(i) XTAX是正定二次型 (或 A是正定矩阵 );
(ii) A的正惯性指数为 n,即 A?I;
(iii) 存在可逆阵 P,使得 A=PTP;
(iv) A的 n个特征值 l1,l2,...,ln全大于零,
----------------------------------------------------------
(iv)?(i) 对于 n阶实对称矩阵 A,存在正交阵 Q,
使得 QTAQ=diag(l1,l2,...,ln),
作正交变换 X=QY,得
XTAX=l1y12+l2y22+...+lnyn2.
由于已知特征值 l1,l2,...,ln都大于零,故 XTAX
正定
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今天作业,第 291页开始第 27,28题
