2009-7-26
1
线性代数第 1讲行列式
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2
介绍
线性代数的重要目标是解线性方程组
而解线性方程组经常要用到行列式的概念
1.1 n阶行列式的定义和性质
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3
对于一个二元一次方程组
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
a x a x b
a x a x b


当 a11a22-a12a21?0时,用消元法求解,得其解为
1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1
12
1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1
,
b a a b a b b a
xx
a a a a a a a a
--

(1.1)
(1.2)
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4
如果记
ab
D a d b c
cd
-(1.3)
(1.2)式可以表示为 1 12 11 1
2 22 21 2
12
11 12 11 12
21 22 21 22
,
b a a b
b a a b
xx
a a a a
a a a a

二阶行列式
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5
三阶行列式的定义
1 1 1 2 1 3
1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 22 1 2 2 2 3
1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 23 1 3 2 3 3
a a a
a a a a a a a a aa a a
a a a a a a a a aa a a
-?
--
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
a a a a a
a a a a a
- - -
(1.4)
(1.5)
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6
例如
584810
)1(03642051043
)1(52601
601
504
321
133)1(25
23
15
-?--?
----
-
-
--
-
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7
如果三元线性方程组
1 1 1 1 2 2 1 3 3 1
2 1 1 2 2 2 2 3 3 2
3 1 1 3 2 2 3 3 3 3
,
,
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b



的系数行列式
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
0,
a a a
D a a a
a a a

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8
用消元方可解得
312
1 2 3,,
DDDx x x
D D D
(1.6)
其中
1 1 2 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 2 1
1 2 2 2 2 3 2 2 1 2 2 3 3 2 1 2 2 2
3 3 2 3 3 3 1 3 3 3 3 1 3 2 3
,,
b a a a b a a a b
D b a a D a b a D a a b
b a a a b a a a b

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9
二阶和三阶行列式都可按第一行展开
1 1 1 2 1 3
1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 22 1 2 2 2 3
1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 23 1 3 2 3 3
a a a
a a a a a a a a aa a a
a a a a a a a a aa a a
-?
--
2 2 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2
1 1 1 2 1 3
3 2 3 3 3 1 3 3 3 1 3 2
1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3
1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3
a a a a a a
a a a
a a a a a a
a M a M a M
a A a A a A
-?
-?

1 1 1 2 1 31 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3( 1 ),( 1 ),( 1 )A M A M A M -? -? -
余子式代数余子式
（ 1.7）
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10
同样
1 1 1 2
1 1 1 1 1 2 1 2
2 1 2 2
aa
D a A a A
aa

其中
A11=(-1)1+1|a22|=a22,
A12=(-1)1+2|a21|?-a21
这里 |a22|,|a21|是一阶行列式不是绝对值,
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11
1.1.1 n阶行列式的定义定义 由 n2个数 aij(i,j=1,2,...,n)组成的 n阶行列式
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1
12
||
n
n n
ij
n n n n
a a a
a a a
Da
a a a

（ 1.9)
当 n=1时 D=a11; 当 n?2时,定义
1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1
1
n
n n j j
j
D a A a A a A a A

(1.10)
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12
其中 A1j=(-1)1+j M1j,
M1j是 D中去掉第 1行第 j列全部元素后,按原顺序排成的 n-1阶行列式,即
2 1 2 1 2 1 2
3 1 3 1 3 1 3
1
1 1 1
( 1,2,,)
j j n
j j n
j
n n j n j n n
a a a a
a a a a
M j n
a a a a
-?
-?
-?

称 M1j为元素 a1j的 余子式,A1j为元素 a1j的 代数余子式
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13
例 (未写出的元素都是 0)
n
nn
n
n


21
2
)1(
1
2
1
21
2
1
)1(
-
-?
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14
例
24
4000
0300
0020
0001
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15
下三角行列式等于对角线元素之积
nn
nnnn
aaa
aaa
aa
a
D?

2211
21
2221
11
0

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16
例
24
4974
0335
0021
0001
-
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17
1.1.2 n阶行列式的性质
(证明不重要,但必须记住并用它们来计算行列式 )
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18
性质 1 行列式与它的转置行列式相等
DD
aaa
aaa
aaa
D
aaa
aaa
aaa
D
nnnn
n
n
nnnn
n
n

则的转置行列式记作


21
22212
12111
21
22221
11211
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19
性质 2 行列式按任一行 (列 )按下式展开,
其值相等
).,,2,1(
),,2,1(
2211
2211
nj
AaAaAaD
ni
AaAaAaD
njnjjjjj
ininiiii


其中 Aij=(-1)i+jMij,
Mij是 D中去掉第 i行第 j列全部元素后按原顺序排成的 n-1阶行列式,称为 aij的 余子式,Aij称为 aij的 代数余子式,
(1.12)
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20
例如,假设
7)1(,7
34
43
23)1(,23
35
41
345
120
431
21
12
2121
22
22
2222
-?-
-
-
-?-?-?
--
-
--
-
-
MAM
MAM
D
则
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21
例 设
58292
01
04
3
61
54
2
60
50
1
1
58292
54
31
0
61
31
0
61
54
2
2
601
504
321
--?
-
-
-?
--?-
-
-
-?
-
D
D
D
行展开得按第列展开得按第
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22
性质 3 (线性性质 )有以下两条,
11 12 1 11 12 1
1 2 1 2
1 2 1 2
( i )
nn
i i in i i in
n n nn n n nn
a a a a a a
k a k a k a k a a a
a a a a a a
行列式的某一行 (列 )中所有的元素都乘以同一数 k,等于用数 k乘此行列式,
(1.13)
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23
413
121
321
10
413
5105
642
5
2
2
1
-
-
-
-
r
r
例
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24
11 12 1
1 1 2 2
12
11 12 1 11 12 1
1 2 1 2
1 2 1 2
( ii )
n
i i i i in in
n n nn
nn
i i in i i in
n n nn n n nn
a a a
a b a b a b
a a a
a a a a a a
a a a b b b
a a a a a a


(1.14)
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25
推论 1 某行元素全为零的行列式其值为零
11 12 1
12
0 0 0 0
n
n n nn
a a a
a a a
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26
性质 4 行列式中两行对应元素全相等,其值为零,即当 ail=ajl(l=1,2,...,n)时,有
11 12 1
12
12
12
0
n
i i in
j j jn
n n nn
a a a
a a a
D
a a a
a a a

(1.15)
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27
推论 2 行列式中两行对应元素成比例 (即
ail=kajl,i?j,l=1,2,...,n,k是常数 ),其值为零
11 12 1
12
12
12
0
n
i i in
j j jn
n n nn
a a a
a a a
D
a a a
a a a

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28
性质 5 行列式中某各元素乘常数 k加到另一行对应元素上,行列式的值不变 (简称,
对行列式做倍加行变换,其值不变 ),即
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
1 2 1 2
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
nn
i i in i i in
j j jn i j i j in jn
n n n n n n n n
a a a a a a
a a a a a a
D
a a a k a a k a a k a a
a a a a a a


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性质 6(反对称性质 ) 行列式的两行对换,
行列式的值反号,
11 12 1 11 12 1
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
nn
i i in j j jn
j j jn i i in
n n nn n n nn
a a a a a a
a a a a a a
D
a a a a a a
a a a a a a
-
第 i行第 j行
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30
性质 7 行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于零,即
1 1 2 2
1
0 ( )
n
ik jk i j i j in jk
k
a A a A a A a A i j

这是因为
(1.17)
11 12 1
12
1
12
12
n
n
i i in
ik jk
k
i i in
n n nn
a a a
a a a
aA
a a a
a a a

第 i行第 j行
=0
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31
可将 (1.10),(1.12),(1.17)式统一地写成
1
n
ik jk ij
k
a A D?

其中
.0
,1
ji
ji
ij 当当
同样,行列式对列展开,也有
1
n
k i k j ij
k
a A D?

(1.18)
(1.19)
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32
行列式按某 k行 (列 )展开在 n阶行列式 D= 中,任意选定 k行 k列
(1?k?n),位于这些行和列交叉处的 k2个元素,
按原来的顺序构成一个 k阶行列式 M,称为 D的一个 k阶子式,划去这 k行 k列,余下的元素按原来的顺序构成一个 n-k阶行列式,在其前面冠以符号
kk jjjiii- 2121)1(
称为 M的代数余子式,其中 i1,i2,...,ik为 k阶子式 M在 D中的行标,j1,j2,...,jk为 M在 D
中的列标,
1||
n
ija
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33
定理 (拉普拉斯定理 ) 在 n阶行列式中,任意取定 k行 (列 )(1?k?n-1),由这 k行 (列 )组成的所有 k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式 D.
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34
例 下式按第一行和第二行展开
110121
20
30
)1(
32
03
20
31
)1(
31
02
21
32
)1(
21
32
2100
3210
0321
0032
3221
3121
2121
--?
-
-
-



2009-7-26
35
例
21
1
111
2
1
111
1
11
111111
1
111
,
0
DDD
bb
bb
D
aa
aa
D
bbcc
bbcc
aa
aa
D
nnn
n
kkk
k
nnnnkn
nk
kkk
k

则






2009-7-26
36
例
14)2(7
21
41
31
12
2100
4100
0031
0012
-?-
-
-
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37
计算行列式的常用方法,
首先尽量寻找行与列的公因子,将其提到行列式外面,
如果发现行列式有两行或者两列成比例,则行列式的值为 0.
然后利用 性质 5总能将行列式变换成上三角或者下三角行列式,再计算其对角线上的乘积,
或者利用性质 5将行列式的某行 (某列 )变换成只有一个元素不为 0,其余元素均为 0,然后再按那行 (列 )展开,降阶成低阶的行列式,
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38
例 (保留 a12,将第 2列其余元素变为 0)
5220
010
2416
7216
112
648
72016
1102
6408
2113
3351
1102
4315
2113
23
21
14
12
2
5
-
--
-?
-
-
--
-?
-
-
--
-
--
-
--
-
-
-
cc
cc
rr
rr
D
2009-7-26
39
404080202516
520
216
5220
010
2416
--
--
-?
-
--
-?D
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40
今天作业,
第 32页开始,第 2,4,9,10,11,15题分为 A,B两组轮流交作业,每星期四交作业