第一学期第二十四次课
4.3.2线性映射的运算的定义与性质定义 线性映射的运算（加法与数域上的数量乘法）
设，为线性映射，定义为

定义为

说明 与仍为线性映射。
命题 Hom在加法和数乘下构成数域上的线性空间。
证明 逐项验证。
定义 线性映射的乘法（复合）
设存在映射，，映射的乘法定义为。易验证，。
特别地，称到自身的线性映射为上的线性变换，常记为。中的元素（线性变换），用黑体或空体表示。
对于，规定
。
4.3.3线性映射在一组基下的矩阵的定义定义 设，取的一组基和的一组基，设
于是

称为在基和下的矩阵。
在给定和的基的前提下，中的元素与它的矩阵互相决定，严格地说，有：
命题 设和是数域上的线性空间,，，则Hom同构于上的矩阵的全体构成的线性空间.
证明 取定和的基和，考察映射

其中是的矩阵。，

于是在中的坐标为。
证明是单射，设，若它们的矩阵分别为，则。否则中任一向量在下的像坐标相同；
证明是满射，任给，定义从到的映射，满足再对任一，令
，
易见线性，即线性映射的矩阵就是。
证明是线性映射，设，它们的矩阵分别为，

于是在和下的矩阵为；同理可证。命题得证。
线性映射的复合的矩阵命题 设，设的基为，和，记和在这组基下的矩阵分别为和，则在基和下的矩阵为。特别地，当时，的矩阵为。
说明 对于一般的线性映射，一般不满足交换律，甚至交换后没有意义。