第一学期第二十七次课第四章 §4特征值与特征向量(续)
4.4.2关于特征向量与特征子空间的一些性质命题 线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关。
证明 设为上的线性变换，是两两不同的特征值，是属于特征子空间的特征向量，设，使得，两边用作用（），于是得到方程组
，
其中的方幂组成的矩阵为
，
两两不同，于是此矩阵的行列式非零，矩阵非退化，于是方程组只有零解，即
，
又由于特征向量非零，则，则线性无关。证毕。
推论 维空间的具有个不同特征值的线性变换的矩阵相似于对角矩阵.
证明 取每个特征值的一个特征向量作为基即可。
推论 设为的两两不同的特征值，则为直和。
证明 只要证明零向量的表示法唯一即可。设，假若某个，则线性相关，与上述命题矛盾。证毕。
定理 维空间线性变换的矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件是该空间等于特征子空间的直和。
证明 必要性 设上的线性变换在一组基下成对角形，即
，
将中的不同的值分别记为，相应的基向量记为，记，易见，，只要证明，即可。易见，“”成立；任取，
（1），
其中，两边用作用，得到
（2），
用（1）乘以与（2）相减，得到
，
两两不同，又属于不同特征值的特征向量线性无关，得，即有。“”得证。于是，必要性证毕。
充分性 若上的线性空间可以分解成为特征子空间的直和，记号同上，则
，
分别取个个特征子空间的基合并为的一组基，则在此组基下，的矩阵成对角形。证毕。
4.4.3线性变换的不变子空间定义 设为线性空间上的线性变换，是的一个子空间。如果在下的像包含于（即），则称为的一个（）不变子空间。这时可以看作内的一个线性变换，称为在内的限制，记作。
命题 维空间线性变换的矩阵相似于准对角矩阵的充分必要条件是该空间能分解为不变子空间的直和。
证明 必要性 记维线性空间为，若其上的线性变换在某组基
，
下的矩阵为准对角形
，
其中等于的阶数，令，则是不变子空间，且
。
充分性 若，则取的基并为的基，则在此组基下的矩阵成准对角形。证毕。
4.4.2关于特征向量与特征子空间的一些性质命题 线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关。
证明 设为上的线性变换，是两两不同的特征值，是属于特征子空间的特征向量，设，使得，两边用作用（），于是得到方程组
，
其中的方幂组成的矩阵为
，
两两不同，于是此矩阵的行列式非零，矩阵非退化，于是方程组只有零解，即
，
又由于特征向量非零，则，则线性无关。证毕。
推论 维空间的具有个不同特征值的线性变换的矩阵相似于对角矩阵.
证明 取每个特征值的一个特征向量作为基即可。
推论 设为的两两不同的特征值，则为直和。
证明 只要证明零向量的表示法唯一即可。设，假若某个，则线性相关，与上述命题矛盾。证毕。
定理 维空间线性变换的矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件是该空间等于特征子空间的直和。
证明 必要性 设上的线性变换在一组基下成对角形，即
，
将中的不同的值分别记为，相应的基向量记为，记，易见，，只要证明，即可。易见，“”成立；任取，
（1），
其中，两边用作用，得到
（2），
用（1）乘以与（2）相减，得到
，
两两不同，又属于不同特征值的特征向量线性无关，得，即有。“”得证。于是，必要性证毕。
充分性 若上的线性空间可以分解成为特征子空间的直和，记号同上，则
，
分别取个个特征子空间的基合并为的一组基，则在此组基下，的矩阵成对角形。证毕。
4.4.3线性变换的不变子空间定义 设为线性空间上的线性变换，是的一个子空间。如果在下的像包含于（即），则称为的一个（）不变子空间。这时可以看作内的一个线性变换，称为在内的限制，记作。
命题 维空间线性变换的矩阵相似于准对角矩阵的充分必要条件是该空间能分解为不变子空间的直和。
证明 必要性 记维线性空间为，若其上的线性变换在某组基
，
下的矩阵为准对角形
，
其中等于的阶数，令，则是不变子空间，且
。
充分性 若，则取的基并为的基，则在此组基下的矩阵成准对角形。证毕。
