第一学期第二十九次课第五章 §1双线性函数
5.1.1线性空间上的线性函数的定义
1、线性函数的定义定义 设为数域上的线性空间，为映射，满足；，则称为由到的一个线性函数（即为到的一个线性映射）。
如同一般的线性映射，有以下事实：
i）、是线性函数当且仅当；
ii）、；
iii）、。
命题 数域上的维线性空间上的线性函数的全体关于函数加法和数乘构成上的维线性空间。
证明 容易证明数域上的维线性空间上的线性函数的全体关于函数加法和数乘构成线性空间。定义线性函数，使得对于的某一组基，。则可以验证构成上述线性空间的一组基。
定义 由数域上的维线性空间上的线性函数的全体构成的线性空间称为的对偶空间，记为；
5.1.2双线性函数
1、双线性函数的定义定义 设为数域上的线性空间，为映射，满足
i）、；
ii）、，
其中。则称为上的一个双线性函数。
2、双线性函数在给定基下的矩阵设为上的一组基，为双线性函数，，设；，则

定义 上述称为双线性函数在下的矩阵。
引理 设有集合即映射和，若为恒同映射，则单且满。
推论 和同上，若且，则与是一一对应（双射）。
命题 设为线性空间的一组基，定义映射和

和

则和是一一对应。
证明 由于和在处取值相同，由双线性，得到，是恒同映射；又有，于是由引理可知，为一一对应。证毕。
命题 数域上的维线性空间上的双线性函数的全体关于函数加法和数乘构成上的维线性空间（与M作为上线性空间同构）。
3、双线性函数在不同基下的矩阵设和为的两组基，为一个双线性函数，设在这两组基下的矩阵分别为和，又设从到的过渡矩阵为，即
，
，设和在下的坐标分别为和，则和在下的坐标分别为
和
则

双线性函数与矩阵一一对应，于是有：
命题 设线性空间上的双线性函数在一组基下的矩阵为，由基到基的过渡矩阵为，则在下的矩阵为,
4、矩阵的合同定义 设，若存在可逆矩阵，使得，则称合同于。
命题 合同关系是上的一个等价关系。
定义 双线性函数的秩定义为该函数在一组基下的矩阵的秩。