北京大学：高等代数（精品课程）：高等代数(北京大学，赵春来)34

第二学期第七次课第六章 §3 酉空间
设V是复线性空间.V
V上的一个函数(
,
),如果满足:
(
,
)对第一个变量是线性的;
(
)=
;



V,(
,
)
0,且(
,
)=0

=0.
则称(
)为向量
的内积，具有内积的复线性空间称为酉空间（欧氏空间在复线性空间上的推广）.
|
|=
称为酉空间中向量
的长度,|
|=1时,称
为单位向量.
(
)=0时,称二向量
正交.
同欧氏空间类似,我们有如下命题:
命题 酉空间中两两正交的非零向量组是线性无关的,
类似地,我们把n维酉空间V中由n个两两正交的单位向量组成的向量组称为V的一组标准正交基.
标准正交基的求法,施密特(Schmidt)正交化




设U是n阶复矩阵,如果
,则称U是一个酉矩阵.
命题3.2
是n维酉空间V的一组标准正交基,令
(
)=(
)U
则
是一组标准正交基当且仅当U是酉矩阵.
证明 必要性:若
是标准正交基,则(
)=
.而U的第j个列向量为
在
下的坐标,故
(
)=
=

这表示


,U为酉矩阵.
充分性:若U为酉矩阵,则
(
)=
=


是标准正交基.
设M是n维酉空间V的一个子空间,定义


称
为M的正交补.显然
也是V的子空间.
命题 设
是
维酉空间
的子空间，则
；
证明 同欧氏空间.
推论
维酉空间
中的任一两两正交的单位向量组都可以扩充为
的标准正交基.
设
是两个酉空间,如果存在
的一个映射
,满足
(1)
是
的线性空间的同构映射
(2)
保持内积关系.
则称
是酉空间
的同构映射,称
同构.
酉空间V上的线性变换U如果满足(U
,U
)=(
)(对一切

V),则称U是一个酉变换（正交变换在酉空间上的推广）.
酉变换的四个等价表述:
命题 U是n维酉空间V上的线性变换,则下列命题等价
U是一个酉变换;



V,有|U
|=|
|;
U把标准正交基变为标准正交基;
U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.
证明 1)
2).显然.
2)
3) 设
是标准正交基,由假设知只用证(U
U
)=0 (i
j时).


V,有
(U
,U
)=| U
|
=|
|
=(
,
).
以
=k
+
代入上式,在分别令k=1及I,可得(U
U
)=0
3)
4) 由命题3.2可得.
4)
1) 设U在标准正交基
下的矩阵U是酉矩阵.由命题3.2知U
,…,U
也是标准正交基.设
=
,
=
,则
U
=
U
+…＋
U

U
=
U
+…＋
U

于是
(U
,U
)=
=(
,
)
即U是酉变换.
命题
维酉空间上的酉变换的全体（关于映射的复合）构成群，称为
维酉变换群，记为U(n).
证明 与正交变换群类似.
平行地，
阶酉矩阵的全体（对于矩阵的乘法）构成群，称为
阶酉群，也记为 U(n).