北京大学：高等代数（精品课程）：高等代数(北京大学，赵春来)36

第二学期第九次课第六章 §4四维时空空间与辛空间在狭义相对论中,用三个空间坐标和一个时间坐标来刻画一个物体的运动,称为四维时空空间.
在R
上规定一个特殊的度量f(
)=
(其中
=(
,
=(
),称为四维时空空间的度量.
令


在R
内取定基

＝（1，0，0，0）,
＝（0，1，0，0），

＝（0，0，1，0）,
＝（0，0，0，1）
设
＝(
，
，
，
)X,
=(
，
，
，
)Y,则f(
)=
.
如果R
上的线性变换A关于上述内积是正交变换,则称为广义洛仑兹变换.
命题4.1 设A是四维时空空间R
上的一个线性变换,则有:
(i)A为广义洛仑兹变换
它在基
，
，
，
下的矩阵A满足
;
(ii)实数域上4阶方阵A满足

它满足
;
(iii)如果A为广义洛仑兹变换,设它在基
，
，
，
下的矩阵为
,则
|
|
1.
证明 (i) A为广义洛仑兹变换
f(A
,A
)=f(
,
)

,而这又等价于
.
(ii)若
,则
,这说明
,两边左乘I,得
.
反之,若
,则
得
.
(iii) 按(i),有
,考察两边方阵的第四行第四列元素,得


即
.
向量(
如果满足
则则称为类时向量,若还有
则称为正类时向量.
若
,则称A为洛仑兹变换.
命题 广义洛仑兹变换是洛仑兹变换的充分必要条件是它在正类时向量上的作用封闭.
证明 设A在基
，
，
，
下的矩阵为A
,如果
为正类时向量,则A
在
，
，
，
下的坐标为


因A为广义洛仑兹变换,故

=f(A
,A
)=f(
,
)
=
<0
即A
仍为类时向量.而


由于
,比较两边第四行第四列元素,有


由柯西-布尼雅可夫斯基不等式,得

(
)(
)
<(

即
.现因
为正类时向量,故
.由此可知


命题得证.
命题 洛仑兹变换所组成的集合L（关于映射的复合）构成群（称为洛仑兹群）.
证明 (i)显然E
L;
(ii)若A,B
L,对


R
有
(AB
,AB
)=(B
,B
)=(
,
)
故AB是广义洛仑兹变换.现设
为一正类时向量,则B
是正类时向量,,同理,AB
也是正类时向量,故AB
L.
(iii)设A
L,显然A可逆,对


R
有
(
,
)=(AA

,AA

)=(A

,A

)
于是A
是广义洛仑兹变换,现设
为一正类时向量,假如A

不是正类时向量,但它仍为类时向量.由于A
L,故A(A

)=
不是正类时向量,矛盾.
由(i)、（ii）、（iii）可知,L是一个群.
定义 设V是复数域C上n=2m维线性空间,f(
)是V内一个满秩的反对称双线性函数.定义V内两个向量
的内积为
(
)=f(
)
具有这种内积的线性空间称为辛空间.
若(
)=0,则称
正交.
设
为V的一组基.令

=
(i,j=1,2,…，n)
称
为这组基的度量矩阵，它就是f在这组基下的矩阵.
命题 设V是n=2m维辛空间,则在V内存在一组基
,其度量矩阵为

,其中

这样的基称为第一类辛基.
证明 对m作数学归纳法.
推论 设V是n=2m维辛空间,则在V内存在一组基
,其度量矩阵为


其中E为m阶单位矩阵.这种基称为第二类辛基.
证明 设
是V的一组第一类辛基.令


通过计算,不难验证
即为所求的基.
定义 设V是n=2m维辛空间,A是V上一个线性变换.如果A满足
(A
,A
)=(
,
)

,

V
则称A是V内一个辛变换(偶数维辛空间上的正交变换）.
命题 偶数维辛空间上的线性变换A是辛变换的充分必要条件是A可逆且它的逆等于它的共轭变换.
证明 如果A是辛变换,则


V,有
(A
,A
)=(
,A
A
)=(
,
)
从而(
,(A
A-E)
)=0,由于内积是满秩的,故(A
A-E)
=0对


V成立.故A
A=E,A可逆且它的逆等于它的共轭变换.
反之,若A可逆且它的逆等于它的共轭变换,则有
(A
,A
)=(
,A
A
)=(
,
)
A是辛变换.
设A是辛空间V内一个辛变换,又设
为V内一组第一类辛基.此时其度量矩阵为


A在此组基下的矩阵为A,则有
.满足此条件的n=2m阶复方阵A称为一个2m阶辛矩阵.
命题
维辛空间上所有辛变换构成群S，称为
维辛变换群，所有的
阶辛矩阵的全体构成群，称为
阶辛群。
证明 (i)显然E
S;
(ii)如果A,B
S,则(AB
,AB
)=(B
,B
)=(
,
),从而AB
S.
(iii) 如果A
S,则(
,
)=(AA

,AA

)=(A

,A

),从而A

S.
于是S是一个群.

阶辛矩阵的全体构成群的证明作为练习.