第二学期第十二次课
定义 设A是数域K上一个n阶方阵,g(x)是K上一个m次多项式.如果g(A)=0,则g(x)称为方阵A的一个化零多项式.
Hamilton–Cayley定理 设A是数域K上的n阶方阵,f是A的特征多项式,则f(A)=0.
证明 A在C内相似于Jordan形矩阵J,即有C上可逆阵T使.显然对任意正整数k,有.由此知f(A)=0当且仅当f(J)=0.设
,
则.f的每个根的重数Jordan块J的阶数.现在

对每个i,有f(J)=0,于是f(J)=0.
设A是数域K上一个n阶方阵,A的首项系数为1的最低次化零多项式称为A的最小多项式.
命题 设A是数域K上的n阶方阵,(x)是A的一个最小多项式.若把A看作C上的n阶方阵,它在C内的最小多项式为(x),则(x)与(x)次数相同.
证明 (x)是A在C内的一个化零多项式,从而其次数应大于或等于(x),反之,设
,(C,)
则应有
=0
设,则上式可写成

上式是m+1个未知量的齐次线性方程组,其系数属于K.已知它在C内有非零解(即(x)不全为零的系数).于是它在K内也有非零解.设,此时不妨设.于是有
 ()
故是A在K内一化零多项式,故mk(x)的次数.命题得证.
这个命题说明:A在K内的任一最小多项式也是A在C内的最小多项式.所以,只要把A看作C上的n阶方阵,决定出它在C内的所有最小多项式,那么A在K内的最小多项式也在其中了.
由方阵的Jordan 标准形可以用如下方法确定其最小多项式:
命题 设A是数域K上的n阶方阵.设A的特征多项式f在C内全部互不相同的特征值为,A在C内的Jordan标准型J中以为特征值的Jordan块的最高阶数为,则A在K内的最小多项式是唯一的,它就是

证明 设A在C内的Jordan标准形为
,
则有复可逆方阵T,使.对任意复系数多项式g(x),由于,故g(x)是A的化零多项式当且仅当g(x)是J的化零多项式.从而A与J有相同的最小多项式.因此只要找出J的所有最小多项式就可以了.设g(x)是J的一个首项系数为1的化零多项式.有
=0
故g(J)=0当且仅当所有g()=0.而g()=0当且仅当为g(x)的零点,且其重数的阶.设A的(也是J的)全部互不相同的特征值为,而J中以为特征值的Jordan块的最高阶数为,则在C内,g(x)应表示为

其中,两两不同,且 (i=1,2,…,k).反之,若g(x)满足上述条件,则所有g()=0,从而g(J)=0.由此可以知道J的最小多项式应为

这表明J的最小多项式是唯一的,从而A在K内的最小多项式也唯一,即为.