第二学期第三次课第六章 带度量的线性空间
§1欧几里得空间设f是实线性空间V上的一个正定、对称的双线性函数,则():=称为向量的内积；具有内积的实线性空间称为欧几里得空间（简称欧氏空间）；
对任意定义

为向量的长度或模.时,称为单位向量.
命题1.1(柯西-布尼雅可夫斯基不等式) 对欧氏空间V内任意两个向量,有

证明 (+t,+t)0对任意tR成立,而
(+t,+t)=(,)t+2t()+
,故
由命题1.1可定义二向量的夹角<>
<>=
如果()=0,则称正交.
设是n维欧氏空间V的一组基.令

称G为内积()在基下的度量矩阵.
G是实正定二次型在这组基下的矩阵,一定是实对称矩阵,并且是正定的.
命题1.2 设欧氏空间V内s个非零向量两两正交,则它们线性无关.
证明 假如

两边用作内积,得,(i=1,2,…,s).
如果n维欧氏空间V内有n个两两正交的单位向量,则由命题1.2可知它们是线性无关的,从而是V的一组基,称为V的一组标准正交基.
显然,内积在标准正交基下的度量矩阵是单位矩阵E.
设是V的一组基,内积在此基下的度量矩阵为G.G正定,故存在实可逆阵T,使.现令()=()T.易验证就是一组标准正交基.这说明标准正交基总是存在的.
设R上n阶方阵T满足

则称T是正交矩阵.
命题1.3 是V的一组标准正交基,令
()=()T
则是一组标准正交基当且仅当T是正交矩阵.
证明 必要性:内积在不同基下的度量矩阵合同,故

即,T是正交矩阵.
充分性:T是正交阵,故可逆.于是也是一组基.设内积在此基下的度量矩阵为G,则,从而是标准正交基.
命题1.3给出了正交矩阵的一个等价定义:正交矩阵就是两组标准正交基间的过度矩阵.
下面我们介绍标准正交基的求法,这个方法通常叫做施密特(Schmidt)正交化方法。
把问题提得一般一些:给定V中一个线性无关的向量组

要求作出一个新向量组

满足:
L()=L()
两两正交.
具体做法如下:


不难看出满足所要求的条件.