第一学期第二十八次课
命题 如果维空间上的线性变换A的矩阵相似于对角矩阵，则A在任一不变子空间上（的限制）的矩阵相似于对角矩阵。
证明 若上的线性变换A的矩阵相似于对角矩阵，则可以分解为特征子空间的直和。记的所有特征值为，则，取，断言。首先要证明。
“”显然；“” ，则存在，使得，两边同时用作用，得到表达式
，
于是
，
即可以表示成的线性组合，于是，“”得证。
再证明是直和。设，其中，则，由于，于是，零向量表示法唯一。
于是可以分解成为特征子空间的直和，即有可对角化。证毕。
第四章 §5商空间上诱导的线性变换
4.5.1线性变换在（关于不变子空间的）商空间上的诱导变换的定义给定上的线性空间，是的一个—不变子空间，定义变换
，
需要验证的合理性。设，则存在，使得，于是，而由于是的不变子空间，于是，便有。于是的定义与商空间上的元素的选取无关，即的定义合理。对于此定义，即有。容易验证是上的线性变换。
定义 上面定义的线性变换 称为内线性变换在商空间内的诱导变换。
设，，若给定的一组基，将其扩充成为的一组基，若在此组基下的矩阵为，则构成商空间的一组基，且在此组基下的矩阵为。于是，有：
命题 设是维线性空间上的线性变换，是的不变子空间，则的特征多项式等于的特征多项式与在商空间上的诱导变换的特征多项式的乘积。
命题 设是数域上的维线性空间上的线性变换，则的特征多项式的根都属于当且仅当在的某组基下的矩阵为上三角形。
证明 必要性 对作归纳1时命题成立，设成立，取关于某个特征值的一个特征向量，取，由上一个命题，维线性空间上的线性变换的特征值都属于，于是在某组基下的矩阵成上三角形，易证是的一组基，且在下的矩阵成上三角形。
充分性 显然。
证毕。
推论 上的有限维线性空间上的线性变换在适当的基下的矩阵成上三角形。