第一学期第二十五次课第四章 §3线性映射与线性变换（续）
4.3.4线性变换的定义与运算定义 线性空间到自身的线性映射称为线性变换，记Hom为End或End。
例 恒同变换

例 投影（射影）设，，定义到的投影，到的投影。
定义 中的运算（加法、数乘和乘法）
加法定义为；
数乘定义为，其中；
乘法（复合）定义为。
命题 End关于加法和复合（作为乘法）构成环，称为的自同态环。
命题 设为数域上的维线性空间，则End同构于M。
证明 由定理 直接推出。
4.3.5线性变换的矩阵与矩阵的相似线性变换（在一组基下）的矩阵的定义是线性映射的矩阵的特例。
设和在下的坐标分别为
和，记在下的矩阵为，则。
即在给定的基下向量在线性变换下的像的坐标等于的线性变换的矩阵乘以原来向量的坐标。
命题 设线性变换在一组基下的矩阵为，由基到基的过渡矩阵为，则A在下的矩阵为。
证明 由已知，，且有
（*），
设在下的矩阵为，则
。
将（*）代入，则有。
定义 称阶矩阵相似于（记为），若存在可逆矩阵，使得。
命题 相似是等价关系。
命题 二矩阵相似当且仅当它们是同一个线性变换在两组基下的矩阵。
证明 充分性已证。必要性 若，则存在，使得。定义上的为线性空间上的线性变换如下：任取的一组基，定义，再令，由命题 可知，是的一组基，代入整理，得到。证毕。