北京大学：高等代数（精品课程）：高等代数(北京大学，赵春来)31

设M是n维欧氏空间V的一个子空间,易知M关于V的内积也成一个欧氏空间.定义


称
为M的正交补.显然
也是V的子空间.
命题1.5 设
是
维欧氏空间
的子空间，则
.
证明 设
,则由正交补的定义得(
)=0.所以
.这说明
是直和.取M的一组标准正交基
,先将它扩为V的一组基
,
.将它先正交化,再单位化.由于
已经是两两正交的单位向量,故先正交化,再单位化后保持不变,得到
,
.显然
与M中向量都正交,故

.于是
V=L(
)+L(
)
V
从而
.
推论
维欧氏空间
中的任一两两正交的单位向量组
都可以扩充为
的标准正交基.
证明 设M=L(
),在
中取出一组标准正交基
,则
,
就是V的一组标准正交基.
最后介绍一下欧氏空间同构的概念.
设
是两个欧氏空间,如果存在
的一个映射
,满足
(1)
是
的线性空间的同构映射
(2)
保持内积关系.
则称
是欧氏空间
的同构映射,称
同构.
第六章 §2欧氏空间中特殊的线性变换
1．正交变换设V是n维欧氏空间，A是V内一个线性变换.如果对任意
都有
(A
A
=

则称A是V内的一个正交变换.
正交变换的四个等价表述:
命题2.1 A是n维欧氏空间V内的一个线性变换,则下列命题等价,
A是正交变换;
A把V的标准正交基变为标准正交基;
A在标准正交基下的矩阵为正交矩阵;
对任意
,|A
.
证明 (1)
(2):设
是V的一组标准正交基,则由正交变换的定义:
|A
|=
=
=1
(A
A
)=(
,
)=0 (i
j)
于是,A
,A
A
是V的标准正交基.
(2)
(3),A在
下的矩阵A恰是
到A
,A
A
的过渡矩阵,从而A是正交矩阵.
(3)
(4):设A在标准正交基
下的矩阵为A,设
=
,则
(A
,A
)=((
)A
,(
)A
)
=

=


=

=

开方即得|A
.
(4)
(1):如果A保持向量长度不变,则(A
A
)=
,(A
,A
)=

(A(
),A(
))=(
,
),展开:
(A
A
)+2(A
A
+(A
,A
)=
+2
+

利用前两个式子,得(A
A
=
.
证明 显然E
;如果A,B
,则(AB
AB
)=(B
,B
)=
,故AB
;若A
,则显然可逆,于是

E
E
A
A
A
A

A
A
,
从而A

.于是
构成群.
由于正交矩阵的行列式只可能为1或-1,我们以此对正交变换进行分类:如果正交变换A在某一组基下的矩阵的行列式为1,则称A为第一类正交变换;如果行列式为-1,则称A为第二类正交变换.