∑Fn=0 FNK–(14.5–2× 4)sinαK –13cosαK=0
FNK = 14.528 kN
( FNK = F0QK sinαK +FHcosαK)
∑Fτ=0 FQK–(14.5–2× 4)cosαK+13sinαK=0
FQK = 0
( FQK = F0QKcosαK–FH sinαK)
以Ｋ点为矩心的力矩平衡方程，求 MK：
∑MK=0 MK + 2× 4× 2 + 13× 3–14.5× 4 = 0
得,MK = 3 kNm ( 下侧受拉 )
( MK = M0K–FH yK )
说明,对照上述计算拱内力的三个方程式，可以写出如后面括号中三个内力表达式，即：
FNK = F0QK sinαK +FHcosαK
FQK = FQKcosαK–FH sinαK （ 4-2-2）
MK = M0K–FH yK
上式可作为拱内力的计算公式用，特别是在作拱的内力图时。但须注意以下几点：
１、式（ 4-2-2）要在以拱的左底铰为原点的平面直角坐标中应用，并仅考虑了竖向荷载的作用。
２、式中 αK 为所计算 K截面外法线 n（或 K截面处拱轴切线）与水平 x坐标的夹角。如果取 αK是与水平方向的锐角考虑，则 K截面在左半拱时为正，在右半拱时为负。
３、带拉杆的三铰拱，其支座反力可由整体的平衡条件完全求得；水平推力由拉杆承受。可将顶铰和拉杆切开，取任一部分求出拉杆中的轴力。
三,拱的内力图特征
１、拱的内力图特征
FNK = F0QK sinαK +FHcosαK
FQK = FQKcosαK–FH sinαK （ 4-2-2）
MK = M0K–FH yK
由上式分析可知，当拱轴为曲线时。有：
（１）不管拱轴区段上是否有分布荷载，拱的各内力图在区段上均为曲线形状；
（２） 在竖向集中力 FP作用点两侧截面，拱的轴力和剪力有突变，突变值分别为 FP sinαK 和 FP
cosαK，弯矩图在该点转折；在集中力偶Ｍ作用点两侧截面，弯矩有突变，突变值为Ｍ，轴力和剪力不受影响。
（３）由于水平推力对拱的弯矩的影响，拱的弯矩与相应的简支梁的弯矩比较大大的减小。
２、拱的内力图的制作方法原则上是将拱沿其跨度平分成若干等份区段，分别计算出每个等分点截面的内力值，然后将各点内力竖标顺序连以光滑曲线即可。但要注意各内力图上的突变和转折特征。
当只有竖向荷载作用时，拱轴上各等分点截面的内力计算，可利用式 （ 4-2-2） 制作适当的表格后，
再进行由表格表示的各项的计算。
§ 4-3 拱的合理拱轴简介由于拱的水平推力的作用，拱的弯矩与相应的简支梁相比大大减小，所以拱是以受压为主的结构。
一、拱的合理拱轴概念：
在某一荷载作用下，沿拱轴所有截面上均无弯矩时的拱轴线称之。
二、在竖向荷载下的合理拱轴线根据拱的合理拱轴的概念，在竖向荷载下的合理拱轴线可由式（ 4-2-2）中的弯矩式得出，即由
MK=M0K–FH yK
并令 MK =０
得,yK= M0K/FH （ 4-3-1）
例 4-3-1 求图示三铰拱的合理拱轴线方程,并分析其合理拱轴的形状 。
解：（１）求支座反力由整体的平衡条件 ∑MB = 0 得：
FAy× 8－ FH× 2－ 20× 6－ 10× 4× 2=0
由Ｃ铰以左部分的平衡 ∑MC = 0 得：
FAy× 4－ FH× 4－ 20× 2=0
联立上两式,4FAy－ FH－ 100=0
FAy－ FH－ 10=0
解得,FAy=30kN (↑) FH=20kN (→)
（２）建立以Ａ支座为原点的直角坐标，由式
y=M0/FH 分段写出拱的合理拱轴线方程,
(0≤x≤2) y=(30/20)x=3x/2
(2≤x≤4) y=[30x－ 20(x－ 2)]/20=x/2＋ 2
(4≤x≤8) y=[(30x－ 20(x－ 2) － 10(x－ 4)2/2]/20
=－ x2/4＋ 5x/2－ 2
上式即为竖向荷载作用下的合理拱轴线方程。
说明：由本例结果可知，三铰拱在竖向集中荷载作用下的的无荷载区段上，合理拱轴是一条直线，
并在集中荷载作用点出现转折；在均布荷载作用区段上，合理拱轴是一条抛物线。
拱的合理拱轴线的形状与相应的简支梁的弯矩图相似。
静定拱 小结一、、要求了解拱的受力特点；重点掌握两个底铰在一条水平线上的三铰拱的支座反力的计算，
及拱轴上指定截面的内力计算；了解拱的内力图的特征及制作方法。
二、应掌握拱在任意荷载下的计算，即不限于仅有竖向荷载的情况。所以。拱的内力计算应建立在牢固掌握截面法的基础之上，而不只是运用公式。
FNK = 14.528 kN
( FNK = F0QK sinαK +FHcosαK)
∑Fτ=0 FQK–(14.5–2× 4)cosαK+13sinαK=0
FQK = 0
( FQK = F0QKcosαK–FH sinαK)
以Ｋ点为矩心的力矩平衡方程，求 MK：
∑MK=0 MK + 2× 4× 2 + 13× 3–14.5× 4 = 0
得,MK = 3 kNm ( 下侧受拉 )
( MK = M0K–FH yK )
说明,对照上述计算拱内力的三个方程式，可以写出如后面括号中三个内力表达式，即：
FNK = F0QK sinαK +FHcosαK
FQK = FQKcosαK–FH sinαK （ 4-2-2）
MK = M0K–FH yK
上式可作为拱内力的计算公式用，特别是在作拱的内力图时。但须注意以下几点：
１、式（ 4-2-2）要在以拱的左底铰为原点的平面直角坐标中应用，并仅考虑了竖向荷载的作用。
２、式中 αK 为所计算 K截面外法线 n（或 K截面处拱轴切线）与水平 x坐标的夹角。如果取 αK是与水平方向的锐角考虑，则 K截面在左半拱时为正，在右半拱时为负。
３、带拉杆的三铰拱，其支座反力可由整体的平衡条件完全求得；水平推力由拉杆承受。可将顶铰和拉杆切开，取任一部分求出拉杆中的轴力。
三,拱的内力图特征
１、拱的内力图特征
FNK = F0QK sinαK +FHcosαK
FQK = FQKcosαK–FH sinαK （ 4-2-2）
MK = M0K–FH yK
由上式分析可知，当拱轴为曲线时。有：
（１）不管拱轴区段上是否有分布荷载，拱的各内力图在区段上均为曲线形状；
（２） 在竖向集中力 FP作用点两侧截面，拱的轴力和剪力有突变，突变值分别为 FP sinαK 和 FP
cosαK，弯矩图在该点转折；在集中力偶Ｍ作用点两侧截面，弯矩有突变，突变值为Ｍ，轴力和剪力不受影响。
（３）由于水平推力对拱的弯矩的影响，拱的弯矩与相应的简支梁的弯矩比较大大的减小。
２、拱的内力图的制作方法原则上是将拱沿其跨度平分成若干等份区段，分别计算出每个等分点截面的内力值，然后将各点内力竖标顺序连以光滑曲线即可。但要注意各内力图上的突变和转折特征。
当只有竖向荷载作用时，拱轴上各等分点截面的内力计算，可利用式 （ 4-2-2） 制作适当的表格后，
再进行由表格表示的各项的计算。
§ 4-3 拱的合理拱轴简介由于拱的水平推力的作用，拱的弯矩与相应的简支梁相比大大减小，所以拱是以受压为主的结构。
一、拱的合理拱轴概念：
在某一荷载作用下，沿拱轴所有截面上均无弯矩时的拱轴线称之。
二、在竖向荷载下的合理拱轴线根据拱的合理拱轴的概念，在竖向荷载下的合理拱轴线可由式（ 4-2-2）中的弯矩式得出，即由
MK=M0K–FH yK
并令 MK =０
得,yK= M0K/FH （ 4-3-1）
例 4-3-1 求图示三铰拱的合理拱轴线方程,并分析其合理拱轴的形状 。
解：（１）求支座反力由整体的平衡条件 ∑MB = 0 得：
FAy× 8－ FH× 2－ 20× 6－ 10× 4× 2=0
由Ｃ铰以左部分的平衡 ∑MC = 0 得：
FAy× 4－ FH× 4－ 20× 2=0
联立上两式,4FAy－ FH－ 100=0
FAy－ FH－ 10=0
解得,FAy=30kN (↑) FH=20kN (→)
（２）建立以Ａ支座为原点的直角坐标，由式
y=M0/FH 分段写出拱的合理拱轴线方程,
(0≤x≤2) y=(30/20)x=3x/2
(2≤x≤4) y=[30x－ 20(x－ 2)]/20=x/2＋ 2
(4≤x≤8) y=[(30x－ 20(x－ 2) － 10(x－ 4)2/2]/20
=－ x2/4＋ 5x/2－ 2
上式即为竖向荷载作用下的合理拱轴线方程。
说明：由本例结果可知，三铰拱在竖向集中荷载作用下的的无荷载区段上，合理拱轴是一条直线，
并在集中荷载作用点出现转折；在均布荷载作用区段上，合理拱轴是一条抛物线。
拱的合理拱轴线的形状与相应的简支梁的弯矩图相似。
静定拱 小结一、、要求了解拱的受力特点；重点掌握两个底铰在一条水平线上的三铰拱的支座反力的计算，
及拱轴上指定截面的内力计算；了解拱的内力图的特征及制作方法。
二、应掌握拱在任意荷载下的计算，即不限于仅有竖向荷载的情况。所以。拱的内力计算应建立在牢固掌握截面法的基础之上，而不只是运用公式。
