例 6-5-3 求图示刚架Ｄ截面的竖向位移 DDV 。
各杆 EI=常数。
解,DDV= [(51× 6/2)(2× 3/3)- (20× 6/2)(3/3)
-(2/3)(10× 62× 6/8)(3/2)]/EI
= 237/EI(↓)
三、静定桁架的位移计算位移计算公式,D = ∑FNC FNPl/EA (6-4-2)
例 6-4-2 求图示桁架Ｄ点的竖向位移 DDV和ＣＤ杆的转角? 。
解,１）计算 FNP,FNC
３）代入公式求位移
DDV= [(-5/6)(-4.2)× 5+(- 5/6)(-29.2)× 5
+1× 20× 3+(2/3)(23.3)× 4× 2)]/EA
= 2.643× 10-3 m(↓)
= [（ -5/24)(-4.2) × 5+(5/24)(-29.2)× 5
+23.3× 4/6-23.3 × 4/6 ]/EA
= -3.052× 10-3 (?)
说明：在计算桁架某杆件的角位移或某两个杆件的相对角位移时，虚单位力偶是设在相应杆两端的且与杆轴垂直的一对大小相等方向相反得一对平行力，力的值为 1/d(d为杆长）。
§ 6-8 线性变形体的互等定理一、功（虚功）互等定理第一种状态的力在第二种状态的位移上所作的外力虚功，等于第二种状态的力在第一种状态的位移上所作的外力虚功。
FP1D12=FP2D21 (6-8-1)
状态 Ⅰ 状态 Ⅱ
证明：
根据变形体的虚功原理，状态 Ⅰ 的力系在状态 Ⅱ 的位移上所作的虚功应满足 WⅠⅡ =V ⅠⅡ
即,FP1D12= ∑∫(M1M2 /EI) ds
状态 Ⅱ 的力系在状态 Ⅰ 的位移上所作的虚功应满足,W Ⅱ Ⅰ =V Ⅱ Ⅰ
即,FP2D21= ∑∫(M2M1 /EI) ds
显然有,FP1D12= FP2D21
得证。
注意：为简化起见，证明中内力虚功只考虑了弯矩作功一项。
证明,根据功的互等定理 FP1D12= FP2D21
对图（ a）、（ b），有,d12=d21
二、位移互等定理由 FP1=1引起的沿 FP2作用点及方向上的位移，等于由 FP2=1引起的沿 FP1作用点及方向上的位移。即,
d12=d21 (6-8-2)
(b)
(a) 1
注意,d12＝ D12／ FP2 叫位移影响系数，是有单位的量；等号两侧的系数可同是线位移，同是角位移,
也可一个是线位移而另一个是角位移。
(c)
(d)
d12=d21
位移影响系数具有单位形式：
均为力时长度／力＝长度／力；
均为力矩时弧度／（力 × 长度）
＝弧度／（力 × 长度 ）
力和力矩长度／（力 × 长度）
＝弧度／力；
三、反力互等定理由于支座 1发生位移 D1=1引起的沿支座 2方向的支座反力，等于由于支座 2发生位移 D2=1引起的沿支座方向的支座反力。即：
r12=r21 (６ -８ -3)
(b)
(a)
反力影响系数 r12=R12/D2 是有单位的量。
形式：
均为线位移时 力／长度＝力／长度；
均为角位移时 （力 × 长度）／弧度
＝ （力 × 长度）／弧度；
角位移和线位移 （力 × 长度）／长度＝力／弧度。
(d)
(c)
静定结构的位移计算 小结一、了解结构位移计算依据的虚功原理及杆系结构位移计算一般公式的推导。
二、弄清线性变形体位移计算一般公式的物理意义；
三、掌握用虚单位力法求各类静定结构的位移，熟练应用图乘法求刚架的位移。
要求掌握：
１、静定结构在荷载作用下的位移计算；
２、静定结构在支座发生移动时的位移计算。
例６－１图中所示刚架Ｂ支座有沉降 2cm,计算 Ｄ截面的竖向位移 DDV 。各杆 EI=常数。
FRB=3/2
DDV= -∑F Rici = - (- 3/2) × 2= 3cm(↓)
DDV=237/EI(↓)+3(↓)
各杆 EI=常数。
解,DDV= [(51× 6/2)(2× 3/3)- (20× 6/2)(3/3)
-(2/3)(10× 62× 6/8)(3/2)]/EI
= 237/EI(↓)
三、静定桁架的位移计算位移计算公式,D = ∑FNC FNPl/EA (6-4-2)
例 6-4-2 求图示桁架Ｄ点的竖向位移 DDV和ＣＤ杆的转角? 。
解,１）计算 FNP,FNC
３）代入公式求位移
DDV= [(-5/6)(-4.2)× 5+(- 5/6)(-29.2)× 5
+1× 20× 3+(2/3)(23.3)× 4× 2)]/EA
= 2.643× 10-3 m(↓)
= [（ -5/24)(-4.2) × 5+(5/24)(-29.2)× 5
+23.3× 4/6-23.3 × 4/6 ]/EA
= -3.052× 10-3 (?)
说明：在计算桁架某杆件的角位移或某两个杆件的相对角位移时，虚单位力偶是设在相应杆两端的且与杆轴垂直的一对大小相等方向相反得一对平行力，力的值为 1/d(d为杆长）。
§ 6-8 线性变形体的互等定理一、功（虚功）互等定理第一种状态的力在第二种状态的位移上所作的外力虚功，等于第二种状态的力在第一种状态的位移上所作的外力虚功。
FP1D12=FP2D21 (6-8-1)
状态 Ⅰ 状态 Ⅱ
证明：
根据变形体的虚功原理，状态 Ⅰ 的力系在状态 Ⅱ 的位移上所作的虚功应满足 WⅠⅡ =V ⅠⅡ
即,FP1D12= ∑∫(M1M2 /EI) ds
状态 Ⅱ 的力系在状态 Ⅰ 的位移上所作的虚功应满足,W Ⅱ Ⅰ =V Ⅱ Ⅰ
即,FP2D21= ∑∫(M2M1 /EI) ds
显然有,FP1D12= FP2D21
得证。
注意：为简化起见，证明中内力虚功只考虑了弯矩作功一项。
证明,根据功的互等定理 FP1D12= FP2D21
对图（ a）、（ b），有,d12=d21
二、位移互等定理由 FP1=1引起的沿 FP2作用点及方向上的位移，等于由 FP2=1引起的沿 FP1作用点及方向上的位移。即,
d12=d21 (6-8-2)
(b)
(a) 1
注意,d12＝ D12／ FP2 叫位移影响系数，是有单位的量；等号两侧的系数可同是线位移，同是角位移,
也可一个是线位移而另一个是角位移。
(c)
(d)
d12=d21
位移影响系数具有单位形式：
均为力时长度／力＝长度／力；
均为力矩时弧度／（力 × 长度）
＝弧度／（力 × 长度 ）
力和力矩长度／（力 × 长度）
＝弧度／力；
三、反力互等定理由于支座 1发生位移 D1=1引起的沿支座 2方向的支座反力，等于由于支座 2发生位移 D2=1引起的沿支座方向的支座反力。即：
r12=r21 (６ -８ -3)
(b)
(a)
反力影响系数 r12=R12/D2 是有单位的量。
形式：
均为线位移时 力／长度＝力／长度；
均为角位移时 （力 × 长度）／弧度
＝ （力 × 长度）／弧度；
角位移和线位移 （力 × 长度）／长度＝力／弧度。
(d)
(c)
静定结构的位移计算 小结一、了解结构位移计算依据的虚功原理及杆系结构位移计算一般公式的推导。
二、弄清线性变形体位移计算一般公式的物理意义；
三、掌握用虚单位力法求各类静定结构的位移，熟练应用图乘法求刚架的位移。
要求掌握：
１、静定结构在荷载作用下的位移计算；
２、静定结构在支座发生移动时的位移计算。
例６－１图中所示刚架Ｂ支座有沉降 2cm,计算 Ｄ截面的竖向位移 DDV 。各杆 EI=常数。
FRB=3/2
DDV= -∑F Rici = - (- 3/2) × 2= 3cm(↓)
DDV=237/EI(↓)+3(↓)
