第六章 静定结构的位移
§ 6-1 概 述一、位移概念在外因作用下，结构某一截面相对于初始状态位置的变化叫作该截面的位移。
位移是矢量，即有大小，方向，起点和终点平面杆件结构的位移：
１、线位移：水平位移竖向位移
２、转角位移（角位移）
Dx
Dy
广义位移概念：
１、绝对位移：一个截面相对自身初始位置的位移；
２、相对位移：一个截面相对另一个截面的位移。
图 (b)，刚架的Ａ端和Ｂ端分别有竖向绝对线位移，
方向相反，其相对竖向线位移为：
DAB=DA+DB
刚架的Ａ端和Ｂ端分别有绝对角位移，方向相同，
其相对角位移为：
AB=?B－?A
DA DB
(a) (b)
二、计算结构位移的目的
１、验算结构的刚度，使结构的位移或变形不超出规定的范围，满足结构的功能和使用要求。
２、在结构的制作或施工时，按使用时结构位移的反方向予先采取措施。
３、引入变形（位移）条件，为计算超静定结构提供基础。
(b)(a)
三、位移计算中的基本假定位移计算限定结构在线性弹性范围内工作。即，
结构的位移与荷载的大小成正比，且当荷载撤除后，
结构的位移也随之消失。并应满足如下基本假定：
１、应力和应变服从虎克定律（物理线性）；
２、位移是微小位移（几何线性），即可用结构原尺寸和叠加法计算其位移；
３、所有约束为理想约束，即约束力不作功 。
§ 6-２ 刚体体系的虚功原理及应用结构力学的位移计算依据变形体的虚功原理。刚体虚功原理是其特殊（简单）情况。
一、实功
１、常力实功实功的力和位移两要素相关。在外力 FP作用下，
刚体沿力的方向发生位移△ ` 。
W=FP△
= FP△ `cosa
2、静力实功在静外力 FP1作用下，变形体在力的作用点沿力的方向发生位移△ 11 。静力实功为：
W=(1/2)FP1△ 11
静力概念：
静力荷载加载到结构上是有一个过程的，在这个加载过程中，荷载从零增加到最后值，结构的内力和位移也达到最后值；
在整个加载过程中，
外力和内力始终保持静力平衡。
对于线弹性结构，在静力荷载加载的过程中，结构的位移和荷在成正比。
当结构的位移有一增量
dD时，静力功有增量：
dW=Fp1dD
当静力达到最后值时总的静力功为：
W=∫dW=∫F p1dD
由上式可看出，静力功是图中三角型 0AB的面积，
即：
W=(1/2)FP1△ 11
Ａ
位移与静力荷载
０ B
二、虚功在简支梁上先加载 FP1,使力 FP1作用点的位移达到终值△ 11，再加载 FP2，使力 FP1的作用点发生位移
△ 12，力 FP1在位移△ 12上作的功叫虚功,即：
W12=FP1△ 12
虚功中的力和位移两个要素不相关。即无因果关系。虚功具有常力功的形式。
根据叠加原理，图 (a)可分解为图 (b),(c)两种情况。
(a) (b)
(c)
三、刚体的虚功原理及应用
１、刚体的虚功原理在具有理想约束的刚体体系中，若力状态中的力系满足静力平衡条件，位移状态中的刚体位移与约束几何相容，则该力在该相应的刚体位移上所作的外力虚功之和等于零，即 W12＝０。
利用虚功原理和虚功的力和位移不相关的特性，
可虚设位移（或力）状态，求实际的力（或位移）。
因此，虚功原理有两种应用。
分析：梁在荷载作用下其支座反力有静定解，即荷载与支座反力组成满足静力平衡条件的力状态。若再有一个恰当的与支座约束相容的刚体位移状态，就可由虚功原理求支座反力。
例 6-2-1 用虚位移原理求图示简支梁的Ｂ支座的反力 FBy。
解：１）切断Ｂ支座链杆，使由此得到的机构发生沿 Fby方向的刚体虚位移。
２）令实际力系在刚体位移的虚位移上作虚功，代入 W12=0 得虚功方程：
FBy△ B﹣ FP △ P=0
由虚位移图的几何关系可知 △ P/△ B ＝ a/l 得,
FBy＝ FP a/l (↑)
（实际）力状态
（虚）位移状态说明：本例应用虚功原理求结构支座反力的方法叫虚位移法。为简单起见，可设虚位移△ B ＝ 1，则本题求解过程如下,
FBy× 1﹣ FP dP=0 即,FBy﹣ FP d P=0
由 d P= a／ l 得,FBy＝ FP a／ l (↑)
这样处理后的方法叫虚单位位移法（简称单位位移法）。
单位位移法步骤：
１）去掉与拟求力相应的约束，并代以拟求力（力的方向是先假定的），并使得到的体系（机构）沿拟求力的方向发生单位虚位移；
３）令所有外力在体系的虚位移上作虚功，建立虚位移方程并求解。
４）结果为正，所得力的方向与假定的方向相同；
结果为负，所得力的方向与假定的方向相反。
２、静定结构在支座移动时的位移计算例 6-2-2 图示简支梁在Ｂ支座有沉陷 b，用虚力原理求梁Ｃ点的竖向位移 DCV。
分析：图示梁由于支座Ｂ的位移而发生如图示满足约束的实际刚体位移状态。若再有一个恰当的满足平衡条件的力状态，就可利用虚功原理求位移。
解：１）在结构的拟求位移点Ｃ虚设力 FP，由静力平衡条件求出支座反力 FBy ＝ FP a／ l (↑) 显然虚力系是满足静力平衡条件的力状态。
２）令虚力系在实际位移上作虚功，由 W=0，得虚功方程：
FP △ CV﹣ （ FPa／ l)b=0
△ CV ＝ ab／ l (↓)
说明：利用虚功原理求结构位移的方法叫虚力法。
同上例一样，本例可设一个虚单位力 FP =１，
则有 FBy＝ a／ l (↑) 虚功方程为：
1×△ CV﹣ （ a／ l)b=0 △ CV＝ ab／ l (↓)
这种处理后的方法又可叫虚单位荷载法（简称单位荷载法或单位力法）。
单位力法步骤：
１）在结构某指定点拟求位移的方向上，虚设一个单位力，并由静力平衡条件求出结构由此产生的支座反力。
２）令虚力系中的所有外力在结构的实际位移上作虚功，建立虚功方程并求解。
３）结果为正，所得位移方向与虚单位力的方向相同；结果为负，所得位移方向与虚单位力的方向相反。
静定结构在支座移动时的位移计算公式
１）公式推导左图，静定刚架发生了支座位移，拟求某点Ｅ沿截面 Ⅰ － Ⅰ 方向的位移 D。
右图，在Ｅ点沿拟求位移方向虚设单位力，并求出支座反力。
令虚力系中的力在实际位移上作虚功，建立虚功方程：
1× D+ FAxc1+ FAyc2+M Ac3=0
整理后，得,D = -(FAxc1+ FAvc2+ M Ac3)
写成一般式：
D = -∑FRici (6-2-1)
该式即为静定结构在支座发生位移时的位移计算公式。
位移计算步骤是：
１）虚设单位力系，并求该力系的支座反力；
２）代入计算公式，计算位移。
３）按是否与单位力的方向一致确定所得位移方向 。
例 6-2-3 图示多跨静定梁支座Ｂ发生沉陷 a，求
Ｅ截面的竖向位移 DEV和Ｄ铰两侧截面的相对转角? 。
解,１）求 DEV
位移公式
D = -∑FRici (6-2-1)
DEV=-(3/4)a=3a/4(↑)
２） 求?
= -(-5/2l)a=5a/(2l) ()
(= -1/l)(=5/2l)
§ 6-1 概 述一、位移概念在外因作用下，结构某一截面相对于初始状态位置的变化叫作该截面的位移。
位移是矢量，即有大小，方向，起点和终点平面杆件结构的位移：
１、线位移：水平位移竖向位移
２、转角位移（角位移）
Dx
Dy
广义位移概念：
１、绝对位移：一个截面相对自身初始位置的位移；
２、相对位移：一个截面相对另一个截面的位移。
图 (b)，刚架的Ａ端和Ｂ端分别有竖向绝对线位移，
方向相反，其相对竖向线位移为：
DAB=DA+DB
刚架的Ａ端和Ｂ端分别有绝对角位移，方向相同，
其相对角位移为：
AB=?B－?A
DA DB
(a) (b)
二、计算结构位移的目的
１、验算结构的刚度，使结构的位移或变形不超出规定的范围，满足结构的功能和使用要求。
２、在结构的制作或施工时，按使用时结构位移的反方向予先采取措施。
３、引入变形（位移）条件，为计算超静定结构提供基础。
(b)(a)
三、位移计算中的基本假定位移计算限定结构在线性弹性范围内工作。即，
结构的位移与荷载的大小成正比，且当荷载撤除后，
结构的位移也随之消失。并应满足如下基本假定：
１、应力和应变服从虎克定律（物理线性）；
２、位移是微小位移（几何线性），即可用结构原尺寸和叠加法计算其位移；
３、所有约束为理想约束，即约束力不作功 。
§ 6-２ 刚体体系的虚功原理及应用结构力学的位移计算依据变形体的虚功原理。刚体虚功原理是其特殊（简单）情况。
一、实功
１、常力实功实功的力和位移两要素相关。在外力 FP作用下，
刚体沿力的方向发生位移△ ` 。
W=FP△
= FP△ `cosa
2、静力实功在静外力 FP1作用下，变形体在力的作用点沿力的方向发生位移△ 11 。静力实功为：
W=(1/2)FP1△ 11
静力概念：
静力荷载加载到结构上是有一个过程的，在这个加载过程中，荷载从零增加到最后值，结构的内力和位移也达到最后值；
在整个加载过程中，
外力和内力始终保持静力平衡。
对于线弹性结构，在静力荷载加载的过程中，结构的位移和荷在成正比。
当结构的位移有一增量
dD时，静力功有增量：
dW=Fp1dD
当静力达到最后值时总的静力功为：
W=∫dW=∫F p1dD
由上式可看出，静力功是图中三角型 0AB的面积，
即：
W=(1/2)FP1△ 11
Ａ
位移与静力荷载
０ B
二、虚功在简支梁上先加载 FP1,使力 FP1作用点的位移达到终值△ 11，再加载 FP2，使力 FP1的作用点发生位移
△ 12，力 FP1在位移△ 12上作的功叫虚功,即：
W12=FP1△ 12
虚功中的力和位移两个要素不相关。即无因果关系。虚功具有常力功的形式。
根据叠加原理，图 (a)可分解为图 (b),(c)两种情况。
(a) (b)
(c)
三、刚体的虚功原理及应用
１、刚体的虚功原理在具有理想约束的刚体体系中，若力状态中的力系满足静力平衡条件，位移状态中的刚体位移与约束几何相容，则该力在该相应的刚体位移上所作的外力虚功之和等于零，即 W12＝０。
利用虚功原理和虚功的力和位移不相关的特性，
可虚设位移（或力）状态，求实际的力（或位移）。
因此，虚功原理有两种应用。
分析：梁在荷载作用下其支座反力有静定解，即荷载与支座反力组成满足静力平衡条件的力状态。若再有一个恰当的与支座约束相容的刚体位移状态，就可由虚功原理求支座反力。
例 6-2-1 用虚位移原理求图示简支梁的Ｂ支座的反力 FBy。
解：１）切断Ｂ支座链杆，使由此得到的机构发生沿 Fby方向的刚体虚位移。
２）令实际力系在刚体位移的虚位移上作虚功，代入 W12=0 得虚功方程：
FBy△ B﹣ FP △ P=0
由虚位移图的几何关系可知 △ P/△ B ＝ a/l 得,
FBy＝ FP a/l (↑)
（实际）力状态
（虚）位移状态说明：本例应用虚功原理求结构支座反力的方法叫虚位移法。为简单起见，可设虚位移△ B ＝ 1，则本题求解过程如下,
FBy× 1﹣ FP dP=0 即,FBy﹣ FP d P=0
由 d P= a／ l 得,FBy＝ FP a／ l (↑)
这样处理后的方法叫虚单位位移法（简称单位位移法）。
单位位移法步骤：
１）去掉与拟求力相应的约束，并代以拟求力（力的方向是先假定的），并使得到的体系（机构）沿拟求力的方向发生单位虚位移；
３）令所有外力在体系的虚位移上作虚功，建立虚位移方程并求解。
４）结果为正，所得力的方向与假定的方向相同；
结果为负，所得力的方向与假定的方向相反。
２、静定结构在支座移动时的位移计算例 6-2-2 图示简支梁在Ｂ支座有沉陷 b，用虚力原理求梁Ｃ点的竖向位移 DCV。
分析：图示梁由于支座Ｂ的位移而发生如图示满足约束的实际刚体位移状态。若再有一个恰当的满足平衡条件的力状态，就可利用虚功原理求位移。
解：１）在结构的拟求位移点Ｃ虚设力 FP，由静力平衡条件求出支座反力 FBy ＝ FP a／ l (↑) 显然虚力系是满足静力平衡条件的力状态。
２）令虚力系在实际位移上作虚功，由 W=0，得虚功方程：
FP △ CV﹣ （ FPa／ l)b=0
△ CV ＝ ab／ l (↓)
说明：利用虚功原理求结构位移的方法叫虚力法。
同上例一样，本例可设一个虚单位力 FP =１，
则有 FBy＝ a／ l (↑) 虚功方程为：
1×△ CV﹣ （ a／ l)b=0 △ CV＝ ab／ l (↓)
这种处理后的方法又可叫虚单位荷载法（简称单位荷载法或单位力法）。
单位力法步骤：
１）在结构某指定点拟求位移的方向上，虚设一个单位力，并由静力平衡条件求出结构由此产生的支座反力。
２）令虚力系中的所有外力在结构的实际位移上作虚功，建立虚功方程并求解。
３）结果为正，所得位移方向与虚单位力的方向相同；结果为负，所得位移方向与虚单位力的方向相反。
静定结构在支座移动时的位移计算公式
１）公式推导左图，静定刚架发生了支座位移，拟求某点Ｅ沿截面 Ⅰ － Ⅰ 方向的位移 D。
右图，在Ｅ点沿拟求位移方向虚设单位力，并求出支座反力。
令虚力系中的力在实际位移上作虚功，建立虚功方程：
1× D+ FAxc1+ FAyc2+M Ac3=0
整理后，得,D = -(FAxc1+ FAvc2+ M Ac3)
写成一般式：
D = -∑FRici (6-2-1)
该式即为静定结构在支座发生位移时的位移计算公式。
位移计算步骤是：
１）虚设单位力系，并求该力系的支座反力；
２）代入计算公式，计算位移。
３）按是否与单位力的方向一致确定所得位移方向 。
例 6-2-3 图示多跨静定梁支座Ｂ发生沉陷 a，求
Ｅ截面的竖向位移 DEV和Ｄ铰两侧截面的相对转角? 。
解,１）求 DEV
位移公式
D = -∑FRici (6-2-1)
DEV=-(3/4)a=3a/4(↑)
２） 求?
= -(-5/2l)a=5a/(2l) ()
(= -1/l)(=5/2l)
