§ 6-3 结构位移计算的一般公式一、杆件局部（微段）变形时的位移
d D = -(-MCd?-FQCd? -FNCd?)
d D = MCd?＋ FQCd?＋ FNCd?
图示梁，仅在ＢＣ微段 ds上发生变形，其它部分仍保持刚性。若仅考虑 CA段，相当于悬臂梁ＣＡ在固定端Ｃ处有支座位移。因此，可利用刚体的虚功原理，由静定结构支座移动时求位移的方法来研究。
即沿拟求位移方向虚设单位力，并求出Ｃ 截面的内力 。 代入公式,D = -∑FRici (6-2-1)
二、变形杆件的位移
D = ∫ d D = ∫(MCd?＋ FQCd? ＋ FNC d? )
当同时考虑支座位移，且又为杆件结构时：
D = ∑ ∫(MCd?＋ FQCd? ＋ FNC d? ) -∑Frici （ a）
该式即为计算杆件结构位移的一般公式。 并可写成：
１ × D ＋ ∑Frici = ∑ ∫(MCd?＋ FQCd? ＋ FNC d? )
变形体的虚功原理：
若变形体有满足变形协调及约束允许的可能位移，
那么，满足静力平衡条件的任一力系在该变形体的变形和位移上所作的 总外力虚功等于总内力虚功
（虚应变能），即 W=V。
因为 d?=?ds d?=?ds d?=?ds 代入式 (a)
D=∑∫MC?ds＋ ∑∫FQC?ds＋ ∑∫FNC?ds -∑Frici
(c)
对于线性弹性变形体在荷载作用下时，有：
=MP/EI? =?FQP/GA? = FNP/EA
代入 式（ c），得结构位移计算公式：
D = ∑∫(MCMP /EI) ds ＋ ∑∫(?FQC FQP/GA) ds
＋ ∑∫(FNCFNP/EA) ds -∑Fric i (6-3-1)
§ 6-4 静定结构在荷载作用下的位移一、各类静定结构的位移计算公式
１）梁、刚架：只考虑弯曲变形的影响
D = ∑∫(MC MP/EI) ds (6-4-1)
２）桁架：只考虑轴向变形的影响
D = ∑∫(FNC FNP/EA) ds
D = ∑FNCFNPl/EA (6-4-2)
３）组合结构：
D = ∑∫(MC MP/EI) ds ＋ ∑∫(FNC FNP/EA) ds
(6-4-3)
４）拱
D= ∑∫(MCMP /EI) ds ＋ ∑∫(FNCFNP/EA) ds
(6-4-4)
二、静定梁、刚架的位移计算
１、积分法：
例 6-4-1 求图示刚架Ｃ截面的水平位移 DCH和Ａ、
Ｂ两截面的相对转角? 。各杆 EI=常数。
解：建立拟求的两个指定位移相应的虚力系。分别对各杆件写出弯矩函数 MC、Ｍ Ｐ,代入积分公式计算位移。
１）求 DCH
AB杆 (0≤x1≤l) MP=qlx1/2-qx12/2 MC=-x1/2
AC杆 (0≤ x1≤l/2) MP=0 MC=x2
DCH = (1/EI)∫l (-x1/2) (qlx1/2-qx12/2)dx1= -ql4/48EI
(→)
２）求?
AB杆 (0≤x1≤l) MP=MC=0
AC杆 (0≤ x1≤l/2) MP=qlx1/2-qx12/2 MC= -1
=(1/EI)∫l (-1) (qlx1/2-qx12/2)dx1= - ql3/12EI()
说明,注意利用 D = ∑∫(MC MP/EI) ds 时，两种状态中对同一杆件应取相同坐标，相应的两弯矩函数也应先规定受拉侧，以确定积分的正负。
2、图乘法
１、图乘公式推导一根杆件结构位移公式：
D = ∫ (MC MP/EI) ds (a)
若杆件为等截面直杆,
D =( 1/EI) ∫MC MPdx
=( 1/EI) ∫ydAP
=( 1/EI) tan? ∫lxdAP
=( 1/EI) xC tan? AP
=( 1/EI) yC AP
整理并考虑杆件结构的应用：
D = ∑ AP yC /EI
(6-4-5)
∫lxdAP =xCAP
xC tan? =yC
图乘公式的应用条件：
１）结构杆件分别为等截面直杆，即 EI=常数。
２） yC必须取自直线段弯矩图，而相应该直线段的另一弯矩图的面积 AP及面积形心可求出。
例 6-5-1 用图乘法求图示简支梁在Ｂ端截面的转角位移?和跨中点Ｃ截面的竖向位移 DCV 。 EI=常数解：１）作 MP图，并分别作两拟求位移的 MC图
２）由图乘公式求各位移
=(1/EI)（ 2/3)(ql2/8)l(-1/2) = -ql3/24EI(?)
DCV=(1/EI)(2/3)(ql2/8)(l/2)(5/8)(l/4)2=5ql4/384EI(↓)
说明,注意求 DCV时的图乘，当取竖标的弯矩图是折线图形时，应分段图乘。
例 6-5-2 求图示伸臂梁Ｃ端的竖向位移 DCV 。
解,DCV=(1/EI){[(1/2)(ql2/18)l][(2/3)(l/3)]
- [(2/3)(ql2/8)l][(1/2)(l/3)]
+[(1/3)(ql2/18)(l/3)][(3/4)(l/3)]}
= -ql4/72EI(↑)
说明：１）熟练运用弯矩叠加法分解图形后再图乘是应用图乘法必须掌握的基本功。
２）弯矩图的叠加或分解是竖标的叠加，而不是图形的简单叠加。
３）注意标准抛物线图形的定义。
图乘法中常用图形及数据：
A=hl/2
yc=2h/3
y1=2a/3+b/3
y2=(a+b)/2
y1=2c/3-d/3
y2=(c-d)/2
A=2hl/3
xc=l/2
A=hl/3
xc=3l/4
d D = -(-MCd?-FQCd? -FNCd?)
d D = MCd?＋ FQCd?＋ FNCd?
图示梁，仅在ＢＣ微段 ds上发生变形，其它部分仍保持刚性。若仅考虑 CA段，相当于悬臂梁ＣＡ在固定端Ｃ处有支座位移。因此，可利用刚体的虚功原理，由静定结构支座移动时求位移的方法来研究。
即沿拟求位移方向虚设单位力，并求出Ｃ 截面的内力 。 代入公式,D = -∑FRici (6-2-1)
二、变形杆件的位移
D = ∫ d D = ∫(MCd?＋ FQCd? ＋ FNC d? )
当同时考虑支座位移，且又为杆件结构时：
D = ∑ ∫(MCd?＋ FQCd? ＋ FNC d? ) -∑Frici （ a）
该式即为计算杆件结构位移的一般公式。 并可写成：
１ × D ＋ ∑Frici = ∑ ∫(MCd?＋ FQCd? ＋ FNC d? )
变形体的虚功原理：
若变形体有满足变形协调及约束允许的可能位移，
那么，满足静力平衡条件的任一力系在该变形体的变形和位移上所作的 总外力虚功等于总内力虚功
（虚应变能），即 W=V。
因为 d?=?ds d?=?ds d?=?ds 代入式 (a)
D=∑∫MC?ds＋ ∑∫FQC?ds＋ ∑∫FNC?ds -∑Frici
(c)
对于线性弹性变形体在荷载作用下时，有：
=MP/EI? =?FQP/GA? = FNP/EA
代入 式（ c），得结构位移计算公式：
D = ∑∫(MCMP /EI) ds ＋ ∑∫(?FQC FQP/GA) ds
＋ ∑∫(FNCFNP/EA) ds -∑Fric i (6-3-1)
§ 6-4 静定结构在荷载作用下的位移一、各类静定结构的位移计算公式
１）梁、刚架：只考虑弯曲变形的影响
D = ∑∫(MC MP/EI) ds (6-4-1)
２）桁架：只考虑轴向变形的影响
D = ∑∫(FNC FNP/EA) ds
D = ∑FNCFNPl/EA (6-4-2)
３）组合结构：
D = ∑∫(MC MP/EI) ds ＋ ∑∫(FNC FNP/EA) ds
(6-4-3)
４）拱
D= ∑∫(MCMP /EI) ds ＋ ∑∫(FNCFNP/EA) ds
(6-4-4)
二、静定梁、刚架的位移计算
１、积分法：
例 6-4-1 求图示刚架Ｃ截面的水平位移 DCH和Ａ、
Ｂ两截面的相对转角? 。各杆 EI=常数。
解：建立拟求的两个指定位移相应的虚力系。分别对各杆件写出弯矩函数 MC、Ｍ Ｐ,代入积分公式计算位移。
１）求 DCH
AB杆 (0≤x1≤l) MP=qlx1/2-qx12/2 MC=-x1/2
AC杆 (0≤ x1≤l/2) MP=0 MC=x2
DCH = (1/EI)∫l (-x1/2) (qlx1/2-qx12/2)dx1= -ql4/48EI
(→)
２）求?
AB杆 (0≤x1≤l) MP=MC=0
AC杆 (0≤ x1≤l/2) MP=qlx1/2-qx12/2 MC= -1
=(1/EI)∫l (-1) (qlx1/2-qx12/2)dx1= - ql3/12EI()
说明,注意利用 D = ∑∫(MC MP/EI) ds 时，两种状态中对同一杆件应取相同坐标，相应的两弯矩函数也应先规定受拉侧，以确定积分的正负。
2、图乘法
１、图乘公式推导一根杆件结构位移公式：
D = ∫ (MC MP/EI) ds (a)
若杆件为等截面直杆,
D =( 1/EI) ∫MC MPdx
=( 1/EI) ∫ydAP
=( 1/EI) tan? ∫lxdAP
=( 1/EI) xC tan? AP
=( 1/EI) yC AP
整理并考虑杆件结构的应用：
D = ∑ AP yC /EI
(6-4-5)
∫lxdAP =xCAP
xC tan? =yC
图乘公式的应用条件：
１）结构杆件分别为等截面直杆，即 EI=常数。
２） yC必须取自直线段弯矩图，而相应该直线段的另一弯矩图的面积 AP及面积形心可求出。
例 6-5-1 用图乘法求图示简支梁在Ｂ端截面的转角位移?和跨中点Ｃ截面的竖向位移 DCV 。 EI=常数解：１）作 MP图，并分别作两拟求位移的 MC图
２）由图乘公式求各位移
=(1/EI)（ 2/3)(ql2/8)l(-1/2) = -ql3/24EI(?)
DCV=(1/EI)(2/3)(ql2/8)(l/2)(5/8)(l/4)2=5ql4/384EI(↓)
说明,注意求 DCV时的图乘，当取竖标的弯矩图是折线图形时，应分段图乘。
例 6-5-2 求图示伸臂梁Ｃ端的竖向位移 DCV 。
解,DCV=(1/EI){[(1/2)(ql2/18)l][(2/3)(l/3)]
- [(2/3)(ql2/8)l][(1/2)(l/3)]
+[(1/3)(ql2/18)(l/3)][(3/4)(l/3)]}
= -ql4/72EI(↑)
说明：１）熟练运用弯矩叠加法分解图形后再图乘是应用图乘法必须掌握的基本功。
２）弯矩图的叠加或分解是竖标的叠加，而不是图形的简单叠加。
３）注意标准抛物线图形的定义。
图乘法中常用图形及数据：
A=hl/2
yc=2h/3
y1=2a/3+b/3
y2=(a+b)/2
y1=2c/3-d/3
y2=(c-d)/2
A=2hl/3
xc=l/2
A=hl/3
xc=3l/4
