第二部分 超静定结构的内力和位移第七章 力 法
§ 7-1 超静定结构概述一、超静定结构是具有多余约束的几何不变体系。
二、结构的超静定次数＝结构的多余约束数。
三、结构超静定次数的判定方法（拆除约束法）
一般从约束数少的约束开始拆（截断），直到使结构成为一个无多余约束的几何不变体系（静定结构）为止。
１）去掉一根支座链杆或截断一根桁架杆，相当拆除１个约束；
２）去掉一个固定铰支座或切开一个单铰，相当拆除２个约束；
３）去掉一个固定支座或切开一根梁式杆，相当拆除３个约束；
４）在一根梁式杆上加一个单铰，相当拆除１个约束。
x1 x
1
x2 x
2
x3
例 7-1-1 判断图示结构的超静定次数。
x1
x2
x3
x5 x7
x4x4
x6
x7x7
x1
x2 x
3
x5 x6
§ 7-2 力法基本概念一、力法基本思路有多余约束是超静定与静定的根本区别，因此，
解决多余约束中的多余约束力是解超静定的关键 。
D1=0 D11 + D1P =0
D11=d11x1 d11x1+ D1P =0
1、力法基本未知量结构的多余约束中产生的多余未知力（简称多余力）。
2、力法基本体系力法基本结构，是原结构拆除多余约束后得到的静定结构；力法基本体系，是原结构拆除多余约束后得到的基本结构在荷载（原有各种因素）和多余力共同作用的体系。
3、力法基本方程力法基本体系在多余力位置及方向与原结构位移一致的条件。
方程中的系数和自由项均是静定结构的位移计算问题，显然，超静定转化为静定问题。
例 7-1-1 用力法计算图示梁，并作 M图。
解：１）确定力法基本未知量、基本体系
２）力法方程 d11x1+ D1P =0
３）作 M1,MP图，计算 d11,D1P
d11= l/3EI D1P =ql3/24EI
４）代入力法方程，求 x1
x1 = - D1P /d11 = -ql2/8
５）作 M图
M1
图
MP图
x1
§ 7- 3 力法典型方程力法典型方程，指可用于多次（有限ｎ次）超静定结构的力法一般方程。
一、两次超静定结构的力法方程两次超静定刚架在荷载及支座移动作用下原结构和力法基本体系。
基本体系与原结构位移一致条件,D1= 0
D2= -DB
D1= 0 D11+D12+D1P+D1D=0
D2= -DB D21+D22+D2P+D2D= - DB
因为,Dij=dij xj
所以,d11x1+ d12x2+ D1P + D1D =0
d21x1+ d22x2+ D2P + D2D = - DB (a)
d11x1+ d12x2+ D1P + D1D =0
d21x1+ d22x2+ D2P + D2D = - DB (a)
该式为两次超静定结构在荷载和支座位移共同作用下的力法方程。有支座移动因素时，力法方程的右边项可能不为零。
根据位移互等定理,有,d12=d21
二、力法典型方程
n次超静定结构的力法方程：
d11x1+ d12x2+… d1ixi+ d1jxj+… d1nxn+ D1P + D1D= D1
d21x1+ d22x2+… d2ixi+ d2jxj+… d2nxn+ D2P + D2D= D2
… …
di1x1+ di2x2 +… diixi + dijxj+ … dinxn + DiP + DiD = Di
dj1x1+ dj2x2 +… djixi + djjxj+… djnxn + DjP + DjD = Dj
… …
dn1x1+dn2x2+… dnixi+ dnjxj+… dnnxn+ DnP + DnD= Dn
系数、自由项的物理意义：
dii — 基本结构在 xi=1作用下，沿 xi 方向的位移 ；
dij — 基本结构在 xj=1作用下，沿 xi 方向的位移 ；
DiP — 基本结构在荷载作用下，沿 xi 方向的位移 ；
DiD — 基本结构在支座移动下，沿 xi 方向的位移 ；
Di — 基本结构沿 xi 方向的总位移＝原结构在 xi 方向上的实际位移。
d11 d12 … d1i d1j … d1n
d21 d22… d2i d2j … d2n
… …
F = di1 di2 … dii dij … din
dj1 dj2 … dji djj … djn
… …
dn1 dn2 … dni dnj … dnn
力法方程的系数矩阵是一个对称方阵。由其物理意义可知：
主系数 dii恒大于零，位于方阵左上角到右下角的主对角线上；
副系数 dij 可大于、等于、小于零，位于主对角线两侧对称位置上；
由于 dii =dij,独立的系数为 [n+(n2-n)/2] 个 。
§ 7-1 超静定结构概述一、超静定结构是具有多余约束的几何不变体系。
二、结构的超静定次数＝结构的多余约束数。
三、结构超静定次数的判定方法（拆除约束法）
一般从约束数少的约束开始拆（截断），直到使结构成为一个无多余约束的几何不变体系（静定结构）为止。
１）去掉一根支座链杆或截断一根桁架杆，相当拆除１个约束；
２）去掉一个固定铰支座或切开一个单铰，相当拆除２个约束；
３）去掉一个固定支座或切开一根梁式杆，相当拆除３个约束；
４）在一根梁式杆上加一个单铰，相当拆除１个约束。
x1 x
1
x2 x
2
x3
例 7-1-1 判断图示结构的超静定次数。
x1
x2
x3
x5 x7
x4x4
x6
x7x7
x1
x2 x
3
x5 x6
§ 7-2 力法基本概念一、力法基本思路有多余约束是超静定与静定的根本区别，因此，
解决多余约束中的多余约束力是解超静定的关键 。
D1=0 D11 + D1P =0
D11=d11x1 d11x1+ D1P =0
1、力法基本未知量结构的多余约束中产生的多余未知力（简称多余力）。
2、力法基本体系力法基本结构，是原结构拆除多余约束后得到的静定结构；力法基本体系，是原结构拆除多余约束后得到的基本结构在荷载（原有各种因素）和多余力共同作用的体系。
3、力法基本方程力法基本体系在多余力位置及方向与原结构位移一致的条件。
方程中的系数和自由项均是静定结构的位移计算问题，显然，超静定转化为静定问题。
例 7-1-1 用力法计算图示梁，并作 M图。
解：１）确定力法基本未知量、基本体系
２）力法方程 d11x1+ D1P =0
３）作 M1,MP图，计算 d11,D1P
d11= l/3EI D1P =ql3/24EI
４）代入力法方程，求 x1
x1 = - D1P /d11 = -ql2/8
５）作 M图
M1
图
MP图
x1
§ 7- 3 力法典型方程力法典型方程，指可用于多次（有限ｎ次）超静定结构的力法一般方程。
一、两次超静定结构的力法方程两次超静定刚架在荷载及支座移动作用下原结构和力法基本体系。
基本体系与原结构位移一致条件,D1= 0
D2= -DB
D1= 0 D11+D12+D1P+D1D=0
D2= -DB D21+D22+D2P+D2D= - DB
因为,Dij=dij xj
所以,d11x1+ d12x2+ D1P + D1D =0
d21x1+ d22x2+ D2P + D2D = - DB (a)
d11x1+ d12x2+ D1P + D1D =0
d21x1+ d22x2+ D2P + D2D = - DB (a)
该式为两次超静定结构在荷载和支座位移共同作用下的力法方程。有支座移动因素时，力法方程的右边项可能不为零。
根据位移互等定理,有,d12=d21
二、力法典型方程
n次超静定结构的力法方程：
d11x1+ d12x2+… d1ixi+ d1jxj+… d1nxn+ D1P + D1D= D1
d21x1+ d22x2+… d2ixi+ d2jxj+… d2nxn+ D2P + D2D= D2
… …
di1x1+ di2x2 +… diixi + dijxj+ … dinxn + DiP + DiD = Di
dj1x1+ dj2x2 +… djixi + djjxj+… djnxn + DjP + DjD = Dj
… …
dn1x1+dn2x2+… dnixi+ dnjxj+… dnnxn+ DnP + DnD= Dn
系数、自由项的物理意义：
dii — 基本结构在 xi=1作用下，沿 xi 方向的位移 ；
dij — 基本结构在 xj=1作用下，沿 xi 方向的位移 ；
DiP — 基本结构在荷载作用下，沿 xi 方向的位移 ；
DiD — 基本结构在支座移动下，沿 xi 方向的位移 ；
Di — 基本结构沿 xi 方向的总位移＝原结构在 xi 方向上的实际位移。
d11 d12 … d1i d1j … d1n
d21 d22… d2i d2j … d2n
… …
F = di1 di2 … dii dij … din
dj1 dj2 … dji djj … djn
… …
dn1 dn2 … dni dnj … dnn
力法方程的系数矩阵是一个对称方阵。由其物理意义可知：
主系数 dii恒大于零，位于方阵左上角到右下角的主对角线上；
副系数 dij 可大于、等于、小于零，位于主对角线两侧对称位置上；
由于 dii =dij,独立的系数为 [n+(n2-n)/2] 个 。
