第一章复数和复变函数及其极限
复变函数就是自变量为复数的函数。
§1.1复数及其运算

复数 
复平面

复数和复平面上的点（复向量）建立了一一对应
x 轴上的点 y
对应实数 z=x+yi
y 轴上的点 x
对应纯虚数
共轭复数
 称为的共轭复数， 和  关于X轴对称。
复数的模与幅角
模 
 
加法：
平行四边形法则  


（三角不等式）
复数自身不能比较大小:

幅角

从正实轴旋转到复向量z的旋转角 z
（逆时针为正，顺时 
针为负）称为幅角，
记为Arg(z)(Argument),多值函数，任两值相差2的整数倍。
主值,满足

.从而

,幅角无意义。
幅角的计算



例 求复数 的模和辐角。
解：

 得


 得

从而

复数的表示方法



例如




例 将复数化为指数函数
解




复数相等
设 ，
则



加减法
复数——复向量，可按向量加减法则进行
设，则

乘除法



利用三角形式或指数形式




利用欧拉公式

由上可得

几何意义




乘幂和方根设，则





设

则


解得
 
实际上不同的根只有个，取即可。

例题 计算
解：由于

故







复球面与扩充复平面
球面与复平面建立了一一对应的关系。N对应于复平面上的无穷远点。
图示说明
复平面上的无穷远点只有，一个记为，模为，即
这样的球面为复球面，或Rieman球面。包括的复平面为扩充复平面，
不包括的复平面为有限复平面。简称复平面。
的实部，虚部，幅角无意义。
规定