第三章 复积分
§3.1 概念与性质
 实函数积分
 复函数积分
:复平面内逐段光滑，为复函数定义 :复平面内逐段光滑，在上有定义。若存在复数，使得无论取分点。
,
B
A
任取 只要（弧段的最大长度）

称沿可积。为积分值，记为

可积条件。

则

由二元函数对坐标曲线积分的定义，有

对坐标的曲线积分：
若逐段光滑，，则积分

存在。
于是有积分存在定理积分存在定理 在逐段光滑的有向曲线上连续，则 存在（充分条件）。
有向曲线指逐段光滑的有向曲线。
方向：参数增加的方向正方向，反方向。
简单闭路或简单围线，逐段光滑的简单闭曲线。
逆时针方向，顺时针方向。
 简单闭路上的积分。
设积分存在
C光滑 



 （计算简便）
例 
C为圆周 为整数。
证：C的参数方程：
故 ，
时，

时，

基本性质


积分估值定理 为的长度。为 在上的上界。

是对弧长的微分。
证明：


取极限即得。
例：试证

证：


实函数的积分中值定理在复积分中不成立。
因为

而

故不存在使

例 计算积分

从原点到的直线段从原点到1再到的折线

解：（1）
故

(2) 

故

积分路径不同，积分结果不一定相同。