§4.3 罗朗(Laurent)级数
f(z)在圆环域k,内解析，做圆环域
其中，使
则f(z)在解析，故,z
由于
利用上节（泰勒展开定理的证明）结果，有
由于
从而有
即
令C为内任一简单闭路，则
罗朗级数展开定理
f(z)在内部解析，则
其中
C为圆环域内任一简单闭曲线，且展开式唯一。
唯一性
若
两端同乘则
对圆环内绕的任一简单闭曲线C，有
（p=n时为1，其余为0）
由于f(z)在C内不一定解析，故
性质。
罗朗级数的和函数在圆环域内解析，可逐项求导，逐项积分（对圆环域内任一有向曲线）。
同一环域内的罗朗级数可进行加，减，乘运算。
时，为的去心领域，
且=0时，为点的领域。
直接求较繁，一般用已知函数的泰勒展开式及幂级数的运算性质求罗朗级数。
例：求在|z|>0内的罗朗级数。
解：令，则
故
例：将函数再z=0处展开为罗朗级数。
解：因f(z)有俩个奇点：z=1何z=2,故有3个以z=0为中心的圆环域。
|z|<1,1<|z|<2,和|z|>2.
当|z|<1时，有
(泰勒级数，罗朗级数的特例)。
当1<|z|<2时，有
同一函数在不同圆环域内展开式不同。
同一函数可以有n个不同的展开式，与展开式的唯一性不矛盾，唯一性是对同一圆环而言的。
例：将在z=1处展开。
解：以z=1为中心的圆环域有两个。
和|z-1|>1
当时，
当|z-1|>1时，有
要求f(z)在点的罗朗级数，应求出所有解析的圆环域，在一一展开。
例：
将在下列圆环域内展开。
(1) 0<|z|<1 (2) |z|>1 (=0)
(3) 0<|z-i|<1 (4) |z-i|>1 (=i)
解：(1)
(0<|z|<1)
(2)
(|z|>1)
(3)
(4)
f(z)在圆环域内解析，C为圆环域内绕的正向简单闭曲线，
则
其中
特别的
即
可利用罗朗级数计算左端积分。
例：
解
解析
（）
例：
解：
令则，
由得
例：
解：
在内处处解析。|z|=3位于该圆环内。
（）
由，得
f(z)在圆环域k,内解析，做圆环域
其中，使
则f(z)在解析，故,z
由于
利用上节（泰勒展开定理的证明）结果，有
由于
从而有
即
令C为内任一简单闭路，则
罗朗级数展开定理
f(z)在内部解析，则
其中
C为圆环域内任一简单闭曲线，且展开式唯一。
唯一性
若
两端同乘则
对圆环内绕的任一简单闭曲线C，有
（p=n时为1，其余为0）
由于f(z)在C内不一定解析，故
性质。
罗朗级数的和函数在圆环域内解析，可逐项求导，逐项积分（对圆环域内任一有向曲线）。
同一环域内的罗朗级数可进行加，减，乘运算。
时，为的去心领域，
且=0时，为点的领域。
直接求较繁，一般用已知函数的泰勒展开式及幂级数的运算性质求罗朗级数。
例：求在|z|>0内的罗朗级数。
解：令，则
故
例：将函数再z=0处展开为罗朗级数。
解：因f(z)有俩个奇点：z=1何z=2,故有3个以z=0为中心的圆环域。
|z|<1,1<|z|<2,和|z|>2.
当|z|<1时，有
(泰勒级数，罗朗级数的特例)。
当1<|z|<2时，有
同一函数在不同圆环域内展开式不同。
同一函数可以有n个不同的展开式，与展开式的唯一性不矛盾，唯一性是对同一圆环而言的。
例：将在z=1处展开。
解：以z=1为中心的圆环域有两个。
和|z-1|>1
当时，
当|z-1|>1时，有
要求f(z)在点的罗朗级数，应求出所有解析的圆环域，在一一展开。
例：
将在下列圆环域内展开。
(1) 0<|z|<1 (2) |z|>1 (=0)
(3) 0<|z-i|<1 (4) |z-i|>1 (=i)
解：(1)
(0<|z|<1)
(2)
(|z|>1)
(3)
(4)
f(z)在圆环域内解析，C为圆环域内绕的正向简单闭曲线，
则
其中
特别的
即
可利用罗朗级数计算左端积分。
例：
解
解析
（）
例：
解：
令则，
由得
例：
解：
在内处处解析。|z|=3位于该圆环内。
（）
由，得
