复级数
用于研究函数性质和计算积分
§4.1 复数项级数和幂级数复数列
为复数列

设 定义为


定理1 
定理2 

证：


复数项的无穷级数

命（部分和），若

称级数收敛于S，S为级数的和，记为
。
若不存在，称级数发散。
若（正项级数）收敛，称级数绝对收敛。
判别法定理3 收敛
和都收敛。
必要条件定理4 
定理5 若级数绝对收敛，则原级数收敛。
证：收敛，
而 ，
有比较判别法，则
 和  收敛。
故  和  收敛，由定理3知 收敛。
例 的敛散性。
解：发散，收敛，
故 发散。
例 讨论

的敛散性。
解：

若|q|<1,则

从而
， 原级数收敛于。
若|q|>1，则
从而 。原级数发散。
若q=1，则

原级数发散。
若|q|=1, q1，设
因为，即先不存在。所以

无极限，原级数发散。
综上，当|q|<1时,,当时级数发散。
柯西准则定理6 收敛，当时
(自然数)，有
.
复变函数项级数
复变函数列（定义在A上）构成级数

称为A上的复变函数项级数。

为级数的前n项和（部分和）
，若

称在点收敛，为它的收敛点。
 所有收敛点构成的集合（收敛点集，收敛域）
在上， 有确定值，是上的函数，级数为在上的和函数。
幂级数。
令 
则  （1）
为幂级数当=0时

只需要研究（2），在（1）中令，得到（2）。
阿贝尔定理若在处收敛，那么对满足的z，绝对收敛，若在
处发散，则对满足的z，该级数发散。
证：
有

当时,


由于收敛，故绝对收敛。
若发散，且在处级数收敛，
则由上面的证明结果知在处收敛，矛盾。
收敛圆与收敛半径由Abel定理知，的收敛情况为三种：
(1) 仅在z=0处收敛。如
(2) 在全平面上处处收敛，如
(3) 存在一点，在处收敛，在时发散。
令，则收敛域为圆域，称为收敛圆，R为收敛半径。
收敛半径求法:
定理 ，若
(1) 比值法 
或(2) 根值法
则收敛半径
R=
证略。
例 
解：
例 
解：
例 
解：
例
解：
收敛圆 .
幂级数的运算两个幂可进行加减乘除及复合运算，收敛半径不小于
乘法







…







…







…







…







…







…







…
…
…
…
….
…
…
代换运算
时，，若在D内解析且|g(z)|<r，则

性质：
的和函数在收敛圆内解析，且可逐项求导及逐项积分。即


证略。