§3.3 高阶导数公式
在闭域上解析。


计算
作圆周位于内，



则
 （复闭路定理）

（假设lim与可换）

（由于于内连续）


推测 
定理（柯西积分公式）
是以简单闭路或复闭路为边界的有界区域，在上解析，则有

证：因
只要时，有

由于 


即

当在内变动时，

当为圆周时，参数方程为
，代入（*）得

若用此公式来求解，则计算量太大。
例 计算 
解 在上解析，

例 计算

解 

由于在闭圆上解析。
例 计算
解（1） 

则解法是错误的。
（2）正确解法

高阶导数公式由 
得 
（假设求导和积分可换）

继续求导，得

定理 设是由（简单闭路或复闭路）围成的有界区域，上处处解析，
则内有各阶导数，且

证：用数学归纳法
n=1时，由柯西积分公式，




要证

设在上（为有界闭曲线），是到上各点的最短距离，设，为的长度，则


可知n=1时成立。
设n=k时成立，证明n=k+1时也成立,方法同n=1时,较复杂些，不重复写。
推论：
例：求
解：


例：计算
其中为一简单闭路，0，1均在的内部。
解,



 



故 
调和函数
在区域内解析，则
 (C,-R,方程)
对各式再分别对求偏导，得

若在内有连续的二阶混合偏导，则

故从上面四个等式，则有

定义 设在内有二阶连续偏导，且满足
 （Laplace方程）
则称为内的调和函数。
定义 若,均为区域内的调和函数，且满足C,-R,方程

则称v是u的共轭调和函数。
定理 在区域内解析，则是的共轭调和函数。
问题,为内两个调和函数,则是否为解析函数？
要在区域内解析，满足C-R.方程，必须是的共轭调和函数。
因此 
设单连域,是内调和函数，则


(,)
则  是全微分。
令 
  
则 
取定，两边对求偏导。

二阶偏导连续  一阶偏导连续  可微，解析。
定理 是单连域内调和函数，则存在，使在内解析。
求法（公式）。

同样 已知,求.

例：验证在平面上调和，求以为实部的解析函数且.
解,
故在平面调和.


由，得，故。
例：验证是在右半平面（）内的调和函数，求以此为虚部的.
解 

  ()
故 (),在右半平面内调和。
用不同于上例中的方法求,

两端对求导

 =

故

在右半平面内单值解析。