§3.2 Cauchy积分定理
为从到的路径,处处解析.

积分与路径无关。
，在处处解析。
为圆周，积分与路径有关。
上节的例题
例题 计算积分

从原点到的直线段从原点到1再到的折线
中，Re z处处不解析。
积分与路径有关。
柯西积分定理若在平面上的单连域内解析,为内任一简单闭路，则有

附加条件“在内连续”证明如下。
证：令,，
则

而在内连续，则在内连续，并且满足C.-R.条件。

由格林公式

故得 
格林公式：
,在区域上有连续的一阶偏导。为内分段光滑闭曲线，则

若,则 
原定理的证明过长，略去。
柯西—古萨定理 在单连域内解析，为内任一有向闭曲线（不必是简单的），则

证：视为多段简单闭路组成

推论 在单连域内解析，则积分与路径无关，即

只与两点有关，不依赖于内连接到的曲线。
证：设为到的任两条曲线，则 为一有向闭曲线

 



定理 若在单连域内解析，则函数

在内解析，且
证：设，
，，
则 

因积分与路径无关，故

即 .
故 在内解析，且

定义 若在区域内恒有，则成为在内的一个原函数（不定积分）。
令是在内的一个原函数，
则 
 
令，则
进而有

定理 若在单连域内解析，是的一个原函数，
则对，有

与定积分中的牛顿—莱布尼茨公式相似例： 
解：当时

故  在  上解析,
从而 
例,
解,只在点不解析，但去掉成多连域，找单连域。
在内解析，，
故

1+i
-1 O
例 
解：在内解析。
的一个原函数，故

例 ,
解：内解析。又

的单值函数

在内解析，满足

故 
例：


3i
O
-3i
设为有界多连域，由C及组成，为的边界曲线的正向。
  

复闭路定理定理：设是以复闭路 为边界的多连域，在上解析，则

或 
证：只证时，设的边界为和，
 

则

例 ,为任一包含的简单闭路解：作圆周于内

 
则 
即 
例 ，C为包含0和1两点的简单闭路。
解：
O 1