§4.2 泰勒（Taylor）级数一元函数
f(x)在的某邻域内有任意阶导数。
则f(x)在该邻域内可展开成Taylor级数
解析函数的泰勒级数展开式定理。f(z)在D:内解析，则
其中
若C为内绕的正向简单闭曲线，则
且展开式唯一引理。设s(z)和在区域D内连续，C为D内任意有向简单曲线，长为L,且当时，有
若存在收敛的正向级数，使
证：因收敛，故时，
从而
故
定理的证明：
设z 为D内任一点，对于闭曲线C，总可取圆周（r<R）
使C和z均位于内，由柯西积分公式
由于因此
从而
即 （1）
由于在上连续，故||在上有上界M，
故内任一点z有
因收敛，故由引理有（应用于（1）式）
（2）
即
=
令
则因为幂级数在收敛圆内可逐项求导，有
令z=,则
于是
即展开式唯一。
由此定理可知，求解析函数在点的泰勒级数展开式，无需验证
设为距点最近的f(z)的奇点。
令，则R为f(z)在 点的泰勒级数的收敛半径。初等函数的泰勒展开式直接法例。求在z=0处的泰勒展开式解：
从而
在全平面解析，。
例 求f(z)=ln (1+z)在z=0处的泰勒展开式解：ln (1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内解析。收敛半径为z=0到z=-1的距离。
R=|0-(-1)|=1
-1 0
最近的奇点所以
（n=2,3,…….）
从而
(|z|<1)
例 求的主值分支。
在z=0处的泰勒展开式解：在从-1向左沿负轴剪开的平面处解析。
故R=1，令
则
，
……………………………..
令z=0，得
f(0)=1,
故
（|z|<1）
间接法例 求sin z 和 cos z 在z=0处的泰勒展开式解：
例 求在z=0处的泰勒展开式解：
例 求 arctg z 在z=0处的泰勒展开式解：
例 求在z=1处的泰勒展开式
解： （|z-1|<1）
例 将在z=i展成泰勒级数。
解：
例 将f(z)=在z=0处展为泰勒级数解：f(z)在z1处解析
当z1时,f(z) 1定义f(1)=1,则f(z)在全平面解析。f(0)=1
故
f(x)在的某邻域内有任意阶导数。
则f(x)在该邻域内可展开成Taylor级数
解析函数的泰勒级数展开式定理。f(z)在D:内解析，则
其中
若C为内绕的正向简单闭曲线，则
且展开式唯一引理。设s(z)和在区域D内连续，C为D内任意有向简单曲线，长为L,且当时，有
若存在收敛的正向级数，使
证：因收敛，故时，
从而
故
定理的证明：
设z 为D内任一点，对于闭曲线C，总可取圆周（r<R）
使C和z均位于内，由柯西积分公式
由于因此
从而
即 （1）
由于在上连续，故||在上有上界M，
故内任一点z有
因收敛，故由引理有（应用于（1）式）
（2）
即
=
令
则因为幂级数在收敛圆内可逐项求导，有
令z=,则
于是
即展开式唯一。
由此定理可知，求解析函数在点的泰勒级数展开式，无需验证
设为距点最近的f(z)的奇点。
令，则R为f(z)在 点的泰勒级数的收敛半径。初等函数的泰勒展开式直接法例。求在z=0处的泰勒展开式解：
从而
在全平面解析，。
例 求f(z)=ln (1+z)在z=0处的泰勒展开式解：ln (1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内解析。收敛半径为z=0到z=-1的距离。
R=|0-(-1)|=1
-1 0
最近的奇点所以
（n=2,3,…….）
从而
(|z|<1)
例 求的主值分支。
在z=0处的泰勒展开式解：在从-1向左沿负轴剪开的平面处解析。
故R=1，令
则
，
……………………………..
令z=0，得
f(0)=1,
故
（|z|<1）
间接法例 求sin z 和 cos z 在z=0处的泰勒展开式解：
例 求在z=0处的泰勒展开式解：
例 求 arctg z 在z=0处的泰勒展开式解：
例 求在z=1处的泰勒展开式
解： （|z-1|<1）
例 将在z=i展成泰勒级数。
解：
例 将f(z)=在z=0处展为泰勒级数解：f(z)在z1处解析
当z1时,f(z) 1定义f(1)=1,则f(z)在全平面解析。f(0)=1
故
