§ 3.2.3 哈达玛变换
一、正反向哈达玛变换核（离散情况）
一维正向哈达玛变换核的定义：
g（ x,u） = （ 1/N） (-1)? bi (x)bi(u)； i=0,…,n-1，（ N=2n）
式中 bk(z） 是 z的二进制表达中的第 k位（取 0或 1值）；
一维哈达玛变换为
H（ u） = （ 1/N）? f（ x） (-1)? bi (x)bi(u) ； x=0,…,N-1
与沃尔什变换类似，哈达玛变换核组成的矩阵，对称且行列正交；
一维哈达玛反向变换核的定义：
h（ x,u） = (-1)? bi (x)bi(u)； i=0,…,n-1
与正变换核相差常数 1/N,算法可通用；
§ 3.2.3 哈达玛变换（续 1）
一维哈达玛反变换：（与正变换相差常数 1/N）
f（ x） =? H（ u） (-1)? bi (x)bi(u) ； （ u=0,…,N-1）
二、二维哈达玛正变换核和反变换核：
g（ x,y,u,v） = （ 1/N2） (-1)? [bi (x)bi(u)+ bi (y)bi(v) ]；（ i=0,…,n-1）
= g1（ x,u） g2（ y,v）；
h（ x,y,u,v） = (-1)? [bi (x)bi(u)+ bi (y)bi(v) ]；（ i=0,…,n-1）
= h1（ x,u） h2（ y,v）；
二维哈达玛正变换和反变换分别为：
H（ u,v） = （ 1/N2 ） f（ x,y） (-1)? [bi (x)bi(u)+ bi (y)bi(v) ]；
（ x,y=0,…,n-1）
f（ x,y） = H（ u,v） (-1)? [bi (x)bi(u)+ bi (y)bi(v) ]； （ u,v=0,…,n-1）
§ 3.2.3 哈达玛变换（续 2）
N=8时，一维哈达玛变换核组成的矩阵如下（略去常数，仅用符号表示 +1/N,-1/N）：
+ + + + + + + +
+ - + - + - + -
+ + - - + + - -
+ - - + + - - +
+ + + + - - - -
+ - + - - + - +
+ + - - - - + +
+ - - + - + + -
符号变换次数 0 7 3 4 1 6 2 5 （竖直方向由 +变 - 或 由 -变 +）
可见，与沃尔什变换矩阵的区别行和列的次序不同；
N=2n时可混合使用。
§ 3.2.4 离散余弦变换
DCT变换在图像处理中应用最广泛；
一、一维 DCT的正向变换核和反向变换核
1D正变换核 g(x,u)=(2/N)1/2 cos((2x+1)u?/2N)； x=0,…,N-1
=a(u)cos ((2x+1)u?/2N)；
式中,a(u)= (1/N)1/2,当 u=0,g(x,0)= 1/N1/2； a(u) = (2/N)1/2,
当 u?0；
1D反变换核 h(x,u) = g(x,u)
由上述变换核有一维 DCT的正反变换如下：
C（ u） = a(u) ∑f（ x） cos((2x+1)u?/2N)； x,u=0,…,N-1
f（ x） = ∑ a(u) C（ u） cos((2x+1)u?/2N)； u,x =0,…,N-1
§ 3.2.4 离散余弦变换（续 1）
二,DCT计算
已知一维 DCT
C（ u） = a（ u） Re{? f（ x） exp ((2x+1)u?/2N) }
= a（ u） Re{exp（ -ju?/2N） ·? f（ x） exp(2xu?/2N) }
式中求和项就是 2N个点的离散傅里叶变换，
因此,DCT可以用 FFT程序计算，反 DCT也可以用反 FFT计算；
三,DCT的有关性质
DCT为实正交变换，即 a=a*； a-1 = aT ；
DCT对高相关数据有能量集中的优势；能量集中在高频。
正 弦变换与余弦变换类似。
§ 3.2.5 斜变换斜变换也称斯拉特变换，适合于灰度有渐变性质的变换 ；
一,Slant变换矩阵
Slant变换矩阵用 S（ n） 或 Sn表示。
设 N=2n（偶数）,S（ 1） 或 S1 =,1/21/2 1 1
1 -1
用递归方式（迭代关系）定义 S2，
S（ 2） 或 S2 =,1/21/2 1 0 1 0
a2 b2 -a2 b2 S1 0
0 1 0 -1 0 S1
- b2 a2 b2 -a2
S2 =,1/41/2 1 1 1 1
a2+ b2 a2- b2 -a2+b2 -a2-b2
1 -1 -1 1
a2 - b2 - a2- b2 a2+b2 -a2+b2
§ 3.2.6 斜变换（续 1）
二,ST的性质：
ST是实正交变换,S = S* ； S-1 = ST ；
ST是一种 快速变换，适用于灰度渐变图像 ；
对图像有较好的能量集中特性 ；
S阵的基向量就是各行向量；
§ 3.3 霍特林变换（ Hotelling）
霍特林变换是基于图像的统计特性的变换，可直接用于对数字图像进行变换 。
一、求均值矢量和协方差矩阵
设一组 M个如下形式表示的随机矢量
xk=[xk1 xk2 … xkN ]T,k=1,2,…,M
这组矢量的均值矢量为 mx=E{x}； E{·}表示期望值；
协方差矩阵 Cx = E{（ x- mx） *（ x- mx） T}
因为 x是 N阶的，所以 Cx是 N*N阶矩阵，为实对称矩阵；
Cx的元素 Cii是各矢量的第 i个分量组成的矢量 xi的方差；
Cx的元素 Cij是第 i分量组成的矢量 xi和第 j个分量组成的矢量 xj之间的协方差；
如果 xi和 xj不相关，协方差为 0； Cx= Ci= 0；
§ 3.3 霍特林变换（续 1）
近似计算公式,mx = （ 1/M） ∑xk；（ k=1,…,M）
Cx = （ 1/M） ∑xk xkT - mxmxT；（ k=1,…,M）
举例：
二、特征值和特征向量的计算（?i,ei）
矩阵 Cx是一个实对称矩阵，会有一组 N个正交特征值；
令 ei和?i （ i=1,…,N-1） 分别为 Cx的特征向量和对应的特征值。
且?i ≥?i+1 （ i=1,…,N-1）,单调排列；
求 ei和?i 举例：
一、正反向哈达玛变换核（离散情况）
一维正向哈达玛变换核的定义：
g（ x,u） = （ 1/N） (-1)? bi (x)bi(u)； i=0,…,n-1，（ N=2n）
式中 bk(z） 是 z的二进制表达中的第 k位（取 0或 1值）；
一维哈达玛变换为
H（ u） = （ 1/N）? f（ x） (-1)? bi (x)bi(u) ； x=0,…,N-1
与沃尔什变换类似，哈达玛变换核组成的矩阵，对称且行列正交；
一维哈达玛反向变换核的定义：
h（ x,u） = (-1)? bi (x)bi(u)； i=0,…,n-1
与正变换核相差常数 1/N,算法可通用；
§ 3.2.3 哈达玛变换（续 1）
一维哈达玛反变换：（与正变换相差常数 1/N）
f（ x） =? H（ u） (-1)? bi (x)bi(u) ； （ u=0,…,N-1）
二、二维哈达玛正变换核和反变换核：
g（ x,y,u,v） = （ 1/N2） (-1)? [bi (x)bi(u)+ bi (y)bi(v) ]；（ i=0,…,n-1）
= g1（ x,u） g2（ y,v）；
h（ x,y,u,v） = (-1)? [bi (x)bi(u)+ bi (y)bi(v) ]；（ i=0,…,n-1）
= h1（ x,u） h2（ y,v）；
二维哈达玛正变换和反变换分别为：
H（ u,v） = （ 1/N2 ） f（ x,y） (-1)? [bi (x)bi(u)+ bi (y)bi(v) ]；
（ x,y=0,…,n-1）
f（ x,y） = H（ u,v） (-1)? [bi (x)bi(u)+ bi (y)bi(v) ]； （ u,v=0,…,n-1）
§ 3.2.3 哈达玛变换（续 2）
N=8时，一维哈达玛变换核组成的矩阵如下（略去常数，仅用符号表示 +1/N,-1/N）：
+ + + + + + + +
+ - + - + - + -
+ + - - + + - -
+ - - + + - - +
+ + + + - - - -
+ - + - - + - +
+ + - - - - + +
+ - - + - + + -
符号变换次数 0 7 3 4 1 6 2 5 （竖直方向由 +变 - 或 由 -变 +）
可见，与沃尔什变换矩阵的区别行和列的次序不同；
N=2n时可混合使用。
§ 3.2.4 离散余弦变换
DCT变换在图像处理中应用最广泛；
一、一维 DCT的正向变换核和反向变换核
1D正变换核 g(x,u)=(2/N)1/2 cos((2x+1)u?/2N)； x=0,…,N-1
=a(u)cos ((2x+1)u?/2N)；
式中,a(u)= (1/N)1/2,当 u=0,g(x,0)= 1/N1/2； a(u) = (2/N)1/2,
当 u?0；
1D反变换核 h(x,u) = g(x,u)
由上述变换核有一维 DCT的正反变换如下：
C（ u） = a(u) ∑f（ x） cos((2x+1)u?/2N)； x,u=0,…,N-1
f（ x） = ∑ a(u) C（ u） cos((2x+1)u?/2N)； u,x =0,…,N-1
§ 3.2.4 离散余弦变换（续 1）
二,DCT计算
已知一维 DCT
C（ u） = a（ u） Re{? f（ x） exp ((2x+1)u?/2N) }
= a（ u） Re{exp（ -ju?/2N） ·? f（ x） exp(2xu?/2N) }
式中求和项就是 2N个点的离散傅里叶变换，
因此,DCT可以用 FFT程序计算，反 DCT也可以用反 FFT计算；
三,DCT的有关性质
DCT为实正交变换，即 a=a*； a-1 = aT ；
DCT对高相关数据有能量集中的优势；能量集中在高频。
正 弦变换与余弦变换类似。
§ 3.2.5 斜变换斜变换也称斯拉特变换，适合于灰度有渐变性质的变换 ；
一,Slant变换矩阵
Slant变换矩阵用 S（ n） 或 Sn表示。
设 N=2n（偶数）,S（ 1） 或 S1 =,1/21/2 1 1
1 -1
用递归方式（迭代关系）定义 S2，
S（ 2） 或 S2 =,1/21/2 1 0 1 0
a2 b2 -a2 b2 S1 0
0 1 0 -1 0 S1
- b2 a2 b2 -a2
S2 =,1/41/2 1 1 1 1
a2+ b2 a2- b2 -a2+b2 -a2-b2
1 -1 -1 1
a2 - b2 - a2- b2 a2+b2 -a2+b2
§ 3.2.6 斜变换（续 1）
二,ST的性质：
ST是实正交变换,S = S* ； S-1 = ST ；
ST是一种 快速变换，适用于灰度渐变图像 ；
对图像有较好的能量集中特性 ；
S阵的基向量就是各行向量；
§ 3.3 霍特林变换（ Hotelling）
霍特林变换是基于图像的统计特性的变换，可直接用于对数字图像进行变换 。
一、求均值矢量和协方差矩阵
设一组 M个如下形式表示的随机矢量
xk=[xk1 xk2 … xkN ]T,k=1,2,…,M
这组矢量的均值矢量为 mx=E{x}； E{·}表示期望值；
协方差矩阵 Cx = E{（ x- mx） *（ x- mx） T}
因为 x是 N阶的，所以 Cx是 N*N阶矩阵，为实对称矩阵；
Cx的元素 Cii是各矢量的第 i个分量组成的矢量 xi的方差；
Cx的元素 Cij是第 i分量组成的矢量 xi和第 j个分量组成的矢量 xj之间的协方差；
如果 xi和 xj不相关，协方差为 0； Cx= Ci= 0；
§ 3.3 霍特林变换（续 1）
近似计算公式,mx = （ 1/M） ∑xk；（ k=1,…,M）
Cx = （ 1/M） ∑xk xkT - mxmxT；（ k=1,…,M）
举例：
二、特征值和特征向量的计算（?i,ei）
矩阵 Cx是一个实对称矩阵，会有一组 N个正交特征值；
令 ei和?i （ i=1,…,N-1） 分别为 Cx的特征向量和对应的特征值。
且?i ≥?i+1 （ i=1,…,N-1）,单调排列；
求 ei和?i 举例：
