信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案第七章离散系统z域分析
7.1 z 变换一、从拉普拉斯变换到z变换二、收敛域
7.2 z 变换的性质
7.3逆z变换
7.4 z 域分析一、差分方程的变换解二、系统的z域框图三、s域与z域的关系四、系统的频率响应点击目录，进入相关章节信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案第七章离散系统z域分析在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分方程转换为代数方程。
7.1 z变换一、从拉氏到z变换对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号,
∑
∞
∞=
==
k
TS
kTtkTfttftf )()()()()( δδ
取样信号两边取双边拉普拉斯变换，得信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案
∑
∞
∞=
=
k
kTs
Sb
kTfsF e)()(
令z = e
sT
，上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示；
f(kT) →f(k),得
∑
∞
∞=
=
k
k
zkfzF )()(
称为序列f(k)的双边z变换
∑
∞
=
=
0
)()(
k
k
zkfzF
称为序列f(k)的单边z变换若f(k)为因果序列，则单边、双边z 变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。
F(z) = Z[f(k)],f(k)= Z
-1
[F(z)] ；f(k)←→F(z)
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电子教案电子教案
7.1 z变换二、收敛域
z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即
∞<
∑
∞
∞=
k
k
zkf )(
时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列f(k)的z变换存在的充分条件。
收敛域的定义：
对于序列f(k)，满足
∞<
∑
∞
∞=
k
k
zkf )(
所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。
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电子教案电子教案
7.1 z变换例1求以下有限序列的z变换(1) f
1
(k)=δ(k) ↓k=0
(2) f
2
(k)={1,2,3,2,1}
解
(1)
1)()()(
1
===
∑∑
∞
∞=
∞
∞=
kk
kk
zkzkzF δδ
可见，其单边、双边z变换相等。与z 无关，
所以其收敛域为整个z 平面。
(2) f(k)的双边z 变换为
F(z) = z
2
+ 2z + 3 + 2z
-1
+ z
-2
收敛域为0<?z?<∞
f(k)的单边z 变换为
21
0
23)()(
∞
=
++==
∑
zzzkfzF
k
k
收敛域为?z? > 0
对有限序列的z变换的收敛域一般为0<?z?<∞，有时它在0或/和∞也收敛。
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电子教案电子教案
7.1 z变换例2 求因果序列
≥
<
==
0,
0,0
)()(
ka
k
kakf
k
k
y
ε
的z变换（式中a为常数）。
解：代入定义
1
11
0
1
0
1
)(1
lim)(lim)(
+?
∞→
=
∞→
∞
=
===
∑∑
az
az
azzazF
N
N
N
k
k
N
k
kk
y
可见，仅当?az
-1
<1，即
z? >?a?时，其z变换存在。
az
z
zF
y
=)(
Re[z]
jIm[z]
|a|
o
收敛域为|z|>|a|
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电子教案电子教案
7.1 z变换例3 求反因果序列的z变换。
解
)1(
0,0
0,
)(=
≥
<
= kb
k
kb
kf
k
k
f
ε
zb
zbzb
zbbzzF
N
N
m
m
k
k
f
1
111
1
1
1
1
1
)(
lim)()()(
+
∞→
∞
=
∞=
===
∑∑
可见，?b
-1
z?<1,即?z?<?b?时，其z变换存在，
bz
z
zF
f
=)(
收敛域为|z|< |b|
|b|
Re[z]
jIm[z]
o
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电子教案电子教案
7.1 z变换例4 双边序列f(k)=f
y
(k)+f
f
(k)=
解
≥
<
0,
0,
ka
kb
k
k
的z变换。
az
z
bz
z
zFzFzF
fy
+
=+= )()()(
可见，其收敛域为?a?<?z?<?b?
（显然要求?a?<?b?，否则无共同收敛域)
o
|a|
|b|
Re[z]
jIm[z]
序列的收敛域大致有一下几种情况：
（1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面；
（2）对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域；
（3）对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域；
（4）对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；
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电子教案电子教案
7.1 z变换注意：对双边z变换必须表明收敛域，否则其对应的原序列将不唯一。
例
f
1
(k)=2
k
ε(k)←→F
1
(z)=
2?z
z
,?z?>2
f
2
(k)= –2
k
ε(– k –1)←→F
2
(z)=
2?z
z
,?z?<2
对单边z变换，其收敛域比较简单，一定是某个圆以外的区域。可以省略。
结论：
双边Fb (Z) + 收敛域
f(k)
一一对应单边F (Z)
一一对应
f(k)
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电子教案电子教案
7.1 z变换常用序列的z变换：
f
1
(k)=a
k
ε(k)←→F
1
(z)=
az
z
,?z?>a
f
2
(k)= –a
k
ε(– k –1)←→F
2
(z)=
az
z
,?z?<a
δ(k-m) ←→Z
-m
，?z?>0
ε(k)
1?z
z
，?z?>1
，?z?<1–ε(– k –1)
δ(k) ←→1,整个Z平面其中：a>0
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电子教案电子教案
7.2 z变换的性质一、线性
6.2 z变换的性质本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适用于双边z变换。
若f
1
(k)←→F
1
(z) α
1
<?z?<β
1
,
f
2
(k) ←→F
2
(k) α
2
<?z?<β
2
对任意常数a
1
、a
2
，则
a
1
f
1
(k)+a
2
f
2
(k) ←→a
1
F
1
(z)+a
2
F
2
(z)
其收敛域至少是F
1
(z) )与F
2
(z)收敛域的相交部分。
例：2δ(k)+ 3ε(k) ←→2 +
1
3
z
z
，?z?>1
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电子教案电子教案
7.2 z变换的性质二、移位（移序）特性单边、双边差别大！
双边z变换的移位：
若f(k) ←→F(z),α<?z?<β，且对整数m>0，则
f(k±m) ←→z
±m
F(z),α<?z?<β
证明：Z[f(k+m)]=
)()()( zFzzznfzmkf
m
n
mn
mkn
k
k
==+
∑∑
∞
∞=
+=
∞
∞=
单边z变换的移位：
若f(k) ←→F(z),|z| > α，且有整数m>0,则
f(k-1) ←→z
-1
F(z) + f(-1)
f(k-2) ←→z
-2
F(z) + f(-2) + f(-1)z
-1
∑
=
+←→?
1
0
)()()(
m
k
km
zmkfzFzmkf
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电子教案电子教案
7.2 z变换的性质
f(k+1) ←→zF(z) – f(0)z
f(k+2) ←→z
2
F(z) – f(0)z
2
– f(1)z
∑
=
←→+
1
0
)()()(
m
k
kmm
zkfzFzmkf
证明：
Z[f(k – m)]=
m
m
kmk
mkk
k
k
zzmkfzmkfzmkf
=
∞
=
∞
=
∑∑∑
+?=?
1
0
)(
0
)()()(
上式第二项令k – m=n
)()()()(
1
0
1
00
zFzzmkfzznfzmkf
m
m
k
km
m
kn
nk?
=
=
∞
=
+?=+?=
∑∑∑
特例：若f(k)为因果序列，则f(k – m) ←→z
-m
F(z)
即：f(k – m) ε (k – m) ←→z
-m
F(z)
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电子教案电子教案
7.2 z变换的性质例1：求周期为N的有始周期性单位序列
∑
∞
=
0
)(
m
mNkδ
的z变换。
11
1
)(
00
=
=←→?
∞
=
∞
=
∑∑
N
N
N
m
mN
m
z
z
z
zmNkδ
解
z?>1
例2：求f(k)= kε(k)的单边z变换F(z),
解
f(k+1)= (k+1)ε(k+1) = (k+1)ε(k) = f(k) + ε(k)
zF(z) – zf(0) = F(z) +
1?z
z
F(z)=
2
)1(?z
z
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电子教案电子教案
7.2 z变换的性质三、序列乘a
k
(z域尺度变换)
若f(k) ←→F(z),α<?z?<β，且有常数a≠0
则a
k
f(k) ←→F(z/a),α?a?<?z?<β?a?
证明：
Z[a
k
f(k)]=
)()()(
a
z
F
a
z
kfzkfa
k
k
k
kk
=
=
∑∑
∞
∞=
∞
∞=
例1：a
k
ε(k) ←→
az
z
例2：cos(βk)ε(k) ←→?
cos(βk)ε(k)=0.5(e
j βk
+ e
-j βk
)ε(k) ←→
ββ jj
e
5.0
e
5.0
+
z
z
z
z
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电子教案电子教案
7.2 z变换的性质四、卷积定理若f
1
(k) ←→F
1
(z) α
1
<?z?<β
1
,
f
2
(k) ←→F
2
(k) α
2
<?z?<β
2
则f
1
(k)*f
2
(k) ←→F
1
(z)F
2
(z)
对单边z变换，要求f
1
(k)、f
2
(k)为因果序列其收敛域一般为F
1
(z)与F
2
(z)收敛域的相交部分。
例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z),
解：f(k)= kε(k)= ε(k)* ε(k-1)
2
1
)1(11?
=
←→
z
z
z
zz
z
z
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电子教案电子教案
7.2 z变换的性质五、序列乘k（z域微分）
若f(k) ←→F(z),α<?z?<β
则
)(
d
d
)( zF
z
zkkf?←→
,α<?z?<β
例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z),
解：
1
)(
←→
z
z
kε
22
)1()1(
)1(
1d
d
)(
=
=
←→
z
z
z
zz
z
z
z
z
zkkε
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电子教案电子教案
7.2 z变换的性质六、序列除(k+m)(z域积分）
若f(k) ←→F(z),α<?z?<β，设有整数m，且k+m>0，
则
∫
∞
+
←→
+
z
m
m
d
F
z
mk
kf
η
η
η
1
)()(
,α<?z?<β
若m=0,且k>0，则
∫
∞
←→
z
d
F
k
kf
η
η
η)()(
例：求序列的z变换。
)(
1
1
k
k
ε
+
解
1
)(
←→
z
z
kε
)
1
ln()
1
ln()
1
1
1
(
)1(
)(
1
1
2
=
=?
=
←→
+
∞
∞∞
∫∫
z
z
zzdzdzk
k
z
zz
η
η
η
ηη
η
ηη
η
ε
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电子教案电子教案
7.2 z变换的性质七、k域反转(仅适用双边z变换）
若f(k) ←→F(z),α<?z?<β
则f( –k) ←→F(z
-1
),1/β<?z?<1/α
例：已知
az
z
ka
k
←→)(ε
，|z| >a
求a
–k
ε( –k – 1)的z变换。
解
1
1
)1(
1
1
=
←→?
zaz
zz
ka
k
ε
az
ka
k
←→
1
1
1
)1(ε
，|z|
>a
，|z| < 1/a
乘a得
az
a
ka
k
←→
1
)1(ε
，|z| < 1/a
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电子教案电子教案
7.2 z变换的性质八、部分和若f(k) ←→F(z),α<?z?<β，则
)(
1
)( zF
z
z
if
k
i
←→
∑
∞=
,max(α,1)<?z?<β
证明
)(
1
)()()()(*)( zF
z
z
ifikifkkf
k
ii
←→=?=
∑∑
∞=
∞
∞=
εε
例：求序列(a为实数) (k≥0)的z变换。
∑
=
k
i
i
a
0
解
az
z
z
z
iaa
k
i
i
k
i
i
←→=
∑∑
∞==
1
)(
0
ε
，|z|>max(|a|,1)
信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案
7.2 z变换的性质九、初值定理和终值定理初值定理适用于右边序列，即适用于k<M(M为整数)
时f(k)=0的序列。它用于由象函数直接求得序列的初值
f(M),f(M+1),…，而不必求得原序列。
初值定理：
如果序列在k<M时，f(k)=0，它与象函数的关系为
f(k)←→F(z),α<�z�<∞
则序列的初值
)(lim)( zFzMf
m
z ∞→
=
对因果序列f(k)，
)(lim)0( zFf
z ∞→
=
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电子教案电子教案
7.2 z变换的性质证明：
...)2()1()()(
)()(
)2()1(
+++++==
=
+?+
∞
=
∞
∞=
∑
∑
MMM
Mk
k
k
k
zMfzMfzMfzkf
zkfzF
两边乘z
M
得
z
M
F(z) = f(M) + f(M+1)z
-1
+ f(M+2)z
-2
+…
)(lim)( zFzMf
m
z ∞→
=
信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案
7.2 z变换的性质终值定理：
终值定理适用于右边序列，用于由象函数直接求得序列的终值，而不必求得原序列。
如果序列在k<M时，f(k)=0，它与象函数的关系为
f(k) ←→F(z),α<�z�< ∞且0≤α<1
则序列的终值
)()1(lim)(
1
lim)(lim)(
11
zFzzF
z
z
kff
zzk
=
==∞
→→∞→
含单位圆证明见299页。
信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案设
)()( zFkf?
βα <<=
∑
∞
∞=
||,)()( zzkfzF
k
k
上式两边乘以，为整数，在的收敛域内作围线积分：
1?n
z
n
1
)(
n
zzF
∫
∑
∫
∞
∞=
+
=
c
k
nk
c
n
dzzkfdzzzF
11
)()(
∑
∫
∞
∞=
+?
=
k
c
nk
dzzkf
1
)(
柯西公式：
≠
=
=
∫
1,0
1,2
m
mj
dzz
c
m
π
7.3逆z变换
6.3逆z变换一、逆z变换信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
≠
=?=?+?
=∴
∫
+?
kn
knnkj
dzz
c
nk
,0
,11,2
1
即π
令，得：
kn =
,)()(2
1
dzzzFkjf
c
k
∫
=π
∞<<∞?=
∫
kdzzzF
j
kf
c
k
,)(
2
1
)(
1
π
上式称为F(Z) 的Z逆变换.
Z逆变换的计算方法：
（1）反演积分法（留数法）；（2）幂级数展开法；
（3）部分分式展开法；（4）用变换性质求逆变换。
zz
7.3逆z变换信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
7.3逆z变换一般而言，双边序列f(k)可分解为因果序列f
1
(k)和反因果序列f
2
(k)两部分，即
f(k) = f
2
(k)+f
1
(k) = f(k)ε(–k – 1) + f(k) ε(k)
相应地，其z变换也分为两部分
F(z) = F
2
(z) + F
1
(z)，α< |z| <β
∑
∞
=
0
)(
k
k
zkf
其中F
1
(z)= Z[f(k)ε(k)]=，|z| > α
F
2
(z)=Z[f(k)ε(–k –1)]=
∑
∞=
1
)(
k
k
zkf
，|z| < β
f(k)
单边F (Z)
一一对应
f(k)
双边F (Z) + 收敛域信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
7.3逆z变换当已知象函数F(z)时，根据给定的收敛域不难由
F(z)求得F
1
(z)和F
2
(z)，并分别求得它们所对应的原序列
f
1
(k)和f
2
(k)，将两者相加得原序列f(k)。
二、幂级数展开法根据z变换的定义，因果序列和反因果序列的象函数分别是z
-1
和z的幂级数。其系数就是相应的序列值。
例：已知象函数
2)2)(1(
)(
2
22
=
+
=
zz
z
zz
z
zF
其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。
（1）|z| > 2 (2) |z|< 1 (3) 1< |z| < 2
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
7.3逆z变换解
（1）由于F(z)的收敛域在半径为2的圆外，故f(k)
为因果序列。用长除法将F(z)展开为z
-1
的幂级数：
z
2
/(z
2
-z-2)=1+ z
-1
+ 3z
-2
+ 5z
-3
+ …
f(k)={1，1，3，5，…}
↑k=0
（2）由于F(z)的收敛域为�z�<1，故f(k)为反因果序列。用长除法将F(z)（按升幂排列）展开为z的幂级数,
z
2
/( –2 – z – z
2
)=
L++?+?
5432
16
5
8
3
4
1
2
1
zzzz
10,
2
1
,
4
1
,
8
3
,
16
5
,0)(?=←
= kkf
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-29页页页
■
电子教案电子教案
7.3逆z变换
(3) F(z)的收敛域为1<?z?<2，其原序列f(k)为双边序列。
将F(z)展开为部分分式，有
2
3
2
1
3
1
)(
+
+
=
z
z
z
z
zF
第一项属于因果序列的项函数F
1
(z)，第二项属于反因果序列的象函数F
2
(z)，
1
3
1
)(
1
+
=
z
z
zF，?z? >1
2
3
2
)(
2
=
z
z
zF，?z?< 2
即将它们分别展开为z
-1
及z的幂级数，有
L+?+?=
321
1
3
1
3
1
3
1
3
1
)( zzzzF
zzzzF
3
1
6
1
12
1
)(
23
2
+= L
= LL,
3
1
,
3
1
,
3
1
,
3
1
,
3
1
,
6
1
,
12
1
,)(kf
↑
难以写成闭合形式。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-30页页页
■
电子教案电子教案
7.3 逆z变换三、部分分式展开法
01
1
1
01
1
1
.....
.....
)(
)(
)(
azazaz
bzbzbzb
zA
zB
zF
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++
==
式中m≤n
（1）F(z)均为单极点，且不为0
z
zF )(
可展开为：
n
n
zz
K
zz
K
z
K
z
zF
++
+=,...
)(
1
10
∑
=
+=
n
i
i
i
zz
zK
KzF
1
0
)(
根据给定的收敛域，将上式划分为F
1
(z)(?z?>α)和
F
2
(z)(?z?<β)两部分，根据已知的变换对，如
δ(k)←→1
||||,)( az
az
z
ka
k
>
←→ε
||||,)1( az
az
z
ka
k
<
←→ ε
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-31页页页
■
电子教案电子教案
7.3 逆z变换例1：已知象函数
)2)(1(
)(
2
+
=
zz
z
zF
其收敛域分别为：（1）?z?>2 (2)?z?<1 (3) 1<?z?<2
解部分分式展开为
2
3
2
1
3
1
)2)(1(
)(
+
+
=
+
=
zzzz
z
z
zF
23
2
13
1
)(
+
+
=
z
z
z
z
zF
(1)当?z?>2，故f(k)为因果序列
)(])2(
3
2
)1(
3
1
[)( kkf
kk
ε+?=
(2) 当?z?<1，故f(k)为反因果序列
)1(])2(
3
2
)1(
3
1
[)(= kkf
kk
ε
(3)当1<?z?<2，
)1()2(
3
2
)()1(
3
1
)(= kkkf
kk
εε
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-32页页页
■
电子教案电子教案
7.3 逆z变换例2：已知象函数
)3)(2)(1)(
2
1
(
)
1
2
9
4(
)(
23
++?
=
zzzz
z
zzzz
zF
,1<?z?<2
的逆z变换。
解
321
2
2
1
)(
+
+
+
=
z
z
z
z
z
z
z
z
zF
由收敛域可知，上式前两项的收敛域满足?z?>1，后两项满足?z?<2。
)1()3()1()2()(2)()
2
1
()(++= kkkkkf
kkk
εεεε
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-33页页页
■
电子教案电子教案
7.3 逆z变换
(2) F(z)有共轭单极点如z
1,2
=c±jd=αe
±jβ
,则
jdcz
K
jdcz
K
z
zF
+?
+
=
*
11
)(
令K
1
=�K
1
�e
jθ
β
θ
β
θ
αα
j
j
j
j
ez
zeK
ez
zeK
zF
+
=
11
)(
若�z�> α,f(k)=2�K
1
�α
k
cos(βk+θ)ε(k)
若�z�< α,f(k)= –2�K
1
�α
k
cos(βk+θ)ε(– k – 1)
(3) F(z)有重极点
F(z)展开式中含项(r>1)，则逆变换为
r
az
z
)(?
若�z�>α,对应原序列为
)(
)!1(
)2).....(1(
1
ka
r
rkkk
rk
ε
+?
+
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-34页页页
■
电子教案电子教案
7.3 逆z变换以�z�>α为例：
当r=2时，为ka
k-1
ε(k)
当r=3时，为
)()1(
2
1
2
kakk
k
ε
可这样推导记忆：Z[a
k
ε(k)]=
az
z
两边对a求导得Z[ka
k-1
ε(k)]=
2
)( az
z
再对a求导得Z[k(k-1)a
k-2
ε(k)]=
3
)(
2
az
z
故Z[0.5k(k-1)a
k-2
ε(k)]=
3
)( az
z
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-35页页页
■
电子教案电子教案
7.3 逆z变换例：已知象函数
3
23
)1(
)(
+
=
z
zz
zF
，�z�>1
的原函数。
解
1)1()1()1(
)(
13
2
12
3
11
3
2
+
+
=
+
=
z
K
z
K
z
K
z
zz
z
zF
2
)(
)1(
1
3
11
=?=
=z
z
zF
zK
3
)(
)1(
d
d
1
3
12
=
=
=z
z
zF
z
z
K
1
)(
)1(
d
d
2
1
1
3
2
2
13
=
=
=z
z
zF
z
z
K
1)1(
3
)1(
2
)(
23
+
+
=
z
z
z
z
z
z
zF
f(k)=[k(k-1)+3k+1]ε(k)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-36页页页
■
电子教案电子教案例1：求逆变换
3||,
)3)(2(
1
)( >
= z
zz
zF
)(kf
解：方法1：
3
3
1
2
2
1
6
1
)3)(2(
1)(
+
+=
=
zzzzzzz
zF
33
1
22
1
6
1
)(
+
=
z
z
z
z
zF
)()3
3
1
2
2
1
()(
6
1
)( kkkf
kk
εδ ×?×?=
)()32()(
6
1
11
kk
kk
εδ
+?
=
7.3 逆z变换四、用性质求Z逆变换信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-37页页页
■
电子教案电子教案方法2：
3
1
2
1
)3)(2(
1
)(
+
=
=
zzzz
zF
)
32
(
1
+
=
z
z
z
z
z
)1(3)1(2)(
11
+=
kkkf
kk
εε
)1()23(
11
=
k
kk
ε
7.3 逆z变换信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-38页页页
■
电子教案电子教案例2、因果周期信号如图，求的单边变换
)(kf
)(kf
z
)(zF
解：设第一周期内信号为，则可表示为
)(kf
T
)(kf
L+?+?+= )2()()()( NkfNkfkfkf
TTT
∑
∞
=
=
0
)(
m
T
mNkf
设
)()(),()( zFkfzFkf
TT
L+++=
)()()()(
2
zFzzFzzFzF
T
N
T
N
T
)1)((
2
L+++=
NN
T
zzzF
1||
1
)(
>
=
z
z
zF
N
T
k
)(kf
)(kf
T
012 N 2N
7.3 逆z变换信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-39页页页
■
电子教案电子教案
§7.4离散系统的Z域分析一、离散信号的Z域分解：
设为因果信号，由单边逆变换，得
)(kf z
∫
=
c
k
dzzzF
j
kf
1
)(
2
1
)(
π
0,
)(
2
1
≥=
∫
kdzz
z
zF
j
c
k
π
C
z
zF )(
为收敛域中一条围线路径。
)(zF的逆变换的物理意义是：分解为围线)(kf
C
上不同的指数信号的线性组合，其中，
z
k
z
dz
z
zF
j
)(
2
1
π
为的复幅度。
k
z
7.4 离散系统的z域分析信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-40页页页
■
电子教案电子教案二、激励下系统的零状态响应：
k
z
设LTI离散系统的输入，零状态响应为
k
zkf =)(
,单位响应为为因果序列。
)(ky
f
)(),( khkh
∑
∞
∞=
=?=
i
ik
f
zihkhkfky )()()()(
)()(
0
zHzzihz
k
i
ik
==
∑
∞
=
α>=
∑
∞
=
||,)()(
0
zzkhzH
k
k
)(zH
称离散系统的系统函数。
)(kf
)(ky
f
0
0
=k
7.4 离散系统的z域分析信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-41页页页
■
电子教案电子教案三、任意离散信号f(k)激励下的零状态响应：
k
z
产生的零状态响应表示为
kk
zzHz )(→
则
kk
zzHdz
z
zF
j
zdz
z
zF
j
)()
)(
2
1
()
)(
2
1
(
ππ
→
∫∫
→=
c
kk
c
zzHdz
z
zF
j
zdz
z
zF
j
kf )()
)(
2
1
()
)(
2
1
()(
ππ
即
∫∫
→=
c
k
c
k
dzzzHzF
j
dzzzF
j
kf
11
)()(
2
1
)(
2
1
)(
ππ
设产生的零状态响应为，则
)(kf
)(ky
f
0,)()(
2
1
)(
1
≥=
∫
kdzzzHzF
j
ky
c
k
f
π
0,)(
2
1
1
≥=
∫
kdzzzY
j
c
k
f
π
).()()( ZFzHzY
f
=
，
7.4 离散系统的z域分析信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-42页页页
■
电子教案电子教案
=
==
)]([)(
)]([)()()(
1
zYZky
kyZzHzFzY
ff
ff
)()()( khkfky
f
=
求的方法：
)(ky
f
（1）求
)];([)( kfZzF =
（2）求
)];([)( khZzH =
（3）求);()()( zHzFzY
f
=
（4）求
)]()([)]([)(
11
zHzFZzYZky
ff
==
7.4 离散系统的z域分析信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-43页页页
■
电子教案电子教案例,已知离散系统的输入
).()(),(2)( kkhkkf
k
εε ==
求零状态响应
).(ky
f
解：
,2||,
2
)]([)( >
== z
z
z
kfZzF
,1||,
1
)]([)( >
== z
z
z
khZzH
2||,
)2)(1(
)()()(
2
>
== z
zz
z
zHzFzY
f
2
2
1?
+
=
z
z
z
z
)(22)()( kkky
k
f
εε ×+?=
)()12(
1
k
k
ε?=
+
7.4 离散系统的z域分析信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-44页页页
■
电子教案电子教案
§7.5 系统差分方程的Z域解一、差分方程的Z域解：（LTI因果离散系统）
例已知离散系统的方程为：
)2()2(2)1(3)(?=?+?+ kfkykyky
)()(,0)2(,1)1( kkfyy ε==?=?
求：
).(),(),( kykyky
fx
1、求完全响应：
)(ky
由单边变换的右移性质：
z
,)()()(
1
0
∑
=
+
m
k
km
zmkfzFzmkf
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-45页页页
■
电子教案电子教案根据右移性质，对系统差分方程取单边变换，得
z
])2()([2])1()([3)(
1
0
2
0
0
1
∑∑
=
=
++?++
k
k
k
k
zkyzYzzkyzYzzY
)(
2
zFz
=
由上式得：
)()2(2)1()23()231)((
2121
zFzyyzzzzY
+=++
)(
231231
)2(2)1()23(
)(
21
2
21
1
zF
zz
z
zz
yyz
zY
++
+
++
=
1
)(,
)2)(1)(1(
33
23
=
+?+
++?
=
z
z
zF
zzz
zzz
2||,
)2(3
11
)1(2
1
)1(6
1
>
+
+
+
= z
z
z
z
z
z
z
0,)2(
3
11
)1(
2
1
1
6
1
)( ≥×+×= kky
kkk
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-46页页页
■
电子教案电子教案
2、求零输入响应
0)2()2(,1)1()1(:)( =?=?=?=? yyyyky
xxx
的方程：
)(ky
x
0)2(2)1(3)( =?+?+ kykyky
xxx
根据右移性质，对的方程取单边变换，得：
)(ky
x
z
0])2()([2])1()([3)(
1
0
2
0
0
1
=?++?++
∑∑
=
=
k
k
xx
k
k
xxx
zkyzYzzkyzYzzY
由上式得：
2||,
)2)(1(
23
231
)2(2)1()23(
)(
2
21
1
>
++
=
++
=
z
zz
zz
zz
yyz
zY
xx
x
2
4
1 +
+
=
z
z
z
z
0,)2()1()(
2
≥=
+
kky
kk
x
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-47页页页
■
电子教案电子教案
3、求
0)2()1(),()(:)( =?=?=
fff
yykkfky ε
)(ky
f
的方程：
)2()2(2)1(3)(?=?+?+ kfkykyky
fff
由右移性质，对的方程取单边变换，得
)(ky
f
z
)()(2)(3)(
221
zFzzYzzyzzY
fff
=++
1
)(),(
)231(
)(
21
2
=
++
=
z
z
zFzF
zz
z
zY
f
2||,
)2)(1)(1(
>
+?+
= z
zzz
z
,
)2(3
1
)1(2
1
)1(6
1
+
+
+
=
z
z
z
z
z
z
)(])2(
3
1
)1(
2
1
1
6
1
[)( kky
kkk
f
ε?+×=
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-48页页页
■
电子教案电子教案说明：前向差分方程的解法：
（1）用左移性质：
,)()()(
1
0
∑
=
+
m
k
kmm
zkfzFzmkf
初始条件：对、、
L)1()0(:)( yyky
对、、
L)1()0(:)(
xxx
yyky
（2）转变为由后向差分方程，用右移性质求解，
初始条件：对、、
L)2()1(:)( yyky
对、、
L)2()1(:)(
xxx
yyky
若初始条件不适用，则用递推法由相应的差分方程递推得到需要的初始条件。
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-49页页页
■
电子教案电子教案二、系统函数H(z):
1、定义：
)(
)(
)(
zF
zY
zH
f
=
)]([)()],([)( kfZzFkyZzY
ff
==
2、物理意义：
)]([)( khZzH =
3、计算：
)(
)(
)(
zF
zY
zH
f
=
（1）
（2）
)]([)( khZzH =
（3）由系统差分方程求
)(zH
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-50页页页
■
电子教案电子教案例：
)2()1()2()1()(
0101
+?=?+?+ kfbkfbkyakyaky
fff
)()()()()(
2
0
1
1
2
0
1
1
zFzbzFzbzYzazYzazY
fff
+=++
)()()()1(
2
0
1
1
2
0
1
1
zFzbzbzYzaza
f
+=++
2
0
1
1
2
0
1
1
1)(
)(
)(
++
+
==
zaza
zbzb
zF
zY
zH
f
01
2
01
azaz
bzb
++
+
=
4、应用：
（4）表示系统特性：频率特性、稳定性等
（1）求
);()()()],([)(
1
zFzHzYzYZky
fff
==
（2）求
)];([)(
1
zHZkh
=
（3）求;
)(
)(
)()],([)(
1
zH
zY
zFzFZkf
f
==
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-51页页页
■
电子教案电子教案三、离散系统的频率响应：
1、LTI离散系统对正弦序列的响应：
设系统输入
∞<<∞= kTkAkf,cos)(
初始时刻
∞=
0
k
响应为
)(ky
)(kf
表示为：
)(
2
)(
TkjTkj
ee
A
kf
+=
（1）系统对的响应：
Tkj
e
设输入，响应为
Tkj
ekf
=)()(
1
ky
则∑
∞
∞=
=?=
m
mkTjTkj
emhekhky
)(
1
)()()(
为因果信号）)((,)(
0
khemhe
m
TmjTkj
∑
∞
=
=
∑
∞
=
=
0
))((
m
mTjTkj
emhe
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-52页页页
■
电子教案电子教案设的收敛域含单位圆，令为
)]([)( khZzH =
z
Tjj
erez
==
θ
则Tj
ez
m
mTkj
zmheky
=
∞
=
∑
= ])([)(
0
1
)(|)(
TjTkj
ez
Tkj
eHezHe
Tj
=
==
（2）系统对的响应：
Tkj
e
Tkj
ekf
=)(
设输入的响应为,
)(
2
ky
)(|)()()(
**
2
TjTkj
ez
TkjTkj
eHezHeekhky
Tj
=
==?=
其中，的收敛域含单位圆。
)(zH
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-53页页页
■
电子教案电子教案
（3）系统对正弦序列的响应系统输入
)(
2
)cos()(
TkjTkj
ee
A
TkAkf
+=?=
响应为，由系统的线性性质，得
)(ky
)]()([
2
)(
21
kyky
A
ky +=
)]()([
2
TjTkjTjTkj
eHeeHe
A
+=
设
)(
|)(|)(
TjTjTj
eeHeH
=
φ
)(
|)(|)(
TjTjTj
eeHeH
=?
φ
则
][|)(|
2
)(
))(())(( TTkjTTkjTj
eeeH
A
ky
++
+=
φφ
∞<<∞+?=
kTTkeHA
Tj
)),(cos(|)(| φ
一般情况：
)cos()( θ+?= TkAkf
))(
cos(|)(|)(
T
TkeHAky
Tj
++
=
φθ
称LTI离散系统的正弦稳态响应。
)(ky
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-54页页页
■
电子教案电子教案
2、LTI离散系统的频率响应：
若LTI因果离散系统的系统函数H(z)的收敛域包含单位圆，，则称为LTI因果离散系统的频率
)1,|(| <> ααz )(
Tj
eH
响应。其中
Tj
ez
Tj
zHeH
=
= |)()(
)(
|)(|)(
TjTjTj
eeHeH
=
φ
|)(|
Tj
eH
称为系统的幅频响应
)( T?φ
称为系统的相频响应说明：（1）是的周期函数，周期为；
)(
Tj
eH
T?
（2）是的连续函数；
)(
Tj
eH
T?
（3）表示系统对不同频率的正弦序列的稳态
)(
Tj
eH
T?
响应特性。
π2
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-55页页页
■
电子教案电子教案例1、已知离散系统如图所示，求
10 << a
)(
Tj
eH
解：系统差分方程为：
),()1()( kfkayky =
为因果信号
)(kf
系统函数：
)(zH
)()1()( kfkayky
ff
=
)()()(
1
zFzYazzY
ff
=?
az
az
z
azzF
zY
zH
f
>
=
==
||,
1
1
)(
)(
)(
1
因为，所以的收敛域含单位圆，
系统的频率响应为：
10 << a )(zH
)(kf
+
)(ky
a
D
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-56页页页
■
电子教案电子教案
ae
e
zHeH
Tj
Tj
ez
Tj
Tj
==
=
|)()(
|sincos|
1
||
1
|)(|
aTjTae
eH
Tj
Tj
+?
=
=
TaT
22
sin)(cos
1
+?
=
Taa+
=
cos2)1(
1
2
幅频响应曲线：（称数字角频率）
T?
a
eHT
Tj
==?
1
1
|)(|,0
a
eHT
Tj
+
==?
1
1
|)(|,π
a
eHT
Tj
==?
1
1
|)(|,2π
T?
5.0|,)(| =
aeH
Tj
0
π
π2 π3 π4
2
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-57页页页
■
电子教案电子教案系统函数为
∞<<∞?+++= kkkkf ),
42
cos(9)
4
cos(99)(
πππ
例2、已知离散系统的输入为
)(kf
求稳态响应
,
2
1
||,
12
1
)( >
+
= z
z
zH )(ky
解：因为，所以收敛域包含单位圆
2
1
|| >z )(zH
,
12
1
)(
+
=
Tj
Tj
e
eH
（1）设
0),cos(99)(
1
=== TTkkf
3
1
)( =
Tj
eH
设系统对的响应为，则
)(
1
kf )(
1
ky
0,3
3
1
9)](cos[|)(|9)(
1
=?=×=?+?=
TTTkeHky
Tj
φ
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-58页页页
■
电子教案电子教案
（2）设,
4
),
4
cos(9)(
2
ππ
=?= Tkkf
o
3.3036.0
12
1
)(
4
∠=
+
=
π
j
Tj
e
eH
设系统对的响应为，则
)(
2
kf
)(
2
ky
4
)],(cos[|)(|9)(
2
π
φ =+?=
TTTkeHky
Tj
)3.30
4
cos(36.09
o
×= k
π
)3.30
4
cos(24.3?= k
π
（3）设
2
),
42
cos(9)(
3
πππ
=?+= Tkkf
o
4.6345.0
21
1
12
1
)(
2
∠=
+
=
+
=
j
e
eH
j
Tj
π
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-59页页页
■
电子教案电子教案设系统对的响应为，则
)(
3
kf )(
3
ky
,
2
),(
4
cos[|)(|9)(
3
π
φ
π
=++?=
TTTkeHky
Tj
)4.63
42
cos[45.09
o
+×=
ππ
k
)4.18
2
cos(05.4
o
= k
π
（4）系统对的响应：
)(kf )(ky
)()()()(
321
kykykyky ++=
)4.18
2
cos(05.4)3.30
4
cos(24.33
oo
+?+= kk
ππ
∞<<∞? k
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-60页页页
■
电子教案电子教案
§7.6 离散系统的表示和模拟一、方框图法：
1、简单方框图表示：
2、系统的串、并联：（LTI因果系统）
串联：
nizHkh
ii
L,2,1),()( =?
设串联复合系统的冲激响应为，
)(kh )()( zHkh?
则
)()()()(
21
khkhkhkh
n
= L
)()()()(
21
zHzHzHzH
n
= L
)(kf )(ky
)(kf L
)(
1
kh )(
2
kh
)(kh
n
)(ky
)(zF L)(
1
zH )(
2
zH
)(zH
n
)(zY
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-61页页页
■
电子教案电子教案并联：
设并联复合系统的冲激响应为，
)()( zHkh?)(kh
则)()()()(
21
khkhkhkh
n
+++= L
)()()()(
21
zHzHzHzH
n
+++= L
+
)(zF
)(
1
zH
)(
2
zH
)(zH
n
)(zY
M
+
)(kf
)(
1
kh
)(
2
kh
)(kh
n
)(ky
M
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-62页页页
■
电子教案电子教案
3、用基本运算器表示系统：
基本运算器：
D
1?
z
)(
1
zFz
)(zF
)1(?kf
)(kf
a a
)(kf
)(kaf
)(zF
)(zaF
+
)(
1
kf
)(
2
kf
)()(
21
kfkf +
+
)(
1
zF
)(
2
zF
)()(
21
zFzF +
0)1( =?f
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-63页页页
■
电子教案电子教案例1图示离散系统，求系统差分方程。
)()()()()()(
2
0
1
12
2
0
1
1
zFzbzFzbzFbzYzazYzazY
+++=
)2()1()()2()1()(
01201
+?+=?+?+ kfbkfbkfbkyakyaky
)(zF
1?
z
1?
z
1?
z
1?
z
0
b
1
b
2
b
+
)(zY
0
a?
1
a?
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-64页页页
■
电子教案电子教案例2图示离散系统，求系统差分方程
)()()()(
2
0
1
1
zFzXzazXzazX +=
,
1
)(
)(
2
0
1
1
++
=
zaza
zF
zX
-----------------------（1）
)()()()(
2
0
1
12
zXzbzXzbzXbzY
++= -------（2）
（1）式代入（2）式得：
b0
+ +
)(zF
1?
z
1?
z
)(zY
0
a?
1
a?
2
b
1
b
)(zX
)(
1
zXz
)(
2
zXz
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-65页页页
■
电子教案电子教案
)(
1
)(
2
0
1
1
2
0
1
12
zF
zaza
zbzbb
zY
++
++
=
)()()()1(
2
0
1
12
2
0
1
1
zFzbzbbzYzaza
++=++
)2()1()()2()1()(
01201
+?+=?+?+ kfbkfbkfbkyakyaky
二、离散系统的信号流图表示：
1、框图表示与信号流图对应关系：
)(zF
)(zH
)(zY )(zF
)(zH
)()()( zHzFzY =
)(zF
)(zF
a
)(zaF
a
)()( zaFzY =
)(zF
1?
z )(
1
zFz
)(zF
1?
z
)()(
1
zFzzY
=
)(
1
zF
)(
2
zF
+
)()(
21
zFzF +
)(
1
zF
)(
2
zF
)()()(
21
zFzFzY +=
1
1
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-66页页页
■
电子教案电子教案
2、信号流图规则：同于连续系统信号流图规则
)()(
)()()()()(
33
22114
zXzH
zXzHzXzHzX
+
+=
)()()(
445
zXzHzX =
)()()(
456
zXzHzX =
3、从框图表示到信号流图表示：
方法：（1）选加法器输出、
单位延迟器输出，、
为变量用点表示；
)(zF
)(zY
（2）根据信号流图规定和框图中信号传输关系画出信号流图。
)(
4
zx )(
4
zH
)(
1
zx
)(
2
zx
)(
3
zH
)(
3
zx
)(
1
zH
)(
5
zx
)(
6
zx
)(
2
zH
)(
5
zH
b0+ +
)(zF
1?
z
1?
z
)(zY
0
a?
1
a?
2
b
1
b
)(zF
1
1?
z
1?
z
2
b
1
b
0
b
1
a?
0
a?
)(zY
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-67页页页
■
电子教案电子教案
4、梅森公式：
设LTI离散系统的输入为，零状态响应为
)(kf )(ky
f
)()(),()( zYkyzFkf
ff
（单边Z变换对）
==
∑
=
m
i
ii
f
P
zF
zY
zH
1
)(
)(
)(
：流图行列式
L+?+?=?
∑∑∑ qpl
ji
jii
LLLLLL
,
1
i
：除去第条开路后剩余流图的流图行列式；i
i
P
：第条开路的开路传输函数；
i
m
：从到的开路数
)(zF
)(zY
f
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-68页页页
■
电子教案电子教案例、图示离散系统，求系统函数
)(zH
解：（1）流图的环传输函数及：
i
L?
2
3
1
2
1
1
3,2,
=?=?= zLzLzL
两个不接触环的环传输函数：
3
3113
2
2112
3,2
==== zLLLzLLL
L?+?=?
∑∑
ji
ji
i
i
LLL
,
1
)32()32(1
32211
++= zzzzz
321
3531
+++= zzz
)(zF
1
1
1
1
-2
-3
)(zY
1?
z
1?
z
1?
z
2
-1
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-69页页页
■
电子教案电子教案
（2）流图的开路传输函数及：
i
P
i
21
321
1
1
321)(1,2
++=+?== zzLLzP?
1
12
2
2
11,
+=?=?= zLzP
（3）由梅森公式求
)(zH
321
12211
2
1
3531
)1()321(2
)(
=
+++
++++
=
=
∑
zzz
zzzzz
P
zH
i
ii
353
752
23
2
+++
++
=
zzz
zz
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-70页页页
■
电子教案电子教案三、离散系统的模拟：
1、由H(z) 差分方程框图流图例1已知系统函数，画出系统框图
01
2
0
)(
azaz
b
zH
++
=
解：设
)()(),()( zYzyzFkf
ff
2
0
1
1
0
01
2
2
0
1)(
)(
)(
++
=
++
==
zaza
b
azaz
zb
zF
zY
zH
f
)()()1(
0
2
0
1
1
zFbzYzaza
f
=++
)()2()1()(
001
kfbkyakyaky
fff
=?+?+
)()2()1()(
001
kfbkyakyaky =?+?+
)()2()1()(
001
kfbkyakyaky +=
由上式得框图：
)(kf
+
D D
)(ky
0
b
1
a?
0
a?
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-71页页页
■
电子教案电子教案例2、已知系统函数，求系统框图
01
2
01
)(
azaz
bzb
zH
++
+
=
解：
2
0
1
1
2
0
1
1
1
)(
++
+
=
zaza
zbzb
zH
设
)()(),()( zYkyzFkf
ff
)()()( zFzHzY
f
=
)()()()1(
2
0
1
1
2
0
1
1
zFzbzbzYzaza
f
+=++
)2()1()2()1()(
0101
+?=?+?+ kfbkfbkyakyaky
fff
)2()1()2()1()(
0101
+?=?+?+ kfbkfbkyakyaky
引入辅助函数，令
)(kX
)()2()1()(
01
kfkXakXakX =?+?+
-----------（2）
---（1）
（2）式代入（1）式，比较等式两边得
)2()1()(
01
+?= kXbkXbky
-----------------（3）
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-72页页页
■
电子教案电子教案先模拟（2）式对应的框图，然后在（2）式框图基础上画出（3）式的框图
)(kf
+
D D
)(kx
1
a?
0
a?
)1(?kx )2(?kx
(2)式框图
)(kf
+
D D
)1(?kx
)2(?kx
)(kx
0
b + )(ky
1
b
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-73页页页
■
电子教案电子教案
2、由H(z) 信号流图系统框图
（1）直接形式：
例1、
)223(1
32
223
32
)(
321
32
23
+
=
+++
+
=
zzz
zz
zzz
z
zH
根据梅森公式，系统信号流图有3个相互接触的环和两条开路组成，环传输函数分别为、
1
1
3
= zL
2
2
2
= zL、；开路传输函数为、
3
3
2
= zL
2
1
2
= zP
3
2
3
= zP
、信号流图如图所示
1,1
21
=?=?
(a)直接形式1
)(zF
)(zY
1?
z
1?
z
1?
z
2
1
3
-3
-2
-2
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-74页页页
■
电子教案电子教案
(b)直接形式2
（2）串联形式：
例2、)()(
)3(
)1(
265
)(
21
2
2
zHzH
z
z
z
z
zz
zz
zH?=
+
+
+
=
++
+
=
,
2
)(
1
+
=
z
z
zH
3
1
)(
2
+
+
=
z
z
zH
分别对、用直接形式信号流图模拟，然后联接成串联形式
)(
1
zH )(
2
zH
)(zF
)(zY
1?
z
1?
z
1?
z
2
1
3
-3
-2
-2
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-75页页页
■
电子教案电子教案
（3）并联形式：
例3、
43
1
127
44
)(
2
2
+
+
+
=
++
++
=
z
z
zzz
zz
zH
)()(
21
zHzH +=
,
3
1
)(
1
+
=
z
zH
4
)(
2
+
=
z
z
zH
分别和用直接形式信号流图模拟，然后联接成并联形式
)(
1
zH )(
2
zH
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-76页页页
■
电子教案电子教案
§7.7系统函数与系统特性一、H(z)的零、极点：
0
1
1
0
1
1
)(
)(
)(
azaz
bzbzb
zA
zB
zH
n
n
n
m
m
m
m
+++
+++
==
L
L
)())((
)())((
21
21
n
mm
PzPzPz
zzzzzzb
=
L
L
nm
Pz
zzb
i
n
i
j
m
j
m
≤
Π
Π
=
=
=
,
)(
)(
1
1
j
z
H(z)的零点，H(z)的极点
i
P
j
b
、
i
a
为实数，H(z)通常为有理分式。
若零点或极点为复数，则零点或极点必共轭。
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-77页页页
■
电子教案电子教案二、H(z)的零、极点与h(k)的关系：
1、单位圆内的极点：
在实轴上：一阶极点：
1||),( <→
akAa
az
Az
k
ε
二阶极点：
)(
)(
2
kAka
az
Az
k
ε→
不在实轴上：一阶极点：
1
11
<
+
r
rez
zA
rez
zA
jj ββ
)()cos(||2
1
kkrA
k
εθβ +→
二阶极点：
2
1
2
1
)()(
ββ jj
rez
zA
rez
zA
+
)(])1(cos[||2
1
1
kkrA
k
εθβ +?→
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-78页页页
■
电子教案电子教案
2、单位圆上的极点：
在实轴上：
)()1(
1
kA
z
Az
k
ε±?
±
)()1(
)1(
2
kAk
z
Az
k
ε±?
±
不在实轴上：
ββ jj
rez
zA
rez
Az
+
)()cos(||2 kkA εθβ +?
22
)()(
ββ jj
rez
zA
rez
Az
+
)(])1(cos[||2 kkkA εθβ +
3、单位圆外的极点：
在实轴上：
)(
)(
1
2
kAka
az
Az
k
ε
不在实轴上：
ββ jj
rez
zA
rez
Az
+
1),()cos(||2 >+? rkkrA
k
εθβ
1||),( >?
akAa
az
Az
k
ε
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-79页页页
■
电子教案电子教案结论：（1）H(z)的极点在单位圆内，对应h(k)按指数规律衰减；
（2）H(z)的极点在单位圆上一阶极点对应h(k)为阶跃序列或正弦序列；
二阶及二阶以上极点对应h(k)增长。
（3）H(z)的极点在单位圆外，对应h(k)按指数规律增长。
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-80页页页
■
电子教案电子教案三、H(z)与系统频率响应：
设H(z)的收敛域包含单位圆，对因果系统，
H(z)的极点全部在单位圆内，则系统的频率响应为：
Tj
ez
Tj
zHeH
=
= |)()(
)(
)(
)(
1
1
i
n
i
i
m
i
m
Pz
zzb
zH
Π
Π
=
=
=
设
)(
)(
)(
1
1
i
Tj
n
i
i
Tj
m
i
m
Tj
Pe
zeb
eH
Π
Π
=
=
=
则令
ii
j
ii
Tjj
ii
Tj
eAPeeBze
θψ
=?=?
,
则
)(
1
1
|)(|)(
TjTj
j
i
n
i
j
i
m
i
m
Tj
eeH
eA
eBb
eH
i
i
=
=
=
Π
Π
=
φ
θ
ψ
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-81页页页
■
电子教案电子教案
n
mm
Tj
AAA
BBBb
eH
L
L
21
21
|)(| =
)()()(
2121 nm
T θθθψψψφ +++?+++=? LL
例：画出系统幅频响应曲线
,
2
1
||,
12
1
)( >
+
= z
z
z
zH
解：因为H(z)的收敛域为,故系统频率响应为：
2
1
|| >z
,
)
2
1
(2
1
)(
+
=
Tj
Tj
Tj
e
e
eH
令
θψ jTjjTjTj
AeeBeee =?==+
2
1
,)1(1
把和画在Z复平面上，如图所示：
ψj
Be
θj
Ae
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-82页页页
■
电子教案电子教案
0,0,2,
2
1
:0 =====? θψBAT
0)(,2
2
|)(| =?=?==
θψφ T
A
B
eH
Tj
↑↑↓↑↑? θψ,,,,BAT
πθ
π
ψπ =====,
2
,0,
2
3
,BAT?
2
)(,0|)(|
π
φ?=?=
TeH
Tj
↑↑↑↓↑? θψ,,,,BAT
πθπψπ 2,2,2,
2
1
:2 =====? BAT
0)(,2|)(| =?=
TeH
Tj
φ
][zR
e
][zJ
m
-1
2
1
ψ
θ
A
1B
Tj
e
0
2
|)(|
Tj
eH
π
π20
T?
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-83页页页
■
电子教案电子教案四、H(z)与离散系统稳定性：
1、离散稳定系统的定义：（LTI离散系统）
一个离散系统，对任意有界输入f(k)，系统的零状态响应也有界，则称系统为有界输入有界输出意义下的稳定系统。
)(ky
f
表示：若
∞<<<
ff
MMkf 0,|)(|
∞<<<
yyf
MMky 0,|)(|
且则系统为稳定系统。
2、离散系统稳定的充要条件：
设系统的单位响应为h(k)
充要条件：
∑
∞
∞=
∞<
k
kh |)(|
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-84页页页
■
电子教案电子教案证明：（1）充分性：设
f
Mkf <|)(|
∑
∞
∞=
=?=
m
f
mkfmhkfkhky )()()()()(
∑∑
∞
∞=
∞
∞=
≤?=
mm
f
mkfmhmkfmhky |)(||)(||)()(||)(|
|)(||)(|
∑
∞
∞=
≤
m
ff
mhMky
即：
∞<
∑
∞
∞=
|)(|
m
mh
若
∞<|)(| ky
f
则
（2）必要性：
必要性是指：若，则至少有一个
∑
∞
∞=
∞=
k
kh |)(|
有界输入产生无界输出
)(kf
)(ky
f
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-85页页页
■
电子教案电子教案设为一整数
rkrhkf )],(sgn[)(?=
则
∑
∞
∞=
=?=
m
f
mkfmhkhkfky )()()()()(
∑
∞
∞=
+?=
m
mkrhmh )](sgn[)(
令，得：
rk =
∑
∞
∞=
=
m
f
mhmhry )](sgn[)()(
<?
=
>
=
0)(,1
0)(,0
0)(,1
)](sgn[
mh
mh
mh
mhQ
|)(|)](sgn[)( mhmhmh =∴
∑
∞
∞=
=
m
f
mhry |)(|)(
若
∞=
∑
∞
∞=m
mh |)(|
则
∞=)(ry
f
即无界。
)(ky
f
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-86页页页
■
电子教案电子教案
3、离散系统稳定性判别：
（1）离散系统稳定性的Z域充要条件：
若LTI因果离散系统的系统函数H(z)的极点全部在单位圆内，则系统为稳定系统
（2)朱里准则：
朱里排列：设，z的正幂分式
)(
)(
)(
zA
zB
zH =
0
1
1
)( azazazA
n
n
n
n
+++=
L
对系数排列如下：
i
a
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-87页页页
■
电子教案电子教案行：
32
6
5
4
3
2
1
n
M
2
0
2
0
1
0
r
d
d
C
C
a
a
n
n
n
1
1
3
1
2
1
1
r
d
d
C
C
a
a
n
n
n
L
0
2
4
2
3
2
2
r
d
d
C
C
a
a
n
n
n
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
2
0
2
1
n
n
d
d
C
C
1
0
1
1
n
n
C
C
a
a
n
a
a
0
L,,,
20
2
3
10
1
2
0
0
1
===
n
n
n
n
n
n
n
n
n
aa
aa
C
aa
aa
C
aa
aa
C
L,,,
30
21
4
20
11
3
10
01
2
===
n
n
n
n
n
n
n
n
n
CC
CC
d
CC
CC
d
CC
CC
d
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-88页页页
■
电子教案电子教案朱里准则：
若
,0|)()1(
1
>=
=z
zAA
,0)1()1( > A
n
|,|
0
aa
n
>
|,|
01
CC
n
>
|,|
02
dd
n
>
LL
.||
02
rr >
则H(z)的极点全部在单位圆内，系统稳定。
例、判断系统是否稳定。
,
13412
1612
)(
23
2
+
++
=
zzz
zz
zH
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-89页页页
■
电子教案电子教案
6.4 z域分析单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中，可求得零输入、零状态响应和全响应。
一、差分方程的变换解
∑∑
=
=
=?
m
j
jm
n
i
in
jkfbikya
00
)()(
设f(k)在k=0时接入，系统初始状态为y(-1),y(-2),…y(-n)。
取单边z变换得
∑∑∑
=
=
=
=?+
m
j
j
jm
i
n
i
i
k
i
in
zFzbzikyzYza
00
1
0
)]([])()([
∑∑∑∑
=
==
=
=?+
m
j
j
jm
n
i
n
i
i
k
k
in
i
in
zFzbzikyazYza
000
1
0
)()(])([)(][
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-90页页页
■
电子教案电子教案
7.4 z域分析
6.4 z域分析单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中，可求得零输入、零状态响应和全响应。
一、差分方程的变换解
∑∑
=
=
=?
m
j
jm
n
i
in
jkfbikya
00
)()(
设f(k)在k=0时接入，系统初始状态为y(-1),y(-2),…y(-n)。
取单边z变换得
∑∑∑
=
=
=
=?+
m
j
j
jm
i
n
i
i
k
i
in
zFzbzikyzYza
00
1
0
)]([])()([
∑∑∑∑
=
==
=
=?+
m
j
j
jm
n
i
n
i
i
k
k
in
i
in
zFzbzikyazYza
000
1
0
)()(])([)(][
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-91页页页
■
电子教案电子教案
7.4 z域分析
)()()(
)(
)(
)(
)(
)( zYzYzF
zA
zB
zA
zM
zY
fx
+=+=
)(
)(
)(
)(
)(
zA
zB
zF
zY
zH
f
==
令称为系统函数
h(k)←→H(z)
例1：若某系统的差分方程为
y(k) – y(k – 1) – 2y(k – 2)= f(k)+2f(k – 2)
已知y( –1)=2，y(– 2)= – 1/2，f(k)= ε(k)。求系统的y
x
(t)、
y
f
(t)、y(t)。
解方程取z变换信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-92页页页
■
电子教案电子教案
7.4 z域分析
Y(z)-[z
-1
Y(z)+y(-1)]-2[z
-2
Y(z)+y(-2)+y(-1)z
-1
]=F(z)+2z
-2
F(z)
12
2
2
4
)(
21
21
21
)2(2)1()21(
)(
2
2
2
2
21
2
21
1
+
+
+
=
+
+
+?+
=
z
z
zz
z
zz
zz
zF
zz
z
zz
yyz
zY
)(])1()2(2[)(
12
2
)1)(2(
4
)(
2
kky
z
z
z
z
zz
zz
zY
kk
xx
ε=→
+
+
=
+?
+
=
)(]
2
3
)1(
2
1
2[)(
12
3
12
1
2
2
)(
1
kky
z
z
z
z
z
z
zY
kk
ff
ε+=→
+
+
=
+
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-93页页页
■
电子教案电子教案
7.4 z域分析例2：某系统，已知当输入f(k)=(– 1/2)
k
ε(k)时，其零状态响应
)(])
2
1
(
2
9
)
3
1
(4)
2
1
(
2
3
[)( kky
kkk
f
ε+=
求系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。
解
3
1
2
2
1
3
6
1
6
1
2
)(
)(
)(
2
2
+
+
=
+
==
z
z
z
z
zz
zz
zF
zY
zH
f
h(k)=[3(1/2)
k
–2(– 1/3)
k
]ε(k)
)1(2)()2(
6
1
)1(
6
1
)(?+= kfkfkykyky
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-94页页页
■
电子教案电子教案
7.4 z域分析二、系统的z域框图
f (k)
D
f (k -1)
F(z)
z
1
)(
1
zF
z
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-95页页页
■
电子教案电子教案
7.4 z域分析三、s域与z域的关系
z=e
sT
z
T
s ln
1
=
式中T为取样周期如果将s表示为直角坐标形式s = σ+jω，将z表示为极坐标形式z = ρe
jθ
ρ= e
σT
，θ = ωT
由上式可看出：s平面的左半平面（σ<0)--->z平面的单位圆内部（?z?=ρ<1)
s平面的右半平面（σ>0)--->z平面的单位圆外部（?z?=ρ>1)
s平面的jω轴（σ=0)--->z平面中的单位圆上（?z?=ρ=1)
s平面上实轴（ω=0)--->z平面的正实轴（θ=0)
s平面上的原点（σ=0，ω=0）---->z平面上z=1的点
（ρ=1，θ=0）
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-96页页页
■
电子教案电子教案
7.4 z域分析四、系统的频率响应
z=e
sT
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-1页页页
■
电子教案电子教案第七章离散系统z域分析
7.1 z 变换一、从拉普拉斯变换到z变换二、收敛域
7.2 z 变换的性质
7.3逆z变换
7.4 z 域分析一、差分方程的变换解二、系统的z域框图三、s域与z域的关系四、系统的频率响应点击目录，进入相关章节信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-2页页页
■
电子教案电子教案第七章离散系统z域分析在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分方程转换为代数方程。
7.1 z变换一、从拉氏到z变换对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号,
∑
∞
∞=
==
k
TS
kTtkTfttftf )()()()()( δδ
取样信号两边取双边拉普拉斯变换，得信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-3页页页
■
电子教案电子教案
∑
∞
∞=
=
k
kTs
Sb
kTfsF e)()(
令z = e
sT
，上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示；
f(kT) →f(k),得
∑
∞
∞=
=
k
k
zkfzF )()(
称为序列f(k)的双边z变换
∑
∞
=
=
0
)()(
k
k
zkfzF
称为序列f(k)的单边z变换若f(k)为因果序列，则单边、双边z 变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。
F(z) = Z[f(k)],f(k)= Z
-1
[F(z)] ；f(k)←→F(z)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-4页页页
■
电子教案电子教案
7.1 z变换二、收敛域
z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即
∞<
∑
∞
∞=
k
k
zkf )(
时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列f(k)的z变换存在的充分条件。
收敛域的定义：
对于序列f(k)，满足
∞<
∑
∞
∞=
k
k
zkf )(
所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-5页页页
■
电子教案电子教案
7.1 z变换例1求以下有限序列的z变换(1) f
1
(k)=δ(k) ↓k=0
(2) f
2
(k)={1,2,3,2,1}
解
(1)
1)()()(
1
===
∑∑
∞
∞=
∞
∞=
kk
kk
zkzkzF δδ
可见，其单边、双边z变换相等。与z 无关，
所以其收敛域为整个z 平面。
(2) f(k)的双边z 变换为
F(z) = z
2
+ 2z + 3 + 2z
-1
+ z
-2
收敛域为0<?z?<∞
f(k)的单边z 变换为
21
0
23)()(
∞
=
++==
∑
zzzkfzF
k
k
收敛域为?z? > 0
对有限序列的z变换的收敛域一般为0<?z?<∞，有时它在0或/和∞也收敛。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-6页页页
■
电子教案电子教案
7.1 z变换例2 求因果序列
≥
<
==
0,
0,0
)()(
ka
k
kakf
k
k
y
ε
的z变换（式中a为常数）。
解：代入定义
1
11
0
1
0
1
)(1
lim)(lim)(
+?
∞→
=
∞→
∞
=
===
∑∑
az
az
azzazF
N
N
N
k
k
N
k
kk
y
可见，仅当?az
-1
<1，即
z? >?a?时，其z变换存在。
az
z
zF
y
=)(
Re[z]
jIm[z]
|a|
o
收敛域为|z|>|a|
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-7页页页
■
电子教案电子教案
7.1 z变换例3 求反因果序列的z变换。
解
)1(
0,0
0,
)(=
≥
<
= kb
k
kb
kf
k
k
f
ε
zb
zbzb
zbbzzF
N
N
m
m
k
k
f
1
111
1
1
1
1
1
)(
lim)()()(
+
∞→
∞
=
∞=
===
∑∑
可见，?b
-1
z?<1,即?z?<?b?时，其z变换存在，
bz
z
zF
f
=)(
收敛域为|z|< |b|
|b|
Re[z]
jIm[z]
o
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-8页页页
■
电子教案电子教案
7.1 z变换例4 双边序列f(k)=f
y
(k)+f
f
(k)=
解
≥
<
0,
0,
ka
kb
k
k
的z变换。
az
z
bz
z
zFzFzF
fy
+
=+= )()()(
可见，其收敛域为?a?<?z?<?b?
（显然要求?a?<?b?，否则无共同收敛域)
o
|a|
|b|
Re[z]
jIm[z]
序列的收敛域大致有一下几种情况：
（1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面；
（2）对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域；
（3）对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域；
（4）对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-9页页页
■
电子教案电子教案
7.1 z变换注意：对双边z变换必须表明收敛域，否则其对应的原序列将不唯一。
例
f
1
(k)=2
k
ε(k)←→F
1
(z)=
2?z
z
,?z?>2
f
2
(k)= –2
k
ε(– k –1)←→F
2
(z)=
2?z
z
,?z?<2
对单边z变换，其收敛域比较简单，一定是某个圆以外的区域。可以省略。
结论：
双边Fb (Z) + 收敛域
f(k)
一一对应单边F (Z)
一一对应
f(k)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-10页页页
■
电子教案电子教案
7.1 z变换常用序列的z变换：
f
1
(k)=a
k
ε(k)←→F
1
(z)=
az
z
,?z?>a
f
2
(k)= –a
k
ε(– k –1)←→F
2
(z)=
az
z
,?z?<a
δ(k-m) ←→Z
-m
，?z?>0
ε(k)
1?z
z
，?z?>1
，?z?<1–ε(– k –1)
δ(k) ←→1,整个Z平面其中：a>0
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-11页页页
■
电子教案电子教案
7.2 z变换的性质一、线性
6.2 z变换的性质本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适用于双边z变换。
若f
1
(k)←→F
1
(z) α
1
<?z?<β
1
,
f
2
(k) ←→F
2
(k) α
2
<?z?<β
2
对任意常数a
1
、a
2
，则
a
1
f
1
(k)+a
2
f
2
(k) ←→a
1
F
1
(z)+a
2
F
2
(z)
其收敛域至少是F
1
(z) )与F
2
(z)收敛域的相交部分。
例：2δ(k)+ 3ε(k) ←→2 +
1
3
z
z
，?z?>1
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
7.2 z变换的性质二、移位（移序）特性单边、双边差别大！
双边z变换的移位：
若f(k) ←→F(z),α<?z?<β，且对整数m>0，则
f(k±m) ←→z
±m
F(z),α<?z?<β
证明：Z[f(k+m)]=
)()()( zFzzznfzmkf
m
n
mn
mkn
k
k
==+
∑∑
∞
∞=
+=
∞
∞=
单边z变换的移位：
若f(k) ←→F(z),|z| > α，且有整数m>0,则
f(k-1) ←→z
-1
F(z) + f(-1)
f(k-2) ←→z
-2
F(z) + f(-2) + f(-1)z
-1
∑
=
+←→?
1
0
)()()(
m
k
km
zmkfzFzmkf
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
7.2 z变换的性质
f(k+1) ←→zF(z) – f(0)z
f(k+2) ←→z
2
F(z) – f(0)z
2
– f(1)z
∑
=
←→+
1
0
)()()(
m
k
kmm
zkfzFzmkf
证明：
Z[f(k – m)]=
m
m
kmk
mkk
k
k
zzmkfzmkfzmkf
=
∞
=
∞
=
∑∑∑
+?=?
1
0
)(
0
)()()(
上式第二项令k – m=n
)()()()(
1
0
1
00
zFzzmkfzznfzmkf
m
m
k
km
m
kn
nk?
=
=
∞
=
+?=+?=
∑∑∑
特例：若f(k)为因果序列，则f(k – m) ←→z
-m
F(z)
即：f(k – m) ε (k – m) ←→z
-m
F(z)
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
7.2 z变换的性质例1：求周期为N的有始周期性单位序列
∑
∞
=
0
)(
m
mNkδ
的z变换。
11
1
)(
00
=
=←→?
∞
=
∞
=
∑∑
N
N
N
m
mN
m
z
z
z
zmNkδ
解
z?>1
例2：求f(k)= kε(k)的单边z变换F(z),
解
f(k+1)= (k+1)ε(k+1) = (k+1)ε(k) = f(k) + ε(k)
zF(z) – zf(0) = F(z) +
1?z
z
F(z)=
2
)1(?z
z
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
7.2 z变换的性质三、序列乘a
k
(z域尺度变换)
若f(k) ←→F(z),α<?z?<β，且有常数a≠0
则a
k
f(k) ←→F(z/a),α?a?<?z?<β?a?
证明：
Z[a
k
f(k)]=
)()()(
a
z
F
a
z
kfzkfa
k
k
k
kk
=
=
∑∑
∞
∞=
∞
∞=
例1：a
k
ε(k) ←→
az
z
例2：cos(βk)ε(k) ←→?
cos(βk)ε(k)=0.5(e
j βk
+ e
-j βk
)ε(k) ←→
ββ jj
e
5.0
e
5.0
+
z
z
z
z
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
7.2 z变换的性质四、卷积定理若f
1
(k) ←→F
1
(z) α
1
<?z?<β
1
,
f
2
(k) ←→F
2
(k) α
2
<?z?<β
2
则f
1
(k)*f
2
(k) ←→F
1
(z)F
2
(z)
对单边z变换，要求f
1
(k)、f
2
(k)为因果序列其收敛域一般为F
1
(z)与F
2
(z)收敛域的相交部分。
例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z),
解：f(k)= kε(k)= ε(k)* ε(k-1)
2
1
)1(11?
=
←→
z
z
z
zz
z
z
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
7.2 z变换的性质五、序列乘k（z域微分）
若f(k) ←→F(z),α<?z?<β
则
)(
d
d
)( zF
z
zkkf?←→
,α<?z?<β
例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z),
解：
1
)(
←→
z
z
kε
22
)1()1(
)1(
1d
d
)(
=
=
←→
z
z
z
zz
z
z
z
z
zkkε
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
7.2 z变换的性质六、序列除(k+m)(z域积分）
若f(k) ←→F(z),α<?z?<β，设有整数m，且k+m>0，
则
∫
∞
+
←→
+
z
m
m
d
F
z
mk
kf
η
η
η
1
)()(
,α<?z?<β
若m=0,且k>0，则
∫
∞
←→
z
d
F
k
kf
η
η
η)()(
例：求序列的z变换。
)(
1
1
k
k
ε
+
解
1
)(
←→
z
z
kε
)
1
ln()
1
ln()
1
1
1
(
)1(
)(
1
1
2
=
=?
=
←→
+
∞
∞∞
∫∫
z
z
zzdzdzk
k
z
zz
η
η
η
ηη
η
ηη
η
ε
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
7.2 z变换的性质七、k域反转(仅适用双边z变换）
若f(k) ←→F(z),α<?z?<β
则f( –k) ←→F(z
-1
),1/β<?z?<1/α
例：已知
az
z
ka
k
←→)(ε
，|z| >a
求a
–k
ε( –k – 1)的z变换。
解
1
1
)1(
1
1
=
←→?
zaz
zz
ka
k
ε
az
ka
k
←→
1
1
1
)1(ε
，|z|
>a
，|z| < 1/a
乘a得
az
a
ka
k
←→
1
)1(ε
，|z| < 1/a
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
7.2 z变换的性质八、部分和若f(k) ←→F(z),α<?z?<β，则
)(
1
)( zF
z
z
if
k
i
←→
∑
∞=
,max(α,1)<?z?<β
证明
)(
1
)()()()(*)( zF
z
z
ifikifkkf
k
ii
←→=?=
∑∑
∞=
∞
∞=
εε
例：求序列(a为实数) (k≥0)的z变换。
∑
=
k
i
i
a
0
解
az
z
z
z
iaa
k
i
i
k
i
i
←→=
∑∑
∞==
1
)(
0
ε
，|z|>max(|a|,1)
信号与系统信号与系统
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6-21页页页
■
电子教案电子教案
7.2 z变换的性质九、初值定理和终值定理初值定理适用于右边序列，即适用于k<M(M为整数)
时f(k)=0的序列。它用于由象函数直接求得序列的初值
f(M),f(M+1),…，而不必求得原序列。
初值定理：
如果序列在k<M时，f(k)=0，它与象函数的关系为
f(k)←→F(z),α<�z�<∞
则序列的初值
)(lim)( zFzMf
m
z ∞→
=
对因果序列f(k)，
)(lim)0( zFf
z ∞→
=
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-22页页页
■
电子教案电子教案
7.2 z变换的性质证明：
...)2()1()()(
)()(
)2()1(
+++++==
=
+?+
∞
=
∞
∞=
∑
∑
MMM
Mk
k
k
k
zMfzMfzMfzkf
zkfzF
两边乘z
M
得
z
M
F(z) = f(M) + f(M+1)z
-1
+ f(M+2)z
-2
+…
)(lim)( zFzMf
m
z ∞→
=
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-23页页页
■
电子教案电子教案
7.2 z变换的性质终值定理：
终值定理适用于右边序列，用于由象函数直接求得序列的终值，而不必求得原序列。
如果序列在k<M时，f(k)=0，它与象函数的关系为
f(k) ←→F(z),α<�z�< ∞且0≤α<1
则序列的终值
)()1(lim)(
1
lim)(lim)(
11
zFzzF
z
z
kff
zzk
=
==∞
→→∞→
含单位圆证明见299页。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-24页页页
■
电子教案电子教案设
)()( zFkf?
βα <<=
∑
∞
∞=
||,)()( zzkfzF
k
k
上式两边乘以，为整数，在的收敛域内作围线积分：
1?n
z
n
1
)(
n
zzF
∫
∑
∫
∞
∞=
+
=
c
k
nk
c
n
dzzkfdzzzF
11
)()(
∑
∫
∞
∞=
+?
=
k
c
nk
dzzkf
1
)(
柯西公式：
≠
=
=
∫
1,0
1,2
m
mj
dzz
c
m
π
7.3逆z变换
6.3逆z变换一、逆z变换信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-25页页页
■
电子教案电子教案
≠
=?=?+?
=∴
∫
+?
kn
knnkj
dzz
c
nk
,0
,11,2
1
即π
令，得：
kn =
,)()(2
1
dzzzFkjf
c
k
∫
=π
∞<<∞?=
∫
kdzzzF
j
kf
c
k
,)(
2
1
)(
1
π
上式称为F(Z) 的Z逆变换.
Z逆变换的计算方法：
（1）反演积分法（留数法）；（2）幂级数展开法；
（3）部分分式展开法；（4）用变换性质求逆变换。
zz
7.3逆z变换信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-26页页页
■
电子教案电子教案
7.3逆z变换一般而言，双边序列f(k)可分解为因果序列f
1
(k)和反因果序列f
2
(k)两部分，即
f(k) = f
2
(k)+f
1
(k) = f(k)ε(–k – 1) + f(k) ε(k)
相应地，其z变换也分为两部分
F(z) = F
2
(z) + F
1
(z)，α< |z| <β
∑
∞
=
0
)(
k
k
zkf
其中F
1
(z)= Z[f(k)ε(k)]=，|z| > α
F
2
(z)=Z[f(k)ε(–k –1)]=
∑
∞=
1
)(
k
k
zkf
，|z| < β
f(k)
单边F (Z)
一一对应
f(k)
双边F (Z) + 收敛域信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-27页页页
■
电子教案电子教案
7.3逆z变换当已知象函数F(z)时，根据给定的收敛域不难由
F(z)求得F
1
(z)和F
2
(z)，并分别求得它们所对应的原序列
f
1
(k)和f
2
(k)，将两者相加得原序列f(k)。
二、幂级数展开法根据z变换的定义，因果序列和反因果序列的象函数分别是z
-1
和z的幂级数。其系数就是相应的序列值。
例：已知象函数
2)2)(1(
)(
2
22
=
+
=
zz
z
zz
z
zF
其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。
（1）|z| > 2 (2) |z|< 1 (3) 1< |z| < 2
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-28页页页
■
电子教案电子教案
7.3逆z变换解
（1）由于F(z)的收敛域在半径为2的圆外，故f(k)
为因果序列。用长除法将F(z)展开为z
-1
的幂级数：
z
2
/(z
2
-z-2)=1+ z
-1
+ 3z
-2
+ 5z
-3
+ …
f(k)={1，1，3，5，…}
↑k=0
（2）由于F(z)的收敛域为�z�<1，故f(k)为反因果序列。用长除法将F(z)（按升幂排列）展开为z的幂级数,
z
2
/( –2 – z – z
2
)=
L++?+?
5432
16
5
8
3
4
1
2
1
zzzz
10,
2
1
,
4
1
,
8
3
,
16
5
,0)(?=←
= kkf
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-29页页页
■
电子教案电子教案
7.3逆z变换
(3) F(z)的收敛域为1<?z?<2，其原序列f(k)为双边序列。
将F(z)展开为部分分式，有
2
3
2
1
3
1
)(
+
+
=
z
z
z
z
zF
第一项属于因果序列的项函数F
1
(z)，第二项属于反因果序列的象函数F
2
(z)，
1
3
1
)(
1
+
=
z
z
zF，?z? >1
2
3
2
)(
2
=
z
z
zF，?z?< 2
即将它们分别展开为z
-1
及z的幂级数，有
L+?+?=
321
1
3
1
3
1
3
1
3
1
)( zzzzF
zzzzF
3
1
6
1
12
1
)(
23
2
+= L
= LL,
3
1
,
3
1
,
3
1
,
3
1
,
3
1
,
6
1
,
12
1
,)(kf
↑
难以写成闭合形式。
信号与系统信号与系统
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6-30页页页
■
电子教案电子教案
7.3 逆z变换三、部分分式展开法
01
1
1
01
1
1
.....
.....
)(
)(
)(
azazaz
bzbzbzb
zA
zB
zF
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++
==
式中m≤n
（1）F(z)均为单极点，且不为0
z
zF )(
可展开为：
n
n
zz
K
zz
K
z
K
z
zF
++
+=,...
)(
1
10
∑
=
+=
n
i
i
i
zz
zK
KzF
1
0
)(
根据给定的收敛域，将上式划分为F
1
(z)(?z?>α)和
F
2
(z)(?z?<β)两部分，根据已知的变换对，如
δ(k)←→1
||||,)( az
az
z
ka
k
>
←→ε
||||,)1( az
az
z
ka
k
<
←→ ε
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
7.3 逆z变换例1：已知象函数
)2)(1(
)(
2
+
=
zz
z
zF
其收敛域分别为：（1）?z?>2 (2)?z?<1 (3) 1<?z?<2
解部分分式展开为
2
3
2
1
3
1
)2)(1(
)(
+
+
=
+
=
zzzz
z
z
zF
23
2
13
1
)(
+
+
=
z
z
z
z
zF
(1)当?z?>2，故f(k)为因果序列
)(])2(
3
2
)1(
3
1
[)( kkf
kk
ε+?=
(2) 当?z?<1，故f(k)为反因果序列
)1(])2(
3
2
)1(
3
1
[)(= kkf
kk
ε
(3)当1<?z?<2，
)1()2(
3
2
)()1(
3
1
)(= kkkf
kk
εε
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-32页页页
■
电子教案电子教案
7.3 逆z变换例2：已知象函数
)3)(2)(1)(
2
1
(
)
1
2
9
4(
)(
23
++?
=
zzzz
z
zzzz
zF
,1<?z?<2
的逆z变换。
解
321
2
2
1
)(
+
+
+
=
z
z
z
z
z
z
z
z
zF
由收敛域可知，上式前两项的收敛域满足?z?>1，后两项满足?z?<2。
)1()3()1()2()(2)()
2
1
()(++= kkkkkf
kkk
εεεε
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-33页页页
■
电子教案电子教案
7.3 逆z变换
(2) F(z)有共轭单极点如z
1,2
=c±jd=αe
±jβ
,则
jdcz
K
jdcz
K
z
zF
+?
+
=
*
11
)(
令K
1
=�K
1
�e
jθ
β
θ
β
θ
αα
j
j
j
j
ez
zeK
ez
zeK
zF
+
=
11
)(
若�z�> α,f(k)=2�K
1
�α
k
cos(βk+θ)ε(k)
若�z�< α,f(k)= –2�K
1
�α
k
cos(βk+θ)ε(– k – 1)
(3) F(z)有重极点
F(z)展开式中含项(r>1)，则逆变换为
r
az
z
)(?
若�z�>α,对应原序列为
)(
)!1(
)2).....(1(
1
ka
r
rkkk
rk
ε
+?
+
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-34页页页
■
电子教案电子教案
7.3 逆z变换以�z�>α为例：
当r=2时，为ka
k-1
ε(k)
当r=3时，为
)()1(
2
1
2
kakk
k
ε
可这样推导记忆：Z[a
k
ε(k)]=
az
z
两边对a求导得Z[ka
k-1
ε(k)]=
2
)( az
z
再对a求导得Z[k(k-1)a
k-2
ε(k)]=
3
)(
2
az
z
故Z[0.5k(k-1)a
k-2
ε(k)]=
3
)( az
z
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
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■
电子教案电子教案
7.3 逆z变换例：已知象函数
3
23
)1(
)(
+
=
z
zz
zF
，�z�>1
的原函数。
解
1)1()1()1(
)(
13
2
12
3
11
3
2
+
+
=
+
=
z
K
z
K
z
K
z
zz
z
zF
2
)(
)1(
1
3
11
=?=
=z
z
zF
zK
3
)(
)1(
d
d
1
3
12
=
=
=z
z
zF
z
z
K
1
)(
)1(
d
d
2
1
1
3
2
2
13
=
=
=z
z
zF
z
z
K
1)1(
3
)1(
2
)(
23
+
+
=
z
z
z
z
z
z
zF
f(k)=[k(k-1)+3k+1]ε(k)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-36页页页
■
电子教案电子教案例1：求逆变换
3||,
)3)(2(
1
)( >
= z
zz
zF
)(kf
解：方法1：
3
3
1
2
2
1
6
1
)3)(2(
1)(
+
+=
=
zzzzzzz
zF
33
1
22
1
6
1
)(
+
=
z
z
z
z
zF
)()3
3
1
2
2
1
()(
6
1
)( kkkf
kk
εδ ×?×?=
)()32()(
6
1
11
kk
kk
εδ
+?
=
7.3 逆z变换四、用性质求Z逆变换信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-37页页页
■
电子教案电子教案方法2：
3
1
2
1
)3)(2(
1
)(
+
=
=
zzzz
zF
)
32
(
1
+
=
z
z
z
z
z
)1(3)1(2)(
11
+=
kkkf
kk
εε
)1()23(
11
=
k
kk
ε
7.3 逆z变换信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-38页页页
■
电子教案电子教案例2、因果周期信号如图，求的单边变换
)(kf
)(kf
z
)(zF
解：设第一周期内信号为，则可表示为
)(kf
T
)(kf
L+?+?+= )2()()()( NkfNkfkfkf
TTT
∑
∞
=
=
0
)(
m
T
mNkf
设
)()(),()( zFkfzFkf
TT
L+++=
)()()()(
2
zFzzFzzFzF
T
N
T
N
T
)1)((
2
L+++=
NN
T
zzzF
1||
1
)(
>
=
z
z
zF
N
T
k
)(kf
)(kf
T
012 N 2N
7.3 逆z变换信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-39页页页
■
电子教案电子教案
§7.4离散系统的Z域分析一、离散信号的Z域分解：
设为因果信号，由单边逆变换，得
)(kf z
∫
=
c
k
dzzzF
j
kf
1
)(
2
1
)(
π
0,
)(
2
1
≥=
∫
kdzz
z
zF
j
c
k
π
C
z
zF )(
为收敛域中一条围线路径。
)(zF的逆变换的物理意义是：分解为围线)(kf
C
上不同的指数信号的线性组合，其中，
z
k
z
dz
z
zF
j
)(
2
1
π
为的复幅度。
k
z
7.4 离散系统的z域分析信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-40页页页
■
电子教案电子教案二、激励下系统的零状态响应：
k
z
设LTI离散系统的输入，零状态响应为
k
zkf =)(
,单位响应为为因果序列。
)(ky
f
)(),( khkh
∑
∞
∞=
=?=
i
ik
f
zihkhkfky )()()()(
)()(
0
zHzzihz
k
i
ik
==
∑
∞
=
α>=
∑
∞
=
||,)()(
0
zzkhzH
k
k
)(zH
称离散系统的系统函数。
)(kf
)(ky
f
0
0
=k
7.4 离散系统的z域分析信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-41页页页
■
电子教案电子教案三、任意离散信号f(k)激励下的零状态响应：
k
z
产生的零状态响应表示为
kk
zzHz )(→
则
kk
zzHdz
z
zF
j
zdz
z
zF
j
)()
)(
2
1
()
)(
2
1
(
ππ
→
∫∫
→=
c
kk
c
zzHdz
z
zF
j
zdz
z
zF
j
kf )()
)(
2
1
()
)(
2
1
()(
ππ
即
∫∫
→=
c
k
c
k
dzzzHzF
j
dzzzF
j
kf
11
)()(
2
1
)(
2
1
)(
ππ
设产生的零状态响应为，则
)(kf
)(ky
f
0,)()(
2
1
)(
1
≥=
∫
kdzzzHzF
j
ky
c
k
f
π
0,)(
2
1
1
≥=
∫
kdzzzY
j
c
k
f
π
).()()( ZFzHzY
f
=
，
7.4 离散系统的z域分析信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-42页页页
■
电子教案电子教案
=
==
)]([)(
)]([)()()(
1
zYZky
kyZzHzFzY
ff
ff
)()()( khkfky
f
=
求的方法：
)(ky
f
（1）求
)];([)( kfZzF =
（2）求
)];([)( khZzH =
（3）求);()()( zHzFzY
f
=
（4）求
)]()([)]([)(
11
zHzFZzYZky
ff
==
7.4 离散系统的z域分析信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-43页页页
■
电子教案电子教案例,已知离散系统的输入
).()(),(2)( kkhkkf
k
εε ==
求零状态响应
).(ky
f
解：
,2||,
2
)]([)( >
== z
z
z
kfZzF
,1||,
1
)]([)( >
== z
z
z
khZzH
2||,
)2)(1(
)()()(
2
>
== z
zz
z
zHzFzY
f
2
2
1?
+
=
z
z
z
z
)(22)()( kkky
k
f
εε ×+?=
)()12(
1
k
k
ε?=
+
7.4 离散系统的z域分析信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-44页页页
■
电子教案电子教案
§7.5 系统差分方程的Z域解一、差分方程的Z域解：（LTI因果离散系统）
例已知离散系统的方程为：
)2()2(2)1(3)(?=?+?+ kfkykyky
)()(,0)2(,1)1( kkfyy ε==?=?
求：
).(),(),( kykyky
fx
1、求完全响应：
)(ky
由单边变换的右移性质：
z
,)()()(
1
0
∑
=
+
m
k
km
zmkfzFzmkf
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-45页页页
■
电子教案电子教案根据右移性质，对系统差分方程取单边变换，得
z
])2()([2])1()([3)(
1
0
2
0
0
1
∑∑
=
=
++?++
k
k
k
k
zkyzYzzkyzYzzY
)(
2
zFz
=
由上式得：
)()2(2)1()23()231)((
2121
zFzyyzzzzY
+=++
)(
231231
)2(2)1()23(
)(
21
2
21
1
zF
zz
z
zz
yyz
zY
++
+
++
=
1
)(,
)2)(1)(1(
33
23
=
+?+
++?
=
z
z
zF
zzz
zzz
2||,
)2(3
11
)1(2
1
)1(6
1
>
+
+
+
= z
z
z
z
z
z
z
0,)2(
3
11
)1(
2
1
1
6
1
)( ≥×+×= kky
kkk
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-46页页页
■
电子教案电子教案
2、求零输入响应
0)2()2(,1)1()1(:)( =?=?=?=? yyyyky
xxx
的方程：
)(ky
x
0)2(2)1(3)( =?+?+ kykyky
xxx
根据右移性质，对的方程取单边变换，得：
)(ky
x
z
0])2()([2])1()([3)(
1
0
2
0
0
1
=?++?++
∑∑
=
=
k
k
xx
k
k
xxx
zkyzYzzkyzYzzY
由上式得：
2||,
)2)(1(
23
231
)2(2)1()23(
)(
2
21
1
>
++
=
++
=
z
zz
zz
zz
yyz
zY
xx
x
2
4
1 +
+
=
z
z
z
z
0,)2()1()(
2
≥=
+
kky
kk
x
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-47页页页
■
电子教案电子教案
3、求
0)2()1(),()(:)( =?=?=
fff
yykkfky ε
)(ky
f
的方程：
)2()2(2)1(3)(?=?+?+ kfkykyky
fff
由右移性质，对的方程取单边变换，得
)(ky
f
z
)()(2)(3)(
221
zFzzYzzyzzY
fff
=++
1
)(),(
)231(
)(
21
2
=
++
=
z
z
zFzF
zz
z
zY
f
2||,
)2)(1)(1(
>
+?+
= z
zzz
z
,
)2(3
1
)1(2
1
)1(6
1
+
+
+
=
z
z
z
z
z
z
)(])2(
3
1
)1(
2
1
1
6
1
[)( kky
kkk
f
ε?+×=
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-48页页页
■
电子教案电子教案说明：前向差分方程的解法：
（1）用左移性质：
,)()()(
1
0
∑
=
+
m
k
kmm
zkfzFzmkf
初始条件：对、、
L)1()0(:)( yyky
对、、
L)1()0(:)(
xxx
yyky
（2）转变为由后向差分方程，用右移性质求解，
初始条件：对、、
L)2()1(:)( yyky
对、、
L)2()1(:)(
xxx
yyky
若初始条件不适用，则用递推法由相应的差分方程递推得到需要的初始条件。
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-49页页页
■
电子教案电子教案二、系统函数H(z):
1、定义：
)(
)(
)(
zF
zY
zH
f
=
)]([)()],([)( kfZzFkyZzY
ff
==
2、物理意义：
)]([)( khZzH =
3、计算：
)(
)(
)(
zF
zY
zH
f
=
（1）
（2）
)]([)( khZzH =
（3）由系统差分方程求
)(zH
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-50页页页
■
电子教案电子教案例：
)2()1()2()1()(
0101
+?=?+?+ kfbkfbkyakyaky
fff
)()()()()(
2
0
1
1
2
0
1
1
zFzbzFzbzYzazYzazY
fff
+=++
)()()()1(
2
0
1
1
2
0
1
1
zFzbzbzYzaza
f
+=++
2
0
1
1
2
0
1
1
1)(
)(
)(
++
+
==
zaza
zbzb
zF
zY
zH
f
01
2
01
azaz
bzb
++
+
=
4、应用：
（4）表示系统特性：频率特性、稳定性等
（1）求
);()()()],([)(
1
zFzHzYzYZky
fff
==
（2）求
)];([)(
1
zHZkh
=
（3）求;
)(
)(
)()],([)(
1
zH
zY
zFzFZkf
f
==
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-51页页页
■
电子教案电子教案三、离散系统的频率响应：
1、LTI离散系统对正弦序列的响应：
设系统输入
∞<<∞= kTkAkf,cos)(
初始时刻
∞=
0
k
响应为
)(ky
)(kf
表示为：
)(
2
)(
TkjTkj
ee
A
kf
+=
（1）系统对的响应：
Tkj
e
设输入，响应为
Tkj
ekf
=)()(
1
ky
则∑
∞
∞=
=?=
m
mkTjTkj
emhekhky
)(
1
)()()(
为因果信号）)((,)(
0
khemhe
m
TmjTkj
∑
∞
=
=
∑
∞
=
=
0
))((
m
mTjTkj
emhe
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-52页页页
■
电子教案电子教案设的收敛域含单位圆，令为
)]([)( khZzH =
z
Tjj
erez
==
θ
则Tj
ez
m
mTkj
zmheky
=
∞
=
∑
= ])([)(
0
1
)(|)(
TjTkj
ez
Tkj
eHezHe
Tj
=
==
（2）系统对的响应：
Tkj
e
Tkj
ekf
=)(
设输入的响应为,
)(
2
ky
)(|)()()(
**
2
TjTkj
ez
TkjTkj
eHezHeekhky
Tj
=
==?=
其中，的收敛域含单位圆。
)(zH
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-53页页页
■
电子教案电子教案
（3）系统对正弦序列的响应系统输入
)(
2
)cos()(
TkjTkj
ee
A
TkAkf
+=?=
响应为，由系统的线性性质，得
)(ky
)]()([
2
)(
21
kyky
A
ky +=
)]()([
2
TjTkjTjTkj
eHeeHe
A
+=
设
)(
|)(|)(
TjTjTj
eeHeH
=
φ
)(
|)(|)(
TjTjTj
eeHeH
=?
φ
则
][|)(|
2
)(
))(())(( TTkjTTkjTj
eeeH
A
ky
++
+=
φφ
∞<<∞+?=
kTTkeHA
Tj
)),(cos(|)(| φ
一般情况：
)cos()( θ+?= TkAkf
))(
cos(|)(|)(
T
TkeHAky
Tj
++
=
φθ
称LTI离散系统的正弦稳态响应。
)(ky
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-54页页页
■
电子教案电子教案
2、LTI离散系统的频率响应：
若LTI因果离散系统的系统函数H(z)的收敛域包含单位圆，，则称为LTI因果离散系统的频率
)1,|(| <> ααz )(
Tj
eH
响应。其中
Tj
ez
Tj
zHeH
=
= |)()(
)(
|)(|)(
TjTjTj
eeHeH
=
φ
|)(|
Tj
eH
称为系统的幅频响应
)( T?φ
称为系统的相频响应说明：（1）是的周期函数，周期为；
)(
Tj
eH
T?
（2）是的连续函数；
)(
Tj
eH
T?
（3）表示系统对不同频率的正弦序列的稳态
)(
Tj
eH
T?
响应特性。
π2
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-55页页页
■
电子教案电子教案例1、已知离散系统如图所示，求
10 << a
)(
Tj
eH
解：系统差分方程为：
),()1()( kfkayky =
为因果信号
)(kf
系统函数：
)(zH
)()1()( kfkayky
ff
=
)()()(
1
zFzYazzY
ff
=?
az
az
z
azzF
zY
zH
f
>
=
==
||,
1
1
)(
)(
)(
1
因为，所以的收敛域含单位圆，
系统的频率响应为：
10 << a )(zH
)(kf
+
)(ky
a
D
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-56页页页
■
电子教案电子教案
ae
e
zHeH
Tj
Tj
ez
Tj
Tj
==
=
|)()(
|sincos|
1
||
1
|)(|
aTjTae
eH
Tj
Tj
+?
=
=
TaT
22
sin)(cos
1
+?
=
Taa+
=
cos2)1(
1
2
幅频响应曲线：（称数字角频率）
T?
a
eHT
Tj
==?
1
1
|)(|,0
a
eHT
Tj
+
==?
1
1
|)(|,π
a
eHT
Tj
==?
1
1
|)(|,2π
T?
5.0|,)(| =
aeH
Tj
0
π
π2 π3 π4
2
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-57页页页
■
电子教案电子教案系统函数为
∞<<∞?+++= kkkkf ),
42
cos(9)
4
cos(99)(
πππ
例2、已知离散系统的输入为
)(kf
求稳态响应
,
2
1
||,
12
1
)( >
+
= z
z
zH )(ky
解：因为，所以收敛域包含单位圆
2
1
|| >z )(zH
,
12
1
)(
+
=
Tj
Tj
e
eH
（1）设
0),cos(99)(
1
=== TTkkf
3
1
)( =
Tj
eH
设系统对的响应为，则
)(
1
kf )(
1
ky
0,3
3
1
9)](cos[|)(|9)(
1
=?=×=?+?=
TTTkeHky
Tj
φ
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-58页页页
■
电子教案电子教案
（2）设,
4
),
4
cos(9)(
2
ππ
=?= Tkkf
o
3.3036.0
12
1
)(
4
∠=
+
=
π
j
Tj
e
eH
设系统对的响应为，则
)(
2
kf
)(
2
ky
4
)],(cos[|)(|9)(
2
π
φ =+?=
TTTkeHky
Tj
)3.30
4
cos(36.09
o
×= k
π
)3.30
4
cos(24.3?= k
π
（3）设
2
),
42
cos(9)(
3
πππ
=?+= Tkkf
o
4.6345.0
21
1
12
1
)(
2
∠=
+
=
+
=
j
e
eH
j
Tj
π
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-59页页页
■
电子教案电子教案设系统对的响应为，则
)(
3
kf )(
3
ky
,
2
),(
4
cos[|)(|9)(
3
π
φ
π
=++?=
TTTkeHky
Tj
)4.63
42
cos[45.09
o
+×=
ππ
k
)4.18
2
cos(05.4
o
= k
π
（4）系统对的响应：
)(kf )(ky
)()()()(
321
kykykyky ++=
)4.18
2
cos(05.4)3.30
4
cos(24.33
oo
+?+= kk
ππ
∞<<∞? k
7.5 系统差分方程的Z域解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-60页页页
■
电子教案电子教案
§7.6 离散系统的表示和模拟一、方框图法：
1、简单方框图表示：
2、系统的串、并联：（LTI因果系统）
串联：
nizHkh
ii
L,2,1),()( =?
设串联复合系统的冲激响应为，
)(kh )()( zHkh?
则
)()()()(
21
khkhkhkh
n
= L
)()()()(
21
zHzHzHzH
n
= L
)(kf )(ky
)(kf L
)(
1
kh )(
2
kh
)(kh
n
)(ky
)(zF L)(
1
zH )(
2
zH
)(zH
n
)(zY
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-61页页页
■
电子教案电子教案并联：
设并联复合系统的冲激响应为，
)()( zHkh?)(kh
则)()()()(
21
khkhkhkh
n
+++= L
)()()()(
21
zHzHzHzH
n
+++= L
+
)(zF
)(
1
zH
)(
2
zH
)(zH
n
)(zY
M
+
)(kf
)(
1
kh
)(
2
kh
)(kh
n
)(ky
M
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-62页页页
■
电子教案电子教案
3、用基本运算器表示系统：
基本运算器：
D
1?
z
)(
1
zFz
)(zF
)1(?kf
)(kf
a a
)(kf
)(kaf
)(zF
)(zaF
+
)(
1
kf
)(
2
kf
)()(
21
kfkf +
+
)(
1
zF
)(
2
zF
)()(
21
zFzF +
0)1( =?f
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-63页页页
■
电子教案电子教案例1图示离散系统，求系统差分方程。
)()()()()()(
2
0
1
12
2
0
1
1
zFzbzFzbzFbzYzazYzazY
+++=
)2()1()()2()1()(
01201
+?+=?+?+ kfbkfbkfbkyakyaky
)(zF
1?
z
1?
z
1?
z
1?
z
0
b
1
b
2
b
+
)(zY
0
a?
1
a?
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-64页页页
■
电子教案电子教案例2图示离散系统，求系统差分方程
)()()()(
2
0
1
1
zFzXzazXzazX +=
,
1
)(
)(
2
0
1
1
++
=
zaza
zF
zX
-----------------------（1）
)()()()(
2
0
1
12
zXzbzXzbzXbzY
++= -------（2）
（1）式代入（2）式得：
b0
+ +
)(zF
1?
z
1?
z
)(zY
0
a?
1
a?
2
b
1
b
)(zX
)(
1
zXz
)(
2
zXz
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-65页页页
■
电子教案电子教案
)(
1
)(
2
0
1
1
2
0
1
12
zF
zaza
zbzbb
zY
++
++
=
)()()()1(
2
0
1
12
2
0
1
1
zFzbzbbzYzaza
++=++
)2()1()()2()1()(
01201
+?+=?+?+ kfbkfbkfbkyakyaky
二、离散系统的信号流图表示：
1、框图表示与信号流图对应关系：
)(zF
)(zH
)(zY )(zF
)(zH
)()()( zHzFzY =
)(zF
)(zF
a
)(zaF
a
)()( zaFzY =
)(zF
1?
z )(
1
zFz
)(zF
1?
z
)()(
1
zFzzY
=
)(
1
zF
)(
2
zF
+
)()(
21
zFzF +
)(
1
zF
)(
2
zF
)()()(
21
zFzFzY +=
1
1
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-66页页页
■
电子教案电子教案
2、信号流图规则：同于连续系统信号流图规则
)()(
)()()()()(
33
22114
zXzH
zXzHzXzHzX
+
+=
)()()(
445
zXzHzX =
)()()(
456
zXzHzX =
3、从框图表示到信号流图表示：
方法：（1）选加法器输出、
单位延迟器输出，、
为变量用点表示；
)(zF
)(zY
（2）根据信号流图规定和框图中信号传输关系画出信号流图。
)(
4
zx )(
4
zH
)(
1
zx
)(
2
zx
)(
3
zH
)(
3
zx
)(
1
zH
)(
5
zx
)(
6
zx
)(
2
zH
)(
5
zH
b0+ +
)(zF
1?
z
1?
z
)(zY
0
a?
1
a?
2
b
1
b
)(zF
1
1?
z
1?
z
2
b
1
b
0
b
1
a?
0
a?
)(zY
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-67页页页
■
电子教案电子教案
4、梅森公式：
设LTI离散系统的输入为，零状态响应为
)(kf )(ky
f
)()(),()( zYkyzFkf
ff
（单边Z变换对）
==
∑
=
m
i
ii
f
P
zF
zY
zH
1
)(
)(
)(
：流图行列式
L+?+?=?
∑∑∑ qpl
ji
jii
LLLLLL
,
1
i
：除去第条开路后剩余流图的流图行列式；i
i
P
：第条开路的开路传输函数；
i
m
：从到的开路数
)(zF
)(zY
f
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-68页页页
■
电子教案电子教案例、图示离散系统，求系统函数
)(zH
解：（1）流图的环传输函数及：
i
L?
2
3
1
2
1
1
3,2,
=?=?= zLzLzL
两个不接触环的环传输函数：
3
3113
2
2112
3,2
==== zLLLzLLL
L?+?=?
∑∑
ji
ji
i
i
LLL
,
1
)32()32(1
32211
++= zzzzz
321
3531
+++= zzz
)(zF
1
1
1
1
-2
-3
)(zY
1?
z
1?
z
1?
z
2
-1
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-69页页页
■
电子教案电子教案
（2）流图的开路传输函数及：
i
P
i
21
321
1
1
321)(1,2
++=+?== zzLLzP?
1
12
2
2
11,
+=?=?= zLzP
（3）由梅森公式求
)(zH
321
12211
2
1
3531
)1()321(2
)(
=
+++
++++
=
=
∑
zzz
zzzzz
P
zH
i
ii
353
752
23
2
+++
++
=
zzz
zz
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-70页页页
■
电子教案电子教案三、离散系统的模拟：
1、由H(z) 差分方程框图流图例1已知系统函数，画出系统框图
01
2
0
)(
azaz
b
zH
++
=
解：设
)()(),()( zYzyzFkf
ff
2
0
1
1
0
01
2
2
0
1)(
)(
)(
++
=
++
==
zaza
b
azaz
zb
zF
zY
zH
f
)()()1(
0
2
0
1
1
zFbzYzaza
f
=++
)()2()1()(
001
kfbkyakyaky
fff
=?+?+
)()2()1()(
001
kfbkyakyaky =?+?+
)()2()1()(
001
kfbkyakyaky +=
由上式得框图：
)(kf
+
D D
)(ky
0
b
1
a?
0
a?
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-71页页页
■
电子教案电子教案例2、已知系统函数，求系统框图
01
2
01
)(
azaz
bzb
zH
++
+
=
解：
2
0
1
1
2
0
1
1
1
)(
++
+
=
zaza
zbzb
zH
设
)()(),()( zYkyzFkf
ff
)()()( zFzHzY
f
=
)()()()1(
2
0
1
1
2
0
1
1
zFzbzbzYzaza
f
+=++
)2()1()2()1()(
0101
+?=?+?+ kfbkfbkyakyaky
fff
)2()1()2()1()(
0101
+?=?+?+ kfbkfbkyakyaky
引入辅助函数，令
)(kX
)()2()1()(
01
kfkXakXakX =?+?+
-----------（2）
---（1）
（2）式代入（1）式，比较等式两边得
)2()1()(
01
+?= kXbkXbky
-----------------（3）
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-72页页页
■
电子教案电子教案先模拟（2）式对应的框图，然后在（2）式框图基础上画出（3）式的框图
)(kf
+
D D
)(kx
1
a?
0
a?
)1(?kx )2(?kx
(2)式框图
)(kf
+
D D
)1(?kx
)2(?kx
)(kx
0
b + )(ky
1
b
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-73页页页
■
电子教案电子教案
2、由H(z) 信号流图系统框图
（1）直接形式：
例1、
)223(1
32
223
32
)(
321
32
23
+
=
+++
+
=
zzz
zz
zzz
z
zH
根据梅森公式，系统信号流图有3个相互接触的环和两条开路组成，环传输函数分别为、
1
1
3
= zL
2
2
2
= zL、；开路传输函数为、
3
3
2
= zL
2
1
2
= zP
3
2
3
= zP
、信号流图如图所示
1,1
21
=?=?
(a)直接形式1
)(zF
)(zY
1?
z
1?
z
1?
z
2
1
3
-3
-2
-2
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-74页页页
■
电子教案电子教案
(b)直接形式2
（2）串联形式：
例2、)()(
)3(
)1(
265
)(
21
2
2
zHzH
z
z
z
z
zz
zz
zH?=
+
+
+
=
++
+
=
,
2
)(
1
+
=
z
z
zH
3
1
)(
2
+
+
=
z
z
zH
分别对、用直接形式信号流图模拟，然后联接成串联形式
)(
1
zH )(
2
zH
)(zF
)(zY
1?
z
1?
z
1?
z
2
1
3
-3
-2
-2
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-75页页页
■
电子教案电子教案
（3）并联形式：
例3、
43
1
127
44
)(
2
2
+
+
+
=
++
++
=
z
z
zzz
zz
zH
)()(
21
zHzH +=
,
3
1
)(
1
+
=
z
zH
4
)(
2
+
=
z
z
zH
分别和用直接形式信号流图模拟，然后联接成并联形式
)(
1
zH )(
2
zH
7.6 离散系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-76页页页
■
电子教案电子教案
§7.7系统函数与系统特性一、H(z)的零、极点：
0
1
1
0
1
1
)(
)(
)(
azaz
bzbzb
zA
zB
zH
n
n
n
m
m
m
m
+++
+++
==
L
L
)())((
)())((
21
21
n
mm
PzPzPz
zzzzzzb
=
L
L
nm
Pz
zzb
i
n
i
j
m
j
m
≤
Π
Π
=
=
=
,
)(
)(
1
1
j
z
H(z)的零点，H(z)的极点
i
P
j
b
、
i
a
为实数，H(z)通常为有理分式。
若零点或极点为复数，则零点或极点必共轭。
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-77页页页
■
电子教案电子教案二、H(z)的零、极点与h(k)的关系：
1、单位圆内的极点：
在实轴上：一阶极点：
1||),( <→
akAa
az
Az
k
ε
二阶极点：
)(
)(
2
kAka
az
Az
k
ε→
不在实轴上：一阶极点：
1
11
<
+
r
rez
zA
rez
zA
jj ββ
)()cos(||2
1
kkrA
k
εθβ +→
二阶极点：
2
1
2
1
)()(
ββ jj
rez
zA
rez
zA
+
)(])1(cos[||2
1
1
kkrA
k
εθβ +?→
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-78页页页
■
电子教案电子教案
2、单位圆上的极点：
在实轴上：
)()1(
1
kA
z
Az
k
ε±?
±
)()1(
)1(
2
kAk
z
Az
k
ε±?
±
不在实轴上：
ββ jj
rez
zA
rez
Az
+
)()cos(||2 kkA εθβ +?
22
)()(
ββ jj
rez
zA
rez
Az
+
)(])1(cos[||2 kkkA εθβ +
3、单位圆外的极点：
在实轴上：
)(
)(
1
2
kAka
az
Az
k
ε
不在实轴上：
ββ jj
rez
zA
rez
Az
+
1),()cos(||2 >+? rkkrA
k
εθβ
1||),( >?
akAa
az
Az
k
ε
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-79页页页
■
电子教案电子教案结论：（1）H(z)的极点在单位圆内，对应h(k)按指数规律衰减；
（2）H(z)的极点在单位圆上一阶极点对应h(k)为阶跃序列或正弦序列；
二阶及二阶以上极点对应h(k)增长。
（3）H(z)的极点在单位圆外，对应h(k)按指数规律增长。
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-80页页页
■
电子教案电子教案三、H(z)与系统频率响应：
设H(z)的收敛域包含单位圆，对因果系统，
H(z)的极点全部在单位圆内，则系统的频率响应为：
Tj
ez
Tj
zHeH
=
= |)()(
)(
)(
)(
1
1
i
n
i
i
m
i
m
Pz
zzb
zH
Π
Π
=
=
=
设
)(
)(
)(
1
1
i
Tj
n
i
i
Tj
m
i
m
Tj
Pe
zeb
eH
Π
Π
=
=
=
则令
ii
j
ii
Tjj
ii
Tj
eAPeeBze
θψ
=?=?
,
则
)(
1
1
|)(|)(
TjTj
j
i
n
i
j
i
m
i
m
Tj
eeH
eA
eBb
eH
i
i
=
=
=
Π
Π
=
φ
θ
ψ
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-81页页页
■
电子教案电子教案
n
mm
Tj
AAA
BBBb
eH
L
L
21
21
|)(| =
)()()(
2121 nm
T θθθψψψφ +++?+++=? LL
例：画出系统幅频响应曲线
,
2
1
||,
12
1
)( >
+
= z
z
z
zH
解：因为H(z)的收敛域为,故系统频率响应为：
2
1
|| >z
,
)
2
1
(2
1
)(
+
=
Tj
Tj
Tj
e
e
eH
令
θψ jTjjTjTj
AeeBeee =?==+
2
1
,)1(1
把和画在Z复平面上，如图所示：
ψj
Be
θj
Ae
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-82页页页
■
电子教案电子教案
0,0,2,
2
1
:0 =====? θψBAT
0)(,2
2
|)(| =?=?==
θψφ T
A
B
eH
Tj
↑↑↓↑↑? θψ,,,,BAT
πθ
π
ψπ =====,
2
,0,
2
3
,BAT?
2
)(,0|)(|
π
φ?=?=
TeH
Tj
↑↑↑↓↑? θψ,,,,BAT
πθπψπ 2,2,2,
2
1
:2 =====? BAT
0)(,2|)(| =?=
TeH
Tj
φ
][zR
e
][zJ
m
-1
2
1
ψ
θ
A
1B
Tj
e
0
2
|)(|
Tj
eH
π
π20
T?
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-83页页页
■
电子教案电子教案四、H(z)与离散系统稳定性：
1、离散稳定系统的定义：（LTI离散系统）
一个离散系统，对任意有界输入f(k)，系统的零状态响应也有界，则称系统为有界输入有界输出意义下的稳定系统。
)(ky
f
表示：若
∞<<<
ff
MMkf 0,|)(|
∞<<<
yyf
MMky 0,|)(|
且则系统为稳定系统。
2、离散系统稳定的充要条件：
设系统的单位响应为h(k)
充要条件：
∑
∞
∞=
∞<
k
kh |)(|
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-84页页页
■
电子教案电子教案证明：（1）充分性：设
f
Mkf <|)(|
∑
∞
∞=
=?=
m
f
mkfmhkfkhky )()()()()(
∑∑
∞
∞=
∞
∞=
≤?=
mm
f
mkfmhmkfmhky |)(||)(||)()(||)(|
|)(||)(|
∑
∞
∞=
≤
m
ff
mhMky
即：
∞<
∑
∞
∞=
|)(|
m
mh
若
∞<|)(| ky
f
则
（2）必要性：
必要性是指：若，则至少有一个
∑
∞
∞=
∞=
k
kh |)(|
有界输入产生无界输出
)(kf
)(ky
f
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-85页页页
■
电子教案电子教案设为一整数
rkrhkf )],(sgn[)(?=
则
∑
∞
∞=
=?=
m
f
mkfmhkhkfky )()()()()(
∑
∞
∞=
+?=
m
mkrhmh )](sgn[)(
令，得：
rk =
∑
∞
∞=
=
m
f
mhmhry )](sgn[)()(
<?
=
>
=
0)(,1
0)(,0
0)(,1
)](sgn[
mh
mh
mh
mhQ
|)(|)](sgn[)( mhmhmh =∴
∑
∞
∞=
=
m
f
mhry |)(|)(
若
∞=
∑
∞
∞=m
mh |)(|
则
∞=)(ry
f
即无界。
)(ky
f
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-86页页页
■
电子教案电子教案
3、离散系统稳定性判别：
（1）离散系统稳定性的Z域充要条件：
若LTI因果离散系统的系统函数H(z)的极点全部在单位圆内，则系统为稳定系统
（2)朱里准则：
朱里排列：设，z的正幂分式
)(
)(
)(
zA
zB
zH =
0
1
1
)( azazazA
n
n
n
n
+++=
L
对系数排列如下：
i
a
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-87页页页
■
电子教案电子教案行：
32
6
5
4
3
2
1
n
M
2
0
2
0
1
0
r
d
d
C
C
a
a
n
n
n
1
1
3
1
2
1
1
r
d
d
C
C
a
a
n
n
n
L
0
2
4
2
3
2
2
r
d
d
C
C
a
a
n
n
n
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
2
0
2
1
n
n
d
d
C
C
1
0
1
1
n
n
C
C
a
a
n
a
a
0
L,,,
20
2
3
10
1
2
0
0
1
===
n
n
n
n
n
n
n
n
n
aa
aa
C
aa
aa
C
aa
aa
C
L,,,
30
21
4
20
11
3
10
01
2
===
n
n
n
n
n
n
n
n
n
CC
CC
d
CC
CC
d
CC
CC
d
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-88页页页
■
电子教案电子教案朱里准则：
若
,0|)()1(
1
>=
=z
zAA
,0)1()1( > A
n
|,|
0
aa
n
>
|,|
01
CC
n
>
|,|
02
dd
n
>
LL
.||
02
rr >
则H(z)的极点全部在单位圆内，系统稳定。
例、判断系统是否稳定。
,
13412
1612
)(
23
2
+
++
=
zzz
zz
zH
7.7系统函数和系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-89页页页
■
电子教案电子教案
6.4 z域分析单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中，可求得零输入、零状态响应和全响应。
一、差分方程的变换解
∑∑
=
=
=?
m
j
jm
n
i
in
jkfbikya
00
)()(
设f(k)在k=0时接入，系统初始状态为y(-1),y(-2),…y(-n)。
取单边z变换得
∑∑∑
=
=
=
=?+
m
j
j
jm
i
n
i
i
k
i
in
zFzbzikyzYza
00
1
0
)]([])()([
∑∑∑∑
=
==
=
=?+
m
j
j
jm
n
i
n
i
i
k
k
in
i
in
zFzbzikyazYza
000
1
0
)()(])([)(][
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-90页页页
■
电子教案电子教案
7.4 z域分析
6.4 z域分析单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中，可求得零输入、零状态响应和全响应。
一、差分方程的变换解
∑∑
=
=
=?
m
j
jm
n
i
in
jkfbikya
00
)()(
设f(k)在k=0时接入，系统初始状态为y(-1),y(-2),…y(-n)。
取单边z变换得
∑∑∑
=
=
=
=?+
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j
j
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j
j
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n
i
n
i
i
k
k
in
i
in
zFzbzikyazYza
000
1
0
)()(])([)(][
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-91页页页
■
电子教案电子教案
7.4 z域分析
)()()(
)(
)(
)(
)(
)( zYzYzF
zA
zB
zA
zM
zY
fx
+=+=
)(
)(
)(
)(
)(
zA
zB
zF
zY
zH
f
==
令称为系统函数
h(k)←→H(z)
例1：若某系统的差分方程为
y(k) – y(k – 1) – 2y(k – 2)= f(k)+2f(k – 2)
已知y( –1)=2，y(– 2)= – 1/2，f(k)= ε(k)。求系统的y
x
(t)、
y
f
(t)、y(t)。
解方程取z变换信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-92页页页
■
电子教案电子教案
7.4 z域分析
Y(z)-[z
-1
Y(z)+y(-1)]-2[z
-2
Y(z)+y(-2)+y(-1)z
-1
]=F(z)+2z
-2
F(z)
12
2
2
4
)(
21
21
21
)2(2)1()21(
)(
2
2
2
2
21
2
21
1
+
+
+
=
+
+
+?+
=
z
z
zz
z
zz
zz
zF
zz
z
zz
yyz
zY
)(])1()2(2[)(
12
2
)1)(2(
4
)(
2
kky
z
z
z
z
zz
zz
zY
kk
xx
ε=→
+
+
=
+?
+
=
)(]
2
3
)1(
2
1
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12
3
12
1
2
2
)(
1
kky
z
z
z
z
z
z
zY
kk
ff
ε+=→
+
+
=
+
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-93页页页
■
电子教案电子教案
7.4 z域分析例2：某系统，已知当输入f(k)=(– 1/2)
k
ε(k)时，其零状态响应
)(])
2
1
(
2
9
)
3
1
(4)
2
1
(
2
3
[)( kky
kkk
f
ε+=
求系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。
解
3
1
2
2
1
3
6
1
6
1
2
)(
)(
)(
2
2
+
+
=
+
==
z
z
z
z
zz
zz
zF
zY
zH
f
h(k)=[3(1/2)
k
–2(– 1/3)
k
]ε(k)
)1(2)()2(
6
1
)1(
6
1
)(?+= kfkfkykyky
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-94页页页
■
电子教案电子教案
7.4 z域分析二、系统的z域框图
f (k)
D
f (k -1)
F(z)
z
1
)(
1
zF
z
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-95页页页
■
电子教案电子教案
7.4 z域分析三、s域与z域的关系
z=e
sT
z
T
s ln
1
=
式中T为取样周期如果将s表示为直角坐标形式s = σ+jω，将z表示为极坐标形式z = ρe
jθ
ρ= e
σT
，θ = ωT
由上式可看出：s平面的左半平面（σ<0)--->z平面的单位圆内部（?z?=ρ<1)
s平面的右半平面（σ>0)--->z平面的单位圆外部（?z?=ρ>1)
s平面的jω轴（σ=0)--->z平面中的单位圆上（?z?=ρ=1)
s平面上实轴（ω=0)--->z平面的正实轴（θ=0)
s平面上的原点（σ=0，ω=0）---->z平面上z=1的点
（ρ=1，θ=0）
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
6-96页页页
■
电子教案电子教案
7.4 z域分析四、系统的频率响应
z=e
sT
