信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案第四章连续系统的s域分析
4.1拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换二、收敛域三、(单边)拉普拉斯变换
4.2拉普拉斯变换的性质
4.3拉普拉斯变换逆变换
4.4 复频域分析一、微分方程的变换解二、系统函数三、系统的s域框图四、电路的s域模型点击目录,进入相关章节信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案第四章连续系统的s域分析频域分析以虚指数信号e
jωt
为基本信号,任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足:
(1)有些重要信号不存在傅里叶变换,如e
2t
ε(t);
(2)对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。
在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。
本章引入复频率s = σ+jω,以复指数函数e
st
为基本信号,任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。
这里用于系统分析的独立变量是复频率s,故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。
信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案
4.1拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件,求解傅里叶变换困难。
为此,可用一衰减因子e
-σt
(σ为实常数)乘信号f(t),
适当选取σ的值,使乘积信号f(t) e
-σt
当t→∞时信号幅度趋近于0,从而使f(t) e
-σt
的傅里叶变换存在。
相应的傅里叶逆变换为
f(t) e
-σt
=
∫
∞
∞?
+ ωωσ
π
ω
de)(
2
1
tj
b
jF
F
b
(σ+jω)=?[ f(t) e
-σt
]=
ttfttf
tjtjt
de)(dee)(
)(
∫∫
∞
∞?
+?
∞
∞?
=
ωσωσ
∫
∞
∞?
+
+= ωωσ
π
ωσ
de)(
2
1
)(
)( tj
b
jFtf
令s = σ + jω,d ω=ds/j,有信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案
4.1拉普拉斯变换
∫
∞
∞?
= tetfsF
st
b
d)()(
∫
∞+
∞?
=
j
j
de)(
j2
1
)(
σ
σ
π
ssFtf
st
b
F
b
(s)称为f(t)的双边拉氏变换(或象函数),
f(t)称为F
b
(s) 的双边拉氏逆变换(或原函数)。
二、收敛域只有选择适当的σ值才能使积分收敛,信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。
使f(t)拉氏变换存在σ的取值范围称为F
b
(s)的收敛域。
下面举例说明F
b
(s)收敛域的问题。
双边拉普拉斯变换对信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案
4.1拉普拉斯变换例1 因果信号f
1
(t)= e
αt
ε(t),求其拉普拉斯变换。
解
]eelim1[
)(
1
)(
e
dee)(
j)(
0
)(
0
1
tt
t
ts
stt
b
ss
tsF
ωασ
α
α
αα
∞→
∞
∞
=
==
∫
>
=
>=
=
ασ
ασ
ασ
α
,无界
,不定
]Re[,
1
s
s
可见,对于因果信号,仅当
Re[s]=σ>α时,其拉氏变换存在。收敛域如图所示。
σ
jω
0 α
收敛域收敛边界信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案
4.1拉普拉斯变换例2 反因果信号f
2
(t)= e
βt
ε(-t),求其拉普拉斯变换。
解
]eelim1[
)(
1
)(
e
dee)(
j)(0
)(
0
2
tt
t
ts
st
t
b
ss
tsF
ωβσ
β
β
ββ
∞→
∞?
∞?
=
==
∫
<
=
>=
=
βσ
β
βσ
βσ
,
,不定无界
)(
1
.]Re[,
s
s
可见,对于反因果信号,仅当
Re[s]=σ<β时,其拉氏变换存在。收敛域如图所示。
σ
jω
0 β
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电子教案电子教案
4.1拉普拉斯变换例3 双边信号求其拉普拉斯变换。
>
<
=+=
0,e
0,e
)()()(
213
t
t
tftftf
t
t
α
β
求其拉普拉斯变换。
解其双边拉普拉斯变换F
b
(s)=F
b1
(s)+F
b2
(s)
仅当β>α时,其收敛域为α<Re[s]<β的一个带状区域,如图所示。
σ
jω
0 βα
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电子教案电子教案
4.1拉普拉斯变换例4 求下列信号的双边拉氏变换。
f
1
(t)= e
-3t
ε(t) + e
-2t
ε(t)
f
2
(t)= – e
-3t
ε(–t) – e
-2t
ε(–t)
f
3
(t)= e
-3t
ε(t) – e
-2t
ε(– t)
解
2
1
3
1
)()(
11
+
+
+
=←→
ss
sFtf
Re[s]= σ > – 2
2
1
3
1
)()(
22
+
+
+
=←→
ss
sFtf
Re[s]= σ < – 3
2
1
3
1
)()(
33
+
+
+
=←→
ss
sFtf
–3 < σ < – 2
可见,象函数相同,但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。
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电子教案电子教案
4.1 拉普拉斯变换结论:
1、对于双边拉普拉斯变换而言,F(S)和收敛域一起,
可以唯一地确定f(t)。即:
2、不同的信号可以有相同的F(S),但他们的收敛域不同;
不同信号如果有相同的收敛域,则他们的F(S)必然不同!
一一对应
F(S)+收敛域f(t)
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电子教案电子教案
4.1 拉普拉斯变换定义:对于给定的f(t),把凡是满足下式的s组成的点集,
称作f(t)的绝对收敛域:
收敛域的确定方法(因为:s=σ+jw):
求解适合于如下条件的所有σ值或范围:
0)(
lim
=
∞→
t
etf
t
∞<
∫
∞
∞?
dtetf
t
)(
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电子教案电子教案
4.1 拉普拉斯变换
σ
jω
0 α
σ
jω
0a-a
(a)因果信号(b) 双边信号(c) 反因果信号
)()()(
1
teeetf
atat
=
<
>
=
0,
0,
)(
2
te
te
tf
at
at
)()()(
3
teeetf
atat
+?=
22
2
)(
Sa
a
SF
+
=
0>a
注意:以上3个信号,具有相同的F(S),但收敛域不同:
a>σ a?<σaa <<? σ
s0
-a
ωj
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电子教案电子教案
4.1拉普拉斯变换通常遇到的信号都有初始时刻,不妨设其初始时刻为坐标原点。这样,t<0时,f(t)=0。从而拉氏变换式写为
∫
∞
=
0
de)()( ttfsF
st
称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是
Re[s]>α,可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。
三、单边拉氏变换
∫
∞
=
0
def
de)()( ttfsF
st
)(de)(
j2
1
)(
j
j
def
tssFtf
st
ε
π
σ
σ
=
∫
∞+
∞?
简记为F(s)=£[f(t)]
f(t)=£
-1
[F(s)]
或
f(t)←→F(s)
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电子教案电子教案
4.1拉普拉斯变换四、常见函数的拉普拉斯变换
1、δ(t) ←→1,σ> -∞
2、ε(t)或1 ←→1/s,σ> 0
3、指数函数e
-s
0
t
←→
0
1
ss +
σ> -Re[s
0
]
cosω
0
t = (e
jω
0
t
+ e
-jω
0
t
)/2 ←→2
0
2
ω+s
s
sinω
0
t = (e
jω
0
t
– e
-jω
0
t
)/2j ←→
2
0
2
0
ω
ω
+s
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电子教案电子教案
4.1拉普拉斯变换
4、周期信号f
T
(t)
∑
∫∫∫
∫
∞
=
+
∞
=++=
=
0
)1(2
0
0
de)(.....de)(de)(
de)()(
n
Tn
nT
st
T
T
T
st
T
T
st
T
st
TT
ttfttfttf
ttfsF
∫∫
∑
∞
=
=
=+=
T
st
T
sT
T
st
T
n
nsT
ttfttfnTtt
00
0
de)(
e1
1
de)(e令特例:δ
T
(t) ←→1/(1 – e
-sT
)
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4.1拉普拉斯变换五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
∫
∞
=
0
de)()( ttfsF
st
Re[s]>σ
0
∫
∞
∞?
= ttfF
t
de)()(j
jω
ω
要讨论其关系,f(t)必须为因果信号。
根据收敛坐标σ
0
的值可分为以下三种情况:
(1)σ
0
<0,即F(s)的收敛域包含jω轴,则f(t)的傅里叶变换存在,并且F(jω)=F(s)?
s=jω
如f(t)=e
-2t
ε(t) ←→F(s)=1/(s+2),σ>-2;
则F(jω)=1/( jω+2)
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4.1拉普拉斯变换
(2)σ
0
=0,即F(s)的收敛边界为jω轴,
)(lim)(j
0
sFF
→
=
σ
ω
如f(t)= ε(t)←→F(s)=1/s
22
0
22
00
limlim
1
lim)(j
ωσ
ω
ωσ
σ
ωσ
ω
σσσ
+
+
+
=
+
=
→→→
j
j
F
= πδ(ω) + 1/jω
(3)σ
0
>0,F(jω)不存在。
例f(t)=e
-2t
ε(t) ←→F(s)=1/(s –2),σ >2;其傅里叶变换不存在。
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电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质
4.2拉普拉斯变换性质
0、引言利用常用信号的拉普拉斯变换对和拉普拉斯变换的性质,可以求解复杂信号的拉氏变换和反变换。
常用信号的拉普拉斯变换对f(t) ←→F(s)
δ(t) ←→1
ε(t) ←→1/s
1
!
)(
+
n
n
s
n
tt ε
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电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质常用信号的拉普拉斯变换对(续)f(t) ←→F(s)
as
te
at
+
1
)(ε
1
)(
!
)(
+
+
n
atn
as
n
tet ε
22
)()cos(
β
εβ
+
s
s
tt
22
)()sin(
β
β
εβ
+
s
tt
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电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质一、线性性质若f
1
(t)←→F
1
(s) Re[s]>σ
1
,f
2
(t)←→F
2
(s) Re[s]>σ
2
则a
1
f
1
(t)+a
2
f
2
(t)←→a
1
F
1
(s)+a
2
F
2
(s) Re[s]>max(σ
1
,σ
2
)
例 f(t) = δ(t) + ε(t)←→1 + 1/s,σ> 0
二、尺度变换若f(t) ←→F(s),Re[s]>σ
0
,且有实数a>0,
则f(at) ←→
)(
1
a
s
F
a
Re[s]>aσ
0
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电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质例:如图信号f(t)的拉氏变换F(s) =
)ee1(
e
2
ss
s
s
s
求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。
012
1
f(t)
t
0
42
4
y(t)
t
解:
y(t)= 4f(0.5t)
Y(s) = 4×2 F(2s)
()
)e2e1(
2
e8
22
2
2
ss
s
s
s
=
)e2e1(
e2
22
2
2
ss
s
s
s
=
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4.2拉普拉斯变换性质三、时移(延时)特性若f(t) <----->F(s),Re[s]>σ
0
,且有实常数t
0
>0,
则f(t-t
0
)ε(t-t
0
)<----->e
-st
0
F(s),Re[s]>σ
0
与尺度变换相结合
f(at-t
0
)ε(at-t
0
)←→
a
s
F
a
s
a
t
0
e
1
例1:求如图信号的单边拉氏变换。
01
1
f1(t)
t
0
1-1
1
t
f2(t)
解:f
1
(t) = ε(t) –ε(t-1),f
2
(t) = ε(t+1) –ε(t-1)
F
1
(s)= )e1(
1
s
s
F
2
(s)= F
1
(s)
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4.2拉普拉斯变换性质例2:已知f
1
(t) ←→F
1
(s),
求f
2
(t)←→F
2
(s)
解:f
2
(t) = f
1
(0.5t) –f
1
[0.5(t-2)]
01
1
f1(t)
t
0
24
1
t
f2(t)
-1
f
1
(0.5t) ←→2F
1
(2s)
f
1
[0.5(t-2)] ←→2F
1
(2s)e
-2s
f
2
(t) ←→2F
1
(2s)(1 –e
-2s
)
例3:求f(t)= e
-2(t-1)
ε(t) ←→F(s)=?
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4.2拉普拉斯变换性质四、复频移(s域平移)特性若f(t) ←→F(s),Re[s]>σ
0
,且有复常数s
a
=σ
a
+jω
a
,
则f(t)e
s
a
t
←→F(s-s
a
),Re[s]>σ
0
+σ
a
例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)=
1
2
+s
s
求e
-t
f(3t-2)的象函数。
解:e
-t
f(3t-2) ←→
)1(
3
2
2
e
9)1(
1
+?
++
+
s
s
s
例2:f(t)=cos(2t–π/4) ←→F(s)=?
解cos(2t–π/4) =cos(2t)cos(π/4) + sin(2t)sin (π/4)
4
2
2
2
2
2
4
2
2
2
4
)(
222
+
+
=
+
+
+
=
s
s
ss
s
sF
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4.2拉普拉斯变换性质五、时域的微分特性(微分定理)
若f(t) ←→F(s),Re[s]>σ
0
,
则f’(t) ←→sF(s) – f(0
-
)
f’’(t) ←→s
2
F(s) – sf(0
-
) –f’(0
-
)
f
(n)
(t) ←→s
n
F(s) –
∑
=
1
0
)(1
)0(
n
m
mmn
fs
若f(t)为因果信号,则f
(n)
(t) ←→s
n
F(s)
例1:δ
(n)
(t) ←→?
例2:
]2[cos
d
d
←→t
t
例3:
)](2[cos
d
d
←→tt
t
ε
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电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质六、时域积分特性(积分定理)
若f(t) ←→F(s),Re[s]>σ
0
,则
)(
1
d)(
0
sF
s
xxf
n
n
t
←→
∫
)0()(d)()(
)1(11)1(
∞
+←→=
∫
fssFsxxftf
t
例1,t
2
ε(t)<---->?
)(d)(
0
ttxx
t
εε =
∫
∫∫
==
tt
t
t
xxxxx
0
22
0
)(
2
d)(d)( εεε
3
2
2
)(
s
tt ←→ε
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电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质例2:已知因果信号f(t)如图,求F(s)
f(t)
t0
2
2
解:对f(t)求导得f’(t),如图
f'(t)
t
(-2)
1
20
)0()(d)('
0
=
∫
ftfxxf
t
由于f(t)为因果信号,故
f(0-)=0
∫
=
t
xxftf
0
d)(')(
f’(t)=ε(t)–ε(t –2) –δ(t –2)←→F
1
(s)
ss
s
22
e)e1(
1
=
s
sF
sF
)(
)(
1
=
结论:若f(t)为因果信号,已知f
(n)
(t) ←→F
n
(s)
则f(t) ←→F
n
(s)/s
n
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电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质七、卷积定理时域卷积定理若因果函数f
1
(t) ←→F
1
(s),Re[s]>σ
1
,
f
2
(t) ←→F
2
(s),Re[s]>σ
2
则f
1
(t)*f
2
(t) ←→F
1
(s)F
2
(s)
复频域(s域)卷积定理
∫
∞+
∞?
←→
jc
jc
sFFtftf ηηη
π
d)()(
j2
1
)()(
2121
例1:t ε(t) ←→?
例2:已知F(s)=
)e1(
1
2
←→
s
s
∑∑
∞
=
∞
=
=?
00
)2()2(*)(
nn
ntntt εδε
Ts
sT
sT 2
e1
e1
e1
1
=
+
例3:
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4.2拉普拉斯变换性质八、s域微分和积分若f(t) ←→F(s),Re[s]>σ
0
,则
s
sF
tft
d
)(d
)()( ←→?
n
n
n
s
sF
tft
d
)(d
)()( ←→?
例1:t
2
e
-2t
ε(t) ←→?
e
-2t
ε(t) ←→1/(s+2)
t
2
e
-2t
ε(t) ←→
32
2
)2(
2
)
2
1
(
d
d
+
=
+ sss
∫
∞
←→
s
dF
t
tf
ηη)(
)(
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质例2:
)(
sin
←→t
t
t
ε
1
1
)(sin
2
+
←→
s
ttε
s
st
t
t
s
s
1
arctanarctan
2
arctand
1
1
)(
sin
2
=?==
+
>?<
∞
∞
∫
π
ηη
η
ε
例3:
e1
2
><
t
t
2
11
e1
2
+
←→?
ss
t
s
s
s
s
s
sst
e
s
s
t
2
ln
21
1
ln1d)
21
1
1
1
(
1
2
+
=
+
=
+
><
∫
∞
∞
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质九、初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞),
而不必求出原函数f(t)
初值定理设函数f(t)不含δ(t)及其各阶导数(即F(s)为真分式,
若F(s)为假分式化为真分式),
则
)(lim)(lim)0(
0
ssFtff
st ∞→+→
==+
终值定理若f(t)当t →∞时存在,并且f(t) ←→F(s),Re[s]>σ
0
,
σ
0
<0,则
)(lim)(
0
ssFf
s→
=∞
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质例1:
22
2
)(
2
++
=
ss
s
sF
2
22
2
lim)(lim)0(
2
2
=
++
==+
∞→∞→
ss
s
ssFf
ss
0
22
2
lim)(lim)(
2
2
00
=
++
==∞
→→
ss
s
ssFf
ss
例2:
22
)(
2
2
++
=
ss
s
sF
2
22
22
lim)(lim)0(
2
2
=
++
==+
∞→∞→
ss
ss
ssFf
ss
22
22
1)(
2
++
+
=
ss
s
sF
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换
4.3 拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换---复变函数积分,比较困难。
通常的方法,(1)查表法
(2)利用性质(3)部分分式展开-----结合若象函数F(s)是s的有理分式,可写为
01
1
1
01
1
1
...
....
)(
bsbsbs
asasasa
sF
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++
=
若m≥n (假分式),可用多项式除法将象函数F(s)
分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。
)(
)(
)()(
sA
sB
sPsF +=
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换
6116
332
2
6116
1531258
)(
23
2
23
234
+++
++
++=
+++
++++
=
sss
ss
s
sss
ssss
sF
由于L
-1
[1]=δ(t),L
-1
[s
n
]=δ
(n)
(t),故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。
下面主要讨论有理真分式的情形。
部分分式展开法若F(s)是s的实系数有理真分式(m<n),则可写为
01
1
1
01
1
1
...
....
)(
)(
)(
bsbsbs
asasasa
sA
sB
sF
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++
==
式中A(s)称为系统的特征多项式,方程A(s)=0称为特征方程,它的根称为特征根,也称为系统的固有频率(或自然频率)。n个特征根p
i
称为F(s)的极点。
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换
(1)F(s)为单极点(单根)
n
n
i
i
ps
K
ps
K
ps
K
ps
K
sA
sB
sF
++
++
+
==,......
)(
)(
)(
2
2
1
1
i
psii
sFpsK
=
= )()(
)(e]
1
[
1
t
ps
L
tp
i
i
ε=
特例:F(s)包含共轭复根时(p
1,2
= –α±jβ)
)j)(j)((
)(
]))[((
)(
)(
22
βαβαβα?+?+
=
++
=
sssD
sB
ssD
sB
sF
)(
jj
2
21
sF
s
K
s
K
+
++
+
+
=
βαβα
BAKsFsK
s
je||)]()j[(
j
1
j
1
+==?+=
+?=
θ
βα
βα K
2
= K
1
*
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换
βαβαβαβα
θθ
j
e||
j
e||
jj
)(
j
1
j
121
1
++
+
+
=
++
+
+
=
s
K
s
K
s
K
s
K
sF
f
1
(t)=2|K
1
|e
-αt
cos(βt+θ)ε(t)
若写为K
1,2
= A ±jB f
1
(t)= 2e
-α
t[Acos(βt) –Bsin(βt)] ε(t)
例1:
10( 2)( 5)
(),
(1)(3)
ss
Fs
ss s
++
=
++
已知求其逆变换
312
()
13
kkk
Fs m n
ss s
=+ + <
++
解:部分分解法 ()
1
0
0
()
10( 2)( 5) 100
(1)(3) 3
s
s
ksFs
ss
ss
=
=
=
++
==
++
其中信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换
2
1
1
(1)()
10( 2)( 5)
20
(3)
s
s
ksFs
ss
ss
=?
=?
=+
++
==?
+
解:
3
3
3
(3)()
10( 2)( 5) 10
(1) 3
s
s
ksFs
ss
ss
=?
=?
=+
++
==?
+
100 20 10
()
3 1 3( 3)
Fs
ss s
∴=
++
解:
)(e
3
10
e20
3
100
)(
3
ttf
tt
ε
=∴
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换例2:
32
597
(),
(1)( 2)
sss
Fs
ss
+++
=
++
已知求其逆变换
()F s解:长除法
2
3
2
772
23
79523
2
2
23
232
+
+
++
++
++
+++++
s
s
ss
ss
sss
sssss
46
Q
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换
12
() 2
12
kk
Fs s
ss
=++ +
++
解:分式分解法
1
1
2
2
3
(1) 2
(1)( 2)
3
1
1
s
s
s
ks
ss
s
k
s
=?
=?
+
=+? =
++
+
==?
+
其中
21
() 2
12
Fs s
ss
∴=++?
++
)()ee2()(2)(')(
2
ttttf
tt
εδδ
++=∴
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换例3
2
2
3
(),
(25)(2)
s
Fs
ss s
+
=
++ +
已知求其逆变换
2
3
()
(12)(12)(2)
s
Fs
sjsjs
+
=
++ +? +
解:
012
12 12 2
kkk
sjsjs
=++
+? ++ +
1,2
,( 1,2)pjα β α β=? ± = =
2
1
12
312
:
(1 2)( 2) 5
sj
s j
k
sjs
=? +
+?+
==
++ +
解其中信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换
12
,(,)
55
AjBA B=± =? =
1,2
即k
2
2
37
(1 2)(1 2) 5
s
s
k
sjsj
=?
+
==
++ +?
0
12 12
7
55 55
()
12 125(2)
jj
Fs
sjsjs
+
∴= + +
++ +? +
解:
1,2α β==Q
12
,
55
AB=? =
)(e
5
7
)2sin(
5
2
)2cos(
5
1
e2)(
2
ttttf
tt
ε
+
=∴
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换例4:求象函数F(s)的原函数f(t)。
)22)(1)(1(
42
)(
22
23
++++
+++
=
sssss
sss
sF
解:A(s)=0有6个单根,它们分别是s
1
=0,s
2
= –1,
s
3,4
= ±j1,s
5,6
= – 1±j1,故
js
K
js
K
js
K
js
K
s
K
s
K
sF
++
+
+
+
+
+
+
+
+=
111
)(
654321
K
1
=sF(s)|
s=0
= 2,K
2
= (s+1)F(s)|
s=-1
= –1
K
3
= (s – j)F(s)|
s=j
=j/2 =(1/2)e
j(π/2)
,K
4
=K
3
*=(1/2)e
-j(π/2)
K
5
= (s+1 – j)F(s)|
s=-1+j
=
π
4
3
e
2
1
j
K
6
=K
5
*
)()]
4
3
cos(e2)
2
cos(e2[)( ttttf
tt
ε
ππ
++++?=
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换
(2)F(s)有重极点(重根)
若A(s) = 0在s = p
1
处有r重根,
)(
....
)()()(
)(
)(
1
1
1
1
12
1
11
ps
K
ps
K
ps
K
sA
sB
sF
r
rr
++
+
==
K
11
=[(s –p
1
)
r
F(s)]|
s=p1
,K
12
=(d/ds)[(s –p
1
)
r
F(s)]|
s=p1
[]
1
)()(
d
d
)!1(
1
1
1
1
1 ps
r
r
r
r
sFps
sr
K
=
=
1
!
)]([
+
=
n
n
s
n
ttL ε
)(e
!
1
]
)(
1
[
1
1
1
1
tt
nps
L
tpn
n
ε=
+
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换举例:
3
2
(),
(1)
s
Fs
ss
=
+
已知求其逆变换
1311 12 2
32
()
(1) (1) (1)
kkk k
Fs
s sss
=+++
+++
解:
3
1
2
() ( 1) ()
s
Fs s Fs
s
=+ =令
1
11 1
1
()
2
3
sp
s
kFs
s
s
=
=?
=
==
解:其中
1
12 1
2
1
()
(2)1
2
sp
s
d
kFs
ds
ss
s
=
=?
=
==
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换
1
2
13 1
2
4
1
1
()
2
14
2
2
s p
s
d
kF
ds
s
s
=
=?
=
==
解:
2
0
3
0
()
2
2
(1)
s
s
ksFs
s
s
=
=
=
==?
+
32
()
(1) (1) ( )
Fs
s sss
∴= + +
+++
3222
-
1
)()2e2e2e
2
3
()(
2
ttttf
ttt
ε?++=∴
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.4 复频域分析
4.4复频域分析一、微分方程的变换解描述n阶系统的微分方程的一般形式为
∑∑
==
=
n
i
m
j
j
i
i
i
tfbtya
00
)()(
)()(
系统的初始状态为y(0-),y’(0-),…,y
(n-1)
(0-)。
取拉普拉斯变换
)0()()(
)(
1
0
1)(
=
∑
←→
p
i
p
piii
yssYsty
若f(t)在t=0时接入,则f
(j)
(t)←→s
j
F(s)
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.4 复频域分析
∑∑∑ ∑
==
==
=
n
i
n
i
i
p
m
j
j
j
ppi
i
i
i
sFsbysasYsa
00
1
00
)(1
)(][)]0([)(][
)()()(
)(
)(
)(
)(
)( sYsYsF
sA
sB
sA
sM
sY
fx
+=+=
例1 描述某LTI系统的微分方程为
y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=2f(t)
已知初始状态y(0-)=1,y’(0-)=-1,激励f(t)=5costε(t),
求系统的全响应y(t)
解:取拉氏变换得
)(
65
2
65
)0(5)0(')0(
)(
22
sF
ssss
yysy
sY
++
+
++
++
=
1
5
)(
2
+
=
s
s
sF
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.4 复频域分析
1
5
)3)(2(
2
)3)(2(
4
)()()(
2
+++
+
++
+
=+=
s
s
ssss
s
sYsYsY
fx
js
e
js
e
ssss
jj
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
44
2
1
2
1
3
3
2
4
3
1
2
2
ππ
y(t)=[2e
-2t
-e
-3t
-4e
-2t
+3e
-3t
+
)()]
4
cos(2 tt ε
π
二、系统函数系统函数H(s)定义为
)(
)(
)(
)(
)(
f
def
sA
sB
sF
sY
sH ==
它只与系统的结构、元件参数有关,而与激励、初始状态无关。h(t)<--> H(s)
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.4 复频域分析例已知当输入f(t)=e
-t
ε(t)时,某LTI系统的零状态响应
y
f
(t)=(3e
-t
-4e
-2t
+e
-3t
)ε(t)
求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。
解
65
82
3
2
2
4
)3)(2(
)4(2
)(
)(
)(
2
++
+
=
+
+
+
=
++
+
==
ss
s
ssss
s
sF
sY
sH
f
h(t)=(4e
-2t
-2e
-3t
)ε(t)
微分方程为y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=2f’(t)+8f(t)
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.4 复频域分析三、系统的s域框图
1/s
F(s)
F(s)/s
∑∑
1?
s
1?
s
4
1
3
2
F(s) Y(s)
求H(s)
X(s)
S
-1
X(s)
S
-2
X(s)
积分器的系统框图:
例:
H(S)
F(s)
Y(s)
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.4 复频域分析四、电路的s域模型对时域电路取拉氏变换
1、电阻u(t)= R i(t)
2、电感
t
ti
Ltu
L
d
)(d
)( =
U(s)= sLI
L
(s) –Li
L
(0-)
s
i
sU
sL
sI
L
L
)0(
)(
1
)(
+=
i(t)
u(t)
R I(s)
U(s)
R
L
u(t)
iL(t)
U(s)= R I(s)
U(s)
sL
IL(s)
LiL(0 -)
IL(s)
sL
iL(0 -)/s
U(s)
或信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.4 复频域分析
3、电容
t
tu
Cti
C
d
)(d
)( =
I(s)=sCU
C
(s) – Cu
C
(0-)
s
u
sI
sC
sU
C
C
)0(
)(
1
)(
+=
I(s)
UC(s)
CuC(0 -)
或
sC
1
s
u
C
)0(
sC
1
I(s)
UC(s)
C
i(t)
uC(t)
4、电源的S域模型
u
s
(t),i
s
(t) U
s
(s),I
s
(s)
信号与系统信号与系统
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4-52页页页
■
电子教案电子教案
4.4 复频域分析例:如图所示电路,已知u
S
(t) = ε(t) V,i
S
(t)
=δ(t),起始状态u
C
(0-) =1V,i
L
(0-) = 2A,求电压
u(t)。
0.5Ω
1F
1H
uS(t)
iS(t)
iL(t)
uC(t)
u(t)
(a)
1/s
1/s
0.5Ω
IS(s)
US(s)
s
2/s
U(s)
(b)
5、S域的KCL,KVL
0)(0)( =?→←=
∑∑
k
k
L
k
k
SIti
0)(0)( =?→←=
∑∑
k
k
L
k
k
SUtu
节点:
回路:
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
§4.5连续系统的表示和模拟一,连续系统的方框图表示:
方框图表示:
)(tf )(ty
系统的串联:
)(tf
)(tδ
)(ty
)(th
h1(t) h2(t) hn(t)
L
)()()()(
21
thththth
n
= L
(a) 时域.
)(th
i
为因果信号.
)(sF
)(sY
H1(s) H2(s) Hn(s)
L
)()()()(
21
sHsHsHsH
n
L?=
(b) S域.
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-54页页页
■
电子教案电子教案系统方程:
)()()()(
01
2
sFsxassxasxs +=
)())((
01
2
sFasassx =++
)(
1
)(
01
2
sF
asas
sx
++
=
)()()(
01
sxbssxbsY +=
1
2
例:
)(sF
s
1
b0 )(sY
+
s
1
+
b1
)(
2
sxs
sx(s) x(s)
-a0
-a1
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-55页页页
■
电子教案电子教案
1 2
式代入式:
)()(
01
2
01
sF
asas
bsb
sY
++
+
=
)()()()(
0101
2
sFbsbsYasas +=++
由单边拉氏变换的时域微分性质,得:
)()()()()(
0101
tfbtfbtyatyaty +
′
=+
′
+
′′
二.系统的信号流图表示:
1,信号流图的有关规定:
(1),用点表示信号(变量):
)( sx
(2),用有向线段表示信号方向和传输函数:
)(
1
sH
)(
1
sx )(
2
sx
)()()(
112
sxsHsx =
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-56页页页
■
电子教案电子教案
)(
1
sH
)(
1
sx
)(
2
sx
)(
2
sH
)(
3
sx
)()()(
113
sxsHsx =
)()(
22
sxsH+
(3).
)(
1
sH
)(
1
sx
)(
2
sx
)(
2
sH
)(
3
sx
)()()(
112
sxsHsx =
)()()(
123
sxsHsx =
)(
4
sH
)(
1
sx
)(
2
sx
)(
3
sH
)(
3
sx
)(
1
sH
)(
5
sx
)(
6
sx
)(
2
sH
)(
4
sx
)(
5
sH
)()()(
114
sxsHsx =
)()(
22
sxsH+
)()(
33
sxsH+
)()()(
445
sxsHsx =
)()()(
456
sxsHsx =
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-57页页页
■
电子教案电子教案
2.系统的信号流图表示:
可用信号流图表示系统框图等:
4.5 连续系统的表示和模拟例:
)(sF
s
1
b0 )(sY
+
s
1
+
-a1
b1
)(
1
sx
-a0
)(
2
sx
3
x
)(sF
1
x
1
s
1
s
1
0
b
)(sY
1
b
1
a?
0
a?
2
x
3
x
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-58页页页
■
电子教案电子教案一般步骤:
(1),选输入、输出、积分器输出、加法器输出为变量;
(2),建立变量间的传输关系和传输函数,根据变量间的传输关系和信号流图的规定画信号流图。
3.由信号流图求系统函数——梅森公式(Mason’s rule)
(1),流图术语:
支路:两点间的有向线段称一条支路;
通路:从某一节点出发,沿支路方向,连续经过节点和支路到达另一节点,所经过的路径称通路;
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-59页页页
■
电子教案电子教案开路:从一节点到达另一节点,并且节点不重复的通路称开路;
环:从一节点出发,经过节点和支路又回到该节点的闭合通路称为环或回路;
开路传输函数:组成一条开路的所有支路传输函数的乘积称为该条开路的传输函数,pi;
环传输函数:组成一个环的所有支路传输函数的乘积称为该环的环传输函数,Li。
(2),梅森公式:
设
[] [ ])()(,)()( tyLsYtfLsF
ff
==
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-60页页页
■
电子教案电子教案则:
==
∑
=
i
m
i
i
f
p
sF
sY
sH
1
)(
)(
)(
其中:Δ称为流图行列式(特征行列式)
∑ ∑ ∑
+?+?=?
jnmrqp
rqpnmj
LLLLLL
,,,
1 L
∑
j
j
L
——流图中所有环传输函数
j
L
之和;
∑
nm
nm
LL
,
——流图中所有两两不相接触的环传输函数乘积之和;
∑
rqp
rqp
LLL
,,
——流图中所有三个不相接触环的环传输函数乘积之和;
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-61页页页
■
电子教案电子教案
i
——除去第i
条开路,剩余流图的流图行列式;
m
——从F(s) 到
)(sY
f
的所有开路数。
例1:求H(s)
)(sF
1
1
H
2
H
3
H
1
G?
2
G?
3
G?
4
H
5
H 1
)(sY
L+?+?=?
∑∑∑
rqp
rqp
nm
nm
j
j
LLLLLL
,,,
1
)(1
3214332211
GGGHGHGHGH=
3311
GHGH+
i
p
——由F(s)到
)(sY
f
的第
i
条开路的传输函数
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-62页页页
■
电子教案电子教案
2=m
)(1,
221541
GHHHp=?=
1,
253212
=?= HHHHp
+?
=
=
∑
= 2211
2
1
)(
pp
p
sH
i
ii
例2:求H(s)
)(sF
1
s
1
1
a?
0
a?
2
b
)(sY
s
1
0
b
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-63页页页
■
电子教案电子教案解:
)
11
(1
2
01
s
a
s
a=?
1..2
121
=?== bpm
1.
1
20
2
2
=?= b
s
p
2
01
2
0
2
2
1
1
)(
s
a
s
a
s
b
b
p
sH
i
ii
++
+
=
=
∑
=
01
2
0
2
2
asas
bsb
++
+
=
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-64页页页
■
电子教案电子教案三.系统的模拟——由H(s) 到信号流图、框图:
1,直接形式:
例1:
.)(
0
01
as
bsb
sH
+
+
=
画出系统的信号流图解:
)(11
)(
0
0
1
0
0
1
s
a
s
b
b
s
a
s
b
b
sH
+
=
+
+
=
由梅森公式:流图包含两条开路,一个环。
)(sF
1
s
1
0
a?
)(sY
0
b
1
b
(形式1)
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-65页页页
■
电子教案电子教案
)(sF
1
s
1
0
a?
)(sY
0
b
1
b
(形式2)
例2:.)(
01
2
01
2
2
asas
bsbsb
sH
++
++
=
画出系统信号流图解:
)(1
)(
2
01
2
01
2
s
a
s
a
s
b
s
b
b
sH
++
=
由梅森公式:流图包含3条开路和两个相接触环。
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-66页页页
■
电子教案电子教案
)(sF
1
s
1
0
b
1
,)(sY
s
1
1
b
2
b
0
a?
1
a?
(形式1)
)(sF
s
1
0
b
1
,)(sY
s
1
1
b
2
b
0
a?
1
a?
(形式2)
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-67页页页
■
电子教案电子教案
2,串联形式:
例:
)4(
1
)65(
)1(
)4)(65(
)1(
)(
22
+
++
+
=
+++
+
=
sss
s
sss
s
sH
)()(
21
sHsH?=
)
65
(1
11
65
1
)(
2
2
2
1
ss
ss
ss
s
sH
+
=
++
+
=
)
4
(1
1
4
1
)(
2
s
s
s
sH
=
+
=
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-68页页页
■
电子教案电子教案
)(sF
1
s
1
5?
6?
4?
1
)(sY
s
1
1
1
1
s
1
3,并联形式:
例:
3
1
2
3
1
2
)3)(2)(1(
5
)(
+
+
+
+
+
=
+++
+
=
ssssss
s
sH
)()()(
321
sHsHsH ++=
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-69页页页
■
电子教案电子教案
,
)
1
(1
2
1
2
)(
1
s
s
s
sH
=
+
=
)
2
(1
3
2
3
)(
2
s
s
s
sH
=
+
=
)
3
(1
1
3
1
)(
3
s
s
s
sH
=
+
=
)(sF
1
s
1
1
1
s
1
s
1
1?
3?
2?
2
3?
1
1
1
1
)(sY
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-70页页页
■
电子教案电子教案
§4.6 系统函数与系统特性一,H(s) 的零点和极点:
线性时不变系统的方程为:
)()()()()(
0
)(
0
)1(
1
)(
tfbtfbtyatyaty
m
m
n
n
n
++=+++
LL
系统函数为:
0
1
1
0
1
1
)(
asas
bsbsb
sH
n
n
n
m
m
m
m
+++
+++
=
L
L
)())((
)())((
21
21
n
mm
pspsps
sssb
=
L
L ξξξ
其中:
,,,,,mi
i
L21=ξ
称H(s) 的零点,
,,,,,njp
j
L21=
称H(s) 的极点,
零点、极点的种类:实数、复数(复数零、极点必共轭)
一阶、二阶及二阶以上极点
4.6系统函数与系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-71页页页
■
电子教案电子教案二,H(s) 的零、极点与时域响应h(t)的关系:
1,极点在左半平面:
在负实轴上:
二阶极点:
)()(
)(
1211
2
21
ttekek
s
skk
tt
ε
α
αα
+?→?
+
+
不在负实轴上:
)(tke
s
k
t
ε
α
α?
→?
+
一阶极点:
一阶极点:
)()cos(
)(
)(
22
ttke
s
sB
t
εθβ
βα
α
+?→?
++
二阶极点:
[]
)()cos(
)(
)(
11
2
22
tttek
s
sB
t
εθβ
βα
α
+?→?
++
)()cos(
22
ttek
t
εθβ
α
++
4.6系统函数与系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-72页页页
■
电子教案电子教案
2,极点在jω轴上:
在原点:一阶极点:
)(
1
tk
s
k
ε?→?
二阶极点:
)(
2
tkt
s
k
ε?→?
不在原点:一阶极点:
)()cos(
)(
22
ttk
s
sB
εθβ
β
+?→?
+
二阶极点:
[]
)()cos(
)(
11
2
22
ttk
s
sB
εθβ
β
+?→?
+
)()cos(
22
tttk εθβ ++
3,极点在右半平面:
在正实轴上:一阶:
)(te
s
k
t
ε
α
α
→?
4.6系统函数与系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-73页页页
■
电子教案电子教案
)(
)(
2
tkte
s
k
t
ε
α
α
→?
二阶:
不在实轴上:一阶:
)()cos(
)(
)(
222
ttke
s
sB
t
εθβ
βα
α
+?→?
+?
H(s) 的零、极点与h(t) 的关系:
(1),零点影响h(t) 的幅度、相位;
(2),极点决定h(t) 的形式
a),左半平面极点对应h(t),随时间增加,是按指数函数规律衰减的;
)()cos()()cos(
)(
2211
])[(
222
ttektttek
sB
tt
s
εθβεθβ
αα
βα
+++→?
+?
二阶:
4.6系统函数与系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-74页页页
■
电子教案电子教案
b),虚轴上一阶极点对应h(t) 是阶跃函数或正弦函数,二阶及二阶以上极点对应h(t) 是随时间增加而增大的;
c),右半平面极点对应h(t) 都是随时间增加按指数函数规律增加的。
三,H(s) 的零、极点与系统频率响应:
1,H(s) 与H(jω) 关系:设h(t) 为因果信号
0
0
)()(б>бdtethsH
st
∫
∞
=
dtethdtethjH
tjtj
∫∫
∞
∞
∞?
==
0
)()()(
ωω
ω
当
0
б>б且0
0
<б时
(H(s) 极点在左半平面)
ω
ω
js
sHjH
=
= )()(
4.6系统函数与系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-75页页页
■
电子教案电子教案这种情况下,h(t) 对应的系统称为因果稳定系统。
2,H(s) 零、极点与连续系统频率特性:
设:
)()(
)()(
)(
1
1
n
mm
ssps
ssb
sH
=
L
L ξξ
H(s) 的极点全部在左半平面则:
,)()(
ω
ω
js
sHjH
=
= H(jω) 又称系统频率响应
)()(
)()(
)(
1
1
n
mm
pjpj
jjb
jH
=
ωω
ξωξω
ω
L
L
∏
∏
=
=
=
n
i
i
m
i
im
pj
jb
1
1
)(
)(
ω
ξω
4.6系统函数与系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-76页页页
■
电子教案电子教案设
mieBj
i
j
ii
,,,,L21==?
ψ
ξω
nieApj
i
j
ii
,,,,L21==?
θ
ω
则:
)(
21
)(
21
21
21
)(
n
m
j
n
j
mm
eAAA
eBBBb
jH
θθθ
ψψψ
ω
+++
+++
=
L
L
L
L
)(
)(
ωφ
ω
j
eH=
,)(
21
21
n
mm
AAA
BBBb
H
L
L
=ω
)()()(
2121 nm
θθθψψψωφ +++?+++= LL
例:一阶RL系统,U1(s)为输入,U2(s)为输出,求系统频率响应H(jω)
4.6系统函数与系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-77页页页
■
电子教案电子教案
R
)(
1
sU
+
-
SL
)(
2
sU
+
-
L
R
s
s
RsL
sL
sU
sU
sH
+
=
+
==
)(
)(
)(
1
2
极点:
,
L
R
在左半平面
θ
ψ
ω
ω
ω
ω
ω
j
j
Ae
Be
L
R
j
j
L
R
j
j
jH =
=
+
=
)(
0
)(
2
0
)(
π
ψω
θψ
==
,>,
j
e
A
B
θψωφωωω
ωφ
=== )()()()(
)(
,,
A
B
HeHjH
j
4.6系统函数与系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-78页页页
■
电子教案电子教案讨论:
∞≤<ω0
0
×
θ
ψ
б
ωj
2
π
ψ
ω
j
j
eBe =
θj
Ae
L
R
:)(
A
B
H =ω;,,0)0(0:0 ==== H
L
R
ABω;,,↑↑↑↑↑ )(,ωω HAB;,,1)(,=∞∞→∞→∞→ HABω
:
2
)( θ
π
ωφ?=;,,
2
)0(0
2
:0
π
φθ
π
ψω ====;,,↓↑=↑= )(
2
,ωφθ
π
ψω
0)(
22
,=∞→=∞→ φ
π
θ
π
ψω,,
4.6系统函数与系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-79页页页
■
电子教案电子教案
ω
)(ωH
0
1
ω
)(ωφ
0
2
π
4.7 系统函数与系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-80页页页
■
电子教案电子教案系统的稳定性是系统设计和分析中的关键问题;系统传输函数H(s) 的零、极点分布与系统的稳定性有密切的关系。
1.稳定系统的定义:
若连续系统对任意有界输入f(t),其零状态响应
)(ty
f也是有界的,则称该系统为有界输入、有界输出意义下的稳定系统,简称稳定系统。
即:
,,
yff
MtyMtf ≤≤ )()(系统稳定.
∞∞<<,<<
yf
MM 00
4.7系统的稳定性
§4.7 系统的稳定性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-81页页页
■
电子教案电子教案
(1) 时域充要条件:∞
∫
∞
∞?
<dtth )(
证明:
充分性:设
∞≤
∫
∞
∞?
<,dtthMtf
f
)()(
∫
∞
∞?
≤∴ τττ dtfhty
f
)()()(
∫
∞
∞?
≤ ττ dhMty
ff
)()(
∞<)(ty
f
即:
必要性:设
∞=≤
∫
∞
∞?
dtthMtf
f
)()(,
∫
+∞
∞?
= τττ dtfhty
f
)()()(Q
4.7 系统的稳定性
2.系统稳定的充分必要条件:
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-82页页页
■
电子教案电子教案令
[]
=
==?
0)(1
0)(0
0)(1
)()(
>
<
th
th
th
thSgntf
则
)()()( ththtf =?
τττ dtfhty
f
)()()(?=
∫
∞
∞?
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
∞==?= τττττ dhdfhy
f
)()()()0(
(2) S 域充要条件:
[])()( thLsH =
的极点全部在左半开平面
3,稳定系统的S 域判别方法:
4.7 系统的稳定性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-83页页页
■
电子教案电子教案设
)(
)(
)(
sA
sB
sH =
01
1
1
)( asasasasA
n
n
n
n
+++=
L
若系统稳定,则,,,,,,>nia
i
L2100 =
(2) 充分必要条件:
罗斯阵列:
01
1
1
asasasaA
n
n
n
nn
++++=
L
( R—H排列)
LL
42 nnn
aaa
1.
LL
531 nnn
aaa
2.
LL
531 nnn
ccc
3.
LL
531 nnn
ddd
4.
LLLLLL
LLLLL
n+1行
n+2行
4.7 系统的稳定性
(1)必要条件:
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-84页页页
■
电子教案电子教案第3行及以后各行计算公式:
L
,,
51
4
1
3
31
2
1
1
11
=
=
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
aa
aa
a
c
aa
aa
a
c
L
,,
51
51
1
3
31
31
1
1
11
=
=
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
cc
aa
c
d
cc
aa
c
d
L
罗斯——霍尔维茨准则( R—H 准则):
若罗斯阵列( R—H 排列) 第一列元素( 第一行至n+1行) 的符号相同( 全为“+”号或全为“-”号),则H(s) 的极点(A(s)的零点) 全部在左半平面,系统稳定。
4.7 系统的稳定性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-85页页页
■
电子教案电子教案例1,
254
12
)(
23
+++
+
=
sss
s
sH
判别系统稳定性罗斯阵列:
.3210041,,,,>,==+ ian
i
24
51
4
1
04
01
4
1
05.4
24
5.4
1
05.4
04
5.4
1
51
24
51
24
05.4
02
00
第一列元素全为正,故系统稳定。
4.7 系统的稳定性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-86页页页
■
电子教案电子教案例2,图示线性时不变系统,
)2)(1(
)2(
)(
1
+
+
=
ss
sk
sH K 为何值,
系统稳定。
)(
1
sH )(sY
))(( sY
f
)(sF
)(sX
)()()( sYsFsX
f
=
[ ] )()()()()()(
11
sHsYsFsHsXsY
ff
==
)(
)(1
)(
)(
1
1
sF
sH
sH
sY
f
+
=
)22()1(
)2(
)(1
)(
)(
2
1
1
+?+
+
=
+
=
ksks
sk
sH
sH
sH
4.7 系统的稳定性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-87页页页
■
电子教案电子教案罗斯阵列:
31 =+n
)22(1?k
)1(?k
)22(?k
0
0
00
当
0)22(01>,> kk
即,当
1>k
时,系统稳定。
4.7 系统的稳定性
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-1页页页
■
电子教案电子教案第四章连续系统的s域分析
4.1拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换二、收敛域三、(单边)拉普拉斯变换
4.2拉普拉斯变换的性质
4.3拉普拉斯变换逆变换
4.4 复频域分析一、微分方程的变换解二、系统函数三、系统的s域框图四、电路的s域模型点击目录,进入相关章节信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-2页页页
■
电子教案电子教案第四章连续系统的s域分析频域分析以虚指数信号e
jωt
为基本信号,任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足:
(1)有些重要信号不存在傅里叶变换,如e
2t
ε(t);
(2)对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。
在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。
本章引入复频率s = σ+jω,以复指数函数e
st
为基本信号,任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。
这里用于系统分析的独立变量是复频率s,故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-3页页页
■
电子教案电子教案
4.1拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件,求解傅里叶变换困难。
为此,可用一衰减因子e
-σt
(σ为实常数)乘信号f(t),
适当选取σ的值,使乘积信号f(t) e
-σt
当t→∞时信号幅度趋近于0,从而使f(t) e
-σt
的傅里叶变换存在。
相应的傅里叶逆变换为
f(t) e
-σt
=
∫
∞
∞?
+ ωωσ
π
ω
de)(
2
1
tj
b
jF
F
b
(σ+jω)=?[ f(t) e
-σt
]=
ttfttf
tjtjt
de)(dee)(
)(
∫∫
∞
∞?
+?
∞
∞?
=
ωσωσ
∫
∞
∞?
+
+= ωωσ
π
ωσ
de)(
2
1
)(
)( tj
b
jFtf
令s = σ + jω,d ω=ds/j,有信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-4页页页
■
电子教案电子教案
4.1拉普拉斯变换
∫
∞
∞?
= tetfsF
st
b
d)()(
∫
∞+
∞?
=
j
j
de)(
j2
1
)(
σ
σ
π
ssFtf
st
b
F
b
(s)称为f(t)的双边拉氏变换(或象函数),
f(t)称为F
b
(s) 的双边拉氏逆变换(或原函数)。
二、收敛域只有选择适当的σ值才能使积分收敛,信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。
使f(t)拉氏变换存在σ的取值范围称为F
b
(s)的收敛域。
下面举例说明F
b
(s)收敛域的问题。
双边拉普拉斯变换对信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-5页页页
■
电子教案电子教案
4.1拉普拉斯变换例1 因果信号f
1
(t)= e
αt
ε(t),求其拉普拉斯变换。
解
]eelim1[
)(
1
)(
e
dee)(
j)(
0
)(
0
1
tt
t
ts
stt
b
ss
tsF
ωασ
α
α
αα
∞→
∞
∞
=
==
∫
>
=
>=
=
ασ
ασ
ασ
α
,无界
,不定
]Re[,
1
s
s
可见,对于因果信号,仅当
Re[s]=σ>α时,其拉氏变换存在。收敛域如图所示。
σ
jω
0 α
收敛域收敛边界信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-6页页页
■
电子教案电子教案
4.1拉普拉斯变换例2 反因果信号f
2
(t)= e
βt
ε(-t),求其拉普拉斯变换。
解
]eelim1[
)(
1
)(
e
dee)(
j)(0
)(
0
2
tt
t
ts
st
t
b
ss
tsF
ωβσ
β
β
ββ
∞→
∞?
∞?
=
==
∫
<
=
>=
=
βσ
β
βσ
βσ
,
,不定无界
)(
1
.]Re[,
s
s
可见,对于反因果信号,仅当
Re[s]=σ<β时,其拉氏变换存在。收敛域如图所示。
σ
jω
0 β
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-7页页页
■
电子教案电子教案
4.1拉普拉斯变换例3 双边信号求其拉普拉斯变换。
>
<
=+=
0,e
0,e
)()()(
213
t
t
tftftf
t
t
α
β
求其拉普拉斯变换。
解其双边拉普拉斯变换F
b
(s)=F
b1
(s)+F
b2
(s)
仅当β>α时,其收敛域为α<Re[s]<β的一个带状区域,如图所示。
σ
jω
0 βα
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-8页页页
■
电子教案电子教案
4.1拉普拉斯变换例4 求下列信号的双边拉氏变换。
f
1
(t)= e
-3t
ε(t) + e
-2t
ε(t)
f
2
(t)= – e
-3t
ε(–t) – e
-2t
ε(–t)
f
3
(t)= e
-3t
ε(t) – e
-2t
ε(– t)
解
2
1
3
1
)()(
11
+
+
+
=←→
ss
sFtf
Re[s]= σ > – 2
2
1
3
1
)()(
22
+
+
+
=←→
ss
sFtf
Re[s]= σ < – 3
2
1
3
1
)()(
33
+
+
+
=←→
ss
sFtf
–3 < σ < – 2
可见,象函数相同,但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-9页页页
■
电子教案电子教案
4.1 拉普拉斯变换结论:
1、对于双边拉普拉斯变换而言,F(S)和收敛域一起,
可以唯一地确定f(t)。即:
2、不同的信号可以有相同的F(S),但他们的收敛域不同;
不同信号如果有相同的收敛域,则他们的F(S)必然不同!
一一对应
F(S)+收敛域f(t)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-10页页页
■
电子教案电子教案
4.1 拉普拉斯变换定义:对于给定的f(t),把凡是满足下式的s组成的点集,
称作f(t)的绝对收敛域:
收敛域的确定方法(因为:s=σ+jw):
求解适合于如下条件的所有σ值或范围:
0)(
lim
=
∞→
t
etf
t
∞<
∫
∞
∞?
dtetf
t
)(
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.1 拉普拉斯变换
σ
jω
0 α
σ
jω
0a-a
(a)因果信号(b) 双边信号(c) 反因果信号
)()()(
1
teeetf
atat
=
<
>
=
0,
0,
)(
2
te
te
tf
at
at
)()()(
3
teeetf
atat
+?=
22
2
)(
Sa
a
SF
+
=
0>a
注意:以上3个信号,具有相同的F(S),但收敛域不同:
a>σ a?<σaa <<? σ
s0
-a
ωj
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.1拉普拉斯变换通常遇到的信号都有初始时刻,不妨设其初始时刻为坐标原点。这样,t<0时,f(t)=0。从而拉氏变换式写为
∫
∞
=
0
de)()( ttfsF
st
称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是
Re[s]>α,可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。
三、单边拉氏变换
∫
∞
=
0
def
de)()( ttfsF
st
)(de)(
j2
1
)(
j
j
def
tssFtf
st
ε
π
σ
σ
=
∫
∞+
∞?
简记为F(s)=£[f(t)]
f(t)=£
-1
[F(s)]
或
f(t)←→F(s)
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.1拉普拉斯变换四、常见函数的拉普拉斯变换
1、δ(t) ←→1,σ> -∞
2、ε(t)或1 ←→1/s,σ> 0
3、指数函数e
-s
0
t
←→
0
1
ss +
σ> -Re[s
0
]
cosω
0
t = (e
jω
0
t
+ e
-jω
0
t
)/2 ←→2
0
2
ω+s
s
sinω
0
t = (e
jω
0
t
– e
-jω
0
t
)/2j ←→
2
0
2
0
ω
ω
+s
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.1拉普拉斯变换
4、周期信号f
T
(t)
∑
∫∫∫
∫
∞
=
+
∞
=++=
=
0
)1(2
0
0
de)(.....de)(de)(
de)()(
n
Tn
nT
st
T
T
T
st
T
T
st
T
st
TT
ttfttfttf
ttfsF
∫∫
∑
∞
=
=
=+=
T
st
T
sT
T
st
T
n
nsT
ttfttfnTtt
00
0
de)(
e1
1
de)(e令特例:δ
T
(t) ←→1/(1 – e
-sT
)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
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■
电子教案电子教案
4.1拉普拉斯变换五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
∫
∞
=
0
de)()( ttfsF
st
Re[s]>σ
0
∫
∞
∞?
= ttfF
t
de)()(j
jω
ω
要讨论其关系,f(t)必须为因果信号。
根据收敛坐标σ
0
的值可分为以下三种情况:
(1)σ
0
<0,即F(s)的收敛域包含jω轴,则f(t)的傅里叶变换存在,并且F(jω)=F(s)?
s=jω
如f(t)=e
-2t
ε(t) ←→F(s)=1/(s+2),σ>-2;
则F(jω)=1/( jω+2)
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.1拉普拉斯变换
(2)σ
0
=0,即F(s)的收敛边界为jω轴,
)(lim)(j
0
sFF
→
=
σ
ω
如f(t)= ε(t)←→F(s)=1/s
22
0
22
00
limlim
1
lim)(j
ωσ
ω
ωσ
σ
ωσ
ω
σσσ
+
+
+
=
+
=
→→→
j
j
F
= πδ(ω) + 1/jω
(3)σ
0
>0,F(jω)不存在。
例f(t)=e
-2t
ε(t) ←→F(s)=1/(s –2),σ >2;其傅里叶变换不存在。
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质
4.2拉普拉斯变换性质
0、引言利用常用信号的拉普拉斯变换对和拉普拉斯变换的性质,可以求解复杂信号的拉氏变换和反变换。
常用信号的拉普拉斯变换对f(t) ←→F(s)
δ(t) ←→1
ε(t) ←→1/s
1
!
)(
+
n
n
s
n
tt ε
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质常用信号的拉普拉斯变换对(续)f(t) ←→F(s)
as
te
at
+
1
)(ε
1
)(
!
)(
+
+
n
atn
as
n
tet ε
22
)()cos(
β
εβ
+
s
s
tt
22
)()sin(
β
β
εβ
+
s
tt
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质一、线性性质若f
1
(t)←→F
1
(s) Re[s]>σ
1
,f
2
(t)←→F
2
(s) Re[s]>σ
2
则a
1
f
1
(t)+a
2
f
2
(t)←→a
1
F
1
(s)+a
2
F
2
(s) Re[s]>max(σ
1
,σ
2
)
例 f(t) = δ(t) + ε(t)←→1 + 1/s,σ> 0
二、尺度变换若f(t) ←→F(s),Re[s]>σ
0
,且有实数a>0,
则f(at) ←→
)(
1
a
s
F
a
Re[s]>aσ
0
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质例:如图信号f(t)的拉氏变换F(s) =
)ee1(
e
2
ss
s
s
s
求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。
012
1
f(t)
t
0
42
4
y(t)
t
解:
y(t)= 4f(0.5t)
Y(s) = 4×2 F(2s)
()
)e2e1(
2
e8
22
2
2
ss
s
s
s
=
)e2e1(
e2
22
2
2
ss
s
s
s
=
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质三、时移(延时)特性若f(t) <----->F(s),Re[s]>σ
0
,且有实常数t
0
>0,
则f(t-t
0
)ε(t-t
0
)<----->e
-st
0
F(s),Re[s]>σ
0
与尺度变换相结合
f(at-t
0
)ε(at-t
0
)←→
a
s
F
a
s
a
t
0
e
1
例1:求如图信号的单边拉氏变换。
01
1
f1(t)
t
0
1-1
1
t
f2(t)
解:f
1
(t) = ε(t) –ε(t-1),f
2
(t) = ε(t+1) –ε(t-1)
F
1
(s)= )e1(
1
s
s
F
2
(s)= F
1
(s)
信号与系统信号与系统
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4-22页页页
■
电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质例2:已知f
1
(t) ←→F
1
(s),
求f
2
(t)←→F
2
(s)
解:f
2
(t) = f
1
(0.5t) –f
1
[0.5(t-2)]
01
1
f1(t)
t
0
24
1
t
f2(t)
-1
f
1
(0.5t) ←→2F
1
(2s)
f
1
[0.5(t-2)] ←→2F
1
(2s)e
-2s
f
2
(t) ←→2F
1
(2s)(1 –e
-2s
)
例3:求f(t)= e
-2(t-1)
ε(t) ←→F(s)=?
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质四、复频移(s域平移)特性若f(t) ←→F(s),Re[s]>σ
0
,且有复常数s
a
=σ
a
+jω
a
,
则f(t)e
s
a
t
←→F(s-s
a
),Re[s]>σ
0
+σ
a
例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)=
1
2
+s
s
求e
-t
f(3t-2)的象函数。
解:e
-t
f(3t-2) ←→
)1(
3
2
2
e
9)1(
1
+?
++
+
s
s
s
例2:f(t)=cos(2t–π/4) ←→F(s)=?
解cos(2t–π/4) =cos(2t)cos(π/4) + sin(2t)sin (π/4)
4
2
2
2
2
2
4
2
2
2
4
)(
222
+
+
=
+
+
+
=
s
s
ss
s
sF
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
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■
电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质五、时域的微分特性(微分定理)
若f(t) ←→F(s),Re[s]>σ
0
,
则f’(t) ←→sF(s) – f(0
-
)
f’’(t) ←→s
2
F(s) – sf(0
-
) –f’(0
-
)
f
(n)
(t) ←→s
n
F(s) –
∑
=
1
0
)(1
)0(
n
m
mmn
fs
若f(t)为因果信号,则f
(n)
(t) ←→s
n
F(s)
例1:δ
(n)
(t) ←→?
例2:
]2[cos
d
d
←→t
t
例3:
)](2[cos
d
d
←→tt
t
ε
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-25页页页
■
电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质六、时域积分特性(积分定理)
若f(t) ←→F(s),Re[s]>σ
0
,则
)(
1
d)(
0
sF
s
xxf
n
n
t
←→
∫
)0()(d)()(
)1(11)1(
∞
+←→=
∫
fssFsxxftf
t
例1,t
2
ε(t)<---->?
)(d)(
0
ttxx
t
εε =
∫
∫∫
==
tt
t
t
xxxxx
0
22
0
)(
2
d)(d)( εεε
3
2
2
)(
s
tt ←→ε
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-26页页页
■
电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质例2:已知因果信号f(t)如图,求F(s)
f(t)
t0
2
2
解:对f(t)求导得f’(t),如图
f'(t)
t
(-2)
1
20
)0()(d)('
0
=
∫
ftfxxf
t
由于f(t)为因果信号,故
f(0-)=0
∫
=
t
xxftf
0
d)(')(
f’(t)=ε(t)–ε(t –2) –δ(t –2)←→F
1
(s)
ss
s
22
e)e1(
1
=
s
sF
sF
)(
)(
1
=
结论:若f(t)为因果信号,已知f
(n)
(t) ←→F
n
(s)
则f(t) ←→F
n
(s)/s
n
信号与系统信号与系统
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4-27页页页
■
电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质七、卷积定理时域卷积定理若因果函数f
1
(t) ←→F
1
(s),Re[s]>σ
1
,
f
2
(t) ←→F
2
(s),Re[s]>σ
2
则f
1
(t)*f
2
(t) ←→F
1
(s)F
2
(s)
复频域(s域)卷积定理
∫
∞+
∞?
←→
jc
jc
sFFtftf ηηη
π
d)()(
j2
1
)()(
2121
例1:t ε(t) ←→?
例2:已知F(s)=
)e1(
1
2
←→
s
s
∑∑
∞
=
∞
=
=?
00
)2()2(*)(
nn
ntntt εδε
Ts
sT
sT 2
e1
e1
e1
1
=
+
例3:
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
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■
电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质八、s域微分和积分若f(t) ←→F(s),Re[s]>σ
0
,则
s
sF
tft
d
)(d
)()( ←→?
n
n
n
s
sF
tft
d
)(d
)()( ←→?
例1:t
2
e
-2t
ε(t) ←→?
e
-2t
ε(t) ←→1/(s+2)
t
2
e
-2t
ε(t) ←→
32
2
)2(
2
)
2
1
(
d
d
+
=
+ sss
∫
∞
←→
s
dF
t
tf
ηη)(
)(
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质例2:
)(
sin
←→t
t
t
ε
1
1
)(sin
2
+
←→
s
ttε
s
st
t
t
s
s
1
arctanarctan
2
arctand
1
1
)(
sin
2
=?==
+
>?<
∞
∞
∫
π
ηη
η
ε
例3:
e1
2
><
t
t
2
11
e1
2
+
←→?
ss
t
s
s
s
s
s
sst
e
s
s
t
2
ln
21
1
ln1d)
21
1
1
1
(
1
2
+
=
+
=
+
><
∫
∞
∞
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-30页页页
■
电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质九、初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞),
而不必求出原函数f(t)
初值定理设函数f(t)不含δ(t)及其各阶导数(即F(s)为真分式,
若F(s)为假分式化为真分式),
则
)(lim)(lim)0(
0
ssFtff
st ∞→+→
==+
终值定理若f(t)当t →∞时存在,并且f(t) ←→F(s),Re[s]>σ
0
,
σ
0
<0,则
)(lim)(
0
ssFf
s→
=∞
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
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■
电子教案电子教案
4.2拉普拉斯变换性质例1:
22
2
)(
2
++
=
ss
s
sF
2
22
2
lim)(lim)0(
2
2
=
++
==+
∞→∞→
ss
s
ssFf
ss
0
22
2
lim)(lim)(
2
2
00
=
++
==∞
→→
ss
s
ssFf
ss
例2:
22
)(
2
2
++
=
ss
s
sF
2
22
22
lim)(lim)0(
2
2
=
++
==+
∞→∞→
ss
ss
ssFf
ss
22
22
1)(
2
++
+
=
ss
s
sF
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-32页页页
■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换
4.3 拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换---复变函数积分,比较困难。
通常的方法,(1)查表法
(2)利用性质(3)部分分式展开-----结合若象函数F(s)是s的有理分式,可写为
01
1
1
01
1
1
...
....
)(
bsbsbs
asasasa
sF
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++
=
若m≥n (假分式),可用多项式除法将象函数F(s)
分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。
)(
)(
)()(
sA
sB
sPsF +=
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
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■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换
6116
332
2
6116
1531258
)(
23
2
23
234
+++
++
++=
+++
++++
=
sss
ss
s
sss
ssss
sF
由于L
-1
[1]=δ(t),L
-1
[s
n
]=δ
(n)
(t),故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。
下面主要讨论有理真分式的情形。
部分分式展开法若F(s)是s的实系数有理真分式(m<n),则可写为
01
1
1
01
1
1
...
....
)(
)(
)(
bsbsbs
asasasa
sA
sB
sF
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++
==
式中A(s)称为系统的特征多项式,方程A(s)=0称为特征方程,它的根称为特征根,也称为系统的固有频率(或自然频率)。n个特征根p
i
称为F(s)的极点。
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换
(1)F(s)为单极点(单根)
n
n
i
i
ps
K
ps
K
ps
K
ps
K
sA
sB
sF
++
++
+
==,......
)(
)(
)(
2
2
1
1
i
psii
sFpsK
=
= )()(
)(e]
1
[
1
t
ps
L
tp
i
i
ε=
特例:F(s)包含共轭复根时(p
1,2
= –α±jβ)
)j)(j)((
)(
]))[((
)(
)(
22
βαβαβα?+?+
=
++
=
sssD
sB
ssD
sB
sF
)(
jj
2
21
sF
s
K
s
K
+
++
+
+
=
βαβα
BAKsFsK
s
je||)]()j[(
j
1
j
1
+==?+=
+?=
θ
βα
βα K
2
= K
1
*
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
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■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换
βαβαβαβα
θθ
j
e||
j
e||
jj
)(
j
1
j
121
1
++
+
+
=
++
+
+
=
s
K
s
K
s
K
s
K
sF
f
1
(t)=2|K
1
|e
-αt
cos(βt+θ)ε(t)
若写为K
1,2
= A ±jB f
1
(t)= 2e
-α
t[Acos(βt) –Bsin(βt)] ε(t)
例1:
10( 2)( 5)
(),
(1)(3)
ss
Fs
ss s
++
=
++
已知求其逆变换
312
()
13
kkk
Fs m n
ss s
=+ + <
++
解:部分分解法 ()
1
0
0
()
10( 2)( 5) 100
(1)(3) 3
s
s
ksFs
ss
ss
=
=
=
++
==
++
其中信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换
2
1
1
(1)()
10( 2)( 5)
20
(3)
s
s
ksFs
ss
ss
=?
=?
=+
++
==?
+
解:
3
3
3
(3)()
10( 2)( 5) 10
(1) 3
s
s
ksFs
ss
ss
=?
=?
=+
++
==?
+
100 20 10
()
3 1 3( 3)
Fs
ss s
∴=
++
解:
)(e
3
10
e20
3
100
)(
3
ttf
tt
ε
=∴
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
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■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换例2:
32
597
(),
(1)( 2)
sss
Fs
ss
+++
=
++
已知求其逆变换
()F s解:长除法
2
3
2
772
23
79523
2
2
23
232
+
+
++
++
++
+++++
s
s
ss
ss
sss
sssss
46
Q
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换
12
() 2
12
kk
Fs s
ss
=++ +
++
解:分式分解法
1
1
2
2
3
(1) 2
(1)( 2)
3
1
1
s
s
s
ks
ss
s
k
s
=?
=?
+
=+? =
++
+
==?
+
其中
21
() 2
12
Fs s
ss
∴=++?
++
)()ee2()(2)(')(
2
ttttf
tt
εδδ
++=∴
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换例3
2
2
3
(),
(25)(2)
s
Fs
ss s
+
=
++ +
已知求其逆变换
2
3
()
(12)(12)(2)
s
Fs
sjsjs
+
=
++ +? +
解:
012
12 12 2
kkk
sjsjs
=++
+? ++ +
1,2
,( 1,2)pjα β α β=? ± = =
2
1
12
312
:
(1 2)( 2) 5
sj
s j
k
sjs
=? +
+?+
==
++ +
解其中信号与系统信号与系统
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4-40页页页
■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换
12
,(,)
55
AjBA B=± =? =
1,2
即k
2
2
37
(1 2)(1 2) 5
s
s
k
sjsj
=?
+
==
++ +?
0
12 12
7
55 55
()
12 125(2)
jj
Fs
sjsjs
+
∴= + +
++ +? +
解:
1,2α β==Q
12
,
55
AB=? =
)(e
5
7
)2sin(
5
2
)2cos(
5
1
e2)(
2
ttttf
tt
ε
+
=∴
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-41页页页
■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换例4:求象函数F(s)的原函数f(t)。
)22)(1)(1(
42
)(
22
23
++++
+++
=
sssss
sss
sF
解:A(s)=0有6个单根,它们分别是s
1
=0,s
2
= –1,
s
3,4
= ±j1,s
5,6
= – 1±j1,故
js
K
js
K
js
K
js
K
s
K
s
K
sF
++
+
+
+
+
+
+
+
+=
111
)(
654321
K
1
=sF(s)|
s=0
= 2,K
2
= (s+1)F(s)|
s=-1
= –1
K
3
= (s – j)F(s)|
s=j
=j/2 =(1/2)e
j(π/2)
,K
4
=K
3
*=(1/2)e
-j(π/2)
K
5
= (s+1 – j)F(s)|
s=-1+j
=
π
4
3
e
2
1
j
K
6
=K
5
*
)()]
4
3
cos(e2)
2
cos(e2[)( ttttf
tt
ε
ππ
++++?=
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换
(2)F(s)有重极点(重根)
若A(s) = 0在s = p
1
处有r重根,
)(
....
)()()(
)(
)(
1
1
1
1
12
1
11
ps
K
ps
K
ps
K
sA
sB
sF
r
rr
++
+
==
K
11
=[(s –p
1
)
r
F(s)]|
s=p1
,K
12
=(d/ds)[(s –p
1
)
r
F(s)]|
s=p1
[]
1
)()(
d
d
)!1(
1
1
1
1
1 ps
r
r
r
r
sFps
sr
K
=
=
1
!
)]([
+
=
n
n
s
n
ttL ε
)(e
!
1
]
)(
1
[
1
1
1
1
tt
nps
L
tpn
n
ε=
+
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换举例:
3
2
(),
(1)
s
Fs
ss
=
+
已知求其逆变换
1311 12 2
32
()
(1) (1) (1)
kkk k
Fs
s sss
=+++
+++
解:
3
1
2
() ( 1) ()
s
Fs s Fs
s
=+ =令
1
11 1
1
()
2
3
sp
s
kFs
s
s
=
=?
=
==
解:其中
1
12 1
2
1
()
(2)1
2
sp
s
d
kFs
ds
ss
s
=
=?
=
==
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-44页页页
■
电子教案电子教案
4.3 拉普拉斯逆变换
1
2
13 1
2
4
1
1
()
2
14
2
2
s p
s
d
kF
ds
s
s
=
=?
=
==
解:
2
0
3
0
()
2
2
(1)
s
s
ksFs
s
s
=
=
=
==?
+
32
()
(1) (1) ( )
Fs
s sss
∴= + +
+++
3222
-
1
)()2e2e2e
2
3
()(
2
ttttf
ttt
ε?++=∴
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.4 复频域分析
4.4复频域分析一、微分方程的变换解描述n阶系统的微分方程的一般形式为
∑∑
==
=
n
i
m
j
j
i
i
i
tfbtya
00
)()(
)()(
系统的初始状态为y(0-),y’(0-),…,y
(n-1)
(0-)。
取拉普拉斯变换
)0()()(
)(
1
0
1)(
=
∑
←→
p
i
p
piii
yssYsty
若f(t)在t=0时接入,则f
(j)
(t)←→s
j
F(s)
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.4 复频域分析
∑∑∑ ∑
==
==
=
n
i
n
i
i
p
m
j
j
j
ppi
i
i
i
sFsbysasYsa
00
1
00
)(1
)(][)]0([)(][
)()()(
)(
)(
)(
)(
)( sYsYsF
sA
sB
sA
sM
sY
fx
+=+=
例1 描述某LTI系统的微分方程为
y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=2f(t)
已知初始状态y(0-)=1,y’(0-)=-1,激励f(t)=5costε(t),
求系统的全响应y(t)
解:取拉氏变换得
)(
65
2
65
)0(5)0(')0(
)(
22
sF
ssss
yysy
sY
++
+
++
++
=
1
5
)(
2
+
=
s
s
sF
信号与系统信号与系统
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4-47页页页
■
电子教案电子教案
4.4 复频域分析
1
5
)3)(2(
2
)3)(2(
4
)()()(
2
+++
+
++
+
=+=
s
s
ssss
s
sYsYsY
fx
js
e
js
e
ssss
jj
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
44
2
1
2
1
3
3
2
4
3
1
2
2
ππ
y(t)=[2e
-2t
-e
-3t
-4e
-2t
+3e
-3t
+
)()]
4
cos(2 tt ε
π
二、系统函数系统函数H(s)定义为
)(
)(
)(
)(
)(
f
def
sA
sB
sF
sY
sH ==
它只与系统的结构、元件参数有关,而与激励、初始状态无关。h(t)<--> H(s)
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.4 复频域分析例已知当输入f(t)=e
-t
ε(t)时,某LTI系统的零状态响应
y
f
(t)=(3e
-t
-4e
-2t
+e
-3t
)ε(t)
求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。
解
65
82
3
2
2
4
)3)(2(
)4(2
)(
)(
)(
2
++
+
=
+
+
+
=
++
+
==
ss
s
ssss
s
sF
sY
sH
f
h(t)=(4e
-2t
-2e
-3t
)ε(t)
微分方程为y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=2f’(t)+8f(t)
信号与系统信号与系统
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■
电子教案电子教案
4.4 复频域分析三、系统的s域框图
1/s
F(s)
F(s)/s
∑∑
1?
s
1?
s
4
1
3
2
F(s) Y(s)
求H(s)
X(s)
S
-1
X(s)
S
-2
X(s)
积分器的系统框图:
例:
H(S)
F(s)
Y(s)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-50页页页
■
电子教案电子教案
4.4 复频域分析四、电路的s域模型对时域电路取拉氏变换
1、电阻u(t)= R i(t)
2、电感
t
ti
Ltu
L
d
)(d
)( =
U(s)= sLI
L
(s) –Li
L
(0-)
s
i
sU
sL
sI
L
L
)0(
)(
1
)(
+=
i(t)
u(t)
R I(s)
U(s)
R
L
u(t)
iL(t)
U(s)= R I(s)
U(s)
sL
IL(s)
LiL(0 -)
IL(s)
sL
iL(0 -)/s
U(s)
或信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-51页页页
■
电子教案电子教案
4.4 复频域分析
3、电容
t
tu
Cti
C
d
)(d
)( =
I(s)=sCU
C
(s) – Cu
C
(0-)
s
u
sI
sC
sU
C
C
)0(
)(
1
)(
+=
I(s)
UC(s)
CuC(0 -)
或
sC
1
s
u
C
)0(
sC
1
I(s)
UC(s)
C
i(t)
uC(t)
4、电源的S域模型
u
s
(t),i
s
(t) U
s
(s),I
s
(s)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-52页页页
■
电子教案电子教案
4.4 复频域分析例:如图所示电路,已知u
S
(t) = ε(t) V,i
S
(t)
=δ(t),起始状态u
C
(0-) =1V,i
L
(0-) = 2A,求电压
u(t)。
0.5Ω
1F
1H
uS(t)
iS(t)
iL(t)
uC(t)
u(t)
(a)
1/s
1/s
0.5Ω
IS(s)
US(s)
s
2/s
U(s)
(b)
5、S域的KCL,KVL
0)(0)( =?→←=
∑∑
k
k
L
k
k
SIti
0)(0)( =?→←=
∑∑
k
k
L
k
k
SUtu
节点:
回路:
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-53页页页
■
电子教案电子教案
§4.5连续系统的表示和模拟一,连续系统的方框图表示:
方框图表示:
)(tf )(ty
系统的串联:
)(tf
)(tδ
)(ty
)(th
h1(t) h2(t) hn(t)
L
)()()()(
21
thththth
n
= L
(a) 时域.
)(th
i
为因果信号.
)(sF
)(sY
H1(s) H2(s) Hn(s)
L
)()()()(
21
sHsHsHsH
n
L?=
(b) S域.
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-54页页页
■
电子教案电子教案系统方程:
)()()()(
01
2
sFsxassxasxs +=
)())((
01
2
sFasassx =++
)(
1
)(
01
2
sF
asas
sx
++
=
)()()(
01
sxbssxbsY +=
1
2
例:
)(sF
s
1
b0 )(sY
+
s
1
+
b1
)(
2
sxs
sx(s) x(s)
-a0
-a1
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-55页页页
■
电子教案电子教案
1 2
式代入式:
)()(
01
2
01
sF
asas
bsb
sY
++
+
=
)()()()(
0101
2
sFbsbsYasas +=++
由单边拉氏变换的时域微分性质,得:
)()()()()(
0101
tfbtfbtyatyaty +
′
=+
′
+
′′
二.系统的信号流图表示:
1,信号流图的有关规定:
(1),用点表示信号(变量):
)( sx
(2),用有向线段表示信号方向和传输函数:
)(
1
sH
)(
1
sx )(
2
sx
)()()(
112
sxsHsx =
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-56页页页
■
电子教案电子教案
)(
1
sH
)(
1
sx
)(
2
sx
)(
2
sH
)(
3
sx
)()()(
113
sxsHsx =
)()(
22
sxsH+
(3).
)(
1
sH
)(
1
sx
)(
2
sx
)(
2
sH
)(
3
sx
)()()(
112
sxsHsx =
)()()(
123
sxsHsx =
)(
4
sH
)(
1
sx
)(
2
sx
)(
3
sH
)(
3
sx
)(
1
sH
)(
5
sx
)(
6
sx
)(
2
sH
)(
4
sx
)(
5
sH
)()()(
114
sxsHsx =
)()(
22
sxsH+
)()(
33
sxsH+
)()()(
445
sxsHsx =
)()()(
456
sxsHsx =
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-57页页页
■
电子教案电子教案
2.系统的信号流图表示:
可用信号流图表示系统框图等:
4.5 连续系统的表示和模拟例:
)(sF
s
1
b0 )(sY
+
s
1
+
-a1
b1
)(
1
sx
-a0
)(
2
sx
3
x
)(sF
1
x
1
s
1
s
1
0
b
)(sY
1
b
1
a?
0
a?
2
x
3
x
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-58页页页
■
电子教案电子教案一般步骤:
(1),选输入、输出、积分器输出、加法器输出为变量;
(2),建立变量间的传输关系和传输函数,根据变量间的传输关系和信号流图的规定画信号流图。
3.由信号流图求系统函数——梅森公式(Mason’s rule)
(1),流图术语:
支路:两点间的有向线段称一条支路;
通路:从某一节点出发,沿支路方向,连续经过节点和支路到达另一节点,所经过的路径称通路;
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-59页页页
■
电子教案电子教案开路:从一节点到达另一节点,并且节点不重复的通路称开路;
环:从一节点出发,经过节点和支路又回到该节点的闭合通路称为环或回路;
开路传输函数:组成一条开路的所有支路传输函数的乘积称为该条开路的传输函数,pi;
环传输函数:组成一个环的所有支路传输函数的乘积称为该环的环传输函数,Li。
(2),梅森公式:
设
[] [ ])()(,)()( tyLsYtfLsF
ff
==
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-60页页页
■
电子教案电子教案则:
==
∑
=
i
m
i
i
f
p
sF
sY
sH
1
)(
)(
)(
其中:Δ称为流图行列式(特征行列式)
∑ ∑ ∑
+?+?=?
jnmrqp
rqpnmj
LLLLLL
,,,
1 L
∑
j
j
L
——流图中所有环传输函数
j
L
之和;
∑
nm
nm
LL
,
——流图中所有两两不相接触的环传输函数乘积之和;
∑
rqp
rqp
LLL
,,
——流图中所有三个不相接触环的环传输函数乘积之和;
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-61页页页
■
电子教案电子教案
i
——除去第i
条开路,剩余流图的流图行列式;
m
——从F(s) 到
)(sY
f
的所有开路数。
例1:求H(s)
)(sF
1
1
H
2
H
3
H
1
G?
2
G?
3
G?
4
H
5
H 1
)(sY
L+?+?=?
∑∑∑
rqp
rqp
nm
nm
j
j
LLLLLL
,,,
1
)(1
3214332211
GGGHGHGHGH=
3311
GHGH+
i
p
——由F(s)到
)(sY
f
的第
i
条开路的传输函数
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-62页页页
■
电子教案电子教案
2=m
)(1,
221541
GHHHp=?=
1,
253212
=?= HHHHp
+?
=
=
∑
= 2211
2
1
)(
pp
p
sH
i
ii
例2:求H(s)
)(sF
1
s
1
1
a?
0
a?
2
b
)(sY
s
1
0
b
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-63页页页
■
电子教案电子教案解:
)
11
(1
2
01
s
a
s
a=?
1..2
121
=?== bpm
1.
1
20
2
2
=?= b
s
p
2
01
2
0
2
2
1
1
)(
s
a
s
a
s
b
b
p
sH
i
ii
++
+
=
=
∑
=
01
2
0
2
2
asas
bsb
++
+
=
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-64页页页
■
电子教案电子教案三.系统的模拟——由H(s) 到信号流图、框图:
1,直接形式:
例1:
.)(
0
01
as
bsb
sH
+
+
=
画出系统的信号流图解:
)(11
)(
0
0
1
0
0
1
s
a
s
b
b
s
a
s
b
b
sH
+
=
+
+
=
由梅森公式:流图包含两条开路,一个环。
)(sF
1
s
1
0
a?
)(sY
0
b
1
b
(形式1)
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-65页页页
■
电子教案电子教案
)(sF
1
s
1
0
a?
)(sY
0
b
1
b
(形式2)
例2:.)(
01
2
01
2
2
asas
bsbsb
sH
++
++
=
画出系统信号流图解:
)(1
)(
2
01
2
01
2
s
a
s
a
s
b
s
b
b
sH
++
=
由梅森公式:流图包含3条开路和两个相接触环。
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-66页页页
■
电子教案电子教案
)(sF
1
s
1
0
b
1
,)(sY
s
1
1
b
2
b
0
a?
1
a?
(形式1)
)(sF
s
1
0
b
1
,)(sY
s
1
1
b
2
b
0
a?
1
a?
(形式2)
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-67页页页
■
电子教案电子教案
2,串联形式:
例:
)4(
1
)65(
)1(
)4)(65(
)1(
)(
22
+
++
+
=
+++
+
=
sss
s
sss
s
sH
)()(
21
sHsH?=
)
65
(1
11
65
1
)(
2
2
2
1
ss
ss
ss
s
sH
+
=
++
+
=
)
4
(1
1
4
1
)(
2
s
s
s
sH
=
+
=
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-68页页页
■
电子教案电子教案
)(sF
1
s
1
5?
6?
4?
1
)(sY
s
1
1
1
1
s
1
3,并联形式:
例:
3
1
2
3
1
2
)3)(2)(1(
5
)(
+
+
+
+
+
=
+++
+
=
ssssss
s
sH
)()()(
321
sHsHsH ++=
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-69页页页
■
电子教案电子教案
,
)
1
(1
2
1
2
)(
1
s
s
s
sH
=
+
=
)
2
(1
3
2
3
)(
2
s
s
s
sH
=
+
=
)
3
(1
1
3
1
)(
3
s
s
s
sH
=
+
=
)(sF
1
s
1
1
1
s
1
s
1
1?
3?
2?
2
3?
1
1
1
1
)(sY
4.5 连续系统的表示和模拟信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-70页页页
■
电子教案电子教案
§4.6 系统函数与系统特性一,H(s) 的零点和极点:
线性时不变系统的方程为:
)()()()()(
0
)(
0
)1(
1
)(
tfbtfbtyatyaty
m
m
n
n
n
++=+++
LL
系统函数为:
0
1
1
0
1
1
)(
asas
bsbsb
sH
n
n
n
m
m
m
m
+++
+++
=
L
L
)())((
)())((
21
21
n
mm
pspsps
sssb
=
L
L ξξξ
其中:
,,,,,mi
i
L21=ξ
称H(s) 的零点,
,,,,,njp
j
L21=
称H(s) 的极点,
零点、极点的种类:实数、复数(复数零、极点必共轭)
一阶、二阶及二阶以上极点
4.6系统函数与系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-71页页页
■
电子教案电子教案二,H(s) 的零、极点与时域响应h(t)的关系:
1,极点在左半平面:
在负实轴上:
二阶极点:
)()(
)(
1211
2
21
ttekek
s
skk
tt
ε
α
αα
+?→?
+
+
不在负实轴上:
)(tke
s
k
t
ε
α
α?
→?
+
一阶极点:
一阶极点:
)()cos(
)(
)(
22
ttke
s
sB
t
εθβ
βα
α
+?→?
++
二阶极点:
[]
)()cos(
)(
)(
11
2
22
tttek
s
sB
t
εθβ
βα
α
+?→?
++
)()cos(
22
ttek
t
εθβ
α
++
4.6系统函数与系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-72页页页
■
电子教案电子教案
2,极点在jω轴上:
在原点:一阶极点:
)(
1
tk
s
k
ε?→?
二阶极点:
)(
2
tkt
s
k
ε?→?
不在原点:一阶极点:
)()cos(
)(
22
ttk
s
sB
εθβ
β
+?→?
+
二阶极点:
[]
)()cos(
)(
11
2
22
ttk
s
sB
εθβ
β
+?→?
+
)()cos(
22
tttk εθβ ++
3,极点在右半平面:
在正实轴上:一阶:
)(te
s
k
t
ε
α
α
→?
4.6系统函数与系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-73页页页
■
电子教案电子教案
)(
)(
2
tkte
s
k
t
ε
α
α
→?
二阶:
不在实轴上:一阶:
)()cos(
)(
)(
222
ttke
s
sB
t
εθβ
βα
α
+?→?
+?
H(s) 的零、极点与h(t) 的关系:
(1),零点影响h(t) 的幅度、相位;
(2),极点决定h(t) 的形式
a),左半平面极点对应h(t),随时间增加,是按指数函数规律衰减的;
)()cos()()cos(
)(
2211
])[(
222
ttektttek
sB
tt
s
εθβεθβ
αα
βα
+++→?
+?
二阶:
4.6系统函数与系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-74页页页
■
电子教案电子教案
b),虚轴上一阶极点对应h(t) 是阶跃函数或正弦函数,二阶及二阶以上极点对应h(t) 是随时间增加而增大的;
c),右半平面极点对应h(t) 都是随时间增加按指数函数规律增加的。
三,H(s) 的零、极点与系统频率响应:
1,H(s) 与H(jω) 关系:设h(t) 为因果信号
0
0
)()(б>бdtethsH
st
∫
∞
=
dtethdtethjH
tjtj
∫∫
∞
∞
∞?
==
0
)()()(
ωω
ω
当
0
б>б且0
0
<б时
(H(s) 极点在左半平面)
ω
ω
js
sHjH
=
= )()(
4.6系统函数与系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-75页页页
■
电子教案电子教案这种情况下,h(t) 对应的系统称为因果稳定系统。
2,H(s) 零、极点与连续系统频率特性:
设:
)()(
)()(
)(
1
1
n
mm
ssps
ssb
sH
=
L
L ξξ
H(s) 的极点全部在左半平面则:
,)()(
ω
ω
js
sHjH
=
= H(jω) 又称系统频率响应
)()(
)()(
)(
1
1
n
mm
pjpj
jjb
jH
=
ωω
ξωξω
ω
L
L
∏
∏
=
=
=
n
i
i
m
i
im
pj
jb
1
1
)(
)(
ω
ξω
4.6系统函数与系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-76页页页
■
电子教案电子教案设
mieBj
i
j
ii
,,,,L21==?
ψ
ξω
nieApj
i
j
ii
,,,,L21==?
θ
ω
则:
)(
21
)(
21
21
21
)(
n
m
j
n
j
mm
eAAA
eBBBb
jH
θθθ
ψψψ
ω
+++
+++
=
L
L
L
L
)(
)(
ωφ
ω
j
eH=
,)(
21
21
n
mm
AAA
BBBb
H
L
L
=ω
)()()(
2121 nm
θθθψψψωφ +++?+++= LL
例:一阶RL系统,U1(s)为输入,U2(s)为输出,求系统频率响应H(jω)
4.6系统函数与系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-77页页页
■
电子教案电子教案
R
)(
1
sU
+
-
SL
)(
2
sU
+
-
L
R
s
s
RsL
sL
sU
sU
sH
+
=
+
==
)(
)(
)(
1
2
极点:
,
L
R
在左半平面
θ
ψ
ω
ω
ω
ω
ω
j
j
Ae
Be
L
R
j
j
L
R
j
j
jH =
=
+
=
)(
0
)(
2
0
)(
π
ψω
θψ
==
,>,
j
e
A
B
θψωφωωω
ωφ
=== )()()()(
)(
,,
A
B
HeHjH
j
4.6系统函数与系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-78页页页
■
电子教案电子教案讨论:
∞≤<ω0
0
×
θ
ψ
б
ωj
2
π
ψ
ω
j
j
eBe =
θj
Ae
L
R
:)(
A
B
H =ω;,,0)0(0:0 ==== H
L
R
ABω;,,↑↑↑↑↑ )(,ωω HAB;,,1)(,=∞∞→∞→∞→ HABω
:
2
)( θ
π
ωφ?=;,,
2
)0(0
2
:0
π
φθ
π
ψω ====;,,↓↑=↑= )(
2
,ωφθ
π
ψω
0)(
22
,=∞→=∞→ φ
π
θ
π
ψω,,
4.6系统函数与系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-79页页页
■
电子教案电子教案
ω
)(ωH
0
1
ω
)(ωφ
0
2
π
4.7 系统函数与系统特性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-80页页页
■
电子教案电子教案系统的稳定性是系统设计和分析中的关键问题;系统传输函数H(s) 的零、极点分布与系统的稳定性有密切的关系。
1.稳定系统的定义:
若连续系统对任意有界输入f(t),其零状态响应
)(ty
f也是有界的,则称该系统为有界输入、有界输出意义下的稳定系统,简称稳定系统。
即:
,,
yff
MtyMtf ≤≤ )()(系统稳定.
∞∞<<,<<
yf
MM 00
4.7系统的稳定性
§4.7 系统的稳定性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-81页页页
■
电子教案电子教案
(1) 时域充要条件:∞
∫
∞
∞?
<dtth )(
证明:
充分性:设
∞≤
∫
∞
∞?
<,dtthMtf
f
)()(
∫
∞
∞?
≤∴ τττ dtfhty
f
)()()(
∫
∞
∞?
≤ ττ dhMty
ff
)()(
∞<)(ty
f
即:
必要性:设
∞=≤
∫
∞
∞?
dtthMtf
f
)()(,
∫
+∞
∞?
= τττ dtfhty
f
)()()(Q
4.7 系统的稳定性
2.系统稳定的充分必要条件:
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-82页页页
■
电子教案电子教案令
[]
=
==?
0)(1
0)(0
0)(1
)()(
>
<
th
th
th
thSgntf
则
)()()( ththtf =?
τττ dtfhty
f
)()()(?=
∫
∞
∞?
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
∞==?= τττττ dhdfhy
f
)()()()0(
(2) S 域充要条件:
[])()( thLsH =
的极点全部在左半开平面
3,稳定系统的S 域判别方法:
4.7 系统的稳定性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-83页页页
■
电子教案电子教案设
)(
)(
)(
sA
sB
sH =
01
1
1
)( asasasasA
n
n
n
n
+++=
L
若系统稳定,则,,,,,,>nia
i
L2100 =
(2) 充分必要条件:
罗斯阵列:
01
1
1
asasasaA
n
n
n
nn
++++=
L
( R—H排列)
LL
42 nnn
aaa
1.
LL
531 nnn
aaa
2.
LL
531 nnn
ccc
3.
LL
531 nnn
ddd
4.
LLLLLL
LLLLL
n+1行
n+2行
4.7 系统的稳定性
(1)必要条件:
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-84页页页
■
电子教案电子教案第3行及以后各行计算公式:
L
,,
51
4
1
3
31
2
1
1
11
=
=
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
aa
aa
a
c
aa
aa
a
c
L
,,
51
51
1
3
31
31
1
1
11
=
=
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
cc
aa
c
d
cc
aa
c
d
L
罗斯——霍尔维茨准则( R—H 准则):
若罗斯阵列( R—H 排列) 第一列元素( 第一行至n+1行) 的符号相同( 全为“+”号或全为“-”号),则H(s) 的极点(A(s)的零点) 全部在左半平面,系统稳定。
4.7 系统的稳定性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-85页页页
■
电子教案电子教案例1,
254
12
)(
23
+++
+
=
sss
s
sH
判别系统稳定性罗斯阵列:
.3210041,,,,>,==+ ian
i
24
51
4
1
04
01
4
1
05.4
24
5.4
1
05.4
04
5.4
1
51
24
51
24
05.4
02
00
第一列元素全为正,故系统稳定。
4.7 系统的稳定性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-86页页页
■
电子教案电子教案例2,图示线性时不变系统,
)2)(1(
)2(
)(
1
+
+
=
ss
sk
sH K 为何值,
系统稳定。
)(
1
sH )(sY
))(( sY
f
)(sF
)(sX
)()()( sYsFsX
f
=
[ ] )()()()()()(
11
sHsYsFsHsXsY
ff
==
)(
)(1
)(
)(
1
1
sF
sH
sH
sY
f
+
=
)22()1(
)2(
)(1
)(
)(
2
1
1
+?+
+
=
+
=
ksks
sk
sH
sH
sH
4.7 系统的稳定性信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
4-87页页页
■
电子教案电子教案罗斯阵列:
31 =+n
)22(1?k
)1(?k
)22(?k
0
0
00
当
0)22(01>,> kk
即,当
1>k
时,系统稳定。
4.7 系统的稳定性