信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-1页页页
■
电子教案电子教案第二章连续系统的时域分析
2.1 LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解二、关于0-和0+初始值三、零输入响应和零状态响应
2.2 冲激响应和阶跃响应一、冲激响应二、阶跃响应
2.3 卷积积分一、信号时域分解与卷积二、卷积的图解
2.4 卷积积分的性质一、卷积代数二、奇异函数的卷积特性三、卷积的微积分性质四、卷积的时移特性点击目录，进入相关章节信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-2页页页
■
电子教案电子教案
LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。
由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，
是学习各种变换域分析法的基础。
第二章连续系统的时域分析
2.1 LTI连续系统的响应
2.1 LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解
y
(n)
(t) + a
n-1
y
(n-1)
(t) + …+ a
1
y
(1)
(t) + a
0
y (t)
= b
m
f
(m)
(t) + b
m-1
f
(m-1)
(t) + …+ b
1
f
(1)
(t) + b
0
f (t)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-3页页页
■
电子教案电子教案2.1 LTI连续系统的响应微分方程的经典解：
y(t)(完全解) = y
h
(t)(齐次解) + y
p
(t)(特解）
齐次解是齐次微分方程
y
(n)
+a
n-1
y
(n-1)
+…+a
1
y
(1)
(t)+a
0
y(t)=0
的解。y
h
(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。
例描述某系统的微分方程为
y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t)
求（1）当f(t) = 2e
-t
，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解；
（2）当f(t) = e
-2t
，t≥0；y(0)= 1，y’(0)=0时的全解。
特解的函数形式与激励函数的形式有关。P43表2-1、2-2
齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励
f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；
特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-4页页页
■
电子教案电子教案2.1 LTI连续系统的响应解,(1) 特征方程为λ
2
+ 5λ+ 6 = 0 其特征根λ
1
= – 2，
λ
2
= – 3。齐次解为
y
h
(t) = C
1
e
–2t
+ C
2
e
–3t
由表2-2可知，当f(t) = 2e
–t
时，其特解可设为
y
p
(t) = Pe
–t
将其代入微分方程得
Pe
–t
+ 5(– Pe
–t
) + 6Pe
–t
= 2e
–t
解得P=1
于是特解为y
p
(t) = e
–t
全解为：y(t) = y
h
(t) + y
p
(t) = C
1
e
–2t
+ C
2
e
–3t
+ e
–t
其中待定常数C
1
,C
2
由初始条件确定。
y(0) = C
1
+C
2
+ 1 = 2，y’(0) = – 2C
1
–3C
2
–1= –1
解得C
1
= 3,C
2
= – 2
最后得全解y(t) = 3e
–2t
–2e
–3t
+ e
–t
,t≥0
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-5页页页
■
电子教案电子教案
（2）齐次解同上。当激励f(t)=e
–2t
时，其指数与特征根之一相重。由表知：其特解为
y
p
(t) = (P
1
t + P
0
)e
–2t
代入微分方程可得P
1
e
-2t
= e
–2t
所以P
1
= 1 但P
0
不能求得。全解为
y(t)= C
1
e
–2t
+ C
2
e
–3t
+ te
–2t
+ P
0
e
–2t
= (C
1
+P
0
)e
–2t
+C
2
e
–3t
+ te
–2t
将初始条件代入，得
y(0) = (C
1
+P
0
) + C
2
=1,y’(0)= –2(C
1
+P
0
) –3C
2
+1=0
解得C
1
+ P
0
= 2,C
2
= –1 最后得微分方程的全解为
y(t) = 2e
–2t
–e
–3t
+ te
–2t
,t≥0
上式第一项的系数C
1
+P
0
= 2，不能区分C
1
和P
0
，因而也不能区分自由响应和强迫响应。
2.1 LTI连续系统的响应信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-6页页页
■
电子教案电子教案2.1 LTI连续系统的响应二、关于0-和0+初始值若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数
C
i
时用t = 0
+
时刻的初始值，即y
(j)
(0+) (j=0,1,2…，n-
1)。
而y
(j)
(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。
在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y
(j)
(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。
通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。
这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态
y
(j)
(0-)设法求得y
(j)
(0+)。下列举例说明。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-7页页页
■
电子教案电子教案例：描述某系统的微分方程为
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t)
已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=ε(t)，求y(0
+
)和y’(0
+
)。
解：将输入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6ε(t) （1）
利用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，在0-<t<0
+
区间等号两端δ(t)项的系数应相等。
由于等号右端为2δ(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而y’(t)在t= 0处将发生跃变，即y’(0+)≠y’(0-)。
但y’(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有δ’(t)项。由于y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0处是连续的。
故y(0+) = y(0-) = 2
2.1 LTI连续系统的响应信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-8页页页
■
电子教案电子教案对式(1)两端积分有
∫∫∫∫∫
+
+
+
+
+
+=++
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)(6)(2)(2)('3)('' dttdttdttydttydtty εδ
由于积分在无穷小区间[0-，0
+
]进行的，且y(t)在t=0连续，
故
∫∫
+
+
==
0
0
0
0
0)(,0)( dttdtty ε
于是由上式得
[y’(0
+
) – y’(0-)] + 3[y(0
+
) – y(0-)]=2
考虑y(0+) = y(0-)=2,所以
y’(0
+
) – y’(0-) = 2,y’(0+) = y’(0-) + 2 =2
由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。
2.1 LTI连续系统的响应信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-9页页页
■
电子教案电子教案2.1 LTI连续系统的响应三、零输入响应和零状态响应
y(t) = y
x
(t) + y
f
(t),也可以分别用经典法求解。
注意：对t=0时接入激励f(t)的系统，初始值
y
x
(j)
(0+),y
f
(j)
(0+) (j = 0，1，2，…，n-1)的计算。
y
(j)
(0-)= y
x
(j)
(0-)+ y
f
(j)
(0-)
y
(j)
(0+)= y
x
(j)
(0+)+ y
f
(j)
(0+)
对于零输入响应，由于激励为零，故有
y
x
(j)
(0
+
)= y
x
(j)
(0
-
) = y
(j)
(0
-
)
对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有
y
f
(j)
(0-)=0
y
f
(j)
(0+)的求法下面举例说明。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-10页页页
■
电子教案电子教案2.1 LTI连续系统的响应例：描述某系统的微分方程为
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t)
已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应。
解：（1）零输入响应y
x
(t)激励为0,故y
x
(t)满足
y
x
”(t) + 3y
x
’(t) + 2y
x
(t) = 0
y
x
(0+)= y
x
(0-)= y(0-)=2
y
x
’(0+)= y
x
’(0-)= y’(0-)=0
该齐次方程的特征根为–1，–2，故
y
x
(t) = C
x1
e
–t
+ C
x2
e
–2t
代入初始值并解得系数为C
x1
=4,C
x2
= – 2,代入得
y
x
(t) = 4e
–t
–2e
–2t
,t > 0
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-11页页页
■
电子教案电子教案2.1 LTI连续系统的响应
（2）零状态响应y
f
(t)满足
y
f
”(t) + 3y
f
’(t) + 2y
f
(t) = 2δ(t) + 6ε(t) 并有
y
f
(0-) = y
f
’(0-) = 0
由于上式等号右端含有δ(t)，故y
f
”(t)含有δ(t)，从而
y
f
’(t)跃变，即y
f
’(0+)≠y
f
’(0-)，而y
f
(t)在t = 0连续，即
y
f
(0+) = y
f
(0-) = 0，积分得
[y
f
’(0+)- y
f
’(0-)]+ 3[y
f
(0+)- y
f
(0-)]+2
∫∫
+
+
+=
0
0
0
0
d)(62d)( tttty
f
ε
因此，y
f
’(0+)= 2 – y
f
’(0-)=2
对t>0时，有y
f
”(t) + 3y
f
’(t) + 2y
f
(t) = 6
不难求得其齐次解为C
f1
e
-t
+ C
f2
e
-2t
，其特解为常数3，
于是有y
f
(t)=C
f1
e
-t
+ C
f2
e
-2t
+ 3
代入初始值求得y
f
(t)= – 4e
-t
+ e
-2t
+ 3,t≥0
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-12页页页
■
电子教案电子教案2.2 冲激响应和阶跃响应
2.3冲激响应和阶跃响应一、冲激响应由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T[{0},δ(t)]
例1描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)
求其冲激响应h(t)。
解根据h(t)的定义有
h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ(t)
h’(0-) = h(0-) = 0
先求h’(0+)和h(0+)。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-13页页页
■
电子教案电子教案2.2冲激响应和阶跃响应因方程右端有δ(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含
δ(t)，h’(t)含ε(t)，h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0连续，
即h(0+)=h(0-)。积分得
[h’(0+) - h’(0-)] + 5[h(0+) - h(0-)] + 6 = 1
∫
+
0
0
)( dtth
考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得
h(0+)=h(0-)=0,h’(0+) =1 + h’(0-) = 1
对t>0时，有h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0
故系统的冲激响应为一齐次解。
微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为
h(t)=(C
1
e
-2t
+ C
2
e
-3t
)ε(t)
代入初始条件求得C
1
=1,C
2
=-1,所以
h(t)=( e
-2t
-e
-3t
)ε(t)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-14页页页
■
电子教案电子教案2.2冲激响应和阶跃响应例2描述某系统的微分方程为
y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t)
求其冲激响应h(t)。
解根据h(t)的定义有
h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1)
h’(0-) = h(0-) = 0
先求h’(0+)和h(0+)。
由方程可知，h(t) 中含δ(t)
故令h(t) = aδ(t) + p
1
(t) [p
i
(t) 为不含δ(t) 的某函数]
h’(t) = aδ’(t) + bδ(t) + p
2
(t)
h”(t) = aδ”(t) + bδ’(t) + cδ(t)+ p
3
(t)
代入式(1)，有信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-15页页页
■
电子教案电子教案2.2冲激响应和阶跃响应
aδ”(t) + bδ’(t)+ cδ(t) + p
3
(t) + 5[aδ’(t) + bδ(t) + p
2
(t) ]
+ 6[aδ(t) + p
1
(t) ] = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t)
整理得
aδ”(t)+(b+5a)δ’(t)+(c +5b+6a)δ(t) + p
3
(t)+5 p
2
(t)+6 p
1
(t)
= δ”(t) + 2δ’(t) + 3δ(t)
利用δ(t) 系数匹配，得a =1,b = - 3，c = 12
所以h(t) = δ(t) + p
1
(t) （2）
h’(t) = δ’(t) - 3δ(t) + p
2
(t) （3）
h”(t) = δ”(t) - 3 δ’(t) + 12δ(t)+ p
3
(t) （4）
对式(3)从0-到0+积分得h(0+) – h(0-) = – 3
对式(4)从0-到0+积分得h’(0+) – h’(0-) =12
故h(0+) = – 3，h’(0+) =12
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-16页页页
■
电子教案电子教案2.2冲激响应和阶跃响应微分方程的特征根为–2，–3。故系统的冲激响应为
h(t)= C
1
e
–2t
+ C
2
e
–3t
，t>0
代入初始条件h(0+) = – 3，h’(0+) =12
求得C
1
=3，C
2
= – 6,所以
h(t)= 3e
–2t
–6e
–3t
,t > 0
结合式(2)得
h(t)= δ(t) + (3e
–2t
–6e
–3t
)ε(t)
对t>0时，有h”(t) + 6h’(t) + 5h(t) = 0
二、阶跃响应
g(t)= T [ε(t),{0}]
t
tg
thhtg
t
d
)(d
)(,d)()( ==
∫
∞?
ττ
由于δ(t) 与ε(t) 为微积分关系，故信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-17页页页
■
电子教案电子教案
2.3卷积积分
2.3 卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分
1,信号的时域分解
(1) 预备知识
p(t)
1
t
0
2
2
(a)
f1(t)
A
t0
2
2
(b)
问f
1
(t) =? p(t)
直观看出
)(A)(
1
A
)(
1
tptptf?=
=
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-18页页页
■
电子教案电子教案
2.3卷积积分
(2) 任意信号分解
2
2
f(t)
t
0
2
3?
-1 0 1 2
…
…
)(
tf
f(0)
)(?f
)(f
“0”号脉冲高度f(0),宽度为△，
用p(t)表示为：f(0) △p(t)
“1”号脉冲高度f(△),宽度为
△，用p(t -△)表示为：
f(△) △p(t -△)
“-1”号脉冲高度f(-△),宽度为△，用p(t +△)表示为：f ( -△) △p(t + △)
∑
∞
∞=
=
n
ntpnftf )()()(
∫
∞
∞
→?
== ττδτ d)()()()(
lim
0
tftftf
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-19页页页
■
电子教案电子教案
2.3卷积积分
2,任意信号作用下的零状态响应
LTI系统零状态
y
f
(t)
f (t)
根据h(t)的定义：
δ (t) h(t)
由时不变性：
δ (t -τ )
h(t -τ )
f (τ )δ (t -τ )
由齐次性：
f (τ ) h(t -τ )
由叠加性：
ττδτ d)()(
∫
∞
∞
tf
τττ d)()(
∫
∞
∞
thf
‖
f (t)
‖
y
f
(t)
τττ d)()()(
∫
∞
∞
= thfty
f卷积积分信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-20页页页
■
电子教案电子教案
2.3卷积积分
3,卷积积分的定义已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f
1
(t)和f
2
(t)，
则定义积分
∫
∞
∞?
= τττ dtfftf )()()(
21
为f
1
(t)与f
2
(t)的卷积积分，简称卷积；记为
f(t)= f
1
(t)*f
2
(t)
注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量，t为参变量。结果仍为t 的函数。
)(*)(d)()()( thtfthfty
f
=?=
∫
∞
∞
τττ
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-21页页页
■
电子教案电子教案
2.3卷积积分例：f (t) = e
t
,（-∞<t<∞)，h(t) = (6e
-2t
–1)ε(t)，求 y
f
(t)。
解：y
f
(t) = f (t) * h(t)
∫
∞
∞
= ττε
ττ
d)(]1e6[e
)(2
t
t
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0
∫∫
∞
∞
=?=
t
t
t
t
f
ty ττ
ττττ
d)eee6(d]1e6[e)(
32)(2
ttttttt
tt
t
eeee2ee2e
ded)e6(e
3232
32
===
=
∞?∞?
∞?∞
∫∫
ττ
ττ
ττ
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-22页页页
■
电子教案电子教案
2.3卷积积分二、卷积的图解法
∫
∞
∞?
= τττ dtfftftf )()()(*)(
2121
卷积过程可分解为四步：
（1）换元：t换为τ→得f
1
(τ)，f
2
(τ)
（2）反转平移：由f
2
(τ)反转→f
2
(–τ)右移t →f
2
(t-τ)
（3）乘积：f
1
(τ) f
2
(t-τ)
（4）积分：τ从–∞到∞对乘积项积分。
注意：t为参变量。
下面举例说明。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-23页页页
■
电子教案电子教案
2.3卷积积分
t
h(τ )f (t -τ )
2
0
13
τ
2
1
=
例f (t),h(t)如图所示，求y
f
(t)= h(t) * f (t)。
[解]采用图形卷积。
f ( t -τ)
f (τ)反折 f (-τ)平移 t
① t < 0时,f ( t -τ)向左移
f ( t -τ) h(τ) = 0，故 y
f
(t) = 0
② 0≤ t ≤ 1 时,f ( t -τ)向右移
2
0
4
1
d
2
1
)( tty
t
f
=?=
∫
ττ
③ 1≤ t ≤ 2时
4
1
2
1
d
2
1
)(
1
=?=
∫
tty
t
t
f
ττ
⑤ 3≤ t 时
f ( t -τ) h(τ) = 0，故 y
f
(t) = 0
f ( t )
t
0
2
1
1
t
h ( t )
2
2
τ
τ
τ
τ
h(t)函数形式复杂换元为h(τ)。
f (t)换元f (τ)
f (-τ )
f (t -τ )
t-1 t
t-1 t t-1 t
t
yf (t )
2
0
13
4
1
4
3
t t-1 t t-1
④ 2≤ t ≤ 3 时
4
3
2
1
4
1
d
2
1
)(
2
2
1
++?=?=
∫
ttty
t
f
ττ
0
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-24页页页
■
电子教案电子教案
2.3卷积积分图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。
例：f
1
(t)、f
2
(t)如图所示，已知
f(t) = f
2
(t)* f
1
(t)，求f(2) =？
t
f 2( t )
-1
1
3
1
-1
f 1( t )
t2-2
2
τ
τ
τ
τ
f
1
(-τ)
f
1
(2-τ)
τ
f 1(2-τ ) f 2(τ )
2
2
-2
解：
∫
∞
∞?
= τττ d)2()()2(
12
fff
（1）换元
（2）f
1
(τ)得f
1
(–τ)
（3）f
1
(–τ)右移2得f
1
(2–τ)
（4）f
1
(2–τ)乘f
2
(τ)
（5）积分，得f(2) = 0（面积为0）
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-25页页页
■
电子教案电子教案
2.4卷积积分的性质
2.4卷积积分的性质卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质
（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。
下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
一、卷积代数满足乘法的三律：
1.交换律：f
1
(t)* f
2
(t) =f
2
(t)* f
1
(t)
2.分配律：f
1
(t)*[ f
2
(t)+ f
3
(t)] =f
1
(t)* f
2
(t)+ f
1
(t)* f
3
(t)
3.结合律：[f
1
(t)* f
2
(t)]* f
3
(t)] =f
1
(t)*[ f
2
(t) * f
3
(t)]
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-26页页页
■
电子教案电子教案
2.4卷积积分的性质二、奇异函数的卷积特性
1,f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t)
证：
)(d)()()(*)( tftftft =?=
∫
∞
∞?
τττδδ
f(t)*δ(t –t
0
) = f(t – t
0
)
2,f(t)*δ’(t) = f’(t)
证：
)('d)()(')(*)(' tftftft =?=
∫
∞
∞?
τττδδ
f(t)*δ
(n)
(t) = f
(n)
(t)
3,f(t)*ε(t)
∫∫
∞?
∞
∞?
=?=
t
ftf ττττετ d)(d)()(
ε(t) *ε(t) = tε(t)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-27页页页
■
电子教案电子教案
2.4 卷积积分的性质三、卷积的微积分性质
1.
[]
n
n
n
n
n
n
t
tf
tftf
t
tf
tftf
t d
)(d
*)()(*
d
)(d
)(*)(
d
d
2
12
1
21
==
证：上式= δ
(n)
(t) *[f
1
(t)* f
2
(t)]
= [δ
(n)
(t) *f
1
(t)] * f
2
(t) = f
1
(n)
(t) * f
2
(t)
2,]d)([*)()(*]d)([d)](*)([
212121
τττττττ
∫∫∫
∞?∞?∞?
==
ttt
ftftffff
证：上式= ε(t) *[f
1
(t)* f
2
(t)]
= [ε(t) *f
1
(t)] * f
2
(t) = f
1
(–1)
(t) * f
2
(t)
3,在f
1
(–∞) = 0或f
2
(–1)
(∞) = 0的前提下，
f
1
(t)* f
2
(t) = f
1
’(t)* f
2
(–1)
(t)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-28页页页
■
电子教案电子教案
2.4 卷积积分的性质例1：f
1
(t) = 1，f
2
(t) = e
–t
ε(t)，求f
1
(t)* f
2
(t)
解：通常复杂函数放前面，代入定义式得
f
2
(t)* f
1
(t)=
1eded)(e
0
0
=?==
∞?
∞
∞
∞?
∫∫
τττ
τττε
注意：套用f
1
(t)* f
2
(t) = f
1
’(t)* f
2
(–1)
(t)
= 0* f
2
(–1)
(t) = 0 显然是错误的。
例2：f
1
(t) 如图,f
2
(t) = e
–t
ε(t)，求f
1
(t)* f
2
(t)
)()e1()(e)(ded)(e)(
0
0
)1(
2
ttttf
tt
tt
εεετττε
τττ
∞?
==
==
∫∫
f 1(t)
t20
1
解法一：f
1
(t)* f
2
(t) = f
1
’(t)* f
2
(–1)
(t)
f
1
’(t) =δ(t) –δ(t –2)
f
1
(t)* f
2
(t)=(1- e
–t
)ε(t) – [1- e
–(t-2)
]ε(t-2)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-29页页页
■
电子教案电子教案
2.4 卷积积分的性质解：
f
1
(t) =ε(t) –ε(t –2)
f
1
(t)* f
2
(t)= ε(t) * f
2
(t) –ε(t –2) * f
2
(t)
ε(t) * f
2
(t)= f
2
(-1)
(t)
四、卷积的时移特性若f(t) = f
1
(t)* f
2
(t)，
则f
1
(t –t
1
)* f
2
(t –t
2
) = f
1
(t –t
1
–t
2
)* f
2
(t)
= f
1
(t)* f
2
(t –t
1
–t
2
) = f(t –t
1
–t
2
)
前例：f
1
(t) 如图,f
2
(t) = e
–t
ε(t)，求f
1
(t)* f
2
(t)
f 1(t)
t20
1
利用时移特性，有ε(t –2) * f
2
(t)= f
2
(-1)
(t –2)
f
1
(t)* f
2
(t)=(1- e
–t
)ε(t) – [1- e
–(t-2)
]ε(t-2)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-30页页页
■
电子教案电子教案
2.4 卷积积分的性质例：f
1
(t),f
2
(t)如图，求f
1
(t)* f
2
(t)
t1
1
-1
f 1(t)
t10
2
f 2(t)
0
解：f
1
(t) = 2ε(t) –2ε(t –1)
f
2
(t) = ε(t+1) –ε(t –1)
f
1
(t)* f
2
(t)
= 2ε(t)* ε(t+1) –2ε(t)* ε(t –1)
–2ε(t –1)* ε(t+1) –2ε(t –1)* ε(t –1)
由于ε(t)* ε(t) = tε(t)
据时移特性，有
f
1
(t)* f
2
(t) = 2 (t+1) ε(t+1) - 2 (t –1) ε(t –1)
–2 tε(t) –2 (t –2) ε(t –2)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-31页页页
■
电子教案电子教案
2.4 卷积积分的性质求卷积是本章的重点与难点。
求解卷积的方法可归纳为：
（1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。
（2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。
（3）利用性质。比较灵活。
三者常常结合起来使用。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-32页页页
■
电子教案电子教案
LTI连续系统的时域分析可归结为：
建立并求解线性微分方程。
一、微分方程的经典解（复习）
2.5 微分方程的经典解
2.5 LTI连续系统微分方程的经典解
y
(n)
(t) + a
n-1
y
(n-1)
(t) + …+ a
1
y
(1)
(t) + a
0
y (t)
= b
m
f
(m)
(t) + b
m-1
f
(m-1)
(t) + …+ b
1
f
(1)
(t) + b
0
f (t)
微分方程的经典解：
y(t)(完全解) = y
h
(t)(齐次解) + y
p
(t)(特解）
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-33页页页
■
电子教案电子教案2.5 微分方程的经典解齐次解是齐次微分方程
y
(n)
+a
n-1
y
(n-1)
+…+a
1
y
(1)
(t)+a
0
y(t)=0
的解。y
h
(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。
例描述某系统的微分方程为
y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t)
求（1）当f(t) = 2e
-t
，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解；
（2）当f(t) = e
-2t
，t≥0；y(0)= 1，y’(0)=0时的全解。
特解的函数形式与激励函数的形式有关。P78表2-4
齐次解 的函数形式仅与系统本身的特性有关，而 与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的 固有响应 或 自由响应 ；
特解 的函数形式由激励确定，称为 强迫响应。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-34页页页
■
电子教案电子教案2.5 微分方程的经典解解,(1) 特征方程为λ
2
+ 5λ+ 6 = 0 其特征根λ
1
= – 2，
λ
2
= – 3。齐次解为
y
h
(t) = C
1
e
–2t
+ C
2
e
–3t
由表2-4可知，当f(t) = 2e
–t
时，其特解可设为
y
p
(t) = Qe
–t
将其代入微分方程得
Qe
–t
+ 5(– Qe
–t
) + 6Qe
–t
= 2e
–t
解得Q=1
于是特解为y
p
(t) = e
–t
全解为：y(t) = y
h
(t) + y
p
(t) = C
1
e
–2t
+ C
2
e
–3t
+ e
–t
其中待定常数C
1
,C
2
由初始条件确定。
y(0) = C
1
+C
2
+ 1 = 2，y’(0) = – 2C
1
–3C
2
–1= –1
解得C
1
= 3,C
2
= – 2
最后得全解y(t) = 3e
–2t
–2e
–3t
+ e
–t
,t≥0
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-35页页页
■
电子教案电子教案
（2）齐次解同上。当激励f(t)=e
–2t
时，其指数与特征根之一相重。由表知：其特解为
y
p
(t) = (Q
0
+ Q
1
t)e
–2t
代入微分方程可得Q
1
e
-2t
= e
–2t
所以Q
1
= 1 但Q
0
不能求得。全解为
y(t)= C
1
e
–2t
+ C
2
e
–3t
+ te
–2t
+ Q
0
e
–2t
= (C
1
+Q
0
)e
–2t
+C
2
e
–3t
+ te
–2t
将初始条件代入，得
y(0) = (C
1
+Q
0
) + C
2
=1,y’(0)= –2(C
1
+Q
0
) –3C
2
+1=0
解得C
1
+ Q
0
= 2,C
2
= –1 最后得微分方程的全解为
y(t) = 2e
–2t
–e
–3t
+ te
–2t
,t≥0
上式第一项的系数C
1
+P
0
= 2，不能区分C
1
和P
0
，因而也不能区分自由响应和强迫响应。
2.5 微分方程的经典解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-36页页页
■
电子教案电子教案2.5 微分方程的经典解二、用系数匹配法求0+初始值若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数
C
i
时用t = 0
+
时刻的初始值，即y
(j)
(0+) (j=0,1,2…，n-
1)。
而y
(j)
(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。
在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y
(j)
(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。
通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。
这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态
y
(j)
(0-)设法求得y
(j)
(0+)。下列举例说明。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-37页页页
■
电子教案电子教案例：描述某系统的微分方程为
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t)
已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=ε(t)，求y(0
+
)和y’(0
+
)。
解：将输入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6ε(t) （1）
用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，在0-<t<0
+
区间等号两端δ(t)项的系数应相等。
由于等号右端为2δ(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而y’(t)在t= 0处将发生跃变，即y’(0+)≠y’(0-)。
但y’(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有δ’(t)项。由于y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0处是连续的。
即y(0+) = y(0-) = 2
2.5 微分方程的经典解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-38页页页
■
电子教案电子教案对式(1)两端积分有
∫∫∫∫∫
+
+
+
+
+
+=++
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)(6)(2)(2)('3)('' dttdttdttydttydtty εδ
由于积分在无穷小区间[0-，0
+
]进行的，且y(t)在t=0连续，
故
∫∫
+
+
==
0
0
0
0
0)(,0)( dttdtty ε
于是由上式得
[y’(0
+
) – y’(0-)] + 3[y(0
+
) – y(0-)]=2
考虑y(0+) = y(0-)=2,所以
y’(0
+
) – y’(0-) = 2,y’(0+) = y’(0-) + 2 =2
由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。
2.5 微分方程的经典解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-39页页页
■
电子教案电子教案2.5 微分方程的经典解三、零输入响应和零状态响应
y(t) = y
x
(t) + y
f
(t),也可以分别用经典法求解。
注意：对t=0时接入激励f(t)的系统，
初始值y
x
(j)
(0+),y
f
(j)
(0+) (j = 0，1，2，…，n-1)的计算：
y
(j)
(0-)= y
x
(j)
(0-)+ y
f
(j)
(0-)
y
(j)
(0+)= y
x
(j)
(0+)+ y
f
(j)
(0+)
对于零输入响应，由于激励为零，故有
y
x
(j)
(0
+
)= y
x
(j)
(0
-
) = y
(j)
(0
-
)
对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有
y
f
(j)
(0-)=0
y
f
(j)
(0+)的求法下面举例说明。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-40页页页
■
电子教案电子教案2.5 微分方程的经典解例1：描述某系统的微分方程为
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t)
已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应。
解：（1）零输入响应y
x
(t)因为激励为0,故y
x
(t)满足
y
x
”(t) + 3y
x
’(t) + 2y
x
(t) = 0
y
x
(0+)= y
x
(0-)= y(0-)=2
y
x
’(0+)= y
x
’(0-)= y’(0-)=0
该齐次方程的特征根为–1，–2，故
y
x
(t) = C
1
e
–t
+ C
2
e
–2t
代入初始值并解得系数为C
1
=4,C
2
= – 2,代入得
y
x
(t) = 4e
–t
–2e
–2t
,t > 0
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-41页页页
■
电子教案电子教案2.5 微分方程的经典解
（2）零状态响应y
f
(t)满足
y
f
”(t) + 3y
f
’(t) + 2y
f
(t) = 2δ(t) + 6ε(t) 并有
y
f
(0-) = y
f
’(0-) = 0
由于上式等号右端含有δ(t)，故y
f
”(t)含有δ(t)，从而
y
f
’(t)跃变，即y
f
’(0+)≠y
f
’(0-)，而y
f
(t)在t = 0连续，即
y
f
(0+) = y
f
(0-) = 0，积分得
[y
f
’(0+)- y
f
’(0-)]+ 3[y
f
(0+)- y
f
(0-)]+2
∫∫
+
+
+=
0
0
0
0
d)(62d)( tttty
f
ε
因此，y
f
’(0+)= 2 – y
f
’(0-)=2
对t>0时，有y
f
”(t) + 3y
f
’(t) + 2y
f
(t) = 6
不难求得其齐次解为D
1
e
-t
+ D
2
e
-2t
，其特解为常数3，
于是有y
f
(t)=D
1
e
-t
+ D
2
e
-2t
+ 3
代入初始值求得y
f
(t)= – 4e
-t
+ e
-2t
+ 3,t≥0
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-42页页页
■
电子教案电子教案2.5 微分方程的经典解例2描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)
求其冲激响应h(t)。
解根据h(t)的定义有
h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ(t)
h’(0-) = h(0-) = 0
先求h’(0+)和h(0+)。
用微分方程的传统的经典解法也可以解冲激响应
h(t)。因为单位冲激响应是由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应。h(t)=T[{0},δ(t)]
（但经典法对于方程右边为复杂输入时运算很繁琐）
因方程右端有δ(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含
δ(t)，h’(t)含ε(t)，h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0连续，
即h(0+)=h(0-)。
∫
+
0
0
)( dtth
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-43页页页
■
电子教案电子教案2.5 微分方程的经典解在无穷小区间[0-，0
+
]对上式积分得：
[h’(0+) - h’(0-)] + 5[h(0+) - h(0-)] + 6 = 1
∫
+
0
0
)( dtth
考虑h(0+)= h(0-) =0，由上式可得
h’(0+) =1 + h’(0-) = 1
对t>0时，有h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0
故系统的冲激响应为一齐次解（形式）。
微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为
h(t)=(C
1
e
-2t
+ C
2
e
-3t
)ε(t)
代入初始条件求得C
1
=1,C
2
=-1,所以
h(t)=( e
-2t
-e
-3t
)ε(t)
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-1页页页
■
电子教案电子教案第二章连续系统的时域分析
2.1 LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解二、关于0-和0+初始值三、零输入响应和零状态响应
2.2 冲激响应和阶跃响应一、冲激响应二、阶跃响应
2.3 卷积积分一、信号时域分解与卷积二、卷积的图解
2.4 卷积积分的性质一、卷积代数二、奇异函数的卷积特性三、卷积的微积分性质四、卷积的时移特性点击目录，进入相关章节信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-2页页页
■
电子教案电子教案
LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。
由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，
是学习各种变换域分析法的基础。
第二章连续系统的时域分析
2.1 LTI连续系统的响应
2.1 LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解
y
(n)
(t) + a
n-1
y
(n-1)
(t) + …+ a
1
y
(1)
(t) + a
0
y (t)
= b
m
f
(m)
(t) + b
m-1
f
(m-1)
(t) + …+ b
1
f
(1)
(t) + b
0
f (t)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-3页页页
■
电子教案电子教案2.1 LTI连续系统的响应微分方程的经典解：
y(t)(完全解) = y
h
(t)(齐次解) + y
p
(t)(特解）
齐次解是齐次微分方程
y
(n)
+a
n-1
y
(n-1)
+…+a
1
y
(1)
(t)+a
0
y(t)=0
的解。y
h
(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。
例描述某系统的微分方程为
y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t)
求（1）当f(t) = 2e
-t
，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解；
（2）当f(t) = e
-2t
，t≥0；y(0)= 1，y’(0)=0时的全解。
特解的函数形式与激励函数的形式有关。P43表2-1、2-2
齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励
f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；
特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-4页页页
■
电子教案电子教案2.1 LTI连续系统的响应解,(1) 特征方程为λ
2
+ 5λ+ 6 = 0 其特征根λ
1
= – 2，
λ
2
= – 3。齐次解为
y
h
(t) = C
1
e
–2t
+ C
2
e
–3t
由表2-2可知，当f(t) = 2e
–t
时，其特解可设为
y
p
(t) = Pe
–t
将其代入微分方程得
Pe
–t
+ 5(– Pe
–t
) + 6Pe
–t
= 2e
–t
解得P=1
于是特解为y
p
(t) = e
–t
全解为：y(t) = y
h
(t) + y
p
(t) = C
1
e
–2t
+ C
2
e
–3t
+ e
–t
其中待定常数C
1
,C
2
由初始条件确定。
y(0) = C
1
+C
2
+ 1 = 2，y’(0) = – 2C
1
–3C
2
–1= –1
解得C
1
= 3,C
2
= – 2
最后得全解y(t) = 3e
–2t
–2e
–3t
+ e
–t
,t≥0
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-5页页页
■
电子教案电子教案
（2）齐次解同上。当激励f(t)=e
–2t
时，其指数与特征根之一相重。由表知：其特解为
y
p
(t) = (P
1
t + P
0
)e
–2t
代入微分方程可得P
1
e
-2t
= e
–2t
所以P
1
= 1 但P
0
不能求得。全解为
y(t)= C
1
e
–2t
+ C
2
e
–3t
+ te
–2t
+ P
0
e
–2t
= (C
1
+P
0
)e
–2t
+C
2
e
–3t
+ te
–2t
将初始条件代入，得
y(0) = (C
1
+P
0
) + C
2
=1,y’(0)= –2(C
1
+P
0
) –3C
2
+1=0
解得C
1
+ P
0
= 2,C
2
= –1 最后得微分方程的全解为
y(t) = 2e
–2t
–e
–3t
+ te
–2t
,t≥0
上式第一项的系数C
1
+P
0
= 2，不能区分C
1
和P
0
，因而也不能区分自由响应和强迫响应。
2.1 LTI连续系统的响应信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-6页页页
■
电子教案电子教案2.1 LTI连续系统的响应二、关于0-和0+初始值若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数
C
i
时用t = 0
+
时刻的初始值，即y
(j)
(0+) (j=0,1,2…，n-
1)。
而y
(j)
(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。
在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y
(j)
(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。
通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。
这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态
y
(j)
(0-)设法求得y
(j)
(0+)。下列举例说明。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-7页页页
■
电子教案电子教案例：描述某系统的微分方程为
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t)
已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=ε(t)，求y(0
+
)和y’(0
+
)。
解：将输入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6ε(t) （1）
利用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，在0-<t<0
+
区间等号两端δ(t)项的系数应相等。
由于等号右端为2δ(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而y’(t)在t= 0处将发生跃变，即y’(0+)≠y’(0-)。
但y’(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有δ’(t)项。由于y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0处是连续的。
故y(0+) = y(0-) = 2
2.1 LTI连续系统的响应信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-8页页页
■
电子教案电子教案对式(1)两端积分有
∫∫∫∫∫
+
+
+
+
+
+=++
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)(6)(2)(2)('3)('' dttdttdttydttydtty εδ
由于积分在无穷小区间[0-，0
+
]进行的，且y(t)在t=0连续，
故
∫∫
+
+
==
0
0
0
0
0)(,0)( dttdtty ε
于是由上式得
[y’(0
+
) – y’(0-)] + 3[y(0
+
) – y(0-)]=2
考虑y(0+) = y(0-)=2,所以
y’(0
+
) – y’(0-) = 2,y’(0+) = y’(0-) + 2 =2
由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。
2.1 LTI连续系统的响应信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-9页页页
■
电子教案电子教案2.1 LTI连续系统的响应三、零输入响应和零状态响应
y(t) = y
x
(t) + y
f
(t),也可以分别用经典法求解。
注意：对t=0时接入激励f(t)的系统，初始值
y
x
(j)
(0+),y
f
(j)
(0+) (j = 0，1，2，…，n-1)的计算。
y
(j)
(0-)= y
x
(j)
(0-)+ y
f
(j)
(0-)
y
(j)
(0+)= y
x
(j)
(0+)+ y
f
(j)
(0+)
对于零输入响应，由于激励为零，故有
y
x
(j)
(0
+
)= y
x
(j)
(0
-
) = y
(j)
(0
-
)
对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有
y
f
(j)
(0-)=0
y
f
(j)
(0+)的求法下面举例说明。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-10页页页
■
电子教案电子教案2.1 LTI连续系统的响应例：描述某系统的微分方程为
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t)
已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应。
解：（1）零输入响应y
x
(t)激励为0,故y
x
(t)满足
y
x
”(t) + 3y
x
’(t) + 2y
x
(t) = 0
y
x
(0+)= y
x
(0-)= y(0-)=2
y
x
’(0+)= y
x
’(0-)= y’(0-)=0
该齐次方程的特征根为–1，–2，故
y
x
(t) = C
x1
e
–t
+ C
x2
e
–2t
代入初始值并解得系数为C
x1
=4,C
x2
= – 2,代入得
y
x
(t) = 4e
–t
–2e
–2t
,t > 0
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-11页页页
■
电子教案电子教案2.1 LTI连续系统的响应
（2）零状态响应y
f
(t)满足
y
f
”(t) + 3y
f
’(t) + 2y
f
(t) = 2δ(t) + 6ε(t) 并有
y
f
(0-) = y
f
’(0-) = 0
由于上式等号右端含有δ(t)，故y
f
”(t)含有δ(t)，从而
y
f
’(t)跃变，即y
f
’(0+)≠y
f
’(0-)，而y
f
(t)在t = 0连续，即
y
f
(0+) = y
f
(0-) = 0，积分得
[y
f
’(0+)- y
f
’(0-)]+ 3[y
f
(0+)- y
f
(0-)]+2
∫∫
+
+
+=
0
0
0
0
d)(62d)( tttty
f
ε
因此，y
f
’(0+)= 2 – y
f
’(0-)=2
对t>0时，有y
f
”(t) + 3y
f
’(t) + 2y
f
(t) = 6
不难求得其齐次解为C
f1
e
-t
+ C
f2
e
-2t
，其特解为常数3，
于是有y
f
(t)=C
f1
e
-t
+ C
f2
e
-2t
+ 3
代入初始值求得y
f
(t)= – 4e
-t
+ e
-2t
+ 3,t≥0
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-12页页页
■
电子教案电子教案2.2 冲激响应和阶跃响应
2.3冲激响应和阶跃响应一、冲激响应由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T[{0},δ(t)]
例1描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)
求其冲激响应h(t)。
解根据h(t)的定义有
h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ(t)
h’(0-) = h(0-) = 0
先求h’(0+)和h(0+)。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-13页页页
■
电子教案电子教案2.2冲激响应和阶跃响应因方程右端有δ(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含
δ(t)，h’(t)含ε(t)，h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0连续，
即h(0+)=h(0-)。积分得
[h’(0+) - h’(0-)] + 5[h(0+) - h(0-)] + 6 = 1
∫
+
0
0
)( dtth
考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得
h(0+)=h(0-)=0,h’(0+) =1 + h’(0-) = 1
对t>0时，有h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0
故系统的冲激响应为一齐次解。
微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为
h(t)=(C
1
e
-2t
+ C
2
e
-3t
)ε(t)
代入初始条件求得C
1
=1,C
2
=-1,所以
h(t)=( e
-2t
-e
-3t
)ε(t)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-14页页页
■
电子教案电子教案2.2冲激响应和阶跃响应例2描述某系统的微分方程为
y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t)
求其冲激响应h(t)。
解根据h(t)的定义有
h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1)
h’(0-) = h(0-) = 0
先求h’(0+)和h(0+)。
由方程可知，h(t) 中含δ(t)
故令h(t) = aδ(t) + p
1
(t) [p
i
(t) 为不含δ(t) 的某函数]
h’(t) = aδ’(t) + bδ(t) + p
2
(t)
h”(t) = aδ”(t) + bδ’(t) + cδ(t)+ p
3
(t)
代入式(1)，有信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-15页页页
■
电子教案电子教案2.2冲激响应和阶跃响应
aδ”(t) + bδ’(t)+ cδ(t) + p
3
(t) + 5[aδ’(t) + bδ(t) + p
2
(t) ]
+ 6[aδ(t) + p
1
(t) ] = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t)
整理得
aδ”(t)+(b+5a)δ’(t)+(c +5b+6a)δ(t) + p
3
(t)+5 p
2
(t)+6 p
1
(t)
= δ”(t) + 2δ’(t) + 3δ(t)
利用δ(t) 系数匹配，得a =1,b = - 3，c = 12
所以h(t) = δ(t) + p
1
(t) （2）
h’(t) = δ’(t) - 3δ(t) + p
2
(t) （3）
h”(t) = δ”(t) - 3 δ’(t) + 12δ(t)+ p
3
(t) （4）
对式(3)从0-到0+积分得h(0+) – h(0-) = – 3
对式(4)从0-到0+积分得h’(0+) – h’(0-) =12
故h(0+) = – 3，h’(0+) =12
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-16页页页
■
电子教案电子教案2.2冲激响应和阶跃响应微分方程的特征根为–2，–3。故系统的冲激响应为
h(t)= C
1
e
–2t
+ C
2
e
–3t
，t>0
代入初始条件h(0+) = – 3，h’(0+) =12
求得C
1
=3，C
2
= – 6,所以
h(t)= 3e
–2t
–6e
–3t
,t > 0
结合式(2)得
h(t)= δ(t) + (3e
–2t
–6e
–3t
)ε(t)
对t>0时，有h”(t) + 6h’(t) + 5h(t) = 0
二、阶跃响应
g(t)= T [ε(t),{0}]
t
tg
thhtg
t
d
)(d
)(,d)()( ==
∫
∞?
ττ
由于δ(t) 与ε(t) 为微积分关系，故信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-17页页页
■
电子教案电子教案
2.3卷积积分
2.3 卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分
1,信号的时域分解
(1) 预备知识
p(t)
1
t
0
2
2
(a)
f1(t)
A
t0
2
2
(b)
问f
1
(t) =? p(t)
直观看出
)(A)(
1
A
)(
1
tptptf?=
=
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-18页页页
■
电子教案电子教案
2.3卷积积分
(2) 任意信号分解
2
2
f(t)
t
0
2
3?
-1 0 1 2
…
…
)(
tf
f(0)
)(?f
)(f
“0”号脉冲高度f(0),宽度为△，
用p(t)表示为：f(0) △p(t)
“1”号脉冲高度f(△),宽度为
△，用p(t -△)表示为：
f(△) △p(t -△)
“-1”号脉冲高度f(-△),宽度为△，用p(t +△)表示为：f ( -△) △p(t + △)
∑
∞
∞=
=
n
ntpnftf )()()(
∫
∞
∞
→?
== ττδτ d)()()()(
lim
0
tftftf
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-19页页页
■
电子教案电子教案
2.3卷积积分
2,任意信号作用下的零状态响应
LTI系统零状态
y
f
(t)
f (t)
根据h(t)的定义：
δ (t) h(t)
由时不变性：
δ (t -τ )
h(t -τ )
f (τ )δ (t -τ )
由齐次性：
f (τ ) h(t -τ )
由叠加性：
ττδτ d)()(
∫
∞
∞
tf
τττ d)()(
∫
∞
∞
thf
‖
f (t)
‖
y
f
(t)
τττ d)()()(
∫
∞
∞
= thfty
f卷积积分信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-20页页页
■
电子教案电子教案
2.3卷积积分
3,卷积积分的定义已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f
1
(t)和f
2
(t)，
则定义积分
∫
∞
∞?
= τττ dtfftf )()()(
21
为f
1
(t)与f
2
(t)的卷积积分，简称卷积；记为
f(t)= f
1
(t)*f
2
(t)
注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量，t为参变量。结果仍为t 的函数。
)(*)(d)()()( thtfthfty
f
=?=
∫
∞
∞
τττ
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-21页页页
■
电子教案电子教案
2.3卷积积分例：f (t) = e
t
,（-∞<t<∞)，h(t) = (6e
-2t
–1)ε(t)，求 y
f
(t)。
解：y
f
(t) = f (t) * h(t)
∫
∞
∞
= ττε
ττ
d)(]1e6[e
)(2
t
t
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0
∫∫
∞
∞
=?=
t
t
t
t
f
ty ττ
ττττ
d)eee6(d]1e6[e)(
32)(2
ttttttt
tt
t
eeee2ee2e
ded)e6(e
3232
32
===
=
∞?∞?
∞?∞
∫∫
ττ
ττ
ττ
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-22页页页
■
电子教案电子教案
2.3卷积积分二、卷积的图解法
∫
∞
∞?
= τττ dtfftftf )()()(*)(
2121
卷积过程可分解为四步：
（1）换元：t换为τ→得f
1
(τ)，f
2
(τ)
（2）反转平移：由f
2
(τ)反转→f
2
(–τ)右移t →f
2
(t-τ)
（3）乘积：f
1
(τ) f
2
(t-τ)
（4）积分：τ从–∞到∞对乘积项积分。
注意：t为参变量。
下面举例说明。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-23页页页
■
电子教案电子教案
2.3卷积积分
t
h(τ )f (t -τ )
2
0
13
τ
2
1
=
例f (t),h(t)如图所示，求y
f
(t)= h(t) * f (t)。
[解]采用图形卷积。
f ( t -τ)
f (τ)反折 f (-τ)平移 t
① t < 0时,f ( t -τ)向左移
f ( t -τ) h(τ) = 0，故 y
f
(t) = 0
② 0≤ t ≤ 1 时,f ( t -τ)向右移
2
0
4
1
d
2
1
)( tty
t
f
=?=
∫
ττ
③ 1≤ t ≤ 2时
4
1
2
1
d
2
1
)(
1
=?=
∫
tty
t
t
f
ττ
⑤ 3≤ t 时
f ( t -τ) h(τ) = 0，故 y
f
(t) = 0
f ( t )
t
0
2
1
1
t
h ( t )
2
2
τ
τ
τ
τ
h(t)函数形式复杂换元为h(τ)。
f (t)换元f (τ)
f (-τ )
f (t -τ )
t-1 t
t-1 t t-1 t
t
yf (t )
2
0
13
4
1
4
3
t t-1 t t-1
④ 2≤ t ≤ 3 时
4
3
2
1
4
1
d
2
1
)(
2
2
1
++?=?=
∫
ttty
t
f
ττ
0
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-24页页页
■
电子教案电子教案
2.3卷积积分图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。
例：f
1
(t)、f
2
(t)如图所示，已知
f(t) = f
2
(t)* f
1
(t)，求f(2) =？
t
f 2( t )
-1
1
3
1
-1
f 1( t )
t2-2
2
τ
τ
τ
τ
f
1
(-τ)
f
1
(2-τ)
τ
f 1(2-τ ) f 2(τ )
2
2
-2
解：
∫
∞
∞?
= τττ d)2()()2(
12
fff
（1）换元
（2）f
1
(τ)得f
1
(–τ)
（3）f
1
(–τ)右移2得f
1
(2–τ)
（4）f
1
(2–τ)乘f
2
(τ)
（5）积分，得f(2) = 0（面积为0）
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-25页页页
■
电子教案电子教案
2.4卷积积分的性质
2.4卷积积分的性质卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质
（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。
下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
一、卷积代数满足乘法的三律：
1.交换律：f
1
(t)* f
2
(t) =f
2
(t)* f
1
(t)
2.分配律：f
1
(t)*[ f
2
(t)+ f
3
(t)] =f
1
(t)* f
2
(t)+ f
1
(t)* f
3
(t)
3.结合律：[f
1
(t)* f
2
(t)]* f
3
(t)] =f
1
(t)*[ f
2
(t) * f
3
(t)]
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-26页页页
■
电子教案电子教案
2.4卷积积分的性质二、奇异函数的卷积特性
1,f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t)
证：
)(d)()()(*)( tftftft =?=
∫
∞
∞?
τττδδ
f(t)*δ(t –t
0
) = f(t – t
0
)
2,f(t)*δ’(t) = f’(t)
证：
)('d)()(')(*)(' tftftft =?=
∫
∞
∞?
τττδδ
f(t)*δ
(n)
(t) = f
(n)
(t)
3,f(t)*ε(t)
∫∫
∞?
∞
∞?
=?=
t
ftf ττττετ d)(d)()(
ε(t) *ε(t) = tε(t)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-27页页页
■
电子教案电子教案
2.4 卷积积分的性质三、卷积的微积分性质
1.
[]
n
n
n
n
n
n
t
tf
tftf
t
tf
tftf
t d
)(d
*)()(*
d
)(d
)(*)(
d
d
2
12
1
21
==
证：上式= δ
(n)
(t) *[f
1
(t)* f
2
(t)]
= [δ
(n)
(t) *f
1
(t)] * f
2
(t) = f
1
(n)
(t) * f
2
(t)
2,]d)([*)()(*]d)([d)](*)([
212121
τττττττ
∫∫∫
∞?∞?∞?
==
ttt
ftftffff
证：上式= ε(t) *[f
1
(t)* f
2
(t)]
= [ε(t) *f
1
(t)] * f
2
(t) = f
1
(–1)
(t) * f
2
(t)
3,在f
1
(–∞) = 0或f
2
(–1)
(∞) = 0的前提下，
f
1
(t)* f
2
(t) = f
1
’(t)* f
2
(–1)
(t)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-28页页页
■
电子教案电子教案
2.4 卷积积分的性质例1：f
1
(t) = 1，f
2
(t) = e
–t
ε(t)，求f
1
(t)* f
2
(t)
解：通常复杂函数放前面，代入定义式得
f
2
(t)* f
1
(t)=
1eded)(e
0
0
=?==
∞?
∞
∞
∞?
∫∫
τττ
τττε
注意：套用f
1
(t)* f
2
(t) = f
1
’(t)* f
2
(–1)
(t)
= 0* f
2
(–1)
(t) = 0 显然是错误的。
例2：f
1
(t) 如图,f
2
(t) = e
–t
ε(t)，求f
1
(t)* f
2
(t)
)()e1()(e)(ded)(e)(
0
0
)1(
2
ttttf
tt
tt
εεετττε
τττ
∞?
==
==
∫∫
f 1(t)
t20
1
解法一：f
1
(t)* f
2
(t) = f
1
’(t)* f
2
(–1)
(t)
f
1
’(t) =δ(t) –δ(t –2)
f
1
(t)* f
2
(t)=(1- e
–t
)ε(t) – [1- e
–(t-2)
]ε(t-2)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-29页页页
■
电子教案电子教案
2.4 卷积积分的性质解：
f
1
(t) =ε(t) –ε(t –2)
f
1
(t)* f
2
(t)= ε(t) * f
2
(t) –ε(t –2) * f
2
(t)
ε(t) * f
2
(t)= f
2
(-1)
(t)
四、卷积的时移特性若f(t) = f
1
(t)* f
2
(t)，
则f
1
(t –t
1
)* f
2
(t –t
2
) = f
1
(t –t
1
–t
2
)* f
2
(t)
= f
1
(t)* f
2
(t –t
1
–t
2
) = f(t –t
1
–t
2
)
前例：f
1
(t) 如图,f
2
(t) = e
–t
ε(t)，求f
1
(t)* f
2
(t)
f 1(t)
t20
1
利用时移特性，有ε(t –2) * f
2
(t)= f
2
(-1)
(t –2)
f
1
(t)* f
2
(t)=(1- e
–t
)ε(t) – [1- e
–(t-2)
]ε(t-2)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-30页页页
■
电子教案电子教案
2.4 卷积积分的性质例：f
1
(t),f
2
(t)如图，求f
1
(t)* f
2
(t)
t1
1
-1
f 1(t)
t10
2
f 2(t)
0
解：f
1
(t) = 2ε(t) –2ε(t –1)
f
2
(t) = ε(t+1) –ε(t –1)
f
1
(t)* f
2
(t)
= 2ε(t)* ε(t+1) –2ε(t)* ε(t –1)
–2ε(t –1)* ε(t+1) –2ε(t –1)* ε(t –1)
由于ε(t)* ε(t) = tε(t)
据时移特性，有
f
1
(t)* f
2
(t) = 2 (t+1) ε(t+1) - 2 (t –1) ε(t –1)
–2 tε(t) –2 (t –2) ε(t –2)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-31页页页
■
电子教案电子教案
2.4 卷积积分的性质求卷积是本章的重点与难点。
求解卷积的方法可归纳为：
（1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。
（2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。
（3）利用性质。比较灵活。
三者常常结合起来使用。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-32页页页
■
电子教案电子教案
LTI连续系统的时域分析可归结为：
建立并求解线性微分方程。
一、微分方程的经典解（复习）
2.5 微分方程的经典解
2.5 LTI连续系统微分方程的经典解
y
(n)
(t) + a
n-1
y
(n-1)
(t) + …+ a
1
y
(1)
(t) + a
0
y (t)
= b
m
f
(m)
(t) + b
m-1
f
(m-1)
(t) + …+ b
1
f
(1)
(t) + b
0
f (t)
微分方程的经典解：
y(t)(完全解) = y
h
(t)(齐次解) + y
p
(t)(特解）
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-33页页页
■
电子教案电子教案2.5 微分方程的经典解齐次解是齐次微分方程
y
(n)
+a
n-1
y
(n-1)
+…+a
1
y
(1)
(t)+a
0
y(t)=0
的解。y
h
(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。
例描述某系统的微分方程为
y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t)
求（1）当f(t) = 2e
-t
，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解；
（2）当f(t) = e
-2t
，t≥0；y(0)= 1，y’(0)=0时的全解。
特解的函数形式与激励函数的形式有关。P78表2-4
齐次解 的函数形式仅与系统本身的特性有关，而 与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的 固有响应 或 自由响应 ；
特解 的函数形式由激励确定，称为 强迫响应。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-34页页页
■
电子教案电子教案2.5 微分方程的经典解解,(1) 特征方程为λ
2
+ 5λ+ 6 = 0 其特征根λ
1
= – 2，
λ
2
= – 3。齐次解为
y
h
(t) = C
1
e
–2t
+ C
2
e
–3t
由表2-4可知，当f(t) = 2e
–t
时，其特解可设为
y
p
(t) = Qe
–t
将其代入微分方程得
Qe
–t
+ 5(– Qe
–t
) + 6Qe
–t
= 2e
–t
解得Q=1
于是特解为y
p
(t) = e
–t
全解为：y(t) = y
h
(t) + y
p
(t) = C
1
e
–2t
+ C
2
e
–3t
+ e
–t
其中待定常数C
1
,C
2
由初始条件确定。
y(0) = C
1
+C
2
+ 1 = 2，y’(0) = – 2C
1
–3C
2
–1= –1
解得C
1
= 3,C
2
= – 2
最后得全解y(t) = 3e
–2t
–2e
–3t
+ e
–t
,t≥0
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-35页页页
■
电子教案电子教案
（2）齐次解同上。当激励f(t)=e
–2t
时，其指数与特征根之一相重。由表知：其特解为
y
p
(t) = (Q
0
+ Q
1
t)e
–2t
代入微分方程可得Q
1
e
-2t
= e
–2t
所以Q
1
= 1 但Q
0
不能求得。全解为
y(t)= C
1
e
–2t
+ C
2
e
–3t
+ te
–2t
+ Q
0
e
–2t
= (C
1
+Q
0
)e
–2t
+C
2
e
–3t
+ te
–2t
将初始条件代入，得
y(0) = (C
1
+Q
0
) + C
2
=1,y’(0)= –2(C
1
+Q
0
) –3C
2
+1=0
解得C
1
+ Q
0
= 2,C
2
= –1 最后得微分方程的全解为
y(t) = 2e
–2t
–e
–3t
+ te
–2t
,t≥0
上式第一项的系数C
1
+P
0
= 2，不能区分C
1
和P
0
，因而也不能区分自由响应和强迫响应。
2.5 微分方程的经典解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-36页页页
■
电子教案电子教案2.5 微分方程的经典解二、用系数匹配法求0+初始值若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数
C
i
时用t = 0
+
时刻的初始值，即y
(j)
(0+) (j=0,1,2…，n-
1)。
而y
(j)
(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。
在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y
(j)
(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。
通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。
这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态
y
(j)
(0-)设法求得y
(j)
(0+)。下列举例说明。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-37页页页
■
电子教案电子教案例：描述某系统的微分方程为
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t)
已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=ε(t)，求y(0
+
)和y’(0
+
)。
解：将输入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6ε(t) （1）
用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，在0-<t<0
+
区间等号两端δ(t)项的系数应相等。
由于等号右端为2δ(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而y’(t)在t= 0处将发生跃变，即y’(0+)≠y’(0-)。
但y’(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有δ’(t)项。由于y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0处是连续的。
即y(0+) = y(0-) = 2
2.5 微分方程的经典解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-38页页页
■
电子教案电子教案对式(1)两端积分有
∫∫∫∫∫
+
+
+
+
+
+=++
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)(6)(2)(2)('3)('' dttdttdttydttydtty εδ
由于积分在无穷小区间[0-，0
+
]进行的，且y(t)在t=0连续，
故
∫∫
+
+
==
0
0
0
0
0)(,0)( dttdtty ε
于是由上式得
[y’(0
+
) – y’(0-)] + 3[y(0
+
) – y(0-)]=2
考虑y(0+) = y(0-)=2,所以
y’(0
+
) – y’(0-) = 2,y’(0+) = y’(0-) + 2 =2
由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。
2.5 微分方程的经典解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-39页页页
■
电子教案电子教案2.5 微分方程的经典解三、零输入响应和零状态响应
y(t) = y
x
(t) + y
f
(t),也可以分别用经典法求解。
注意：对t=0时接入激励f(t)的系统，
初始值y
x
(j)
(0+),y
f
(j)
(0+) (j = 0，1，2，…，n-1)的计算：
y
(j)
(0-)= y
x
(j)
(0-)+ y
f
(j)
(0-)
y
(j)
(0+)= y
x
(j)
(0+)+ y
f
(j)
(0+)
对于零输入响应，由于激励为零，故有
y
x
(j)
(0
+
)= y
x
(j)
(0
-
) = y
(j)
(0
-
)
对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有
y
f
(j)
(0-)=0
y
f
(j)
(0+)的求法下面举例说明。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-40页页页
■
电子教案电子教案2.5 微分方程的经典解例1：描述某系统的微分方程为
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t)
已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应。
解：（1）零输入响应y
x
(t)因为激励为0,故y
x
(t)满足
y
x
”(t) + 3y
x
’(t) + 2y
x
(t) = 0
y
x
(0+)= y
x
(0-)= y(0-)=2
y
x
’(0+)= y
x
’(0-)= y’(0-)=0
该齐次方程的特征根为–1，–2，故
y
x
(t) = C
1
e
–t
+ C
2
e
–2t
代入初始值并解得系数为C
1
=4,C
2
= – 2,代入得
y
x
(t) = 4e
–t
–2e
–2t
,t > 0
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-41页页页
■
电子教案电子教案2.5 微分方程的经典解
（2）零状态响应y
f
(t)满足
y
f
”(t) + 3y
f
’(t) + 2y
f
(t) = 2δ(t) + 6ε(t) 并有
y
f
(0-) = y
f
’(0-) = 0
由于上式等号右端含有δ(t)，故y
f
”(t)含有δ(t)，从而
y
f
’(t)跃变，即y
f
’(0+)≠y
f
’(0-)，而y
f
(t)在t = 0连续，即
y
f
(0+) = y
f
(0-) = 0，积分得
[y
f
’(0+)- y
f
’(0-)]+ 3[y
f
(0+)- y
f
(0-)]+2
∫∫
+
+
+=
0
0
0
0
d)(62d)( tttty
f
ε
因此，y
f
’(0+)= 2 – y
f
’(0-)=2
对t>0时，有y
f
”(t) + 3y
f
’(t) + 2y
f
(t) = 6
不难求得其齐次解为D
1
e
-t
+ D
2
e
-2t
，其特解为常数3，
于是有y
f
(t)=D
1
e
-t
+ D
2
e
-2t
+ 3
代入初始值求得y
f
(t)= – 4e
-t
+ e
-2t
+ 3,t≥0
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-42页页页
■
电子教案电子教案2.5 微分方程的经典解例2描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)
求其冲激响应h(t)。
解根据h(t)的定义有
h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ(t)
h’(0-) = h(0-) = 0
先求h’(0+)和h(0+)。
用微分方程的传统的经典解法也可以解冲激响应
h(t)。因为单位冲激响应是由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应。h(t)=T[{0},δ(t)]
（但经典法对于方程右边为复杂输入时运算很繁琐）
因方程右端有δ(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含
δ(t)，h’(t)含ε(t)，h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0连续，
即h(0+)=h(0-)。
∫
+
0
0
)( dtth
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
2-43页页页
■
电子教案电子教案2.5 微分方程的经典解在无穷小区间[0-，0
+
]对上式积分得：
[h’(0+) - h’(0-)] + 5[h(0+) - h(0-)] + 6 = 1
∫
+
0
0
)( dtth
考虑h(0+)= h(0-) =0，由上式可得
h’(0+) =1 + h’(0-) = 1
对t>0时，有h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0
故系统的冲激响应为一齐次解（形式）。
微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为
h(t)=(C
1
e
-2t
+ C
2
e
-3t
)ε(t)
代入初始条件求得C
1
=1,C
2
=-1,所以
h(t)=( e
-2t
-e
-3t
)ε(t)
