信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-1页页页
■
电子教案电子教案第8章系统的状态空间分析
8.0引言
8.1系统的状态空间描述
8.2状态方程的建立
8.3 连续系统状态方程的解
8.4 离散系统状态方程的解
8.5 系统稳定性判别第8章系统的状态空间分析信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-2页页页
■
电子教案电子教案
8.0 引言一、系统的状态变量分析法简介
1、系统的状态空间描述：
用系统的状态方程和输出方程描述系统输入、状态变量、
输出之间的关系。
状态方程：表示系统状态变量与输入之间的关系/方程。
对n阶系统，状态方程是由n个一阶微分方程（差分方程）组成的方程组。
输出方程：表示系统输出与输入和状态之间的关系/方程。
对n阶系统，若有q个输出，输出方程是由q个代数方程组成的方程组。
8.0 引言第8章系统的状态空间分析信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-3页页页
■
电子教案电子教案
2、系统状态方程的解
A.连续系统状态方程、输出方程的解：
（1）时域解
（2）s域解
B.离散系统状态方程、输出方程的解：
（1）时域解
（2）z域解二、状态空间分析法的应用及优点：
1.状态方程和输出方程不仅描述了系统的输入和输出关系，而且描述了系统输入、输出和系统内部状态的关系，
便于分析设计与系统内部状态有关的问题。例如：系统的稳定性分析；最优控制；最优化设计等。因此，状态空间分析法也称为内部分析法。
8.0 引言信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-4页页页
■
电子教案电子教案
2、不仅适用于线性、时不变、单输入单输出系统分析，也适用于非线性、时变、多输入多输出系统分析；
3、描述方法规律性强，便于用计算机解决复杂系统的分析设计问题。
8.0 引言信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-5页页页
■
电子教案电子教案
8.1系统的状态空间描述一、连续系统的状态变量、状态方程、输出方程：
1、状态变量：
（1）初始状态：设初始时刻为.
时刻的状态通常指电容元件上电压和电感元件上电流。n阶系统有n个初始状态。
初始状态的一般定义：
系统在时刻的状态是最少数目的一组数知道了这组数和区间[,t]上的输入，就可以完全确定系统在t时刻的输出。
表示：n阶系统的初始状态表示为：
0
t
0
t
)(
0
tu
c
)(
0
ti
L
0
t
0
t
).()......,(),(
00201
txtxtx
n
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-6页页页
■
电子教案电子教案说明：系统状态的数目是一定的,但状态的选择不唯一。
例,设二阶系统的初始状态为并且：
则也可作为系统在时刻的状态。
)(),(
0201
txtx
+=
+=
)()()(
)()()(
02201102
02201101
txbtxbtg
txatxatg
)(),(
0201
tgtg
0
t
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-7页页页
■
电子教案电子教案
（2）状态变量：
表示状态随时间变化的一组变量称状态变量。
设时刻的状态为：
则系统的状态变量任一时刻t的状态为：
0
t ).()......,(),(
00201
txtxtx
n
).()......,(),(
21
txtxtx
n
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-8页页页
■
电子教案电子教案
=
)(
)(
)(
)(
2
1
tx
tx
tx
tX
n
M
状态空间：状态矢量所在的空间称状态空间。
（3）状态矢量、状态空间：
状态矢量：由状态变量构成的列矢量称状态矢量。
)(tX
)(tX
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-9页页页
■
电子教案电子教案
2、状态方程和输出方程：
（1）状态方程：
例：
系统输入：系统输出：
系统的状态：
)(),(
21
tftf
)()(
)()(
2
1
tuty
tity
c
c
=
=
)(),( titu
Lc
LU
+
-
f
1
+
-
-
iL
R
+
C
UC
i
C
(t)
f
(t)
2
+
-
+
-
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-10页页页
■
电子教案电子教案由KCL和KVL得：
令：
21
21
,
,
xixu
xixu
Lc
Lc
&& ==
==
LU
+
-
f
1
+
-
-
iL
R
+
C
UC
i
C
(t)
f
(t)
2
+
-
+
-
8.1 系统的状态空间描述
=
=
2
1
1
)(
1
fu
dt
di
L
iuf
Rdt
du
c
c
L
Lc
c
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
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■
电子教案电子教案
=
+=
212
1211
11
111
f
L
x
L
x
f
RC
x
C
x
RC
x
&
&
上面的方程组称图示RLC系统的状态方程，其矩阵形式为：
+
=
2
1
2
1
2
1
1
0
0
1
0
1
11
f
f
L
RC
x
x
L
CRC
x
x
&
&
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-12页页页
■
电子教案电子教案状态方程：描述系统状态与输入之间的关系的一阶微分方程组。
状态方程的一般形式：
设n阶系统的状态变量为：
系统有p个输入：
.,,
21 n
xxx L
.,,
21 p
fff L
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-13页页页
■
电子教案电子教案
+++++++=
+++++++=
+++++++=
pnpnnnnnnnn
ppnn
ppnn
fbfbfbxaxaxax
fbfbfbxaxaxax
fbfbfbxaxaxax
LL
&
LLLL
LL
&
LL
&
22112211
222212122221212
121211112121111
矩阵形式：
+
=
n
npnn
p
p
nnnnn
n
n
n
f
f
f
bbb
bbb
bbb
x
x
x
aaa
aaa
aaa
x
x
x
M
L
LLL
L
L
M
L
LLL
L
L
&
M
&
&
2
1
21
22221
11211
2
1
21
22221
11211
2
1
则系统的状态方程为：
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-14页页页
■
电子教案电子教案令
[][]
[]
[] []
pn
ij
nn
ij
T
n
T
n
T
n
bBaA
ffff
xxxXxxxX
××
==
=
==
,
,
21
2121
L
L
&
L
&&
&
则
BfAXX +=
&
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-15页页页
■
电子教案电子教案
（2）输出方程：
例：以图8.1RLC系统为例,系统输出.,
21 Lc
uyiy ==
由KCL、KVL得：
LU
+
-
f
1
+
-
-
iL
R
+
C
UC
i
C
(t)
f
(t)
2
+
-
+
-
8.1 系统的状态空间描述
=
+=
=
==
212
1211
2
1
11
)(
1
fxy
f
R
xx
R
y
fuu
iuf
Rdt
du
ci
cL
Lc
c
c
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-16页页页
■
电子教案电子教案上式称图示RLC系统的输出方程，其矩阵形式为：
+
=
2
1
2
1
2
1
10
0
1
01
1
1
f
f
R
x
x
R
y
y
输出方程：描述系统输出、输入、状态之间关系的代数方程组。
输出方程一般形式：设n阶系统有n个状态、p个输入、
q个输出，则输出方程为：
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-17页页页
■
电子教案电子教案
+++++++=
+++++++=
+++++++=
pqpqqnqnqqq
ppnn
ppnn
fdfdfdxcxcxcy
fdfdfdxcxcxcy
fdfdfdxcxcxcy
LL
LLLL
LL
LL
22112211
222212122221212
121211112121111
矩阵形式：
+
=
p
qpqq
p
p
n
qnqq
n
n
q
f
f
f
ddd
ddd
ddd
x
x
x
ccc
ccc
ccc
y
y
y
M
L
LLL
L
L
M
L
LLL
L
L
M
2
1
21
22221
11211
2
1
21
22221
11211
2
1
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-18页页页
■
电子教案电子教案令
[][][]
pq
ij
nq
ij
T
q
dDcCyyyY
××
===,,
21
L
则
DfCXY +=
二、离散系统状态变量、状态方程、输出方程：
1、状态变量：
（1）初始状态：设初始时刻，对n阶系统，
初始状态通常指：
0
0
=K
.)(,,)2(,)1( nyyy L
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-19页页页
■
电子教案电子教案
0
K
时刻状态的一般定义：
0
K
时刻的状态是数目最少的一组数，知道了这组数和区间上的输入，就可完全确定系统在
K时刻的输出。
[]KK,
0
（2）状态变量、状态矢量：
状态变量：表示状态随时间变化的一组变量。
表示：对n阶系统，状态变量表示为：
.)(,,)(,)(
21
kxkxkx
n
L
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-20页页页
■
电子教案电子教案状态矢量：
=
)(
)(
)(
)(
2
1
kx
kx
kx
kX
n
M
2、状态方程和输出方程：
例1,设系统的方程为
)1()(,)2()(
)()2()1()(
21
001
=?=
=
kykxkykx
kfbkyakyaky
设
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-21页页页
■
电子教案电子教案得：
)()()()(
)()()()1(
)()1(
02110
021102
21
kfbkxakxaky
kfbkxakxakx
kxkx
++=
++=+
=+
式称系统的状态方程，式称系统的输出方程。
矩阵形式：
)(
0
)(
)(10
)1(
)1(
02
1
102
1
kf
bkx
kx
aakx
kx
+
=
+
+
[] )(
)(
)(
)(
0
2
1
10
kfb
kx
kx
aaky +
=
1
2
1 2
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-22页页页
■
电子教案电子教案离散系统状态方程、输出方程的一般形式：
状态方程：描述系统状态与输入关系的一阶前向差分方程组。
一般形式：n阶系统，p个输入。
)()()1(
)(
)(
)(
)1(
)1(
)1(
2
1
21
22221
11211
2
1
21
22221
11211
2
1
kfBkXAkX
f
f
f
bbb
bbb
bbb
kx
kx
kx
aaa
aaa
aaa
kx
kx
kx
p
npnn
p
p
nnnnn
n
n
n
+
↓↓↓↓↓
+
=
+
+
+
M
L
LLL
L
L
M
L
LLL
L
L
M
)()()1( kBfkAXkX +=+
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-23页页页
■
电子教案电子教案输出方程：描述系统输出、输入、状态之间关系的代数方程组。
一般形式：n阶系统，p个输入，q个输出。
)()()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
2
1
21
22221
11211
2
1
21
22221
11211
2
1
kfDkXCkY
f
f
f
ddd
ddd
ddd
kx
kx
kx
ccc
ccc
ccc
ky
ky
ky
p
qpqq
p
p
n
qnqq
n
n
n
↓↓↓↓↓
+
=
M
L
LLL
L
L
M
L
LLL
L
L
M
)()()( kDfkCXkY +=
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-24页页页
■
电子教案电子教案
8.2状态方程的建立一、连续系统状态方程的建立：
1,RLC系统状态方程的建立－直观编写法：
（1）状态变量的选择：
例：
选择、、
为状态变量.
1c
u
2c
u
L
i
选（1），.
（2），.
1c
u
L
i
2c
u
L
i
1
R
C
1
+
U
-
C
1
C
+
U
-
C
22
L
Li
2
R
U
S
+
-
R
1
R
2
U
S
+
-
C UC
UC
2
1
+
-
1
iL
L
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-25页页页
■
电子教案电子教案
2c
u
3c
u
1c
u
1
c
2
c
3
c
+
_
+
_
+
_
选：（1）、
或：（2）、
或：（3）、
1c
u
2c
u
1c
u
3c
u
3c
u
2c
u
选：（1），
（2），
1L
i
c
u
2L
i
c
u
选：（1）、
或：（2）、
或：（3）、
1L
i
2L
i
1L
i
3L
i
2L
i
3L
i
U
S
-
+
L
iL
R
Li
L
2
2
1
1
R
1
i
S
-
+
C UC
i
L
1
L
1
i
2L
2
L
i
L
L
3
3
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-26页页页
■
电子教案电子教案
(2).直观编写法步骤：
例：
选状态变量：
cLL
uxixix ===
3221
,,
设输出为：
abL
uyuy ==
221
,
列状态方程：
第一步：关于（电感电压）列KVL方程；
2211
,xLxL &&
21321
22131111
)(
ffxRxRx
fxxRxfuxL
L
+?+?=
==&
2
2
L
1
L
L
1
U
+
-
R
f
f1
+
-
x
1
x
U 2L
+
-
C
+ -
x
3
ic
2
+
-
a
b
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-27页页页
■
电子教案电子教案
2321
2213222
)(
fxRxRx
fxxRxuxL
L
++=
+?+==&
第二步：关于（电容电流）列KCL方程；
3
xC&
213
xxixC
c
==&
第三步：消去除状态变量和输入以外的其它变量，把
=
++=
+?+?=
213
2
2
3
2
2
2
1
2
2
2
1
1
1
3
1
2
1
1
1
1
11
11
111
x
C
x
C
x
f
L
x
L
x
L
R
x
L
R
x
f
L
f
L
x
L
x
L
R
x
L
R
x
&
&
&
状态方程整理成标准形式；
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-28页页页
■
电子教案电子教案
+
=
2
1
2
11
3
2
1
222
111
3
2
1
00
1
0
11
0
11
1
1
f
f
L
LL
x
x
x
CC
LL
R
L
R
LL
R
L
R
x
x
x
&
&
&
列输出方程：
+?=
+=+==
++?=
==
221
2322
2321
2221
fRxRx
fRxcfRiuy
fxRxRx
xLuy
cab
L
&
&
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-29页页页
■
电子教案电子教案
+
=
2
1
3
2
1
2
1
10
10
0
1
f
f
x
x
x
RR
RR
y
y
2.由系统微分方程编写状态方程：
例：已知系统方程为列出系统的状态方程和输出方程。
)()()()()(
00
'
1
''
2
'''
tfbtyatyatyaty =+++
（1）选择状态变量：令
yxyxyx ===
321
,,
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-30页页页
■
电子教案电子教案
（2）状态方程：
+=
=
=
fbxaxaxax
xx
xx
03221103
32
21
&
&
&
（3）输出方程：
1
xy =
矩阵形式：
f
bx
x
x
aaax
x
x
+
=
03
2
1
2103
2
1
0
0
100
010
&
&
&
[]
=
3
2
1
001
x
x
x
y
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-31页页页
■
电子教案电子教案例2,已知系统方程为列出系统状态方程和输出方程。
)()()()()()(
0
'
10
'
1
''
2
'''
tfbtfbtyatyatyaty +=+++
（1）选择状态变量：
引入：)(tq
)()()()()(
012
tftyatyatyaty =+++
式代入原方程得：)()()(
01
tqbtqbty +=
令
qxqxqx ===
321
,,
1
21
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-32页页页
■
电子教案电子教案
（2）列状态方程：
+=
=
=
fxaxaxax
xx
xx
3221103
32
21
&
&
&
（3）列输出方程：
3021
xbxby +=
矩阵形式：
f
x
x
x
aaax
x
x
+
=
1
0
0
100
010
3
2
1
2103
2
1
&
&
&
[]
=
3
2
1
001
x
x
x
y
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-33页页页
■
电子教案电子教案
3.由系统框图、流图编写状态方程：
例：
⊕
⊕
1/S 1/S
1
b
1
a?
0
a?
0
b
)(sF
)(sY
某LTI二阶系统框图及流图如图所示，列写状态方程和输出方程。
)(sF
1
S
1
S
1
2
b
1
b
0
b
1
a?
0
a?
)(sY
2
b
1
x
2
x
3
x
1
x
&
2
x
&
1
x
2
x
3
x
1
x
&
2
x
&
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-34页页页
■
电子教案电子教案
(1)选状态变量：选积分器输出为状态变量，如图所示；
(2)状态方程：
+=
=
fxaxax
xx
21102
21
&
&
(3)输出方程：
fxbabxbab
fxaxabxbxby
+?+?=
+++=
22111200
211022110
)()(
)(
二、离散系统状态方程、输出方程的编写：
1,由差分方程编写：
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-35页页页
■
电子教案电子教案例1：已知系统方程为列状态方程和输出方程。
)()2()1()(
01
kbfkyakyaky =?+?+
(1)状态变量选择：
令
)1()(,)2()(
21
=?= kykxkykx
(2)状态方程：
+=+
=+
)()()()1(
)()1(
21102
21
kbfkxakxakx
kxkx
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-36页页页
■
电子教案电子教案
(3)输出方程：
)()()()(
2110
kbfkxakxaky +=
矩阵形式：
)(
0
)(
)(10
)1(
)1(
2
1
102
1
kf
bkx
kx
aakx
kx
+
=
+
+
[] )(
)(
)(
)(
2
1
10
kfb
kx
kx
aaky +
=
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-37页页页
■
电子教案电子教案例2：已知系统方程为列写系统状态方程和输出方程。
)()()1()2(
01
kbfkyakyaky =++++
(1)
状态变量选择：
令
)1()(,)()(
21
+== kykxkykx
(2)状态方程：
+=+
=+
)()()()1(
)()1(
21102
21
kbfkxakxakx
kxkx
)()(
1
kxky =
(3)输出方程：
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-38页页页
■
电子教案电子教案例3：已知系统方程为列状态方程、输出方程。
)()1()2()()1()2(
01201
kfbkfbkfbkyakyaky ++++=++++
1
（1）状态变量的选择：
)(kq
引入：)()()1()2(
01
kfkqakqakq =++++ 2
2
式代入式得：
1
)()1()2()(
012
kqbkqbkqbky ++++=
令
)1()(,)()(
21
+== kqkxkqkx
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-39页页页
■
电子教案电子教案
(2)状态方程：
+=+
=+
)()()()1(
)()1(
21102
21
kfkxakxakx
kxkx
(3)输出方程：
)()()()()(
)]()()([)()()(
222111200
211022110
kfbkxbabkxbab
kfkxakxabkxbkxbky
+?+?=
+++=
2.由矩阵框图、信号流图编写状态方程
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-40页页页
■
电子教案电子教案
⊕
⊕
1
b
2
b
1
a?
0
a?
0
b
)(zF )(zY
1?
z
1?
z
例:已知系统框图、流图如图所示,列写状态方程和输出方程.
)(zF
1
1?
z
1?
z
2
b
1
b
0
b
1
a?
0
a?
)(zY
)(
1
kx)(
2
kx
)(
1
kx)(
2
kx
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-41页页页
■
电子教案电子教案
(1) 选择状态变量:选单位延迟器的输出为状态变量,
如图所示.
(2) 根据框图、流图的信号传输关系建立状态方程和输出关系.
8.3 连续系统状态方程的解一、矩阵函数:
1.矩阵函数的定义:
设A为n阶方阵，对于收敛的幂级数
,)(
0
i
i
i
xxf
∑
=
= α
定义矩阵函数，
)(Af
∑
=
=
00
0
)(
i
i
i
AAf α
8.3 连续系统状态方程的解
，（A类比x）
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-42页页页
■
电子教案电子教案
2.矩阵指数函数的定义：
设A为n阶方阵，对于指数函数，
x
exf =)(
i
i
x
x
i
xxe
∑
=
=
+++=
00
0
2
!
1
!2
1
1 L
定义矩阵指数函数和分别为
A
e
At
e
i
i
A
A
i
AAIe
∑
=
=
+++=
00
0
2
!
1
!2
1
L
i
i
i
At
A
i
t
A
t
AtIe
∑
=
=
+++=
00
0
2
2
!
!2
L
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-43页页页
■
电子教案电子教案
3.矩阵的导数、积分和卷积:
(1) 导数、积分,设矩阵
mnij
tt
mnij
mnij
ta
dt
d
tA
dt
d
dttadttA
tatA
×
∞?∞?
×
×
=
=
=
∫∫
)]([)(
])([)(
)]([)(
则
(2) 卷积,设
mnijnmij
tbtBtatA
××
== )]([)(,)]([)(
)()( tBtA?等于运算中元素的相乘变成卷积运算,
)()( tBtA?
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-44页页页
■
电子教案电子教案例,
+?
+?
=
L
L
21221121
21121111
2221
1211
2221
1211
baba
baba
bb
bb
aa
aa
4.矩阵运算的几个定理：设A、B为n阶方阵。
AeAee
dt
d
AtAtAt
==)(
)(
2121
ttAAtAt
eee
+
=?
BAAB =
)( ttAAtAt
eee
+
=?
（1）
（2）
（3）设，则
（4）设X为n维列向量，A为n阶方阵，则
XAeXeXe
dt
d
AtAtAt
=?
&
)(
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-45页页页
■
电子教案电子教案
（5）设A为方阵，则恒有逆，且。
At
e
AtAt
ee
=
1
)(
（6）设A、P为n阶方阵，P为非奇异阵（det（P）＝0），则
1
1
=
PPee
AttPAP
二、状态方程的时域解：
1.状态方程的时域解：对n阶系统。
状态方程：
BftAXtX
BftAXtX
=?
+=
)()(
)()(
&
&
1
1
式两边乘以，得
At
e
)()()( tBfetAXetXe
AtAtAt
=?
&
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-46页页页
■
电子教案电子教案根据矩阵函数运算的定理（4），上式可写成：
)()]([ tBfetXe
dt
d
AtAt
=
2
2对式两边积分，得：
∫
∫
∫∫
+=∴
=?
=
t
t
tAttA
t
t
AAtAt
t
t
AA
t
t
dBfetXetX
dBfetXetXe
dBfedXe
dt
d
0
0
0
0
00
)()()(
)()()(
)()](([
)(
0
)(
0
ττ
ττ
ττττ
τ
τ
ττ
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-47页页页
■
电子教案电子教案设，得：
= 0
0
t
∫
+=
t
tAAt
dBfeXetX
0
)(
)()0()( ττ
τ
设称状态转移矩阵,
At
et =Φ )(
则
4342143421
)()(
0
)()()0()(
)()()0()()(
tXtX
t
fx
tfBtXt
dBftXttX
Φ+Φ=
Φ+Φ=
∫
τττ
零输入分量零状态分量
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-48页页页
■
电子教案电子教案
2.输出方程的解：
输出方程为：
)()()( tDftCXty +=
把状态方程的解代入输出方程，得：
)()()()0()(
)()]()()0()([)(
tDftfBtCXtC
tDftfBtXtCty
+?Φ+Φ=
+?Φ+Φ=
引入p阶对角阵：
)(tδ
=)(tδ
pp
t
t
t
×
)(0
)(
0)(
δ
δ
δ
O
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-49页页页
■
电子教案电子教案则
).()()( tftft =?δ
444434444214434421
)(
)(
)()]()([)0()(
)()()()()0()()(
tY
tY
fx
tftDBtCXtC
tftDtfBTCXtCtY
+Φ+Φ=
+?Φ+Φ=
δ
δ
)()()(
)()()(
)0()()(
tDBtCth
tfthtY
XtCtY
f
x
δ+Φ=
=
Φ=
零输入响应零状态响应冲激响应，.
)( pq×
=)(th
qpqq
p
p
hhh
hhh
hhh
L
LLL
L
L
21
22221
11211
)(th
ij
0)( ≠tf
j
,其余输入为零时，
对应的冲激响应。
)(ty
i
f
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-50页页页
■
电子教案电子教案
3,
At
et =Φ )(
的计算：
（1）n阶方阵A的特征方程、特征根：
特征多项式：
特征方程：
特征根：特征方程的根，
||)det( IAIA λλ?=?
0|| =? IA λ
.,,2,1 ni L=
i
λ
(2)凯莱哈密顿定理：
任何方阵A，恒满足它的特征方程。
设则
0||)( =?= IAq λλ
0)( =Aq
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-51页页页
■
电子教案电子教案
（3）
At
et =Φ )(
的计算：
设n阶方阵A的特征根为，j=1,2,…,n,
j
λ
i
j
i
i
jj
t
t
te
j
λβ
λλ
λ
∑
∞
=
=
+++=
0
2
2
!2
1 L
i
i
i
At
A
A
t
tAIe
∑
∞
=
=
+++=
0
2
2
!2
β
L
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-52页页页
■
电子教案电子教案根据A的特征方程和凯莱哈密顿定理可以证明：
1
1
2
21
1
0
1
=
++++==
∑
n
jnjj
n
i
i
ji
t
j
e λαλαλαλα
λ
L
1
1
2
21
1
0
=
++++==
∑
n
n
n
i
i
i
At
AAAIAe αααα L
由A的n个特征根和的展开式确定系数，代入的展开式，就可求得。
t
j
e
λ
i
α
At
e
At
e
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-53页页页
■
电子教案电子教案
At
e的计算步骤：
（1）A的特征根为单根：
第一步：求n阶方阵A的特征根，i=1,2,…,n,
i
λ
第二步：由n个特征根建立以下n个方程：
++++=
++++=
++++=
1
1
2
210
1
21
2
22210
1
11
2
12110
2
1
n
nnnn
t
n
n
t
n
n
t
n
e
e
e
λαλαλαα
λαλαλαα
λαλαλαα
λ
λ
λ
L
LLL
L
L
第三步：解上面方程组，求，
i
α
i=1,2,…,n,
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-54页页页
■
电子教案电子教案第四步：把代入下式，求：
i
α
At
e
1
1
2
210
++++=
n
n
At
AAAIe αααα L
（2）A的特征根有重根：设为m重根，另有n-m个单根。
1
λ
第一步：求n阶方阵A的特征根
q=n-m+1.
.,,,
21 q
λλλ L
第二步：由特征根建立以下n个方程：
i
λ
1
11
2
12110
1
++++=
n
n
t
e λαλαλαα
λ
L
)()(
1
11
2
12110
11
1
++++=
n
n
t
d
d
e
d
d
λαλαλαα
λλ
λ
L
)()(
1
11
2
12110
2
1
2
2
1
2
1
++++=
n
n
t
d
d
e
d
d
λαλαλαα
λλ
λ
L
…… …
)()(
1
11
2
12110
1
1
1
1
1
1
1
++++=
n
n
m
m
t
m
m
d
d
e
d
d
λαλαλαα
λλ
λ
L
{
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-55页页页
■
电子教案电子教案
1
21
2
22210
2
++++=
n
n
t
e λαλαλαα
λ
L
1
31
2
32310
3
++++=
n
n
t
e λαλαλαα
λ
L
…… …
1
1
2
210
++++=
n
qnqq
t
q
e λαλαλαα
λ
L
第三步：解上面方程组,求,i=0,1,2,…,.
i
α
1?n
α
第四步,把代入下式求:
i
α
At
e
1
1
2
210
++++=
n
n
At
AAAIe αααα L
例1,
,求,
=
21
01
A
At
e
解,(1) 求
:IA λ?
=? IA λ
21
01
λ
λ
0
0
=
λ
λ
21
01
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-56页页页
■
电子教案电子教案
(2) 求A的特征根:
.2,1,0)2)(1(||
21
=?==++=? λλλλλIA
(3)建立求的方程,求,
i
α
i
α
+=
+=
210
110
2
1
λαα
λαα
λ
λ
t
t
e
e
=
=
10
2
10
2αα
αα
t
t
e
e
,
解方程组,得,.,2
2
1
2
0
tttt
eeee
=?= αα
(4) 求:
At
e
)2(
2
10
ttAt
eeAIe
=+= αα
)(
10
01
2tt
ee
+
20
01
=
ttt
t
eee
e
22
)(
0
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-57页页页
■
电子教案电子教案例2,求,
=
12
01
A
At
e
解,(1) 求
:IA λ?
=? IA λ
λ
λ
12
01
(2) 求A的特征根:
.1,0)1(||
21
2
===+=? λλλλIA
(3)建立求的方程,求,
i
α
i
α
+=
+=
)()(
210
110
2
1
λαα
λαα
λ
λ
dt
d
e
dt
d
e
t
t
=
=
1
10
α
αα
t
t
te
e
,
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-58页页页
■
电子教案电子教案解方程组,得:
.,
10
ttt
tetee
=+= αα
(4) 求:
At
e
=+= AIe
At
10
αα
+
+?
)2(2
0)2(
ttt
tt
teete
tee
4,由求A:
At
e
Iee
e
dt
d
A
t
At
t
At
==
=
=
=
0
0
0
|
|)(
状态方程的解:
Step1:求;)(
At
et =Φ
Step4:求
Step3:求
Step2:求);0()()(
Φ= XttX
x
);()()( tfBttX
f
Φ=
);()()( tXtXtX
fx
+=
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-59页页页
■
电子教案电子教案输出方程的解:
Step2:求
Step1:求
Step3:求
Step4:求;)(
At
et =Φ
);0()()(
Φ= XtCtY
x
);()()( tDBtCth δ+Φ=
);()()( tfthtY
f
=
Step5:求
);()()( tYtYtY
fx
+=
三、状态方程、输出方程的S域解:
1.状态方程的S域解:
状态方程:
)()()( tBftAXtX +=
&
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-60页页页
■
电子教案电子教案
S域解:根据单边拉氏变换的时域微分性质,对状态方程两边取拉氏变换,得:
)()()0()( sBFsAXXsSX +=?
)()0()()( sBFXsAXsSX +=?
)()0()()( sBFXsXAsI +=?
)()()0()()(
11
sBFAsIXAsIsX
+?=
4342143421
)()(
)()()0()(
sXsX
fx
sBFsXs Φ+Φ=
)]([)()(
1
tLAsIs Φ=?=Φ
)]([)( tXLsX
xx
=
)]([)( tXLsX
ff
=
)]([)]([)]([)(
111
sXLsXLsXLtX
fx
+==
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-61页页页
■
电子教案电子教案
2.输出方程的S域解:
输出方程:
)()()( tDftCXtY +=
S域解,)()()( sDfsCXsY +=
把代入上式,得:
)(sX
)(])([)0()()( sFDBsCXsCsY +Φ+Φ=
434214434421
)()(
)()()0()(
sYsY
fx
sFsHXsC +Φ=
)]([)()( thLDBsCsH =+Φ=
)]([)( tYLsY
xx
=
)]([)( tYLsY
ff
=
)]([)]([)]([)(
111
sYLsYLsYLtY
fx
+==
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-62页页页
■
电子教案电子教案状态方程、输出方程的S域解步骤:
状态方程S域解:
Step1:求
Step2:求
Step3:求
Step4:求
Step5:求
);0()()(
Φ= XssX
x
);()()( sBFssX
f
Φ=
);()()( sXsXsX
fx
+=;)()(
1?
=Φ AsIs
)].([)(
1
sXLtX
=
输出方程S 域解:
Step1:求
Step2:求
Step3:求;)()(
1?
=Φ AsIs
);0()()(
Φ= XsCsY
x;)()( DBsCsH +Φ=
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-63页页页
■
电子教案电子教案
Step4:求
Step5:求
Step6:求
)()()( sFsHsY
f
=
)];([)(
)]([)(
1
1
sYLtY
sYLtY
ff
xx
=
=
).()()( tYtYtY
fx
+=
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-64页页页
■
电子教案电子教案
8.4 离散系统状态方程的解一、状态方程、输出方程的时域解:
1.状态方程的解,n阶系统,P个输入.
状态方程:
)()()1( kBfkAXkX +=+
设初始时,初始状态0
0
=k )].0(,),0(),0([)0(
21 n
XXXX L=
用递推法得:
)0()0()1( BfAXX +=
)1()]0()0([)1()1()2( BfBfxABfAXX ++=+=
)1()0()0(
2
BfABfXA ++=
)2()2()3( BfAXX +=
)2()1()0()0(
23
BfABfBfAXA +++=
…… …
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-65页页页
■
电子教案电子教案
)1()0()0()(
21
BfABfAXAkX
kkk
++=
).1()2(?+?++ kBfkABfL
∑
=
+=
1
0
1
)()0(
k
i
ikk
iBfAXA
)()0(
1
kfBAXA
kk
+=
设则
),(kA
k
Φ=
443442143421
)()(
)()1()0()()(
kXkX
fx
kfBkXkkXΦ+Φ=
(零输入分量) (零状态分量)
2.输出方程的解,n阶系统,P个输入,q 个输出.
输出方程,
)()()( kDfkCXkY +=
把代入输出方程,得:
)(kX
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-66页页页
■
电子教案电子教案
)()()1()0()()( kDfkfBkCXtCkY +Φ+Φ=
引入
:)(kδ
)(kδ
pp
t
t
t
×
=
)(0
)(
0)(
δ
δ
δ
O
则
)()]()1([)0()()( kfkDBkCXkCkY?+?Φ+Φ= δ
).()()( kfkDkDf?= δ
4342143421
)()(
)()()0()(
kYkY
fx
kfkhXkC?+Φ=
)()1()( kDBkCkh δ+?Φ=
冲激响应,
).( pq×
pq
qpqq
p
hhh
hhh
×
=
L
LLL
L
21
11211
)(kh
ij
)(kf
j
单独作用时,输出的单位脉冲响应.
)(ky
i
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-67页页页
■
电子教案电子教案
3.的计算：
k
Ak =Φ )(
（1）的计算方法：
k
A
设A为n阶方阵，为A的特征根，i=1,2,…，n.
i
λ
由A的特征方程和凯莱哈密顿定理可以证明：
1
1
2
210
++++=
n
inii
k
i
λαλαλααλ L
1
1
2
210
++++=
n
n
k
AAAIA αααα L
（2）的计算步骤：
k
A
A的特征值为单根：，
i
λ i=1,2,…，n.
第一步：根据A的特征根建立以下方程：
++++=
++++=
++++=
1
1
2
210
1
21
2
222102
1
11
2
121101
n
nnnn
k
n
n
n
k
n
n
k
λαλαλααλ
λαλαλααλ
λαλαλααλ
L
LLL
L
L
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-68页页页
■
电子教案电子教案第二步：解上面方程组，求，i=0,1,2,…,n-1.
i
α
第三步：把代入下式，求：
k
A
1
1
2
210
++++=
n
n
k
AAAIA αααα L
A的特征根有重根：设为m重根，另有n-m个单根为
1
λ
,,,,
32 q
λλλ L
q=n-m+1.
第一步：根据A的特征根建立以下个方程：
)()(
1
11
2
12110
1
1
1
++++=
n
n
k
d
d
d
d
λαλαλαα
λ
λ
λ
L
1
11
2
121101
++++=
n
n
k
λαλαλααλ L
………
)()(
1
11
2
12110
1
1
1
1
1
1
1
++++=
n
n
m
m
k
m
m
d
d
d
d
λαλαλαα
λ
λ
λ
L
1
21
2
222102
++++=
n
n
k
λαλαλααλ L
………
1
1
2
210
++++=
n
qnqq
k
q
λαλαλααλ L
i
α
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-69页页页
■
电子教案电子教案第二步：解上面方程组，求，i=0,1,2,…,n-1.
i
α
第三步：把代入下式，求：
i
α
k
A
1
1
2
210
++++=
n
n
k
AAAIA αααα L
（3）由求.
k
A
A
1
|
=k
k
A=A
=
12
10
A
例1：，求。
k
Ak =Φ )(
解：（1）求
:IA λ?
IA λ?
=
λ
λ
12
01
（2）求的根：
.2,1,0)2)(1(||
21
=?==?+=? λλλλλIA
0|| =? IA λ
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-70页页页
■
电子教案电子教案
(3) 建立求的方程,求,i=0,1,
i
α
i
α
+=
+=
2102
1101
λααλ
λααλ
k
k
+=
=?
10
10
22
)1(
αα
αα
k
k
,
解方程组,得:
].)1(2[
3
1
,])1(22[
3
1
10
kkkk
=?+= αα
(4) 求：
k
A
+
+
=
+
])1(2[
3
1
])1(2[
3
2
])1(2[
3
1
])1(22[
3
1
1 kkkk
kkkk
AIA
k
10
αα +=
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-71页页页
■
电子教案电子教案例2.,求。
=
20
02
A
k
Ak =Φ )(
解：（1）求,IA λ?
（2）求的根：0|| =? IA λ
(3) 建立求的方程,求,i=0,1,
i
α
i
α
+=
+=
)()(
1101
1101
λααλ
λααλ
dt
d
dt
d
k
k
=
+=
1
10
2
22
α
αα
k
k
k，
解方程组,得:
.2,22
1
10
=?=
kkk
kk αα
.2
21
== λλ
（4）求：
k
A
AIA
k
10
αα +=
=
k
k
20
02
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-72页页页
■
电子教案电子教案状态方程、输出方程时域解步骤：
Step1:求
Step2:求
Step3:求
Step4:求;)(
k
Ak =Φ
);0()()( XkKX
x
Φ=
);()1()( kfBkkX
f
Φ=
);()()( kXkXkX
fx
+=
输出方程的解：
Step1:求
Step2:求
Step3:求
Step4:求
Step5:求;)(
k
Ak =Φ
);0()()( XkCkY
x
Φ=
);()1()( kDBkCkh δ+?Φ=
);()()( kfkhkY
f
=
);()()( kYkYkY
fx
+=
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-73页页页
■
电子教案电子教案二、状态方程、输出方程的Z域解：
1,状态方程的Z域解：
0
0
=k
状态方程：)()()1( kBfkAXkX +=+
单边Z变换的左移性质：
.)()()(
1
0
∑
=
→←+
m
k
kmm
ZkfzFZmkf
由左移性质，对状态方程两边取Z变换，得：
)()()0()( zBFzAXZXzZX +=?
)()0()()( zBFzXzXAzI +=?
)()()0()()(
11
zBFAzIzXAzIzX
+?=
zAzIz
1
)()(
=Φ
令则443442143421
)(
1
)(
)()()0()()(
zXzX
fx
zBFzzXzzX Φ+Φ=
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-74页页页
■
电子教案电子教案
)],([)(
1
zXZkX
=
)],([)( kZz Φ=Φ )].([)(
1
zZk Φ=Φ
2,输出方程的Z域解：0
0
=k
输出方程：
).()()( kDfkCXkY +=
方程两边取单边Z变换，得：
).()()( zDFzCXzY +=
把代入上面方程，得：
)(])([)0()()(
1
zFDBzCzXzCzY +Φ+Φ=
4342143421
)()(
)()()0()(
zYzY
fx
zFzHXzC +Φ=
)(zX
)].([)()(
1
khZDBzzCzH =+Φ=
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-75页页页
■
电子教案电子教案
)],([)(
1
zYZkY
xx
=
)],([)(
1
zYZkY
ff
=
).()()]([)(
1
kYkYzYZkY
fx
+==
状态方程、输出方程Z域解步骤：
状态方程的Z域解：
Step1:求
Step2:求
Step3:求
Step4:求
Step5:求;)()(
1
zAzIz
=Φ
);0()()( XzzX
x
Φ=
);()()(
1
zBFzzzX
f
Φ=
);()()( zXzXzX
fx
+=
)].([)(
1
zXZkX
=
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-76页页页
■
电子教案电子教案输出方程Z域解：
Step1:求
Step2:求
Step3:求
Step4:求
Step5:求
Step6:求;)()(
1
zAzIz
=Φ
);0()()( XzCzY
x
Φ=;)()(
1
DBzzCzH +Φ=
);()()( zFzHzY
f
=
)];([)(
)]([)(
1
1
zYZkY
zYZkY
ff
xx
=
=
).()()( kYkYkY
fx
+=
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-77页页页
■
电子教案电子教案
8.5 系统稳定性判别一、连续系统稳定性判别：
1,矩阵H(s)与系统稳定性：对n阶系统
.)()()(
1
DBAsICDBsCsH +?=+Φ=
)(sH
的分母为为S的n次多项式，可表示为：|,| AsI?
0
1
1
|| asasaAsI
n
n
n
n
+++=?
L
用R H 准则判断系统的稳定性：
Step1:对进行R H排列；
Step2:根据R H排列和R H 准则判别系统的稳定性。
|,| AsI?
2,矩阵A的特征方程与系统稳定性：对n阶系统
8.5 系统稳定性判别信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-78页页页
■
电子教案电子教案
A的特征方程为若的根全部在左半复平面，或者根的实部全为负值，则系统为稳定系统。
.0|| =? AIλ
0|| =? AIλ
二、离散系统稳定性判别：
1,矩阵与系统稳定性：对n阶系统。)(zH
,)()()(
11
DBAzICDBzCzzH +?=+Φ=
)(zH的分母为.||
0
1
1
azazaAzI
n
n
n
n
+++=?
L
用朱里准则判断系统稳定性：
Step1:对进行朱里排列；|| AI?λ
Step2:根据朱里准则判断系统稳定性。
8.5 系统稳定性判别信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-79页页页
■
电子教案电子教案
2,矩阵A与系统稳定性：
A的特征方程：
若的根全部在Z平面上单位圆内，
则系统为稳定系统。
.0|| =? AIλ
0|| =? AIλ
8.5 系统稳定性判别
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-1页页页
■
电子教案电子教案第8章系统的状态空间分析
8.0引言
8.1系统的状态空间描述
8.2状态方程的建立
8.3 连续系统状态方程的解
8.4 离散系统状态方程的解
8.5 系统稳定性判别第8章系统的状态空间分析信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-2页页页
■
电子教案电子教案
8.0 引言一、系统的状态变量分析法简介
1、系统的状态空间描述：
用系统的状态方程和输出方程描述系统输入、状态变量、
输出之间的关系。
状态方程：表示系统状态变量与输入之间的关系/方程。
对n阶系统，状态方程是由n个一阶微分方程（差分方程）组成的方程组。
输出方程：表示系统输出与输入和状态之间的关系/方程。
对n阶系统，若有q个输出，输出方程是由q个代数方程组成的方程组。
8.0 引言第8章系统的状态空间分析信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-3页页页
■
电子教案电子教案
2、系统状态方程的解
A.连续系统状态方程、输出方程的解：
（1）时域解
（2）s域解
B.离散系统状态方程、输出方程的解：
（1）时域解
（2）z域解二、状态空间分析法的应用及优点：
1.状态方程和输出方程不仅描述了系统的输入和输出关系，而且描述了系统输入、输出和系统内部状态的关系，
便于分析设计与系统内部状态有关的问题。例如：系统的稳定性分析；最优控制；最优化设计等。因此，状态空间分析法也称为内部分析法。
8.0 引言信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-4页页页
■
电子教案电子教案
2、不仅适用于线性、时不变、单输入单输出系统分析，也适用于非线性、时变、多输入多输出系统分析；
3、描述方法规律性强，便于用计算机解决复杂系统的分析设计问题。
8.0 引言信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-5页页页
■
电子教案电子教案
8.1系统的状态空间描述一、连续系统的状态变量、状态方程、输出方程：
1、状态变量：
（1）初始状态：设初始时刻为.
时刻的状态通常指电容元件上电压和电感元件上电流。n阶系统有n个初始状态。
初始状态的一般定义：
系统在时刻的状态是最少数目的一组数知道了这组数和区间[,t]上的输入，就可以完全确定系统在t时刻的输出。
表示：n阶系统的初始状态表示为：
0
t
0
t
)(
0
tu
c
)(
0
ti
L
0
t
0
t
).()......,(),(
00201
txtxtx
n
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-6页页页
■
电子教案电子教案说明：系统状态的数目是一定的,但状态的选择不唯一。
例,设二阶系统的初始状态为并且：
则也可作为系统在时刻的状态。
)(),(
0201
txtx
+=
+=
)()()(
)()()(
02201102
02201101
txbtxbtg
txatxatg
)(),(
0201
tgtg
0
t
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-7页页页
■
电子教案电子教案
（2）状态变量：
表示状态随时间变化的一组变量称状态变量。
设时刻的状态为：
则系统的状态变量任一时刻t的状态为：
0
t ).()......,(),(
00201
txtxtx
n
).()......,(),(
21
txtxtx
n
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-8页页页
■
电子教案电子教案
=
)(
)(
)(
)(
2
1
tx
tx
tx
tX
n
M
状态空间：状态矢量所在的空间称状态空间。
（3）状态矢量、状态空间：
状态矢量：由状态变量构成的列矢量称状态矢量。
)(tX
)(tX
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-9页页页
■
电子教案电子教案
2、状态方程和输出方程：
（1）状态方程：
例：
系统输入：系统输出：
系统的状态：
)(),(
21
tftf
)()(
)()(
2
1
tuty
tity
c
c
=
=
)(),( titu
Lc
LU
+
-
f
1
+
-
-
iL
R
+
C
UC
i
C
(t)
f
(t)
2
+
-
+
-
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-10页页页
■
电子教案电子教案由KCL和KVL得：
令：
21
21
,
,
xixu
xixu
Lc
Lc
&& ==
==
LU
+
-
f
1
+
-
-
iL
R
+
C
UC
i
C
(t)
f
(t)
2
+
-
+
-
8.1 系统的状态空间描述
=
=
2
1
1
)(
1
fu
dt
di
L
iuf
Rdt
du
c
c
L
Lc
c
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-11页页页
■
电子教案电子教案
=
+=
212
1211
11
111
f
L
x
L
x
f
RC
x
C
x
RC
x
&
&
上面的方程组称图示RLC系统的状态方程，其矩阵形式为：
+
=
2
1
2
1
2
1
1
0
0
1
0
1
11
f
f
L
RC
x
x
L
CRC
x
x
&
&
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-12页页页
■
电子教案电子教案状态方程：描述系统状态与输入之间的关系的一阶微分方程组。
状态方程的一般形式：
设n阶系统的状态变量为：
系统有p个输入：
.,,
21 n
xxx L
.,,
21 p
fff L
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-13页页页
■
电子教案电子教案
+++++++=
+++++++=
+++++++=
pnpnnnnnnnn
ppnn
ppnn
fbfbfbxaxaxax
fbfbfbxaxaxax
fbfbfbxaxaxax
LL
&
LLLL
LL
&
LL
&
22112211
222212122221212
121211112121111
矩阵形式：
+
=
n
npnn
p
p
nnnnn
n
n
n
f
f
f
bbb
bbb
bbb
x
x
x
aaa
aaa
aaa
x
x
x
M
L
LLL
L
L
M
L
LLL
L
L
&
M
&
&
2
1
21
22221
11211
2
1
21
22221
11211
2
1
则系统的状态方程为：
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-14页页页
■
电子教案电子教案令
[][]
[]
[] []
pn
ij
nn
ij
T
n
T
n
T
n
bBaA
ffff
xxxXxxxX
××
==
=
==
,
,
21
2121
L
L
&
L
&&
&
则
BfAXX +=
&
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-15页页页
■
电子教案电子教案
（2）输出方程：
例：以图8.1RLC系统为例,系统输出.,
21 Lc
uyiy ==
由KCL、KVL得：
LU
+
-
f
1
+
-
-
iL
R
+
C
UC
i
C
(t)
f
(t)
2
+
-
+
-
8.1 系统的状态空间描述
=
+=
=
==
212
1211
2
1
11
)(
1
fxy
f
R
xx
R
y
fuu
iuf
Rdt
du
ci
cL
Lc
c
c
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-16页页页
■
电子教案电子教案上式称图示RLC系统的输出方程，其矩阵形式为：
+
=
2
1
2
1
2
1
10
0
1
01
1
1
f
f
R
x
x
R
y
y
输出方程：描述系统输出、输入、状态之间关系的代数方程组。
输出方程一般形式：设n阶系统有n个状态、p个输入、
q个输出，则输出方程为：
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-17页页页
■
电子教案电子教案
+++++++=
+++++++=
+++++++=
pqpqqnqnqqq
ppnn
ppnn
fdfdfdxcxcxcy
fdfdfdxcxcxcy
fdfdfdxcxcxcy
LL
LLLL
LL
LL
22112211
222212122221212
121211112121111
矩阵形式：
+
=
p
qpqq
p
p
n
qnqq
n
n
q
f
f
f
ddd
ddd
ddd
x
x
x
ccc
ccc
ccc
y
y
y
M
L
LLL
L
L
M
L
LLL
L
L
M
2
1
21
22221
11211
2
1
21
22221
11211
2
1
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-18页页页
■
电子教案电子教案令
[][][]
pq
ij
nq
ij
T
q
dDcCyyyY
××
===,,
21
L
则
DfCXY +=
二、离散系统状态变量、状态方程、输出方程：
1、状态变量：
（1）初始状态：设初始时刻，对n阶系统，
初始状态通常指：
0
0
=K
.)(,,)2(,)1( nyyy L
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-19页页页
■
电子教案电子教案
0
K
时刻状态的一般定义：
0
K
时刻的状态是数目最少的一组数，知道了这组数和区间上的输入，就可完全确定系统在
K时刻的输出。
[]KK,
0
（2）状态变量、状态矢量：
状态变量：表示状态随时间变化的一组变量。
表示：对n阶系统，状态变量表示为：
.)(,,)(,)(
21
kxkxkx
n
L
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-20页页页
■
电子教案电子教案状态矢量：
=
)(
)(
)(
)(
2
1
kx
kx
kx
kX
n
M
2、状态方程和输出方程：
例1,设系统的方程为
)1()(,)2()(
)()2()1()(
21
001
=?=
=
kykxkykx
kfbkyakyaky
设
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-21页页页
■
电子教案电子教案得：
)()()()(
)()()()1(
)()1(
02110
021102
21
kfbkxakxaky
kfbkxakxakx
kxkx
++=
++=+
=+
式称系统的状态方程，式称系统的输出方程。
矩阵形式：
)(
0
)(
)(10
)1(
)1(
02
1
102
1
kf
bkx
kx
aakx
kx
+
=
+
+
[] )(
)(
)(
)(
0
2
1
10
kfb
kx
kx
aaky +
=
1
2
1 2
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-22页页页
■
电子教案电子教案离散系统状态方程、输出方程的一般形式：
状态方程：描述系统状态与输入关系的一阶前向差分方程组。
一般形式：n阶系统，p个输入。
)()()1(
)(
)(
)(
)1(
)1(
)1(
2
1
21
22221
11211
2
1
21
22221
11211
2
1
kfBkXAkX
f
f
f
bbb
bbb
bbb
kx
kx
kx
aaa
aaa
aaa
kx
kx
kx
p
npnn
p
p
nnnnn
n
n
n
+
↓↓↓↓↓
+
=
+
+
+
M
L
LLL
L
L
M
L
LLL
L
L
M
)()()1( kBfkAXkX +=+
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-23页页页
■
电子教案电子教案输出方程：描述系统输出、输入、状态之间关系的代数方程组。
一般形式：n阶系统，p个输入，q个输出。
)()()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
2
1
21
22221
11211
2
1
21
22221
11211
2
1
kfDkXCkY
f
f
f
ddd
ddd
ddd
kx
kx
kx
ccc
ccc
ccc
ky
ky
ky
p
qpqq
p
p
n
qnqq
n
n
n
↓↓↓↓↓
+
=
M
L
LLL
L
L
M
L
LLL
L
L
M
)()()( kDfkCXkY +=
8.1 系统的状态空间描述信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-24页页页
■
电子教案电子教案
8.2状态方程的建立一、连续系统状态方程的建立：
1,RLC系统状态方程的建立－直观编写法：
（1）状态变量的选择：
例：
选择、、
为状态变量.
1c
u
2c
u
L
i
选（1），.
（2），.
1c
u
L
i
2c
u
L
i
1
R
C
1
+
U
-
C
1
C
+
U
-
C
22
L
Li
2
R
U
S
+
-
R
1
R
2
U
S
+
-
C UC
UC
2
1
+
-
1
iL
L
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-25页页页
■
电子教案电子教案
2c
u
3c
u
1c
u
1
c
2
c
3
c
+
_
+
_
+
_
选：（1）、
或：（2）、
或：（3）、
1c
u
2c
u
1c
u
3c
u
3c
u
2c
u
选：（1），
（2），
1L
i
c
u
2L
i
c
u
选：（1）、
或：（2）、
或：（3）、
1L
i
2L
i
1L
i
3L
i
2L
i
3L
i
U
S
-
+
L
iL
R
Li
L
2
2
1
1
R
1
i
S
-
+
C UC
i
L
1
L
1
i
2L
2
L
i
L
L
3
3
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-26页页页
■
电子教案电子教案
(2).直观编写法步骤：
例：
选状态变量：
cLL
uxixix ===
3221
,,
设输出为：
abL
uyuy ==
221
,
列状态方程：
第一步：关于（电感电压）列KVL方程；
2211
,xLxL &&
21321
22131111
)(
ffxRxRx
fxxRxfuxL
L
+?+?=
==&
2
2
L
1
L
L
1
U
+
-
R
f
f1
+
-
x
1
x
U 2L
+
-
C
+ -
x
3
ic
2
+
-
a
b
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-27页页页
■
电子教案电子教案
2321
2213222
)(
fxRxRx
fxxRxuxL
L
++=
+?+==&
第二步：关于（电容电流）列KCL方程；
3
xC&
213
xxixC
c
==&
第三步：消去除状态变量和输入以外的其它变量，把
=
++=
+?+?=
213
2
2
3
2
2
2
1
2
2
2
1
1
1
3
1
2
1
1
1
1
11
11
111
x
C
x
C
x
f
L
x
L
x
L
R
x
L
R
x
f
L
f
L
x
L
x
L
R
x
L
R
x
&
&
&
状态方程整理成标准形式；
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-28页页页
■
电子教案电子教案
+
=
2
1
2
11
3
2
1
222
111
3
2
1
00
1
0
11
0
11
1
1
f
f
L
LL
x
x
x
CC
LL
R
L
R
LL
R
L
R
x
x
x
&
&
&
列输出方程：
+?=
+=+==
++?=
==
221
2322
2321
2221
fRxRx
fRxcfRiuy
fxRxRx
xLuy
cab
L
&
&
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-29页页页
■
电子教案电子教案
+
=
2
1
3
2
1
2
1
10
10
0
1
f
f
x
x
x
RR
RR
y
y
2.由系统微分方程编写状态方程：
例：已知系统方程为列出系统的状态方程和输出方程。
)()()()()(
00
'
1
''
2
'''
tfbtyatyatyaty =+++
（1）选择状态变量：令
yxyxyx ===
321
,,
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-30页页页
■
电子教案电子教案
（2）状态方程：
+=
=
=
fbxaxaxax
xx
xx
03221103
32
21
&
&
&
（3）输出方程：
1
xy =
矩阵形式：
f
bx
x
x
aaax
x
x
+
=
03
2
1
2103
2
1
0
0
100
010
&
&
&
[]
=
3
2
1
001
x
x
x
y
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-31页页页
■
电子教案电子教案例2,已知系统方程为列出系统状态方程和输出方程。
)()()()()()(
0
'
10
'
1
''
2
'''
tfbtfbtyatyatyaty +=+++
（1）选择状态变量：
引入：)(tq
)()()()()(
012
tftyatyatyaty =+++
式代入原方程得：)()()(
01
tqbtqbty +=
令
qxqxqx ===
321
,,
1
21
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-32页页页
■
电子教案电子教案
（2）列状态方程：
+=
=
=
fxaxaxax
xx
xx
3221103
32
21
&
&
&
（3）列输出方程：
3021
xbxby +=
矩阵形式：
f
x
x
x
aaax
x
x
+
=
1
0
0
100
010
3
2
1
2103
2
1
&
&
&
[]
=
3
2
1
001
x
x
x
y
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-33页页页
■
电子教案电子教案
3.由系统框图、流图编写状态方程：
例：
⊕
⊕
1/S 1/S
1
b
1
a?
0
a?
0
b
)(sF
)(sY
某LTI二阶系统框图及流图如图所示，列写状态方程和输出方程。
)(sF
1
S
1
S
1
2
b
1
b
0
b
1
a?
0
a?
)(sY
2
b
1
x
2
x
3
x
1
x
&
2
x
&
1
x
2
x
3
x
1
x
&
2
x
&
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-34页页页
■
电子教案电子教案
(1)选状态变量：选积分器输出为状态变量，如图所示；
(2)状态方程：
+=
=
fxaxax
xx
21102
21
&
&
(3)输出方程：
fxbabxbab
fxaxabxbxby
+?+?=
+++=
22111200
211022110
)()(
)(
二、离散系统状态方程、输出方程的编写：
1,由差分方程编写：
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-35页页页
■
电子教案电子教案例1：已知系统方程为列状态方程和输出方程。
)()2()1()(
01
kbfkyakyaky =?+?+
(1)状态变量选择：
令
)1()(,)2()(
21
=?= kykxkykx
(2)状态方程：
+=+
=+
)()()()1(
)()1(
21102
21
kbfkxakxakx
kxkx
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-36页页页
■
电子教案电子教案
(3)输出方程：
)()()()(
2110
kbfkxakxaky +=
矩阵形式：
)(
0
)(
)(10
)1(
)1(
2
1
102
1
kf
bkx
kx
aakx
kx
+
=
+
+
[] )(
)(
)(
)(
2
1
10
kfb
kx
kx
aaky +
=
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-37页页页
■
电子教案电子教案例2：已知系统方程为列写系统状态方程和输出方程。
)()()1()2(
01
kbfkyakyaky =++++
(1)
状态变量选择：
令
)1()(,)()(
21
+== kykxkykx
(2)状态方程：
+=+
=+
)()()()1(
)()1(
21102
21
kbfkxakxakx
kxkx
)()(
1
kxky =
(3)输出方程：
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-38页页页
■
电子教案电子教案例3：已知系统方程为列状态方程、输出方程。
)()1()2()()1()2(
01201
kfbkfbkfbkyakyaky ++++=++++
1
（1）状态变量的选择：
)(kq
引入：)()()1()2(
01
kfkqakqakq =++++ 2
2
式代入式得：
1
)()1()2()(
012
kqbkqbkqbky ++++=
令
)1()(,)()(
21
+== kqkxkqkx
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-39页页页
■
电子教案电子教案
(2)状态方程：
+=+
=+
)()()()1(
)()1(
21102
21
kfkxakxakx
kxkx
(3)输出方程：
)()()()()(
)]()()([)()()(
222111200
211022110
kfbkxbabkxbab
kfkxakxabkxbkxbky
+?+?=
+++=
2.由矩阵框图、信号流图编写状态方程
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-40页页页
■
电子教案电子教案
⊕
⊕
1
b
2
b
1
a?
0
a?
0
b
)(zF )(zY
1?
z
1?
z
例:已知系统框图、流图如图所示,列写状态方程和输出方程.
)(zF
1
1?
z
1?
z
2
b
1
b
0
b
1
a?
0
a?
)(zY
)(
1
kx)(
2
kx
)(
1
kx)(
2
kx
8.2 状态方程的建立信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-41页页页
■
电子教案电子教案
(1) 选择状态变量:选单位延迟器的输出为状态变量,
如图所示.
(2) 根据框图、流图的信号传输关系建立状态方程和输出关系.
8.3 连续系统状态方程的解一、矩阵函数:
1.矩阵函数的定义:
设A为n阶方阵，对于收敛的幂级数
,)(
0
i
i
i
xxf
∑
=
= α
定义矩阵函数，
)(Af
∑
=
=
00
0
)(
i
i
i
AAf α
8.3 连续系统状态方程的解
，（A类比x）
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-42页页页
■
电子教案电子教案
2.矩阵指数函数的定义：
设A为n阶方阵，对于指数函数，
x
exf =)(
i
i
x
x
i
xxe
∑
=
=
+++=
00
0
2
!
1
!2
1
1 L
定义矩阵指数函数和分别为
A
e
At
e
i
i
A
A
i
AAIe
∑
=
=
+++=
00
0
2
!
1
!2
1
L
i
i
i
At
A
i
t
A
t
AtIe
∑
=
=
+++=
00
0
2
2
!
!2
L
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-43页页页
■
电子教案电子教案
3.矩阵的导数、积分和卷积:
(1) 导数、积分,设矩阵
mnij
tt
mnij
mnij
ta
dt
d
tA
dt
d
dttadttA
tatA
×
∞?∞?
×
×
=
=
=
∫∫
)]([)(
])([)(
)]([)(
则
(2) 卷积,设
mnijnmij
tbtBtatA
××
== )]([)(,)]([)(
)()( tBtA?等于运算中元素的相乘变成卷积运算,
)()( tBtA?
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-44页页页
■
电子教案电子教案例,
+?
+?
=
L
L
21221121
21121111
2221
1211
2221
1211
baba
baba
bb
bb
aa
aa
4.矩阵运算的几个定理：设A、B为n阶方阵。
AeAee
dt
d
AtAtAt
==)(
)(
2121
ttAAtAt
eee
+
=?
BAAB =
)( ttAAtAt
eee
+
=?
（1）
（2）
（3）设，则
（4）设X为n维列向量，A为n阶方阵，则
XAeXeXe
dt
d
AtAtAt
=?
&
)(
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-45页页页
■
电子教案电子教案
（5）设A为方阵，则恒有逆，且。
At
e
AtAt
ee
=
1
)(
（6）设A、P为n阶方阵，P为非奇异阵（det（P）＝0），则
1
1
=
PPee
AttPAP
二、状态方程的时域解：
1.状态方程的时域解：对n阶系统。
状态方程：
BftAXtX
BftAXtX
=?
+=
)()(
)()(
&
&
1
1
式两边乘以，得
At
e
)()()( tBfetAXetXe
AtAtAt
=?
&
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-46页页页
■
电子教案电子教案根据矩阵函数运算的定理（4），上式可写成：
)()]([ tBfetXe
dt
d
AtAt
=
2
2对式两边积分，得：
∫
∫
∫∫
+=∴
=?
=
t
t
tAttA
t
t
AAtAt
t
t
AA
t
t
dBfetXetX
dBfetXetXe
dBfedXe
dt
d
0
0
0
0
00
)()()(
)()()(
)()](([
)(
0
)(
0
ττ
ττ
ττττ
τ
τ
ττ
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-47页页页
■
电子教案电子教案设，得：
= 0
0
t
∫
+=
t
tAAt
dBfeXetX
0
)(
)()0()( ττ
τ
设称状态转移矩阵,
At
et =Φ )(
则
4342143421
)()(
0
)()()0()(
)()()0()()(
tXtX
t
fx
tfBtXt
dBftXttX
Φ+Φ=
Φ+Φ=
∫
τττ
零输入分量零状态分量
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-48页页页
■
电子教案电子教案
2.输出方程的解：
输出方程为：
)()()( tDftCXty +=
把状态方程的解代入输出方程，得：
)()()()0()(
)()]()()0()([)(
tDftfBtCXtC
tDftfBtXtCty
+?Φ+Φ=
+?Φ+Φ=
引入p阶对角阵：
)(tδ
=)(tδ
pp
t
t
t
×
)(0
)(
0)(
δ
δ
δ
O
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-49页页页
■
电子教案电子教案则
).()()( tftft =?δ
444434444214434421
)(
)(
)()]()([)0()(
)()()()()0()()(
tY
tY
fx
tftDBtCXtC
tftDtfBTCXtCtY
+Φ+Φ=
+?Φ+Φ=
δ
δ
)()()(
)()()(
)0()()(
tDBtCth
tfthtY
XtCtY
f
x
δ+Φ=
=
Φ=
零输入响应零状态响应冲激响应，.
)( pq×
=)(th
qpqq
p
p
hhh
hhh
hhh
L
LLL
L
L
21
22221
11211
)(th
ij
0)( ≠tf
j
,其余输入为零时，
对应的冲激响应。
)(ty
i
f
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-50页页页
■
电子教案电子教案
3,
At
et =Φ )(
的计算：
（1）n阶方阵A的特征方程、特征根：
特征多项式：
特征方程：
特征根：特征方程的根，
||)det( IAIA λλ?=?
0|| =? IA λ
.,,2,1 ni L=
i
λ
(2)凯莱哈密顿定理：
任何方阵A，恒满足它的特征方程。
设则
0||)( =?= IAq λλ
0)( =Aq
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-51页页页
■
电子教案电子教案
（3）
At
et =Φ )(
的计算：
设n阶方阵A的特征根为，j=1,2,…,n,
j
λ
i
j
i
i
jj
t
t
te
j
λβ
λλ
λ
∑
∞
=
=
+++=
0
2
2
!2
1 L
i
i
i
At
A
A
t
tAIe
∑
∞
=
=
+++=
0
2
2
!2
β
L
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-52页页页
■
电子教案电子教案根据A的特征方程和凯莱哈密顿定理可以证明：
1
1
2
21
1
0
1
=
++++==
∑
n
jnjj
n
i
i
ji
t
j
e λαλαλαλα
λ
L
1
1
2
21
1
0
=
++++==
∑
n
n
n
i
i
i
At
AAAIAe αααα L
由A的n个特征根和的展开式确定系数，代入的展开式，就可求得。
t
j
e
λ
i
α
At
e
At
e
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-53页页页
■
电子教案电子教案
At
e的计算步骤：
（1）A的特征根为单根：
第一步：求n阶方阵A的特征根，i=1,2,…,n,
i
λ
第二步：由n个特征根建立以下n个方程：
++++=
++++=
++++=
1
1
2
210
1
21
2
22210
1
11
2
12110
2
1
n
nnnn
t
n
n
t
n
n
t
n
e
e
e
λαλαλαα
λαλαλαα
λαλαλαα
λ
λ
λ
L
LLL
L
L
第三步：解上面方程组，求，
i
α
i=1,2,…,n,
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-54页页页
■
电子教案电子教案第四步：把代入下式，求：
i
α
At
e
1
1
2
210
++++=
n
n
At
AAAIe αααα L
（2）A的特征根有重根：设为m重根，另有n-m个单根。
1
λ
第一步：求n阶方阵A的特征根
q=n-m+1.
.,,,
21 q
λλλ L
第二步：由特征根建立以下n个方程：
i
λ
1
11
2
12110
1
++++=
n
n
t
e λαλαλαα
λ
L
)()(
1
11
2
12110
11
1
++++=
n
n
t
d
d
e
d
d
λαλαλαα
λλ
λ
L
)()(
1
11
2
12110
2
1
2
2
1
2
1
++++=
n
n
t
d
d
e
d
d
λαλαλαα
λλ
λ
L
…… …
)()(
1
11
2
12110
1
1
1
1
1
1
1
++++=
n
n
m
m
t
m
m
d
d
e
d
d
λαλαλαα
λλ
λ
L
{
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-55页页页
■
电子教案电子教案
1
21
2
22210
2
++++=
n
n
t
e λαλαλαα
λ
L
1
31
2
32310
3
++++=
n
n
t
e λαλαλαα
λ
L
…… …
1
1
2
210
++++=
n
qnqq
t
q
e λαλαλαα
λ
L
第三步：解上面方程组,求,i=0,1,2,…,.
i
α
1?n
α
第四步,把代入下式求:
i
α
At
e
1
1
2
210
++++=
n
n
At
AAAIe αααα L
例1,
,求,
=
21
01
A
At
e
解,(1) 求
:IA λ?
=? IA λ
21
01
λ
λ
0
0
=
λ
λ
21
01
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-56页页页
■
电子教案电子教案
(2) 求A的特征根:
.2,1,0)2)(1(||
21
=?==++=? λλλλλIA
(3)建立求的方程,求,
i
α
i
α
+=
+=
210
110
2
1
λαα
λαα
λ
λ
t
t
e
e
=
=
10
2
10
2αα
αα
t
t
e
e
,
解方程组,得,.,2
2
1
2
0
tttt
eeee
=?= αα
(4) 求:
At
e
)2(
2
10
ttAt
eeAIe
=+= αα
)(
10
01
2tt
ee
+
20
01
=
ttt
t
eee
e
22
)(
0
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-57页页页
■
电子教案电子教案例2,求,
=
12
01
A
At
e
解,(1) 求
:IA λ?
=? IA λ
λ
λ
12
01
(2) 求A的特征根:
.1,0)1(||
21
2
===+=? λλλλIA
(3)建立求的方程,求,
i
α
i
α
+=
+=
)()(
210
110
2
1
λαα
λαα
λ
λ
dt
d
e
dt
d
e
t
t
=
=
1
10
α
αα
t
t
te
e
,
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-58页页页
■
电子教案电子教案解方程组,得:
.,
10
ttt
tetee
=+= αα
(4) 求:
At
e
=+= AIe
At
10
αα
+
+?
)2(2
0)2(
ttt
tt
teete
tee
4,由求A:
At
e
Iee
e
dt
d
A
t
At
t
At
==
=
=
=
0
0
0
|
|)(
状态方程的解:
Step1:求;)(
At
et =Φ
Step4:求
Step3:求
Step2:求);0()()(
Φ= XttX
x
);()()( tfBttX
f
Φ=
);()()( tXtXtX
fx
+=
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-59页页页
■
电子教案电子教案输出方程的解:
Step2:求
Step1:求
Step3:求
Step4:求;)(
At
et =Φ
);0()()(
Φ= XtCtY
x
);()()( tDBtCth δ+Φ=
);()()( tfthtY
f
=
Step5:求
);()()( tYtYtY
fx
+=
三、状态方程、输出方程的S域解:
1.状态方程的S域解:
状态方程:
)()()( tBftAXtX +=
&
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-60页页页
■
电子教案电子教案
S域解:根据单边拉氏变换的时域微分性质,对状态方程两边取拉氏变换,得:
)()()0()( sBFsAXXsSX +=?
)()0()()( sBFXsAXsSX +=?
)()0()()( sBFXsXAsI +=?
)()()0()()(
11
sBFAsIXAsIsX
+?=
4342143421
)()(
)()()0()(
sXsX
fx
sBFsXs Φ+Φ=
)]([)()(
1
tLAsIs Φ=?=Φ
)]([)( tXLsX
xx
=
)]([)( tXLsX
ff
=
)]([)]([)]([)(
111
sXLsXLsXLtX
fx
+==
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-61页页页
■
电子教案电子教案
2.输出方程的S域解:
输出方程:
)()()( tDftCXtY +=
S域解,)()()( sDfsCXsY +=
把代入上式,得:
)(sX
)(])([)0()()( sFDBsCXsCsY +Φ+Φ=
434214434421
)()(
)()()0()(
sYsY
fx
sFsHXsC +Φ=
)]([)()( thLDBsCsH =+Φ=
)]([)( tYLsY
xx
=
)]([)( tYLsY
ff
=
)]([)]([)]([)(
111
sYLsYLsYLtY
fx
+==
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-62页页页
■
电子教案电子教案状态方程、输出方程的S域解步骤:
状态方程S域解:
Step1:求
Step2:求
Step3:求
Step4:求
Step5:求
);0()()(
Φ= XssX
x
);()()( sBFssX
f
Φ=
);()()( sXsXsX
fx
+=;)()(
1?
=Φ AsIs
)].([)(
1
sXLtX
=
输出方程S 域解:
Step1:求
Step2:求
Step3:求;)()(
1?
=Φ AsIs
);0()()(
Φ= XsCsY
x;)()( DBsCsH +Φ=
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-63页页页
■
电子教案电子教案
Step4:求
Step5:求
Step6:求
)()()( sFsHsY
f
=
)];([)(
)]([)(
1
1
sYLtY
sYLtY
ff
xx
=
=
).()()( tYtYtY
fx
+=
8.3 连续系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-64页页页
■
电子教案电子教案
8.4 离散系统状态方程的解一、状态方程、输出方程的时域解:
1.状态方程的解,n阶系统,P个输入.
状态方程:
)()()1( kBfkAXkX +=+
设初始时,初始状态0
0
=k )].0(,),0(),0([)0(
21 n
XXXX L=
用递推法得:
)0()0()1( BfAXX +=
)1()]0()0([)1()1()2( BfBfxABfAXX ++=+=
)1()0()0(
2
BfABfXA ++=
)2()2()3( BfAXX +=
)2()1()0()0(
23
BfABfBfAXA +++=
…… …
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-65页页页
■
电子教案电子教案
)1()0()0()(
21
BfABfAXAkX
kkk
++=
).1()2(?+?++ kBfkABfL
∑
=
+=
1
0
1
)()0(
k
i
ikk
iBfAXA
)()0(
1
kfBAXA
kk
+=
设则
),(kA
k
Φ=
443442143421
)()(
)()1()0()()(
kXkX
fx
kfBkXkkXΦ+Φ=
(零输入分量) (零状态分量)
2.输出方程的解,n阶系统,P个输入,q 个输出.
输出方程,
)()()( kDfkCXkY +=
把代入输出方程,得:
)(kX
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-66页页页
■
电子教案电子教案
)()()1()0()()( kDfkfBkCXtCkY +Φ+Φ=
引入
:)(kδ
)(kδ
pp
t
t
t
×
=
)(0
)(
0)(
δ
δ
δ
O
则
)()]()1([)0()()( kfkDBkCXkCkY?+?Φ+Φ= δ
).()()( kfkDkDf?= δ
4342143421
)()(
)()()0()(
kYkY
fx
kfkhXkC?+Φ=
)()1()( kDBkCkh δ+?Φ=
冲激响应,
).( pq×
pq
qpqq
p
hhh
hhh
×
=
L
LLL
L
21
11211
)(kh
ij
)(kf
j
单独作用时,输出的单位脉冲响应.
)(ky
i
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-67页页页
■
电子教案电子教案
3.的计算：
k
Ak =Φ )(
（1）的计算方法：
k
A
设A为n阶方阵，为A的特征根，i=1,2,…，n.
i
λ
由A的特征方程和凯莱哈密顿定理可以证明：
1
1
2
210
++++=
n
inii
k
i
λαλαλααλ L
1
1
2
210
++++=
n
n
k
AAAIA αααα L
（2）的计算步骤：
k
A
A的特征值为单根：，
i
λ i=1,2,…，n.
第一步：根据A的特征根建立以下方程：
++++=
++++=
++++=
1
1
2
210
1
21
2
222102
1
11
2
121101
n
nnnn
k
n
n
n
k
n
n
k
λαλαλααλ
λαλαλααλ
λαλαλααλ
L
LLL
L
L
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-68页页页
■
电子教案电子教案第二步：解上面方程组，求，i=0,1,2,…,n-1.
i
α
第三步：把代入下式，求：
k
A
1
1
2
210
++++=
n
n
k
AAAIA αααα L
A的特征根有重根：设为m重根，另有n-m个单根为
1
λ
,,,,
32 q
λλλ L
q=n-m+1.
第一步：根据A的特征根建立以下个方程：
)()(
1
11
2
12110
1
1
1
++++=
n
n
k
d
d
d
d
λαλαλαα
λ
λ
λ
L
1
11
2
121101
++++=
n
n
k
λαλαλααλ L
………
)()(
1
11
2
12110
1
1
1
1
1
1
1
++++=
n
n
m
m
k
m
m
d
d
d
d
λαλαλαα
λ
λ
λ
L
1
21
2
222102
++++=
n
n
k
λαλαλααλ L
………
1
1
2
210
++++=
n
qnqq
k
q
λαλαλααλ L
i
α
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-69页页页
■
电子教案电子教案第二步：解上面方程组，求，i=0,1,2,…,n-1.
i
α
第三步：把代入下式，求：
i
α
k
A
1
1
2
210
++++=
n
n
k
AAAIA αααα L
（3）由求.
k
A
A
1
|
=k
k
A=A
=
12
10
A
例1：，求。
k
Ak =Φ )(
解：（1）求
:IA λ?
IA λ?
=
λ
λ
12
01
（2）求的根：
.2,1,0)2)(1(||
21
=?==?+=? λλλλλIA
0|| =? IA λ
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-70页页页
■
电子教案电子教案
(3) 建立求的方程,求,i=0,1,
i
α
i
α
+=
+=
2102
1101
λααλ
λααλ
k
k
+=
=?
10
10
22
)1(
αα
αα
k
k
,
解方程组,得:
].)1(2[
3
1
,])1(22[
3
1
10
kkkk
=?+= αα
(4) 求：
k
A
+
+
=
+
])1(2[
3
1
])1(2[
3
2
])1(2[
3
1
])1(22[
3
1
1 kkkk
kkkk
AIA
k
10
αα +=
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-71页页页
■
电子教案电子教案例2.,求。
=
20
02
A
k
Ak =Φ )(
解：（1）求,IA λ?
（2）求的根：0|| =? IA λ
(3) 建立求的方程,求,i=0,1,
i
α
i
α
+=
+=
)()(
1101
1101
λααλ
λααλ
dt
d
dt
d
k
k
=
+=
1
10
2
22
α
αα
k
k
k，
解方程组,得:
.2,22
1
10
=?=
kkk
kk αα
.2
21
== λλ
（4）求：
k
A
AIA
k
10
αα +=
=
k
k
20
02
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-72页页页
■
电子教案电子教案状态方程、输出方程时域解步骤：
Step1:求
Step2:求
Step3:求
Step4:求;)(
k
Ak =Φ
);0()()( XkKX
x
Φ=
);()1()( kfBkkX
f
Φ=
);()()( kXkXkX
fx
+=
输出方程的解：
Step1:求
Step2:求
Step3:求
Step4:求
Step5:求;)(
k
Ak =Φ
);0()()( XkCkY
x
Φ=
);()1()( kDBkCkh δ+?Φ=
);()()( kfkhkY
f
=
);()()( kYkYkY
fx
+=
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-73页页页
■
电子教案电子教案二、状态方程、输出方程的Z域解：
1,状态方程的Z域解：
0
0
=k
状态方程：)()()1( kBfkAXkX +=+
单边Z变换的左移性质：
.)()()(
1
0
∑
=
→←+
m
k
kmm
ZkfzFZmkf
由左移性质，对状态方程两边取Z变换，得：
)()()0()( zBFzAXZXzZX +=?
)()0()()( zBFzXzXAzI +=?
)()()0()()(
11
zBFAzIzXAzIzX
+?=
zAzIz
1
)()(
=Φ
令则443442143421
)(
1
)(
)()()0()()(
zXzX
fx
zBFzzXzzX Φ+Φ=
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-74页页页
■
电子教案电子教案
)],([)(
1
zXZkX
=
)],([)( kZz Φ=Φ )].([)(
1
zZk Φ=Φ
2,输出方程的Z域解：0
0
=k
输出方程：
).()()( kDfkCXkY +=
方程两边取单边Z变换，得：
).()()( zDFzCXzY +=
把代入上面方程，得：
)(])([)0()()(
1
zFDBzCzXzCzY +Φ+Φ=
4342143421
)()(
)()()0()(
zYzY
fx
zFzHXzC +Φ=
)(zX
)].([)()(
1
khZDBzzCzH =+Φ=
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-75页页页
■
电子教案电子教案
)],([)(
1
zYZkY
xx
=
)],([)(
1
zYZkY
ff
=
).()()]([)(
1
kYkYzYZkY
fx
+==
状态方程、输出方程Z域解步骤：
状态方程的Z域解：
Step1:求
Step2:求
Step3:求
Step4:求
Step5:求;)()(
1
zAzIz
=Φ
);0()()( XzzX
x
Φ=
);()()(
1
zBFzzzX
f
Φ=
);()()( zXzXzX
fx
+=
)].([)(
1
zXZkX
=
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-76页页页
■
电子教案电子教案输出方程Z域解：
Step1:求
Step2:求
Step3:求
Step4:求
Step5:求
Step6:求;)()(
1
zAzIz
=Φ
);0()()( XzCzY
x
Φ=;)()(
1
DBzzCzH +Φ=
);()()( zFzHzY
f
=
)];([)(
)]([)(
1
1
zYZkY
zYZkY
ff
xx
=
=
).()()( kYkYkY
fx
+=
8.4 离散系统状态方程的解信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-77页页页
■
电子教案电子教案
8.5 系统稳定性判别一、连续系统稳定性判别：
1,矩阵H(s)与系统稳定性：对n阶系统
.)()()(
1
DBAsICDBsCsH +?=+Φ=
)(sH
的分母为为S的n次多项式，可表示为：|,| AsI?
0
1
1
|| asasaAsI
n
n
n
n
+++=?
L
用R H 准则判断系统的稳定性：
Step1:对进行R H排列；
Step2:根据R H排列和R H 准则判别系统的稳定性。
|,| AsI?
2,矩阵A的特征方程与系统稳定性：对n阶系统
8.5 系统稳定性判别信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-78页页页
■
电子教案电子教案
A的特征方程为若的根全部在左半复平面，或者根的实部全为负值，则系统为稳定系统。
.0|| =? AIλ
0|| =? AIλ
二、离散系统稳定性判别：
1,矩阵与系统稳定性：对n阶系统。)(zH
,)()()(
11
DBAzICDBzCzzH +?=+Φ=
)(zH的分母为.||
0
1
1
azazaAzI
n
n
n
n
+++=?
L
用朱里准则判断系统稳定性：
Step1:对进行朱里排列；|| AI?λ
Step2:根据朱里准则判断系统稳定性。
8.5 系统稳定性判别信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
8-79页页页
■
电子教案电子教案
2,矩阵A与系统稳定性：
A的特征方程：
若的根全部在Z平面上单位圆内，
则系统为稳定系统。
.0|| =? AIλ
0|| =? AIλ
8.5 系统稳定性判别
