信号与系统信号与系统
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3-1页页页

电子教案电子教案第五章离散系统的时域分析
5.1基本离散信号与LTI离散系统的响应一、基本离散信号二、差分与差分方程三、差分方程的经典解三、零输入响应和零状态响应
5.2 卷积和一、序列分解与卷积和二、卷积的图解三、不进位乘法四、卷积和的性质
5.3离散系统的算子方程点击目录,进入相关章节信号与系统信号与系统
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3-2页页页

电子教案电子教案定义:连续信号是连续时间变量t的函数,记为f (t)。
离散信号是离散时间变量tk(k为任意整数)的函数,
记为f (tk)。
离散信号表示:
(a)图形表示:
f (t
k
)
……
t
-3
t
-2
t
-1
t
1
ot
2
t
3
t
k
(a)
f (kT)
……
-3T
o
kT
(b)
-2T-TT2T 3T
f (k)
……
-3
o
k
(c)
-21-123
(tk-t(k-1))N在图a中为变数;在图b,c中为常数。
序列序列值序号
5.1基本离散信号与LTI离散系统的响应一、基本离散信号
5.1基本离散信号与系统响应信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案
(b)解析表示:
0
0
0
1
<

=
k
k
k)(ε
)(kε
k5432101?
)(
)(
1
1
0
+?
=

=
kk
k
e
k
e
kf
ε
其余
(c)集合表示:{}LL,,,,,,,043210
k=0
5.1基本离散信号与系统响应信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案位移单位脉冲序列:
0
0
0
0
1
kk
kk
kk

=
=? )(δ
1,单位脉冲序列:
0
0
0
1

=
=
k
k
k)(δ
δ (k)
1-
o
k2-12
1
离散基本信号:
5.1基本离散信号与系统响应信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案
5.1基本离散信号与系统响应
0)2()1(
)2()1(
=
+?
kk
kk
δδ
δδ
k
1 2
3-1-2
0
1
456
)(kε
)(
0,1
0,0
)(
k
k
k
i
k
i
ε
δ
=

<
=

∞=
迭分:
k
1 2
3-1-2
0
1
)2()1(?+? kk δδ
4
延时:
)()()( kkk δδδ =?乘:
k
1 2
3-1-2
0
3
)(3 kδ
)(3)(2)( kkk δδδ =+
加:
运算:
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电子教案电子教案
)()0()()( kfkkf δδ =
)()()()(
000
kkkfkkkf?=? δδ
取样性质:


∞=
=
k
i,1)(δ


∞=
=
k
fkkf )0()()( δ


∞=
=?
k
kfkkkf )()()(
00
δ
偶函数:
)()( kk?= δδ
5.1基本离散信号与系统响应信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案
5.1基本离散信号与系统响应

<
=
0,1
0,0
)(
k
k

)(3)(2)( kkk εεε =+
)()()( kkk εεε =?
)5()5()2(
)5()2(
=

kkk
kk
εεε
εε
(1)定义:
(2)运算:同一般离散信号的运算相加:
相乘:
延时:
)(kε
2.单位阶跃序列:
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电子教案电子教案
)()1(
0,1
0,0
)(
kk
kk
k
i
k
i
ε
ε
+=
≥+
<
=

∞=
迭分:
)1()()(= kkk εεδ

∞=
=
k
i
ik )()( δε
3、与关系:
)(kδ )(kε
5.1基本离散信号与系统响应信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案
3.正弦序列:
)cos()(?+= kAkf
0
)(:
0
或度相位:):数字角频率(振幅radradA
连续正弦信号是周期信号,但正弦序列不一定是周期序列。
])(cos[cos
)cos()cos()(

π
π?
++=
+
+=
++=+=
NkA
m
kA
mkAkAkf
0
0
0
00
2
2

式中,m、N均为整数,只有满足
0
2
=
πm
N
为整数,或者
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电子教案电子教案
m
N
=
0
2
π
当为有理数时,正弦序列才是周期序列;否则为非周期序列。
如果正弦序列是由连续正弦信号通过抽样得到,设正弦
。则,抽样周期为的周期为
s
TTt
00
ωcos
)cos(cos)cos()( kkT
T
tkf
skTt
s
0
0
0
2
=
×==
=
π
ω
式中:
0
0
2
T
T
s
π
=?
代入式
m
N
=
0
2
π
得:
m
N
T
T
s
==
0
0
2
π
才为周期序列。为有理数时要求)(tf
T
T
s
0
5.1基本离散信号与系统响应信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案
)sin()[cos(
)(
00
)(
)()(
0
00

ρρ?β
+?++?=
=
=?==
+?
++
kjkrA
erA
eeAeeAAekf
k
kjk
kjkkjjk
可见,复指数序列的实部和虚部均为幅值按指数规律变化的正弦序列。
如下页图所示
5.1基本离散信号与系统响应
,则有:,且,设复数rejeAA
j
=+==
ρ?
ρβ
0
4.复指数序列:
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电子教案电子教案
r >1时,f (t)的实虚部均为指数增长的正弦序列。
r <1时,f (t)的实虚部均为指数减小的正弦序列。
r =1时,f (t)的实虚部均为正弦序列。
5.1基本离散信号与系统响应信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案
5.Z序列:
k
zkf =)( z为复数类比:连续与离散基本信号的对应关系单位冲激信号:
单位阶跃信号:
正弦信号:
虚指数信号:
复指数函数:
单位脉冲序列单位阶跃序列正弦序列虚指数序列复指数序列
)(
)cos()cos(
)()(
)()(
0
0
kkst
kjtj
zee
AeAe
kAtA
kt
kt

β
ω
ω
εε
δδ
++
→←
5.1基本离散信号与系统响应信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案
5.1基本离散信号与系统响应二、差分与差分方程设有序列f(k),则…,f(k+2),f(k+1),…,f(k-1),
f(k-2)…等称为f(k)的移位序列。
仿照连续信号的微分运算,定义离散信号的差分运算。
1,差分运算
t
ttftf
t
tfttf
t
tf
t
tf
ttt

=
+
=
=
→?→?→?
)()(
lim
)()(
lim
)(
lim
d
)(d
000
离散信号的变化率有两种表示形式:
kk
kfkf
k
kf
+
+
=
)1(
)()1()(
)1(
)1()()(


=
kk
kfkf
k
kf
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电子教案电子教案
5.1基本离散信号与系统响应
(1)一阶前向差分定义:?f(k) = f(k+1) –f(k)
(2)一阶后向差分定义:?f(k) = f(k) –f(k –1)
式中,?和?称为差分算子,无原则区别。本书主要用后向差分,简称为差分。
(3)差分的线性性质:
[af
1
(k) + bf
2
(k)] = a?f
1
(k) + b?f
2
(k)
(4)二阶差分定义:
2
f(k) =?[?f(k)] =?[f(k) – f(k-1)] =?f(k) –?f(k-1)
= f(k)–f(k-1) –[f(k-1) –f(k-2)]= f(k) –2 f(k-1) +f(k-2)
(5)m阶差分:
m
f(k) = f(k) + b
1
f(k-1) +…+ b
m
f(k-m)
因此,可定义:
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电子教案电子教案
5.1基本离散信号与系统响应
2,差分方程包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列,得一般形式
y(k) + a
n-1
y(k-1) +…+ a
0
y(k-n) = b
m
f(k)+…+ b
0
f(k-m)
差分方程本质上是递推的代数方程,若已知初始条件和激励,利用迭代法可求得其数值解。
例:若描述某系统的差分方程为
y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k)
已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2
k
ε(k),求y(k)。
解:y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k)
y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2
y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 ……
一般不易得到解析形式的(闭合)解。
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电子教案电子教案
5.1基本离散信号与系统响应三、差分方程的经典解
y(k) + a
n-1
y(k-1) +…+ a
0
y(k-n) = b
m
f(k)+…+ b
0
f(k-m)
与微分方程经典解类似,y(k) = y
h
(k) + y
p
(k)
1,齐次解y
h
(k)
齐次方程y(k) + a
n-1
y(k-1) + … + a
0
y(k-n) = 0
其特征方程为1 + a
n-1
λ
–1
+ … + a
0
λ
–n
= 0,即
λ
n
+ a
n-1
λ
n– 1
+ … + a
0
= 0
其根λ
i
( i = 1,2,…,n)称为差分方程的特征根。
齐次解的形式取决于特征根。
当特征根λ为单根时,齐次解y
n
(k)形式为:Cλ
k
当特征根λ为r重根时,齐次解y
n
(k)形式为:
(C
r-1
k
r-1
+ C
r-2
k
r-2
+…+ C
1
k+C
0

k
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电子教案电子教案
5.1基本离散信号与系统响应
2,特解y
p
(k),特解的形式与激励的形式相同(r≥1)。
(1)激励f(k)=k
m
(m≥0)
①所有特征根均不等于1时,特解为
y
p
(k)=P
m
k
m
+…+P
1
k+P
0
②有r重等于1的特征根时,特解为
y
p
(k)=k
r
[P
m
k
m
+…+P
1
k+P
0
]
(2)激励f(k)=a
k
①当a不等于特征根时; y
p
(k)=Pa
k
②当a是r重特征根时;
y
p
(k)=(P
r
k
r
+P
r-1
k
r-1
+…+P
1
k+P
0
)a
k
(3)激励f(k)=cos(βk)或sin(βk) 且所有特征根均不等于e
±jβ;
y
p
(k)=Pcos(βk)+Qsin(βk)
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电子教案电子教案例:若描述某系统的差分方程为
y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k)
已知初始条件y(0)=0,y(1)= – 1;激励f(k)=2
k
,k≥0。
求方程的全解。
解:特征方程为λ
2
+ 4λ+ 4=0
可解得特征根λ
1

2
= – 2,其齐次解
y
h
(k)=(C
1
k +C
2
) (– 2)
k
特解为y
p
(k)=P (2)
k
,k≥0
代入差分方程得P(2)
k
+4P(2)
k –1
+4P(2)
k–2
= f(k) = 2
k

解得P=1/4
所以得特解:y
p
(k)=2
k–2
,k≥0
故全解为y(k)= y
h
+y
p
= (C
1
k +C
2
) (– 2)
k
+ 2
k–2
,k≥0
代入初始条件解得C
1
=1,C
2
= – 1/4
5.1基本离散信号与系统响应信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案
5.1基本离散信号与系统响应四、零输入响应和零状态响应
y(k) = y
x
(k) + y
f
(k),也可以分别用经典法求解。
y(j) = y
x
(j) + y
f
(j),j = 0,1,2,…,n –1
设激励f(k)在k=0时接入系统,
通常以y(–1),y(–2),…,y(–n)描述系统的初始状态。
y
f
(–1) = y
f
(–2) = … = y
f
(–n) = 0
所以y(–1)= y
x
(–1),y(–2)= y
x
(–2),…,y(–n)= y
x
(–n)
然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的初始值y
x
(j)和y
f
(j) ( j = 0,1,2,…,n – 1)
信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案
5.1基本离散信号与系统响应例:若描述某离散系统的差分方程为
y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k)
已知激励f(k)=2
k
,k≥0,初始状态y(–1)=0,y(–2)=1/2,
求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。
解:(1)y
x
(k)满足方程y
x
(k) + 3y
x
(k –1)+ 2y
x
(k –2)= 0
其初始状态y
x
(–1)= y(–1)= 0,y
x
(–2) = y(–2) = 1/2
首先递推求出初始值y
x
(0),y
x
(1),
y
x
(k)= – 3y
x
(k –1) –2y
x
(k –2)
y
x
(0)= –3y
x
(–1) –2y
x
(–2)= –1,y
x
(1)= –3y
x
(0) –2y
x
(–1)=3
方程的特征根为λ
1
= –1,λ
2
= – 2,
其解为y
x
(k)=C
x1
(– 1)
k
+C
x2
(–2)
k
将初始值代入并解得C
x1
=1,C
x2
= – 2
所以y
x
(k)=(– 1)
k
–2(–2)
k
,k≥0
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电子教案电子教案
5.1基本离散信号与系统响应
y
f
(k) + 3y
f
(k –1) + 2y
f
(k –2) = f(k)
初始状态y
f
(–1)= y
f
(–2) = 0
递推求初始值y
f
(0),y
f
(1),
y
f
(k) = – 3y
f
(k –1) – 2y
f
(k –2) + 2
k
,k≥0
y
f
(0) = – 3y
f
(–1) – 2y
f
(–2) + 1 = 1
y
f
(1) = – 3y
f
(0) – 2y
f
(–1) + 2 = – 1
分别求出齐次解和特解,得
y
f
(k) = C
f1
(–1)
k
+ C
f2
(–2)
k
+ y
p
(k)
= C
f1
(– 1)
k
+ C
f2
(– 2)
k
+ (1/3)2
k
代入初始值求得C
f1
= – 1/3,C
f2
=1
所以y
f
(k)= –(–1)
k
/3+ (– 2)
k
+ (1/3)2
k
,k≥0
(2)零状态响应y
f
(k)满足信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案
5.2 卷积和
5.2卷积和一、卷积和
1,序列的时域分解
………
012 ik-1
f(k)
f(-1)
f(0)
f(1)
f(2)
f(i)
任意离散序列f(k) 可表示为
f(k)=…+f(-1)δ(k+1) + f(0)δ(k) + f(1)δ(k-1)+ f(2)δ(k-2)
+ … + f(i)δ(k –i) + …


∞=
=
i
ikif )()( δ
信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案
5.2 卷积和
2,任意序列作用下的零状态响应
LTI系统零状态
y
f
(k)
f (k)
根据h(k)的定义:
δ(k) h(k)
由时不变性:
δ(k -i)
h(k -i)
f (i)δ(k -i)
由齐次性:
f (i) h(k-i)
由叠加性:

f (k)

y
f
(k)
卷积和


∞=
i
ikif )()( δ


∞=
i
ikhif )()(


∞=
=
i
f
ikhifky )()()(
信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案
5.2 卷积和
3,卷积和的定义已知定义在区间(–∞,∞)上的两个函数f
1
(k)和f
2
(k),
则定义和为f
1
(t)与f
2
(t)的卷积和,简称卷积;记为
f(k)= f
1
(k)*f
2
(k)
注意:求和是在虚设的变量i 下进行的,i 为求和变量,k 为参变量。结果仍为k 的函数。


∞=
=
i
ikfifkf )()()(
21
)(*)()()()( khkfikhifky
i
f
=?=


∞=
信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案
5.2 卷积和例1:f (k) = a
k
ε(k),h(k) = b
k
ε(k),求y
f
(k)。
解:y
f
(k) = f (k) * h(k)
当i < 0,ε(i) = 0;当i > k时,ε(k - i) = 0
∑∑

∞=

∞=
=?=
i
iki
i
ikbiaikhif )()()()( εε
=+

=
=
=
+
==
∑∑
bakb
ba
b
a
b
a
b
k
b
a
bkbaky
k
k
k
k
i
i
k
k
i
iki
f
,)1(
,
1
1
)()()(
1
00
εε
这种卷积和的计算方法称为:解析法。
信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案
)()1(1
)()()(*)(
0
kk
ikikk
k
i
i
ε
εεεε
+==
=


=

∞=
)(*)( kk εε
例2:求
)4(
1
1
)4()1(
)4()()4(*)(
4
42
4
0
=
++++==
=?
=

∞=


k
a
a
kaaaa
ikiakka
k
k
k
i
i
i
ik
ε
ε
εεεε
L
)4(*)(?kka
k
εε
例3:求
5.2 卷积和信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案
)7()6(1
)4()3()4(*)3(
4
3
==
=


=

∞=
kk
ikikk
k
i
i
ε
εεεε
)4(*)3( kk εε
例4:求
5.2 卷积和信号与系统信号与系统
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电子教案电子教案
5.2 卷积和二、卷积的图解法卷积过程可分解为四步:
(1)换元:k换为i→得f
1
(i),f
2
(i)
(2)反转平移:由f
2
(i)反转→f
2
(–i)右移k →f
2
(k – i)
(3)乘积:f
1
(i) f
2
(k – i)
(4)求和:i 从–∞到∞对乘积项求和。
注意:k 为参变量。
下面举例说明。


∞=
=
i
ikfifkf )()()(
21
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-30页页页

电子教案电子教案
5.2 卷积和例1:f
1
(k)、f
2
(k)如图所示,已知f(k) = f
1
(k)* f
2
(k),求f(2) =?
解:
(1)换元
(2)f
2
(i)反转得f
2
(– i)
(3)f
2
(–i)右移2得f
2
(2–i)
(4)f
1
(i)乘f
2
(2–i)
(5)求和,得f(2) = 4.5


∞=
=
i
ififf )2()()2(
21
012
k
-1
f1( k )
1.5
1
1.5
2
1
f2( k )
0123
3
-2
-2 -1
k
i
i
i
i
f
2
(–i )
f
2
(2–i)
012
i
-1
f1( i )f2( k- i )
1
1.5
2
3
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-31页页页

电子教案电子教案
5.2 卷积和例2:
)(*)(
21
kfkf
:)(),(),(
221
ififif?
解:(1)求
1 2
3-1-2
0
1
2
)(
1
if
i
1 2
3-1-2
0
1
2
i
)(
2
if
1 2
3-1-2
0
1
2
i
)(
2
if
k
1 2
3-1-2
0
1
2
)(
1
kf
k
1 2
3-1-2
0
1
2
)(
2
kf
信号与系统信号与系统
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3-32页页页

电子教案电子教案5.2 卷积和
)()(),(
212
ikfifikf
0
1
2
i
kk-1
)(
2
ikf?
0
1
2
i
1-1
)()(
21
ikfif?
k=-1
0
1
2
i
1-1
)()(
21
ikfif?
k=0
(2)求信号与系统信号与系统
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3-33页页页

电子教案电子教案
:)(*)(
21
kfkf
)()()(*)(
2121
ikfifkfkf
i
=


∞=

=
==?
==?
==

=




∞=

∞=

∞=
30
21
1,3)1()(
0,3)0()(
1,1)1()(
2,0
21
21
21
k
k
kifif
kifif
kifif
k
i
i
i
(3)求
5.2 卷积和信号与系统信号与系统
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3-34页页页

电子教案电子教案
5.2 卷积和三、不进位乘法求卷积
f(k)=所有两序列序号之和为k 的那些样本乘积之和。
如k=2时
f(2)= …+f
1
(-1)f
2
(3) + f
1
(0)f
2
(2) + f
1
(1)f
2
(1)+ f
1
(2)f
2
(0) + …
例f
1
(k) ={0,f
1
(1),f
1
(2),f
1
(3),0}
f
2
(k) ={0,f
2
(0),f
2
(1),0}
=…+f
1
(-1)f
2
(k+1) + f
1
(0)f
2
(k) + f
1
(1)f
2
(k-1)+ f
1
(2)f
2
(k-2)
+ … + f
1
(i) f
2
(k –i) + …


∞=
=
i
ikfifkf )()()(
21
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-35页页页

电子教案电子教案
5.2 卷积和
f
1
(1),f
1
(2),f
1
(3)
f
2
(0),f
2
(1)
×——————————————————
f
1
(1) f
2
(0),f
1
(2) f
2
(0),f
1
(3) f
2
(0)
f
1
(1)f
2
(1),f
1
(2) f
2
(1),f
1
(3) f
2
(1)
+ —————————————————————
f
1
(3) f
2
(1)
f
1
(2)f
2
(1)+ f
1
(3)f
2
(0)
f
1
(1)f
2
(1)+ f
1
(2)f
2
(0)
f
1
(1) f
2
(0)
f(k)={ 0,f
1
(1) f
2
(0),f
1
(1)f
2
(1)+ f
1
(2)f
2
(0)
f
1
(2)f
2
(1)+ f
1
(3)f
2
(0),f
1
(3) f
2
(1),0 }
排成乘法信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-36页页页

电子教案电子教案
5.2 卷积和例f
1
(k) ={0,2,1,5,0}
↑k=1
f
2
(k) ={0,3,4,0,6,0}
↑k=0
3,4,0,6
2,1,5

×————————
15,20,0,30
3,4,0,6
6,8,0,12
+ ————————————
6,11,19,32,6,30
求f(k) = f
1
(k)* f
2
(k)
f(k) =
{0,6,11,19,32,6,30}
↑k=1
有些教材上还提出一种列表法,本质是一样的。
信号与系统信号与系统
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3-37页页页

电子教案电子教案
5.2 卷积和四、卷积和的性质
1,满足乘法的三律:(1) 交换律,(2) 分配律,(3) 结合律.
2,f(k)*δ(k) = f(k),f(k)*δ(k– k
0
) = f(k – k
0
)
3,f(k)*ε(k) =

∞=
k
i
if )(
4,f
1
(k – k
1
)* f
2
(k – k
2
) = f
1
(k – k
1
–k
2
)* f
2
(k)
5,?[f
1
(k)* f
2
(k)] =?f
1
(k)* f
2
(k) = f
1
(k)*?f
2
(k)
求卷积和是本章的重点。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-38页页页

电子教案电子教案
)(kδ
与卷积和:
);()(*)()1( kfkkf =δ
);()(*)()2(
00
kkfkkkf?=?δ
);()(*)()3( kkk δδδ =
);()(*)()4(
2121
kkkkkkk= δδδ
);(*)()(*)()5(
121211
kkfkfkfkkf?=?
)(*)()(*)()6(
12212211
kkfkkfkkfkkf=
)(*)()(*)(
22112121
kfkkkfkkkfkf==
5.2 卷积和信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-39页页页

电子教案电子教案


∞=
=
i
ikifkkf )()()(*)(:)1( δδ
))()((,)()( kkkiif
i
=?=


∞=
δδδ
)(,,)()(取样性


∞=
=
i
kikf δ
).()()( kfkikf
i
=?=


∞=
δ


∞=
=
i
ikikk )()()(*)(:)3( δδδδ
)()()( kikk
i
δδδ


∞=
=?=
)(或用图形卷积法证明证明:
5.2 卷积和信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-40页页页

电子教案电子教案
5.3 离散系统的算子方程一、离散系统的基本概念
1、定义:
)(ky
x
2、线性时不变离散系统的响应:
(1)零输入响应输入f(k)为零,由初始状态产生的响应称零输入响应。设初始时刻为,系统初始状态通常指:
(对阶系统)。
0
0
=k
).(,),2(),1( nyyy L
n
)(kf )(ky
5.3 离散系统的算子方程
);()()( kykyky
fx
+=
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-41页页页

电子教案电子教案
5.3 离散系统的算子方程
:)(ky
f
初始状态为零,由输入产生的响应称零状态响应。
)(kf
(3)完全响应:
由初始状态和输入共同产生的响应称为完全响应。
)(ky
3、线性时不变因果系统的性质:
(1)线性:包括以下三个方面:
可分解性:
零输入线性:与初始状态满足线性;
零状态线性:与输入满足线性。
);()()( kykyky
fx
+=
)(ky
x
)(ky
f
)(kf
(2)零状态响应信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-42页页页

电子教案电子教案
(2)时不变性:

)()( kykf
f

).()(
00
kkykkf
f
→?
(3)因果性:
若时,输入则时,零状态响应
0
kk <,0)( =kf
0
kk <
0)( =ky
f
5.3 离散系统的算子方程信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-43页页页

电子教案电子教案二、LTI离散系统的差分方程例、某人每月向银行存款,当月存入无利息,月底结算,月利息为元/月。设第k月存入f(k)元,月底结余为y(k)元,k-1月底结余为y(k-1)元,以f(k)为银行系统的输入,y(k)为输出,则y(k)与f(k)的关系为即上式为一阶后向差分方程或设k+1月存入f(k+1),月底结余为y(k+1),第k月月底结余为y(k),则即:
上式称一阶前向差分方程
)()1()1()( kfkykyky +?+?= β
)()1()1()( kfkyky =?+? β
).1()()1()1( +=+?+ kfkyky β
β
)1()()()1( +++=+ kfkykyky β
5.3 离散系统的算子方程信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-44页页页

电子教案电子教案
LTI离散系统方程的一般形式:(n阶系统)
后向差分方程形式:设系统输入为f(k),响应为y(k)
)()1()1()(
011
nkyankyakyaky
n
++?++?+
L
)()1()1()(
011
mkfbmkfbkfbkfb
mm
++?++?+=
L
nm≤
)()1()1()(
11
kykyankyanky
n
++++?+++
L
),(
)1()1()(
0
11
mnkfb
mnkfbnkfbnkfb
mm
++
+?+++?+++=
L
前向差分方程形式:
5.3 离散系统的算子方程信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-45页页页

电子教案电子教案三、LTI离散系统的差分方程:
1、差分算子:
2、n阶离散系统的差分算子方程:
由后向差分方程形式得:
)()()()(
0
2
2
1
1
kyEakyEakyEaky
n
nn

++++ L
),()()()(
0
2
2
1
1
kfEbkfEbkfEbkfb
m
mmm

++++= L
),1()(),1()(
1
+=?=
kfkEfkfkfE
),2()(),2()(
22
+=?=
kfkfEkfkfE
),()(),()( nkfkfEnkfkfE
nn
+=?=
1?
E
E
---------延迟算子
---------超前算子
5.3 离散系统的算子方程信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-46页页页

电子教案电子教案算子方程也可写成:
)()1(
0
2
2
1
1
kyEaEaEa
n
nn

++++ L
).()(
0
2
2
1
1
kfEbEbEbb
m
mmm

++++= L
也可写成:
)(
)1(
)(
)(
0
2
2
1
1
0
2
2
1
1
kf
EaEaEa
EbEbEbb
ky
n
nn
m
mmm


++++
++++
=
L
L
)()( kfEH=
n
nn
m
mmm
EaEaEa
EbEbEbb
EH


++++
++++
=
0
2
2
1
1
0
2
2
1
1
1
)(
L
L
H(E)称为系统的传输算子。
H(E)的E正幂形式:(由前向差分方程形式得到)
.)(
0
1
1
0
1
1
aEaa
EbEbEb
EH
n
nn
mnn
m
n
m
+++
+++
=

L
L
5.3 离散系统的算子方程信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-47页页页

电子教案电子教案
3、关于差分算子方程的说明:
(1)E的正幂多项式可以相乘,也可以进行因式分解;
例:
(2)
其中,A(E)、B(E)为E的正幂或负幂多项式。
(3)算子方程两边的公因子或H(E)的公因子不能随意消去;
).()1)(2()()23(
2
kfEEkfEE ++=++
);()()()()()( kfEAEBkfEBEA =
5.3 离散系统的算子方程信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-48页页页

电子教案电子教案例、图示LTI离散系统,写出系统的差分算子方程,
和传输算子H(E)
由系统框图得:
)()()()(
2
0
1
1
kfkxEakxEakx +=

)()()1(
2
0
1
1
kfkxEaEa =++

)(
)1(
1
)(
2
0
1
1
kf
EaEa
kx

++
=
)(kf
D
)1(?kf )(kf )(
1
kfE
1?
E
)(kf +
DD0
b
+
1
b
1
a?
0
a?
)(kx
)(
1
kxE
)(
2
kxE
)(ky
5.3 离散系统的算子方程信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-49页页页

电子教案电子教案
)()()(
2
0
1
1
kxEbkxEbky

+=
)()(
2
0
1
1
kxEbEb

+=
)(
)1(
)(
2
0
1
1
2
0
1
1
kf
EaEa
EbEb


++
+
=
01
2
01
2
0
1
1
2
0
1
1
1
)(
aEaE
bEb
EaEa
EbEb
EH
++
+
=
++
+
=


差分方程:
)2()1()2()1()(
0101
+?=?+?+ kfbkfbkyakyaky
)()1()()1()2(
0101
kfbkfbkyakyaky ++=++++
或:
5.3 离散系统的算子方程传输算子:
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-50页页页

电子教案电子教案
n
n
m
mm
EaEa
EbEbb
EA
EB
EH


+++
+++
==
0
1
1
0
1
1
1
1
1)(
)(
)(
L
L
0
1
1
)(
)(
)(
aEaE
EB
EA
EB
n
n
n
+++
==
L
)(
)(
)(
)()()( kf
EA
EB
kfEHky ==
)()()()( kfEBkyEA =
系统算子方程为(前向差分方程):
5.4 离散系统的零输入响应
5.4 离散系统的零输入响应一、零输入响应y
x
(k)的方程:
设n阶系统的传输算子为信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-51页页页

电子教案电子教案零输入响应的方程:令,
0)( =kf
)(ky
x
0)()( =kyEA
x
0)()(
01
1
1
=++++
kyaEaEaE
x
n
n
n
L
二、零输入响应的计算:设初始时刻
1、情况1:r为常数的方程:
)(ky
x
0
0
=k
),()( rEEA?=
)(ky
x
,0)()( =? kyrE
x
0)()1( =?+ kryky
xx
,
)(
)1(
r
ky
ky
x
x
=
+
0,)(
0
≥=∴ krCky
k
x
5.4 离散系统的零输入响应信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-52页页页

电子教案电子教案情况1的推广:
设令得------(1)
即且令得------(2)
即且
),)(()(
21
rErEEA=
.0)())((
21
= kyrErE
x
,0)()(
1
=? kyrE
x
,0)()(
11
=? kyrE
x
,0)()(
2
=? kyrE
x
,0)()(
22
=? kyrE
x
0)]()()[)((
2121
=+ kykyrErE
xx
0,)()()(
221121
≥+=+=∴ krCrCkykyky
kk
xxx
,)()(
111
k
xx
rCkyky ==
0)())((
112
= kyrErE
x
,)()(
222
k
xx
rCkyky ==
0)())((
221
= kyrErE
x
(1)+(2)得
5.4 离散系统的零输入响应信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-53页页页

电子教案电子教案
.0)()( =kyEA
x
.0,
1
≥=

=
krC
k
i
r
i
i
).())(()(
21 n
rErErEEA= L

0,)(
2211
≥+++= krCrCrCky
k
r
kk
x
L

2、情况2:
2
)()( rEEA?=
0)()(
2
=? kyrE
x
0,)()(
10
≥+= krkCCky
k
x
d
rEEA )()(?=
.0)()( =? kyrE
x
d
0,)()(
1
110
≥+++=
krkCkCCky
kd
dx
L
则推广:
5.4 离散系统的零输入响应信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-54页页页

电子教案电子教案
3
21
))(()( rErEEA=
0)())((
3
21
= kyrErE
x
0,)()(
2
2
22212011
≥+++= krkCkCCrCky
kk
x
3、一般情况:
求方法小结:
)(ky
x
设方程为:0)()( =kyEA
x
(1)对A(E)进行因式分解;
(2)根据情况1、2求各分式对应的零输入响应;
(3)等于各因式对应的零输入响应之和;
)(ky
x
(4)由初始条件或确定待定系数
},),2(),1({ L
xx
yy
},),1(),0({ L
xx
yy
i
C
5.4 离散系统的零输入响应信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-55页页页

电子教案电子教案三、关于初始条件的说明:初始时刻
0
0
=k
),()()( kykyky
fx
+=
+=
+=
),1()1()1(
),0()0()0(
fx
fx
yyy
yyy
=
=
),1()1()1(
),0()0()0(
fx
fx
yyy
yyy
+?=?
+?=?
),2()2()2(
),1()1()1(
fx
fx
yyy
yyy
1、
对因果系统,因果输入f(k) (k<0,f(k)=0):
,0)()2()1( =?==?=? nyyy
fff
L
=?
=?
),2()2(
),1()1(
x
x
yy
yy
5.4 离散系统的零输入响应信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-56页页页

电子教案电子教案
2、用递推法求响应初始值例、已知
)1()2(2)1(3)(?=?+?+ kfkykyky
2)1(,1)0(),()( === yykkf ε

)2(),1();1(),0()1(
xxxx
yyyy
)()2( ky
x
解:(1)求:)2(),1(
xx
yy
)(ky
由的方程得:
1)0()0()1(2)0(3)1( ===?++ εfyyy
2)1()1(?=?=?
x
yy
0)1()1()2(2)1(3)0( =?=?=?+?+ εfyyy
5.2)2()2( =?=?
x
yy
5.4 离散系统的零输入响应令k=0:
令k=1:
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-57页页页

电子教案电子教案
(2)求
:)1(),0(
xx
yy
的方程:)(ky
x
.0)2(2)1(3)( =?+?+ kykyky
xxx
5.2)2(,2)1(,0)2(2)1(3)0( ==?=?+?+
xxxxx
yyyyy
0)1(2)0(3)1( =?++
xxx
yyy
1)1(,1)0( ==
xx
yy

)(ky
x
的算子方程:
.0)()231(
21
=++

kyEE
x
.0)()23(
2
=++ kyEE
x
即:
)2)(1()(,0)()2)(1( ++==++ EEEAkyEE
x
2,1
21
=?= rr
(3)求
)(ky
x
5.4 离散系统的零输入响应信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-58页页页

电子教案电子教案
0,)2()1()(
21
≥?+?= kCCky
kk
x
0,)2()1(3)2(2)1(3)(
1
≥?+?==∴
+
kky
kkkk
x
==
=+=
12)1(
1)0(
21
21
CCy
CCy
x
x
=
=
2
3
2
1
C
C

5.4 离散系统的零输入响应信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-59页页页

电子教案电子教案
5.5 离散系统的零状态响应
5.5 离散系统的零状态响应一、单位序列响应定义:由单位序列δ(k)所引起的零状态响应称为单位序列响应或单位样值响应或单位取样响应,或简称单位响应,记为h(k)。h(k)=T[{0},δ(k)]
例1 已知某系统的差分方程为y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k)
求单位序列响应h(k)。
解根据h(k)的定义有
h(k) – h(k –1) – 2h(k –2) = δ(k) (1)
h(–1) = h(–2) = 0
(1)递推求初始值h(0)和h(1)。
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-60页页页

电子教案电子教案
5.5 离散系统的零状态响应
h(k)= h(k –1) + 2h(k –2) +δ(k)
h(0)= h(–1) + 2h(–2) + δ(0) = 1
h(1)= h(0) + 2h(–1) + δ(1) = 1
(2) 传统解法求h(k)。对于k >0,h(k)满足齐次方程
h(k) –h(k –1) –2h(k –2) = 0
其特征方程为(λ+1) (λ–2) = 0
所以h(k) = C
1
(– 1)
k
+ C
2
(2)
k
,k>0
h(0) = C
1
+ C
2
=1,h(1)= – C
1
+2C
2
= 1
解得C
1
= 1/3,C
2
=2/3
h(k) = (1/3)(– 1)
k
+ (2/3)(2)
k
,k≥0
或写为h(k) = [(1/3)(– 1)
k
+ (2/3)(2)
k
] ε(k)
方程(1)移项写为信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-61页页页

电子教案电子教案
5.5 离散系统的零状态响应例2:若方程为:
y(k) – y(k –1) – 2y(k –2)=f(k) – f(k – 2)
求单位序列响应h(k)
解h(k)满足
h(k) – h(k –1) – 2h(k –2)=δ(k) –δ(k –2)
令只有δ(k)作用时,系统的单位序列响应h
1
(k),
它满足
h
1
(k) – h
1
(k –1) – 2h
1
(k –2)=δ(k)
根据线性时不变性,
h(k) = h
1
(k) – h
1
(k – 2) =[(1/3)(– 1)
k
+ (2/3)(2)
k
]ε(k) –
[(1/3)(– 1)
k –2
+ (2/3)(2)
k–2
]ε(k – 2)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-62页页页

电子教案电子教案
5.5 离散系统的零状态响应二、阶跃响应
g(k)=T[ε(k),{0}]
由于
∑∑

=?∞=
==
0
)()()(
j
k
j
jkik δδε
,δ(k) =ε(k) –ε(k –1) =?ε(k)
所以
∑∑

=?∞=
==
0
)()()(
j
k
j
jkhihkg
,h(k) =?g(k)
=+?

=
+

11
1
1
12
1
21
2
1
akk
a
a
aa
a
kk
k
k
j
(k
2
≥k
1
)
两个常用的求和公式:
2
)1)((
1212
2
1
+?+
=

=
kkkk
j
k
kj
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-63页页页

电子教案电子教案
5.5 离散系统的零状态响应以二阶系统为例设二阶系统的传输算子为:
01
2
01
2
2
2
0
1
1
2
0
1
12
1
)(
aEaE
bEbEb
EaEa
EbEbb
EH
++
++
=
++
++
=


三、由H(E)求单位序列响应h(k)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-64页页页

电子教案电子教案
)(kh的方程为:
)()()( kEHkh δ=
)(
)1(
)(
2
0
1
1
2
0
1
12
k
EaEa
EbEbb
δ


++
++
=
)(
)(
)(
01
2
01
2
2
k
aEaE
bEbEb
δ
++
++
=
对因果系统:
0)()2()1( =?==?=? nhhh L
h(k)的计算:设H(E)是E的正幂分式
(1)情况1:
.)(
rE
E
EH
=
的方程
)(kh
).()()()( k
rE
E
kEHkh δδ
==
)()()( kEkhrE δ=?
)1()()1( +=?+ kkrhkh δ
5.5 离散系统的零状态响应信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-65页页页

电子教案电子教案用递推法:
,1)0(,1)0()1()0( === hrhh δ
,)1(,0)1()0()1( rhrhh ===? δ
,)2(,0)2()1()2(
2
rhrhh ===? δ
,)3(,0)3()2()3(
3
rhrhh ===? δ
)()(,)( krkh
rE
E
EH
k
ε=
=∴
M
(2)情况2:
,
)(
)(
2
rE
E
EH
=
的方程:
)(kh
)()()(
2
kEkhrE δ=?
)()(),()()(
11
krkhkEkhrE
k
εδ ==?
设得即------〈2〉
-----〈1〉
)( rE? )()( khrE? )(kEδ=
)( rE?
)(kr
k
ε
)(kEδ=
5.5 离散系统的零状态响应信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-66页页页

电子教案电子教案比较式〈1〉和〈2〉,得:
).()()( krkhrE
k
ε=?
).()()1( krkrhkh
k
ε=?+
0)0(,0)1()1()0(
1
==?=
hrrhh ε
1)1(,1)0()0()1(
0
===? hrrhh ε
rhrrrhh 2)2(,)1()1()2(
1
===? ε
222
3)3(,)2()2()3( rhrrrhh ===? ε
用递推法得:
M
).()(,
)(
)(
1
2
kkrkh
rE
E
EH
k
ε
=
=∴
).()1(
2
1
)(,
)(
)(
2
3
krkkkh
rE
E
EH
k
ε
=
=
同法:
5.5 离散系统的零状态响应信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-67页页页

电子教案电子教案
,
)(
)(
d
rE
E
EH
=∴
(3)一般情况:
m
d
m
m
dd
rE
EA
rE
EA
rE
EA
EA
EB
EH
)()()()(
)(
)(
21
2
2
1
1
++
+
== L
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()()(
21
2
2
1
1
k
rE
EA
k
rE
EA
k
rE
EA
kEHkh
m
d
m
m
dd
δδδ
δ
++
+
=
=
L
设为常数,
i
d
i
i
i
Ak
rE
EA
kh
i
),(
)(
)( δ
=
mi L,2,1=
由情况1、情况2求,
)(kh
i
则)()()()(
21
khkhkhkh
m
+++= L
).()2()2)(1(
)!1(
1
)(
1
krdkkkk
d
kh
dk
ε
+?
+
= L
5.5 离散系统的零状态响应信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-68页页页

电子教案电子教案求h(k)方法小结:
1、H(E)为E的正幂分式,H(E)除以E,得H(E)/E;
2、设H(E)/E为有理真分式,将H(E)/E展开为部分分式之和;
3、H(E)/E的部分分式展开式乘以E,得到H(E)的部分分式展开式;
4、根据情况1,情况2求H(E)的各分式对应的单位响应;
5、求系统的单位响应h(k),h(k)等于各分式对应单位响应之和。
5.5 离散系统的零状态响应信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-69页页页

电子教案电子教案例、求).(,
)3)(2(
)(
2
kh
EE
E
EH
+?
=
解:
3)3(2)3)(2(
1)(
21
2
221
2
+
+
+
+
=
+?
=
E
A
E
A
E
A
EEE
EH
3)3(2
)(
21
2
221
+
+
+
+
=
E
EA
E
EA
E
EA
EH
)()3()()3()(2)(
22
1
221
kAkkAkAkh
kkk
εεε?+?+=
5.5 离散系统的零状态响应信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-70页页页

电子教案电子教案
5.5 离散系统的零状态响应
LL
L
+?++
+++?+=
)()(
)1()1()()0()1()1()(
ikif
kfkfkfkf
δ
δδδ
1、任一信号可分解为单位序列之和
)(*)()()( kkfikif
i
δδ =?=


∞=
)(kf
k
)(kf
)0(f
)1(?f
)1(f
)(if
)2(f
i
1
k
)(kδ
0
1
k
)( ik?δ
i
四、求零状态响应y
f
(k)
信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-71页页页

电子教案电子教案
2、任一输入信号产生的零状态响应
)(kf
:)(ky
f
设离散系统的单位响应为,表示为:)(kh
)()( khk →δ
)(*)()()()( khkfikhifky
i
f
=?=∴


∞=
)()( ikhik?→?δ
则,是不变性
)()()()( ikhifikif?→?δ
,齐次性
∑∑

∞=

∞=
→?=
ii
ikhifikifkf )()()()()( δ,可加性
5.5 离散系统的零状态响应信号与系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
3-72页页页

电子教案电子教案例:已知系统的
)()(,
2
)( kkf
E
E
EH ε=
=

).(ky
f
解:由得:
)(EH
).(2)( kkh
k
ε=


∞=
==
i
i
f
ikikhkfky )()(2)(*)()( εε
)(
12
12
2
1
0
k
k
k
i
i
ε
==
+
=

).()12(
1
k
k
ε?=
+
5.5 离散系统的零状态响应