第一编 静力分析
为了实现本课程的最终目的，必须从静力分析的学习入手，因为静力分析不仅是学习构件承载能力分析编及运动分析与动力分析编的关键，而且也是正确进行工程设计必备的基础。
人们研究问题时总是接照“由简到繁、由浅入深”的原则进行的，这也是本课程学习的一般原则。本编所研究的正是机械运动的特殊情形，也就是机械运动的最简单形式——物体的平衡规律。
本编主要解决以下三方面的问题：
1、受力分析；
2、力系简化；
3、物体的平衡条件。
第一章 静力分析基础
本章是静力分析编的基础。本章的学习内容主要有三方面：一是静力学基本概念、基本假设和公理；二是工程中常见的几种约束及其约束力；三是对工程中的零件或构件进行受力分析，画出正确的受力图。
本章讲授的许多内容在物理学中都有所接触，初学者有可能忽视。但对于工程实际问题，物理学中所学是不足够的。学习本章要特别注意体会新的思想和解题方法，特别注意掌握工程问题中受力分析的基本方法。
第一节 力的概念
一、力的定义关于“力”的一些基本概念性的问题我们在物理学中已经有了较深入的学习。我们已经知道，力是物体间相互机械作用。力有三要素，即力的大小、力的方向和力的作用点。力是矢量，力的单位是牛（N）或千牛（kN）等等。工程力学中的所谓“力”，仍然是指物体间相互机械作用。它能使物体的机械运动状态发生变化，同时使物体发生变形。在此，我们不再更多讲述力的基本概念问题，而把目光转向工程力学更多关注的问题，即力对物体的作用效应。
二、力的效应作用在物体上的力可以使物体产生两种效应，一是可以引起物体运动状态变化或速度变化，一般称为力的“外效应”或“运动效应”；二是可以引起物体形状改变，一般称为“内效应”或“变形效应”。这两种效应既可能单独出现，也可能同时出现。对于刚体，只会出现运动效应，而对于变形固体则既会出现运动效应也会出现变形效应。
实践证明，力的运动效应与变形效应均与力的三要素有关。三要素中任何一个要素改变，都会引起力对物体作用效应的改变。
三、力的可传递性及其限制在物理学中曾经学过力的可传递性，即作用在物体上的力可以沿着力的作用线移动。
现在我们需要指出的是，力的可传递性只是对刚体才成立。或者说，是在只研究力对物体的运动效应时才成立，而在研究物体的变形效应时是不成立的。
四、集中力与均布载荷作用于物体的力又可称为载荷。无论其来源如何，按其作用方式可分为体积力和表面力。体积力是作用在物体内所有质点上的力，例如重力、惯性力等。体积力的单位是N/m3或kN/m3。表面力是作用于物体表面的力，可分为集中力和分布力。
沿某一面积或长度连续作用于构件上的力，称为分布力或分布载荷。分布在一定面积上的分布力，单位用N/m2或kN/m2。当分布力在其作用面上呈均匀分布时，也称为均布力或均布载荷。作用于油缸内壁的油压力、作用于船体上的水压力等均为沿面积的分布力。沿长度分布的分布力单位用N/m或kN/m。楼板对屋梁的作用力，就是以沿梁的轴线每单位长度内作用多少力来度量的。
若作用于构件上外力分布的面积远远小于物体的整体尺寸，或沿长度的分布力其分布长度远小于轴线的长度，则这样的外力就可以看成是作用于一点的集中力。火车轮子对钢轨的压力、轴承对轴的反力都是集中力。集中力的单位是N或kN。
五、力系的概念及其分类作用于同一物体上的若干力所组成的系统，称为力系。
如果作用在一物体上的力系可以用另一力系代替，而不改变对物体的作用效应，则这两个力系互为等效力系。
力系可分为平面力系和空间力系两大类。组成力系各力的作用线都处在同一平面内，则称为平面力系；若组成力系各力的作用线不都处在同一平面内，则称为空间力系。有关这两类力系的相关问题将在后续内容中进一步详细讲述。
第二节 平衡的概念
由物理学已经知道，所谓平衡，是指物体相对于参考系保持静止或匀速直线运动状态。要特别注意的是，当我们讨论平衡问题时，物体实际上已经被抽象为刚体。
刚体不是在任何力系作用下都能处于平衡状态的，只有构成力系的所有力满足一定条件时，刚体才能实现平衡，这个条件称为平衡条件。能够使刚体保持平衡的力系，称为平衡力系。
如果一个力对刚体的作用效应与一个力系对同一刚体的作用效应相同，我们就把这个力称为该力系的合力；组成该力系的各力则可称为分力。合力可以代替原力系对刚体的作用。
一、力的平行四边形法则作用于物体上同点的两个力，其合力也作用于该点，合力的大小与方向由这两个力为邻边所组成的平行四边形的对角线确定（图1-1），这就是力的平行四边形法则。根据这个公理作出平行四边形也称为力平行四边形。这种求合力的方法，称为矢量加法，合力矢等于原来两力的矢量和（几何和），可用公式表示为
R=F1+F2
图1-1 图1-2
用平行四边形法则求合力时，可以不画出整个平行四边形，而是过B点作一个与力F2大小相等、方向相同的矢量BC，则AC就是力F1、F2的合力R（图1-2）。这种求合力的方法，称为力三角形法则。
由前述可知，R称为F1、F2的合力，F1、F2就是R的分力。由F1、F2可以求得合力R，反之，由R也可以分解为两个分力F1、F2，分解也是按力的平行四边形法则进行的。显然，由一个已知力为对角线是可以作无数个平行四边形的，因此，必须要附加一定的条件才能得到确切解。附加条件一般为：（1）规定两个分力的方向；（2）规定其中一个分力的大小与方向；（3）规定一个分力的方向和另一个分力的大小；（4）规定两个分力的大小。
二、二力平衡条件作用在刚体上两个力平衡的必要与充分条件是：两个力大小相等、方向相反并且作用在同一直线上。这也称为二力平衡公理。
(a) (b)
图1-3
对于刚体，这一结论显然成立。例如图1-3中所示构件，当平衡时，显然有F1=F2，F3=F4，且方向相反（必要条件）；当F1=F2，或F2=F4，且方向相反时，构件保持平衡（充分条件）。
但是，对于变形固体来说，这个条件仅是必要的，却不是充分的。也就是说，在二力作用下物体平衡时，这两个力大小相等、方向相反并沿同一直线作用；但当作用在某些变形固体上的二力大小相等、方向相反并沿同一直线作用时，物体却不能平衡。例如，绳索受两个大小相等，方向相反的拉力时可以平衡（图1-4（a）），但受两个大小相等、方向相反的压力时，却不能平衡了（图1-4（b））。
(a) (b)
图1-4
在机械或结构中凡只受两个力作用处于平衡状态的构件称为二力构件（或二力杆）。二力构件上的力必须满足二力平衡条件。例如图1-5（a）中撑杆BC，图1-5（b）中三铰拱桥中的BC拱，若不计自重，则都是在B、C两点处受力，所受之力必在两力作用点的连线BC上。若要判断受力构件是受拉还是受压，则可假想将构件抽掉，如B、C两上靠拢，构件受压；如B、C两点分离，构件受拉。
要特别注意，不能把二力平衡条件与力的作用与反作用性质相混淆。满足二力平衡条件的两个力是作用在同一刚体上的，而作用力与反作用力是分别作用在受力物体和施力物体上的。
三、加减平衡力系公理在已知力系上加上或者减去任意平衡力系，不会改变原力系对刚体的效应。
这一结论是显然成立的，因为平衡力系中各力对于刚体的运动效应彼此抵消，从而使刚体保持平衡，所以加上或减去平衡力系不会改变原力系对于刚体的运动效应。
需要指出的是，这里谈的是“不改变刚体的运动效应”，对于变形的效应是不成立的。
四、不平行三力的平衡条件我们已经知道，如图1-6中，刚体上作用与A、B两点上的不平行的两个力F1、F2总会有一个作用线交点O。根据力的可传递性，可将此二力移至O点，再根据力的平行四边形法则，可知此二力的合力R必在此平面内，且通过O点。此时，若刚体上恰有一力F3，其大小与R相等，方向与R相反，且与R共线，则根据二力平衡条件可知，刚体处于平衡状态。如图1-7示。可见，当刚体受同一平面内互不平行的三个力作用而平衡时，此三力的作用线必交汇于一点。
图1-6 图1-7
要特别注意，前述内容强调的是在“三个力”作用下达到“平衡”时，此三力的作用线才汇交于一点。如果是一个刚体受同一平面内“三个汇交于一点的力”作用，那么刚体是不一定能达到平衡的。
第三节 约束与约束反力
各类机械和工程结构中的每个零件和构件，都是相互联系而又相互制约的，它们之间存在着相互作用的力，所以在解决工程中一般的力学问题时，都必须首先对零件、构件进行受力情况分析。
工程上所遇到的物体通常分为两类：一是不受任何限制，可以向任一方向自由运动的物体，称为自由体，例如飞行的飞机、炮弹等；二是受到其他物体的限制，沿着某些方向不能产生运动的物体，称非自由体。
限制非自由体运动的物体称为被限制物体的“约束”。工程上，为了传递运动实现所需要的动作以及承受确定的载荷，彼此间都要以某种方式联系，这就形成了各种各样的约束。例如，火车必须在铁轨上行驶，铁轨就是火车的约束；悬挂重物的绳索限制了重物的下落，绳索就是重物的约束；轴承限制了轴的运动，轴承就成了轴的约束。
使物体产生运动或运动趋势的力称为主动力。主动力一般是物体承受的载荷，如重力、水压、油压、电磁力等等。
物体在主动力的作用下将产生运动或运动趋势。此时如果有约束限制了物体的运动，那么这个受主动力作用的物体就会给约束一定的作用力，同时，约束也会给物体一个大小相等、方向相反的反作用力，这种力称为约束反力，简称约束力或反力。
主动力一般是已知的，或是可以根据已有资料确定的。约束力是未知的。静力分析的重要任务之一就是确定未知的约束力。
约束力与约束的性质有关。下面介绍几种几种工程中常见的约束及其约束力。
一、柔性约束由绳索、链条、皮带或胶带等非刚性体形成的约束，只能限制沿某一个方向的运动，而不能限制沿相反的运动，这一类约束称为柔性约束。这种约束的性质决定了它们提供的约束力只能是拉力。也就是说，柔性约束对被约束物体的约束反力的方向，是沿着约束的轴线背离被约束物体，柔性约束的约束反力常用T表示，如图1-8（a）、（b）、（c）示。
(a) (b) (c)
图1-8
二、不考虑摩擦的刚性约束我们把约束为刚体、约束与被约束物体之间为刚性接触的约束形成，称为刚性约束。
工程实际中的刚性约束，其接触面大多数为光滑面（表示光洁度高，润滑较好），接触面之间的摩擦力可以忽略不计。这类约束常见的有以下几种。
(一) 光滑面约束这是由光滑平面或曲面构成的约束，称为光滑面约束。这类约束可以与被约束物体之间形成点、线、面接触。这类约束无论是平面还是曲面，都只能限制沿接触面公法线方向上，向着约束体内方向的运动。因此，光滑面约束对被约束事物的约束反力的方向应沿接触面公法线且指向被约束物体。显然，当物体与这种光滑面接触且接触点位置可以确定时，约束力的方向和作用点均可确定。光滑面约束的约束反力常用N表示。
工程上常见的光滑面约束的触形式可以简化为三种类型：点接触（曲面和曲面）、线接触（柱面和平面）、面接触（平面和平面）。
图（1-9a）为点接触，A为接触点，约束反力为N。
图（1-9b）为线接触，可将接触线段的中点A视为接触点，约束反力N作用于A点。
图（1-9c）为面接触，可将接触面的形心位置视为接触点，约束反力N作用于接触面形心位置A处。
(a) (b) (c)
图1-9
(二) 圆柱铰链约束这类约束的共同特点是，两个物体用光滑圆柱体（例如销钉）相连接，二者都可绕光滑圆柱体自由转动，但对所连接物体的移动形成约束。其结构为，光滑圆柱体（销钉）与一个物体固连，插入另一个物体的孔内。如图1-10（a），（b）所示。
1、固定铰支座约束如果圆柱铰链约束中用光滑圆柱体连接的两个物体有一个固定，称为固定铰支座约束（图1-11（a））
(a) (b) (c) (d) (e)
图1-11
这类约束从本质上看仍然是光滑面约束，故其约束反力必在沿圆柱面接触点的公法线方向（图1-11（b））。但是，这个接触面的具体位置再哪里？约束反力的指向是什么方向？这两个判定约束力的的重要问题并不是总能准确地确定出来。
事实上，在通过计算后是可以准确找到这个力的，但在外力未定，接触点位置不确定的情况下，我们只能肯定两点：一是这个约束反力一定存在；二是这个约束反力通过圆柱体（销钉）中心。对于这种约束力，通常用通过铰链中心两个互相垂直的分力来表示，记为Rx、Ry（图1-11（d））。图1-11（e）所示为三种常见的固定铰支座约束的简单记法。
2、中间铰如果圆柱铰链约束中用光滑圆柱体连接的两个物体都不是完全固定的，称为中间铰（图1-12（a））。
中间铰与固定铰支座力约束形式很相似，也只有一个不确定方向的约束力，故也用通过铰链中心的两个垂直的分力来表示，记为Rx、Ry如图1-12（c），图1-12（b）所示为中间铰的二种简单记法。
３、活动铰支座约束活动铰支座约束又称为辊轴约束或辊轴支座。其实质是光滑面与光滑圆柱约束的复合约束。我们可以形象的将这种约束理解为在固定铰链支座的座体与支承中间加装了滚轮。其简化结构如1-13（a）示。
当接触光滑时，这种约束只能限制垂直于支承面的运动，因而只有垂直于支承面并通过铰链中心的约束力（图1-13（b）），记为R。图1-13（c）是三种常用活动铰支座的简单记法。
（三）球铰链约束球铰链约束是一种空间约束结构，工程上称为球铰（图1-14（a））。被约束的构件端部为球形，它被约束在固定底座的一球窝内。球与球窝的直径近似相等，球心固定不动，球可以在球窝中自动转动，但不能作任何方向的移动。
与铰链约束相似，由于球与球窝的接点的位置因与被约束构件所受载荷有关，因而不能预先确定，故这种约束的约束为通过球心，方向不定的力，可以用沿空间直角坐标轴x、y、z三个方向的三个分力Rx、Ry、Rz表示，如图1-14（b）示。图1-14（c）为球铰的简单记法。
（四）轴承约束轴承是机器中支承轴的重要零件，常用的有向心轴承和向心推力轴承。
１、向心轴承图1-15（a）所示为向心轴承的平面简图。轴承限制了轴在垂直于轴线平面内的移动，但轴仍可在轴承内转动。于是，其约束力与圆柱铰链约束力有相似之处，即约束力通过轴心，但方向不定。这样的约束力也可以用两个相互垂直的分力Nx、Ny来表示（图1-15（b）），图1-15（c）为向心轴承的简单记法。
２、向心推力轴承图1-16（a）所示为向心推力轴承平面简图。与向心轴承相似的是，向心推力轴承同样限制了轴在垂直其轴线平面内的移动；与向心轴承不同的是，向心推力轴承还限制了轴沿轴线方向的运动。因此，约束力可以用三个分力Nx、Ny、Nz表示（图１-16（b））。图１-16（c ）为向心推力轴承的简单记法。
除上述约束外，工程中还有一种常见的约束――固定端约束，该约束及其约束力的问题将在第三章中讲解。
第四节 受力分析与受力图
受力分析是指分析所研究物体的受力情况。
由前面的学习知道，工程实际中的构件或零件上都会有力的作用，这些力一般可以分为两类：一是主动力；二是约束力。
我们要进行研究，首先就要搞清楚这些力。主要要搞清两个问题：一是要知道有哪些力，以及这些力作用的位置和方向；二是要知道哪些力是已知的，哪些力是未知的，并能确定未知力的数值。受力分析要解决的正是这两个问题中的第一个问题。
受力分析时所研究的物体称为研究对象。
为了正确进行受力分析，必须将研究对象的约束全部解除，并将其从周围物体中分离出来。这种解除了约束并被分离出来的研究对象，称为分离体。
将分离体所受的主动力和约束力都用力矢量标在分离体相应的位置上，就得到了分离体的受力图，简称受力图。
受力图就是受力分析结果的最终体现。上述过程也就是进行受力分析的关键步骤。
画受力图的一般步骤如下：
１、确定研究的对象，画出分离体；
２、在分离体上画出全部主动力；
３、在分离体上画出全部的约束反力。
最后要提醒注意的是，在画受力图时，有时可以根据二力平衡条件和三力平衡条件，确定某些约束力的作用位置和方向。
下面举例说明受力图的画法。
例题1-1 重量为G的球，用绳挂在光滑的铅直墙上（图1-17a）。画出此球的受力图。
解 （1）以球为研究对象并画出分离体（图1-17b）。解除了绳和墙的约束。
（2）画出主动力G。
（3）画出全部约束反力：绳的约束反力T和光滑面约束反力NA。
例题1-2 梁AB，A端为固定铰链支座，B端为活动铰链支座，梁中点C受主动力F作用（图1-18a），梁重不计。试分析梁的受力情况。
解 （1）以梁AB为研究对象并画出分离体（图1-18b）。
（2）画出主动力F。
（3）画约束反力。活动铰链支座的约束反力NB铅垂向上且通过铰链中心。固定铰链支座的约束反力方向不定，但可以用大小未知的水平分力NAx、NAy来表示（图1-18b）。一般NAx和NAy的指向都假设和坐标轴的正向相同。
固定铰链支座的约束反力亦可用一个大小、方向均未知的力NA表示，因梁AB受同平面内的三力作用而平衡，故根据三力平衡汇交定理，NA的方向极易确定。延长NA和F力的作用线交于D点，梁平衡时，NA必在AD连线上，如图1-18c所示。
(a) (b) (c)
图1-18
有时，我们研究的问题是由几个物体组成的一个系统，则称其为物体系或物系。下例说明物系受力图的画法。
例题1-3 如图1-19a所示的三铰拱桥，由左、右两半拱铰接而成。设各半拱自重不计，在半拱AC上作用有载荷F。试分别画出半拱AC和CB的受力图。
解 一、画半拱BC的受力图（图1-19b）
（1）以半拱BC为研究对象并画出分离体。
（2）半拱BC上无主动力，不能画出。
（3）半拱BC只在B、C处受到铰链的约束反力SB和SC的作用。根据光滑铰链的性质，这两个约束反力必定通过铰链B、C的中心，方向暂时不能确定。如果进一步考虑到半拱BC只在SB和SC两个力作用下处于平衡，则根据二力平衡公理，这两个力必定沿同一直线，且等值、反向。由此可确定SB和SC的作用线应沿B与C的连线。一般情况下，力的方向不能确定出，可先按受拉力方向画出。
(a) (b) (c)
图1-19
二、画半拱AC的受力图（图1-19c）
（1）以半拱AC为研究对象并画分离体。
（2）画主动力F。
（3）画约束反力：铰链A处的反力NAx、NAy；铰链C处可根据作用力与反作用力的关系画出。
例1-4 两只油桶堆放在槽中，如图1-20a所示，桶重分别为P1、P2。试分析每个桶的受力情况。
解 首先分析桶Ⅰ的受力情况。取Ⅰ为研究对象画出分离体；桶Ⅰ上的主动力只有自重P1：桶Ⅰ在A和B两处都受到光滑面约束，其反力NA、NB都通过桶Ⅰ的中心。桶Ⅰ的受力如图1-20b所示。
再分析桶Ⅱ得受力情况。取桶Ⅱ位研究对象画出分离体（图1-20c）；桶Ⅱ上的主动力除自重P2外，还有上面桶Ⅰ传来的压力，注意到与互为作用力与反作用力关系，必通过桶Ⅱ的中心，且有，桶Ⅱ在C、D处受有光滑面约束，其约束反力NC、ND都指向桶Ⅱ且通过其中心。
图1-20
例1-5 如图1-21a所示，梯子的两部分AB和AC在点A处用光滑铰链（圆柱形销钉）连接，又在D、E两点用水平绳相连。梯子放在光滑水平面上，不及自重。在A点的销钉上作用一铅直载荷F。试分别画出梯子的AB、AC部分、销钉A及整个物系的受力图。
解 一、画梯子AB部分的受力图（图1-21b）。
（1）以AB杆为研究对象画出分离体。
（2）AB上无主动力，不能画出。
（3）因B点为光滑面约束，D点为柔性约束，A点为光滑铰链约束，故可相应地画出约束反力NB、TD、NAX左、NAy左。
图1-21
二、画梯子AC部分的受力图（图1-21c）
（1）以AC为研究对象画出分离体。
（2）AC上无主动力，不能画出。
（3）因C处为光滑面约束，E处为柔体约束，A处为光滑铰链约束，故可相应地画出约束反力NC、TE、NAX右、NAy右。
三、画销钉A的受力图（图1-21d）
（1）以销钉为研究对象画出分离体。
（2）画主动力F。
（3）根据作用力与反作用力的关系，可画出左、右两侧梯子对销钉的约束反力左、左、右、右。
四、画整个物系的受力图（1-20e）
（1）以整个物系为研究对象画出分离体。
（2）画主动力F。
（3）因B、C处为光滑面约束，故可画出其约束反力NB、NC。铰链A和绳DE在物系内部，铰链A处和绳子连接的点D和E处所受的力为作用力与反作用力，这些力都成对地作用在整个物系内，故称为物系内力。内力对系统的作用效果相互抵销，因此不能画出。
第五节 问题讨论与说明
一、关于平衡平衡这个概念是我们在物理学中很早就接触过的。在工程力学中，平衡是一个十分重要的概念。要特别注意对平衡的理解和把握。
比如我们谈到整体平衡，则应认识到，组成整体的每个局部也必然平衡。这里说的整体可以是由若干刚体组成的系统，也可以是单个刚体。这里说的局部，就是组成系统的每个刚体，或者由其中的部分刚体组成的子系统。
据此，我们在进行平衡研究时，就可以从于研究有利的角度出发，分别或全部研究整体或局部。
二、关于二力构件二力构件（二力杆）的概念我们已经清楚了，看到简图上的二力杆一般也都能正确判断出来。但问题是，在实际工程问题中，什么样的杆才能是二力杆？
实际工程中可以简化为二力杆的构件，一般要符合两个条件：一是可以忽略自重；二是两端铰链连接，两端之间无其他外力作用。
但这还是有问题的。在后续学习中我们会了解到，桁架结构有许多是焊接或铆接的，并不是定义的那种铰链连接，为什么也可以看成二力杆呢？这是因为，这种连接的刚性不大，简化成铰链所造成的误差小，但便利性大大提高。因此，在实际分析中，应根据约束对约束物体运动的限制，对约束情况进行适当的简化，使其成为与典型约束类型更为接近的，更为简单的约束形式。
三、从工程实例到力学简图教材中见到的工程实例都已经变成了力学简图的形式。关于这一抽象过程的重要意义在引论中已经阐述。经过本章学习我们更进一步知道，一个工程实例抽象为力学模型，是经过了一系列的理想化――即合理抽象化的。
比如，本编采用的力学模型是刚体。刚体实质就是对物体的理想化，它忽略了研究平衡时微小变形的影响。前面提到的分布力与集中力的概念，其实质是对受力情况的理想化。事实上，真正的集中力是不存在的，它本身就是对分布力的理想化，另一方面，分布力的实际分布情况也是很复杂的，我们所见到的那些很有规律的分布形式，也是近似的，或者说是理想化的结果。最后再看一下我们所讲过的各类约束和约束力。那实质上就是对物体间接触性质和连接方式的理想化。事实上摩擦是无处不在的，绝对光滑的接触面是不存在的。但我们把接触面都看成了绝对光滑，这就是理想约束。
综上所述，一个工程实例是经过了一系列的理想化后才成为力学模型的，再把力学模型用可以突出其主要力学特征的简图表示出来，就成了力学简图，通常依据力学简图进行力学分析和计算。
习 题
1-1 合力是否一定比分力大？
1-2 已知图中力F1与F2等值、反向、共线。试判断系统是否平衡？
1-3 将作用于刚体上的A点的力F移到B点，该力对刚体的作用效应是否相同？
题图1-2 题图1 -3
1-4 试说明下列等式（或说法）的意义。
（1） F1=F2 （2）F1=F2 （3） F1等效于F2
1-5 试指出下列做法是否正确？为什么？
题图1-5
1-6 试画出下列图示中各物体的受力图。各接触都是光滑的。
（a） (b) （c） (d)
题图1-6
1-7试画出AB杆的受力图。各接触都是光滑的。
（a） (b)
题图1-7
1-8试画出AB杆的受力图，并判断在图示位置是否处于平衡状态？各接触都是光滑的。
（a） (b)
题图1-8
1-9试画出AB杆的受力图。
（a） (b) (c)
题图1-9
1-10 试画出下列图示系统各构件的受力图。
（a） (b)
题图1-10
1-11试画出下列图示系统各构件的受力图。
（a） (b)
题图1-11
1-12综合分析下系统，画出其机构简图并分析各构件的受力。
题图1-12
第二章 平面力系
我们已经知道，静力学编主要研究三个问题：受力分析、力系的简化和物体的平衡条件。第一章已经学习了受力分析方法。本章研究平面力系的简化和物体的平衡条件。在工程实践中，多数力系问题具有平面对称性，都可以简化为平面力系问题，即使是空间问题，亦可简化为平面问题解决，故本章是重要一章。
显然，物体上只有一个力作用的形式是最简单的受力形式。综合前述知识可知，合力就是可以代替一个力系的最简单形式。因此，力系的简化过程也就是求合力的过程，这一过程也称为合成或简化。反之，合力也可以用各分力组成的力系来代替，把合力分解成分力的过程称为分解或投影。
现在就让我们从刚体上只有一个力作用的情况来开始我们的研究吧。
第一节 力的投影与合力投影定理
一,单力的分解与投影如图2-1(a)刚体上任意一点A作用一个力F，这显然是物体受力最简单的形式。由平行四边形法则可知，F可以认为是F1、F2的合力。同样，也可以认为是F3、F4的合力图2-1(b)。事实上，F可以按这样的方式分解出无数对分力。
(a) (b) (c)
图2-1
在这无数对分力中，一定存在一对相互垂直的分力。这会使我们自然联想到直角坐标系。
显然，如果将刚体放在一个直角坐标系中如图2-1（c）所示。则力F可以用AB表示，则Fx,Fy是F沿x、y轴方向的分力；也可以说F是Fx,Fy两个分力的合力。Fx,Fy是F沿x、y轴方向的投影。分力Fx,Fy的值分别与力F在同轴上的投影Fx,Fy相等，力F的分力Fx,Fy是矢量，作用于A点处；力F的投影是代数量，在坐标轴上，投影方向与坐标轴正向相同时为正，相反为负。
若已知力F的大小及其与x轴所夹锐角α,则有:
Fx=Fcosα
Fy=Fsinα (2-1)
若已知Fx,Fy值，同理可求出F的大小和方向
（2-2）
二、平面汇交力系的合成与合力投影定理研究问题总是本着由已知求未知、由简到繁、由易到难的原则进行的。现在，我们已知掌握了一个力分解的方法，并可以求得其沿直角坐标轴上的投影；也可以依据力的平行四边行法则将两个力合成一个力（相互垂直也可用解析法），即求得两个力的合力。也就是对由两个力组成的力系进行简化。
要注意的是，前面我们合成的两个力都是作用在同一点上的。
我们把这种各力作用线都汇交于一点的平面力系，称为平面汇交力系。
这是一种较为简单的平面力系，在工程上常常遇见。比如，图2-1(a)所示为内燃机的曲柄滑块机构工作图，图2-2（b）为其简图。在解题时，这个机构常常画成图2-2（c）的形式。当活塞C所在汽缸内燃气燃烧时，所产生的推力F推动活塞向左移动，通过两端铰接的连杆BC带动曲柄克服工作阻力矩M，绕A作定轴转动。滑块C的受力图如图2-2（d）所示。
(a) (b)
(c) (d)
图2-2
再比如，船上栓缆绳的各类钩环，如图2-3示，桥梁等桁架结构的节点受力，如图2-4示，等等，都的工程中的平面汇交力系形式。
工程上这类受力构件的具体形式及其受力的具体形式是多种多样的。为了更普通地对各种不同存在的工程问题进行研究，我们将各类具有具体形状的构件，抽象为忽略形状大小的刚体；将具体的受力情况只保留汇交力系的基本特征。这就成了平面汇交力系作用于刚体上的一般情形，如图2-5示。这样的研究思想在后面的学习中会经常用到，请读者用心体会。
图2-3 图2-4
１、平面汇交力系合成（简化）的几何法现在就让我们来研究一下作用于刚体上的平面汇交力系的一般情况，如图2-5。
(a) (b) (c) (d)
图2-5
设所有的力的作用线汇交于O点，如图2-5（a）。根据平行四边形法则，可将F1、F2合成为R12并可用F1、F2合力R12代替F1、F2的作用；再用R12与F3合成为R123，用R123代替F1、F2、F3的作用；最后用R123与F4合成，即可得出力系的合成力R，如图2-5（b）。
由上述分析可知，若力系中有更多力时，可按上述方法连接应用平行四边形法则求得合力。数学表达式为
(2-3)
还可以连接应用三角形法则来求得，如图2-5（c）示。
仔细观察图2-5会发现，求R12、R123也可以省略。只需要保持各力大小方向不变，将各力首尾相接，形成一条折线，最后连上没有封闭的一边，从力系汇交点指向最后力的末端形成的矢量即为合力R的大小和方向。如图2-5（d）示。这个方法称为力的多边形法则。
合力的作用点为力的汇交点，其大小、方向与各力相加次序无关。
结论：平面汇交力系简化的结果是一个力。
2、平面汇交力系合成简化的解析法——合力投影定理据式2-3知
将上式两边分别向x及y轴投影，有
（2-4）
上式说明，力系的合力在某轴上的投影等于力系中在同轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。根据2-2可求得合力R的大小方向如图2-6
（2-5）
例2-1 试求图2-3所示钩环所受的合力的大小及方向。已知：T1=2000N，T2=732N，T3=732N。α=30°。
解 以三力汇交点A为坐标原点建立直角坐标系，如图2-4所示。
利用公式（2-4），可求得：
再应用公式（2-5），可求得：
第二节 力对点之矩
实践告诉我们，力的运动效应中有一种情况是使受力物体产生转动效应。描述这种作用的概念有两个：力矩和力偶。本节研究力矩及相关问题。下一节研究力偶及相关问题。
—,力矩的概念在物理学中我们曾经接触过力矩的概念，通过分析杠杆，引入力F对固定支点O的矩，如图2-8示，记为m0=±F·d，O点称为矩心，d为力臂，M0为矩。它是力F使物体绕支点O转动效应的度量。
图2-8
并规定：绕矩心逆时针转动为正，反之为负。
本节的研究中，上述内容仍有定义，称为力对点之矩，简称力矩，记为
m0(F)=±F·d (2-6)
一切皆与以前所学相同。
但要说明两点：
1、力矩的概念不仅适用于描述力对有固定支点的物体的作用效应，也适用于描述力对没有固定支点的物体的作用效应；或者是描述力对有固定支点的物体上固定支点以外各点的作用效应。也就是说，矩心也可以是固定点或者是可转动的支点，也可以是物体上或者是物体外是任意一点。
2、在平面问题中，力矩是代数量，单位为N·m或kN·m。在空间问题中，力矩实际矢量，但其物理意义与平面问题基本相同。
由力矩的定义和公式（2-6）可知：
1、当力的作用线通过矩心时，力臂值为零，则力矩值为零；当力的大小为零时，力矩值为零。
2、力沿其作用线滑移时，不会改变力矩的值，因为此时没有改变力和力臂的大小及力矩的转向。
二,合力矩定理平面汇交力系的合力，对于平面上任一点之矩，等于力系中所有的力对同一点之矩的代数和（图2-9）。这就是合力矩定理。
数学表达式为
（2-7）
上述合力矩定理不仅适用于平面汇交力系，也适用于其它各类力系。
合力矩定理为我们提供了求解力系合力对某点之矩的方法，同时也提供了求解一个力的合力对某点之矩的方法。在计算力矩时，有时力臂值计算较繁，可应用此定理，简化力沿已知尺寸方向作正交分解，分别计算两个分力的力矩，然后相加求得原力对同点之矩。
例2-2 为了竖起塔架，在O点处以固定铰链支座与塔架相连接，如图2—10所示。设在图示位置钢丝绳的拉力为F，图中a、b和α均为已知量。计算力F对O点之矩。
解 若用式（3-1）计算，必须求出力臂OA。
OA=OA′+A′A
A′A=CB=bsinα
而 OA′=acosα
所以 OA= OA′+A′A=acosα+bsinα
Mo(F)=F·OA=F(acosα+bsinα)=Facosα+Fbsinα
若应用合力矩定理，则可根据已知条件直接进行计算。先把力F分解为与塔架两边相平行的二分力F1与F2其大小分别为
F1=Fsinα,F2=Fcosα
由合力矩定理得
Mo(F)= Mo(F1)+Mo(F2)= F1b+F2a=Facosα+Fbsinα
显然，用合力矩定理计算比较简便。
第三节 力偶及其性质
本节我们来研究描述物体转动效应的另一个概念——力偶。
一,力偶的概念工程中经常会见到物体受一对大小相等，方向相反，但不在同一直线上的平行力作用。例如图2-11所示的转动汽车方向盘和套丝板牙等。具有上述特征的一对力，称力偶。通常用符号（F，F′）表示。力偶的作用使物体产生单纯转动运动。
我们可以将上述具体实例中的力偶作用形式用图2-12所示刚体的力偶作用来表示。
力偶中两力作用线所确定的平面称为“力偶作用面”，两力作用线间垂直距离称为力偶臂。
由实践知，在力偶的作用面内，力偶对物体的转动效应取决于组成力偶的力的大小、力偶臂的大小及力偶的转向。在力学上，以F于d的乘积及其正负号作为量度力偶在其作用面内对物体转动效应的物理量，称为力偶矩，记作m（F，F′）或m。
即
m（F，F′）=±F·d （2-8）
规定：逆时针转向的力偶为正，顺时针转向的力偶为负。力偶矩的单位与力矩的单位相同，N·m或kN·m
需要注意的是，组成力偶的两个力虽然大小相等，方向相反，但由于二力作用线并不在一条直线上，因此，组成力偶的二力不能实现二力平衡。力偶对刚体的作用是使刚体产生转动效应。
二、力偶的三要素力偶和单力都是工程力学中不能再简化的一个基本作用量。与力的三要素相类似，力偶对物体的转动效应，也取决于三要素：
1、力偶矩的大小；
2、力偶的转向；
3、力偶作用面的方位。
三要素相同的力偶，彼此等效，可以相互替换。
需要说明的是，三要素中力偶的作用面方位是由垂直于作用面的垂线指向来表达的，它表征作用面在空间的位置及旋转轴的方向。简而言之，在空间相互平行的平面，即具有相同的方位。
也就是说，在空间相互平行的平面上作用的大小相等，转向相同的力偶，相互是等效的。这就是许多机械运动（如齿轮传动，带传动等）能够实现的基本依据。
四、力偶的性质虽然力偶与单力都是力学中的基本要素，但是，由于力偶是由两个具有特殊关系的力组成的，所以力偶具有自己独特的性质。
性质1：力偶无合力。故，力偶不能与一个力等效。
性质2：力偶对其作用面内任意点的力矩值恒等于此力偶的力偶矩，与该点（即矩心）在平面内位置无关。
性质3：作用在同一平面内的两个力偶，若二者的力偶矩大小相等且转向相同，则两个力偶对刚体的作用等效。
由此得出以下两个推论：
1、只要保持力偶矩的大小和转向不变，力偶可以在其作用面内任意转动，而不改变它对刚体的作用效应。
2、只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的大小，而不改变力偶对刚体的作用效应。
五、平面力偶系的合成若力偶系中各力偶作用面均在同一平面内，则称为平面力偶系。
我们已经知道，力偶没有合力，其作用效应完全取决于力偶矩，而力偶矩在平面上表现为代数形式，因此，平面力偶资简化（或合成）的结果，也必然是一个力偶，且合力偶的力偶矩应等于组成力偶系各个力偶的力偶矩的代数和。即
（2-9）
例2-3 用四轴钻床加工一工件上四个孔，如图2-13所示。每个钻头对工件的切削力偶m=6N·m，固定工件的两螺栓A、B与工件成光滑接触，且AB=０.３ｍ。求两螺栓所受的力。
(a) (b)
图2-13
解 （1）取工件为研究对象，画出其受力图如图2-13b所示。
（2）工件受四个力偶m及反向平行力NA、NB的作用而处于平衡状态，故NA、NB必等值、反向组成一个力偶。工件受一组平面力偶系的作用，其平衡条件为
,
第四节 力的平移定理
前面已经讲过，作用在刚体上的力可以对任一点产生力矩作用。实验证明，一个不受其他约束来的刚体，只有通过其质心的力，才会使刚体产生单纯的移动，否着，刚体就会一边移动，一边转动，这是为什么？这其中蕴含了什么道理呢？
如图2-14（a），C为刚体质心，A点作用一力F据加减平衡力系公理知，若在C点处加一对大小等于F力值、作用线与F平行的平衡力F′、F″，则刚体状态不变。如图2-14（b）示。
(a) (b) (c)
图2-14
显然，为F与F′可以构成一对力偶。且可知是力偶距值等于原力F对C点之距，即，M=mC（F）= F·d，（本问题中为正，实际也可能负）。这个力偶通常称为附加力偶。
于是，原来作用在A点的力F就与作用在质心C点的力F″及附加力偶M的联合作用等效。如图2-14（c）示。这就是刚体边移动边转动的原因。
上述结果可以推广为一般结论：作用在刚体上的力可以向平面内任意点平移，平移后除了这力之外，还会产生一个附加力偶，附加力偶的力偶矩值等于力在原位置对平移点的力矩。也就是说，平移前的一个力对刚体的效应，与平移后的一个力和一个力偶对刚体的联合效应相等效。这就是力的平移定理。
有了这个定理，作用在刚体上的力，就可以在刚体内任意平行移动了，这个意义十分重大。
第五节 平面力系的简化
平面力系有许多种形式，前面讲的平面汇交力系和平面力偶系都是平面力学中的特殊形式。图2-15（a）为简易吊车架，吊车轨道架AB的受力图如图2-15（b）示。显然，AB杆上各力除共面外，找不到其他共性，所有各力任意排列，称为平面任意力系。
本章的最终目的就是要对任意形式的平面力系进行简化和平衡计算。
一,平面任意力系的简化为了使我们的结论更具有普遍性，仍采用前面的研究方法，将AB杆抽象为普遍意义上的刚体，保持各力任意作用于刚体同一面的特点，如图2-16（a）示，构成一平面任意力系。
(a) (b)
图2-15
图2-16
为了对图2-16（a）各力进行简化，我们不妨先对已经学过的相关知识进行一下简单的梳理。所谓对力系进行简化，也就是寻找力系的合力、合力偶或者是合力和合力偶；我们已经掌握了平面汇交力系和平面力偶系简化（或者说合成）的方法。如果平面任意力系可以转化成已知的两种形式，我们就可以进行简化了。
现在的问题就是，这种想法能实现吗？
显然，应用力的平移定理，可以实现刚体上各力在平面内移动的目的。
首先，在平面内任意取一点O，然后将力系中的各力平移到O点。点O称为简化中心。根据力平移定理，各力移到O点后，必须相应增加一个附加力偶。如图2-16（b）示。这些力偶与力都作用在同一平面内，它们的矩分别等于力F1、F2、F3对点O的矩，分别为：m1=mo(F1)；m2=mo(F2)；m3=mo(F3)。
这样，平面任意力系分解成了两个力系：平面汇交力系和平面力偶系。也就是说，图2-16（b）中的的平面汇交系和平面力偶系的联合作用与图2-16（a）中的平面任意力系的作用等效。
我们已经知道，简化后的平面汇交力系、、和平面力偶系m1、m2、m3可以分别合成为一个作用于简化中心的合力和一个合力偶Mo，如图2-16（c）所示。
因为、、分别与F1、F2、F3大小相等方向相同，所以
合力偶的矩等于原来各力对简化中心的矩的代数和。
若作用于刚体上力系变为力的数目为n的平面任意力系，依据上述思路，则可很容易将上述结论推广为
（2-10）
（2-11）
由上述分析以知，原力系是与、Mo的共同作用等效的，故不能称为力系的合力，但确实又是由力系各力求矢量和而得到的，所以称为该力系的主矢量，简称主矢。对于Mo，则称为该力系对简化中心的主矩。
主矢量是将力系中各力平行移动到简化中心后合成得到的，所以，无论简化中心定在任何位置上，主矢量的大小、方向都不变改变。
主矩是由力系中各力对简化中心取矩后进行代数和得到的，所以，简化中心定在不同的位置上，主矩的大小、方向都是不完全相同的。
得结论如下：平面任意力系向任一点简化，其一般结果为作用在简化中心的一个主矢量和一个作用在平面上的主矩。
二、固定端的约束反力物体的一部分固嵌于另一物体所构成的约束，称为固定端约束。这种约束不仅限制物体在约束处沿任何方向的移动，也限制物体在约束处的转动。如建筑中的阳台、跳水比赛中的跳板等都是受固定端约束的实例。固定端约束的力学模型(如图2-17a所示)。
(a) (b) (c) (d)
图2-17
梁AB在主动力F作用下，其插入部分受到墙的约束，梁上每个与墙接触的点所受到的约束反力的大小和方向都不一样，这样杂乱分布的约束反力组成了一个平面任意力系(如图2-17b示)。把这个力系向A点简化，可得到一个作用在梁A点的约束反力和一个力偶矩为mA约束反力偶。约束反力一般用两个正交分力RAx和RAy来代替（图2-17c）。约束反力RAx、RAy限制粱的移动，约束反力偶mA则限制粱绕A点的转动。以上分析只说明了固定端约束反力的性质，而这些约束反力的大小和方向可以用平面任意力系的平衡方程来确定。固定端约束还可以更简单地表示为图2-17（d）所示的形式。
三、平面任意力系简化结果的分析
平面任意力系向平面内一点简化结果有四种情况：
1、R′=0，Mo＝0
这时作用于O点的汇交力系及附加力偶系都自成平衡，所以，原力系平衡。
2、R′=0，Mo≠0
此时作用于简化中心的汇交力系自成平衡，主矩Mo可以代替原力系对刚体的作用，故原力系可简化为一个力偶，其矩。在这种情况下，主矩与简化中心的位置无关。因为原力系与一个力偶等效，根据力偶的性质可知，此力偶对任意一点的主矩都保持不变。
3、R′≠0，Mo=0
即各附加力偶自成平衡，此时作用于简化中心的主矢可以代替原力系对刚体的作用，因此，这个主矢就是力系的合力。
4、R′≠0，Mo≠0
必须将R′和Mo进一步简化，才能求得力系的合力。
将主矩Mo用两个力R和R″表示，并令R″= -R′，且使R″=R=R′（图2-18b）。于是可将作用于O点的力R′和力偶（R′,R″）合成为一个作用在点O′的力R，如图2-18c 所示。这个力R就是原力系的合力。合力的大小等于主矢。合力的作用线在点的哪一侧，需根据主矢和主矩的方向确定。目光顺着主矢量看去，当主矩为逆时针转向时，合力R在主矢（或简化中心）的右侧，如图2-18（c）示；当主矩为顺时针转向时，合力R在主矢（或简化中心）的左侧。因为MO=Rd=R′d，所以，合力作用线到点O的垂直距离d可按下式计算得：
（2-12）
(a) (b) (c)
图2-18
例2-4 在图2-19a所示的平面任意力系中，F1=7N，F2=8N，F3=10N，各力的位置如图所示。试求此力系的合力。
(a) (b) (c)
图2-19
解 以B为简化中心（将力系向B点简化）。
（1）主矢
主矢的大小
主矢与x轴的夹角
因为正，为负，故主矢指向右下方（图2-19b）
（2）主矩MB
（3）合力R
合力的大小
合力与x轴的夹角
因
且主矩为顺时针转向，故合力作用线的位置如图2-19c所示。
第六节 平面力系的平衡条件及其应用
根据对平面任意力系简化结果的讨论可知，若平面任意力系向任一点O简化，所得到的主矢和主矩同时等于零，则刚体处于平衡状态。反之，若某力系是平衡力系，则它向任意点简化的主矢和主矩也同时等于零。所以，平面任意力系平衡的必要和充分条件可以表示为：
（2-13）
上式中，主矢量R′是矢量，主矩Mo是代数量。但我们知道，只要能够保证主矢量R′的大小等于零，式2-13就可以成立，所以，可以将上式表示为：
（2-14）
若式（2-14）成立，则可得平面任意力系的平衡方程为：
（2-15）
式（2-15）说明，平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系中各力在任何方向的坐标轴上投影的代数和为零，力系中各力对平面内任一点之矩的代数和同时等于零。也就是说，∑Fx=0和∑Fy=0两式，说明的是力系对物体没有产生任何方向的移动；∑mo(F)=0式说明，力系也没有对物体产生绕任何一点的转动，故此，物体处于平衡状态。
至此，本章要研究的问题都已得解，现在的问题是，如何应用平面任意力学平衡方程求解平面任意力学问题。那就让我们再回头看一下图2-15所示的简易吊车架，在实际工程中的情况吧，请看例2-5
例2-5 图2-20（a）所示起重机的横梁AC重W=10kN，重心位于C点，重物重G=24kN，现小车停于M处。AC=6m，AM=10m，α＝30°。求此时钢索BE上的拉力及支座A铰处的约束反力。
（a） （b）
图2-20
解 （1）取横梁AC为研究对象，画受力图，如图2-20(b)；
（2）列平衡方程求解；
由前面的分析可知，要运用平衡方程求解平面任意力系问题，应首先建立直角坐标系。为了解题方便，我们通常选择有多个未知力平行或者有相互正交的两个未知力的方向作为坐标轴方向。
本题中，铰A 的一对约束反力恰好可以作为坐标轴方向。
选取RAx、T、W的交点C为矩心，可得方程组：
①
②
③
求解上述联立方程组，显然方程③首先得解：
④
将④代入②得解：
⑤
将⑤代入①得解：
至此，题目求解完成下面我们再对这个题目涉及的一些问题进行一下讨论和说明。
问题1：关于建立直角坐标系。
无论是从前面的分析看，还是从本题求解过程看，建立直角坐标系都是重要的，也是必不可少的。但直角坐标系的建立是任意的，怎么建立要看解题的方便。解题过程中所讲到的两点都体现了这一要求。
所以，在实际解题时，直角坐标系常常不明确标出，而是用某些特殊约束的正交分解的约束反力来指明。如本题中已有了A铰约束反力RAx、RAy，坐标轴实际已经明确，故可不标出。如果没有这样适合的力，而又没有标出坐标轴位置的话，通常认为水平方向为x轴，垂直方向为y轴。
问题2：关于各量的正负。
由前面的学习已经知道，力和力矩的正负只代表方向。在坐标轴上的投影的正负是受坐标系方向影响的。本题列方程时，我们就时时在注意着力与坐标轴正向是否一致（见所列方程中各项正负即可知道）。求解过程中，对方程内许多项进行了移项，移到等号另一侧的量要改变符号。
既然这样，我们完全可以在列方程时就把方向相同的量写在等号一侧，把方向相反的量写在等号的别一侧，这样就免去了在列方程时因为方向问题的困扰。这样也就把坐标系方向的作用削弱了，不明确画出坐标系也就更显得可行了。
由于受力图上各力都是依据约束反力的画法要求画上去的，所以，当计算得出的得结果是负值时（如本例题RAy= -16kN），说明受力图上力的方向与实际方向相反。
问题3：关于列方程组和解方程组的顺序。
联立方程组中的三个方程是既相互联系又各自独立的。三个方程同时成立时，物体才能平衡，但是这并不妨碍三个方程中有一个或者二个同时成立，而另外的不成立。所以，这三个方程可以任意先列或者先进行求解。把握的原则仍是便于解题，一般来说，应尽量使一个方程就能直接求解一个未知量。
问题4：关于取哪一点为矩心的问题。
前述分析我们知道，矩心是任一点都可以取的。既然这样，我们仍是本着便于解题的原则来取矩心。一般说来，应选两个未知力的交点为矩心。这样就可以力矩方程直接求得一个未力。本题就选了符合上述条件的C点为矩心，但实际上，A点也符合上述条件，选用A点为矩心不可以吗？当然也可以，让我们来看一下。
若以A点为矩心，如图2-21，则可得方程
⑥
解得
显然，这与例题求解的T值相同。这个方法可以用来检查计算结果是否正确。
如果先选A为矩心，则会形成由方程⑥、①、②组成联立方程组，也能得到正确的解。这种解法可以由以C点为矩心的方程来进行检查。
观察方程③和方程⑥会发现，这也是两个独立的方程，并且方程③可直接求得RAY的值。方程⑥可直接求得T的值。既然矩心是可以任意选的，那么这两个方程也应该是可以同时成立的。
正是由于这个原因，平面任意力系平衡方程还有二种其他形式，即二力矩式和三力矩式。所以公式（2-15）也称一力矩式。
平面任意力系二力矩式平衡方程：
（2-16）
要注意的是，公式（2-16）仅是物体平衡的必要条件，但不是充分条件，需附加条件：x(或y)轴不垂直于AB连线。
平面任意力系三力矩式平衡方程,
（2-17）
公式（2-17）在应用时也必须附加条件：A、B、C 三点不能共线。
再看例题可知，例题所解用的是应用一矩式的方法。若将方程①、③、⑥联立求解，就是应用二力矩式（读者可适解之）。那么，可不可以应用三力矩式进行求解呢？我们来看一下。
设T与RAx的交点为P，如图2-22所示。
以P点为矩心，可得方程：
⑦
解得
再以C点为矩心，可得方程③，解得RAy= -16kN；
最后以A点为矩心，可得方程⑥，解得T=100kN。
应用三力矩式求解的结果，可以用∑Fx=0或∑Fy=0来进行检查。
综合上述分析可以看出，矩心可以任意选取，合适的矩心会使求解更加方便。三个不同形式的平衡方程给解题带来了更大的方便和自由。
问题5：例题与实际问题。
对照看了本例题图2-20（a）和引发本节研究问题的图2-15（a），开始会觉得这是不同的两个问题。但在对照图2-20（b）和图2-15（b）后，就会明确，这两个构件所表现出来的是完全相同的问题。由抽象的刚体上作用一个平面任意力系所得出的结论（公式2-15及其另外两种表达形式的公式2-16和公式2-17），则是对所有平面力系问题具有普遍指导意义的公式。前述分析过程所展示的，就是工程力学研究中由实际问题到力学理论，再由力学理论指导解决实际工程问题的一般过程。本书内所有研究的问题都存在类似的关系，望读者细细得体会，书中就不一一叙述了。
其实，图2-15(a)所示简易吊车架也是过去工程中常见的，现在不常用了。本题所示是工程中常见的实例。
但是，实际工程中的情况还是要比例题所示复杂些的。比如，实际工程中小车M是可以运动的，M在不同位置会产生不同的影响，这个问题后面仍会讲到。无论如何，如例题讲到的这样基本分析方法，对解决实际工程问题都是十分有意义的。在实际工程中，我们要全面研究可能出现的各种情况。比如本例所示起重机，整机在工作中和空载时都必须平衡，这也是我们要研究的问题（见例2-6）。
例2-6 我们来研究一下例2-5中起重机自身平衡问题。
已知图2-23（a）所示起重机身（包括横梁）重W=100kN，其重心C距右轨道B为b=0.6m，最大起重重量G=36kN（前例中显然未达到工作极限），距右轨道B为l1=10m，起重机上平衡铁重为Q，其重心距左轨道A为l2=4m，轨距a=3m。试求此起重机在满载与空载时都不致翻到的平衡重Q值的范围。
(a) (b) (c)
图2-23
解 以起重机整体为研究对象。依题意可分为满载右翻与空载左翻两个临界情况，Q值的范围应在此二种情况要求的值之间。
（1）满载时，G=Gmax=36kN，要求保障以最小的平衡重Qmin。此时左轨道A必处于悬空状态，即只有右轨道B支撑全重，如图2-23（b）所示。
取B为矩心，列平衡方程，有
（2）空载时，G=0，要求保障的平衡重最大不能超过Qmax。此时右轨道B必处于悬空状态，即只有左轨道A支撑全重，如图2-23（c）所示。
取A为矩心，列平衡方程，有
所以，平衡重Q的范围为：
70KN≤Q≤90KN
下面对本例涉及的一些问题进行讨论和说明。
问题1：起重机所受力系观察图2-23（b）、(c)可以看出，起重机所受各力不仅都处于同一平面内，但所有力的作用线都是平行的，力学上把这样的力系称为平面平行力系。
图2-24所示为受平面平行力系作用而平衡的刚体。若取x轴与各力相垂直，则各力在x轴上的投影均为零，平面任意力系平衡方程中式∑Fx=0恒成立，所以平面平行力系的平衡方程就可以表述为
（2-18）
由此可见，平面平行力系与平面汇交力系、平面力偶系一样，不过是平面任意力系的一种特殊形式。平面任意力系平衡方程中已经包含了所有平面力系平衡的条件。
问题2：解决问题时选用哪个方程。
既然平面任意力系平衡方程中已经包含了所有平面力系平衡条件，解决平面问题时就可以直接以平面任意力系平衡方程的应用来思考。比如本例题，在没有建立平面平行力系的概念下，只以平面力系平衡来分析，也是可解的。
但是，如果能较好掌物各类力系的受力和平衡问题，无论对于认识问题还是解决问题，都回产生更大更好的帮助，请读者慎思之。
(a) (b)
图2-25
例2-7 梁AB一端固定。一端自由，如图2-25a示。梁上作用均布载荷，载荷集度为q，在梁的自由端还受集中力F和力偶矩为m的力偶作用，梁的长度为l。试求固定端A处的约束反力。
解 （1）取梁AB为研究对象并画受力图（图2-25a）
(2)l列平衡方程并求解
第七节 物体系统平衡
前面讨论的平衡问题，只涉及了单个物体。工程中更多的是由两个或两个以上的物体以一定的约束方式联成一体的机器或结构，我们称之为物体系统，简称物系。
在物体系统中，由于物体不止一个，其约束方式和受力情况也较复杂，因此，在很多情况下只考虑整体、或整体中某局部、或整体中单一物体，都不能求出全部未知力。必须要全面地合适的对整体、局部或单个物体进行分别研究，最后求得所有未知力。
若物系有n个物体组成，在平面问题中，对每个物体可列出不超出3个的独立平衡方程，整个物系就会列出不超过3n个的独立平衡方程。若物系平衡问题中未知量数小于或等于能列出的独立平衡方程数时，问题为静定问题，否则，就属于静不定（或称超静定）问题。静定问题是我们可解的问题，本书涉及的问题是静定问题。
下面就是从例题来学习物系平衡问题的解法。
例2-8 已知梁AB和BC在B点连接，C为固定端，如图2-26（a）示，若m=20KN·m，q=15KN/m，试求A、B、C三点的约束反力。
解 本题若以整个物系为研究对象，则未知数较多，不能求解。
（1）以梁AB为研究对象画受力图，如图2-26（b）示，选坐标轴x、y，列平衡方程并求解未知量。
解得
解得
（2）以量BC为研究对象画受力图，如图2-26（c），选坐标轴x、y，列平衡方程并求解未知量。
讨论与说明：
从本例求解过程看，是先对AB杆求解，得出未知力RA、RBx、RBy的值，杆BC上的、由于作用与反作用的关系就转化为已知，再由BC杆求出未知力NCx、NCy、mC
我们把物系中象AB杆这样，有已知力作用且未知量个数少于或等于独立方程个数的整体、局部或单个物体称可解物体，这个条件称为可解条件。
本题的做法是，对符合可解条件的可解物体先行求解；将求得的未知力作为已知力，通过作用与反作用的关系，转移到其他物体，使其相对应的未知力也变为已知力；如此逐步扩大已知量的数目，直至最终全部解出。这也正是求解物系平衡问题的一般程序。
例2-9 人字梯AB、AC两杆在A点铰链，在D、E两点用水平绳连接，如图2-27（a）所示。梯子放在光滑的水平面上，其一边有人攀登而上，梯子处于平静状态。已知人重力W=60KN，AB=AC=L=3m，α=45°，梯子重力不计，其他尺寸见图2-27（a）。求绳子的张力和铰链的约束反力。
(a) (b) (c)
图2-27
解 （1）先取人字梯BAC为研究对象受力如图2-27（b）所示。显然梯子在W、NB、NC组成的平面平行力系作用下平衡。列平衡方程求解：
解得
解得
（2）再选AC杆为研究对象受力图为2-27（c）所示，显然AC杆在平面任意力系作用下处于平衡状态，列平衡方程求解
将 NC=20kN 代入，解得
将 代入，解得
将代入，解得
讨论与说明：
（1）此例若接前例之法则发现，所分离两杆AB、AC皆不符合可解条件，而其整体却符合可解条件。这也是常见情况之一。
（2）为了尽量达到一个方程求解一个未知数的目的，在力臂易求的情况下，应尽量采用力矩方程，在力臂求解较繁的情况下，采用投影方程也许更为便利。如本例中研究AC杆时，采用一力矩式求解就较方便，若用二力矩式反而麻烦。
例2-10 一构架如图2-28（a）所示，已知F=10KN，P=20KN，a=1m。试求两固定铰A、B的约束反力。
(a) (b) (c)
解 （1）画ACD杆及CEB杆受力图如图2-28(b)、(c)示。
（2）研究CEB杆，如图2-28（c）示，则有
解得
解得
（3）研究ACD杆，如图2-28（b）示，则有
解得
解得
（4）再研究CEB杆，如图2-28(c)示。
讨论与说明：
此例与前两例题皆不相同，按前述方法都找不到可解条件。仔细观察会发现，在CEB杆上的点C、B，都有三个未知力通过，若以此点为矩心，建立力矩方程，则可求出一个未知力。这正是此题的可解条件。
可解条件有时会在局部存在。如果n个未知力中，有n-1个未知力互相汇交或相互平衡，则可选此汇交点为矩心或选平行力的垂线为坐标列出平衡方程，即可求得部分未知力，然后再如前述，逐步扩大已知量数，直至全部解决。这也是求解物系平衡问题常见情况之一。
例2-8、2-9、2-10题蕴涵了求解物系平衡问题，寻找可解条件的基本方法，请读者仔细体会。
例2-11 图2-29（a）所示为曲轴冲床简图，由轮、连杆AB和冲头B组成。A、B两处为固定铰链连接。OA=R，AB=L。如忽略摩擦和物体的自重，当OA在水平位置、冲压力为P时，求：（1）作用在轮上的力偶矩M的大小；（2）轴承O处的约束反力；（3）连杆AB受的力；（4）冲头给导轨的侧压力。
(a) (b) (c) (d)
图2-29
解 （1）首先以冲头为研究对象。冲头受力为平面汇交力系，如图2-29（b）。
解得
解得
（2）再以轮为研究对象，如图2-29（d）。
解得
解得
解得
讨论与说明：
（1）本例中冲头B受到的是平面汇交力系作用，连杆AB为二力杆。以此题类推，请仔细留意有关的力学概念在实际工程中的具体形式及相关的内在联系等问题。
（2）图2-29（a）是保持了实际机械基本结构特征的简图。实际上，在后续课程中会我们知道，这是一种机械中常见的机构，称为曲柄滑块机构。它可以用一个更具体普遍意义的简图来表示，如图2-30。
曲柄冲床、柴油机汽缸、往复式水泵、蒸汽机车传动等等，许多工程设备的传动机构都可以简化成这个形式。
将例题中已知条件对应到图2-30，会求得同样结果，其分析过程与例题完全相同。读者一试便知。
下面简单介绍一下桁架的计算，以备相关专业选择学习。
桁架是工程上常用的结构，广泛应用在屋架、桥梁、起重机架，输电铁塔等大型结构中。所谓桁架，是由许多不计自重的直杆两端用光滑铰链链接而组成的以三角形为基础的几何形状不变的结构。若桁架的所有杆都在同一平面内，则称为平面桁架。桁架中链接杆件的铰链称为节点。通常规定，桁架的外力只能作用在节点上。由上述分析可以看出，桁架中的每根杆件都是二力构件。所以，各杆件的内力均沿杆件的轴线。
例 2-12 试求图2-31（a）所示的平面桁架中各杆件的内力。已知F1=40kN、F2=10kN、a=2m。
解 （1）首先求支座反力。取整个桁架为研究对象画受力图，如图2-31（b），列平衡方程：
得
得
得
（2）取节点A为研究对象，如图2-31（c），一般都假设杆受拉力（设各力均背离节点，若计算后结果某杆内力为负值，则该杆受压）。列平衡方程：
得
得
图2-31
（3）以节点C为研究对象。列平衡方程：
得
得
（4）以节点D为研究对象。列平衡方程：
得
得
（5）以节点E为研究对象。列平衡方程：
得
得
（6）以节点H为研究对象，列平衡方程：
得
至此已求出全部内力。但节点H还能列出一个方程，节点B还能列出两个方程，它们可以用来校核以上的计算结果是否正确。
最后，可将求得的内力符号标注在桁架简图上，图2-31（d），杆件受拉者标以正号，杆件受压者标以负号。
上例中计算桁架内力的方法称为节点法。该法是逐次截割桁架的每一个节点，并应用平面汇交力系的平衡方程求出各杆内力。应当指出，在应用节点法求各杆的内力时，截割节点的次序可以任意选择，但因平面汇交力系只有两个独立的平衡方程，所以每次截出的节点都不能有两个以上的未知力。
例2-13 一屋架如图2-32（a）所示，长度a=2m，受载荷F1=F5=10KN，F2=F3=F4=20KN。试求4、5、6三杆的内力。
图2-32
解 （1）求支座反力。以桁架整体为研究对象画受力图，如图2-32（b），列平衡方程：
得
得
（2）用截面Ⅰ-Ⅰ将桁架截割为两部分，以左边部分为研究对象考虑其平衡，图2-32（c），该部分受载荷F1、F2和支座反力RA，还有杆4、5、6的未知内力S4、S5和S6的作用。
（3）列平衡方程并求出4、5、6杆的内力。
得
得
得
上例中求桁架内力的方法称为截面法。该法是将桁架用一截面假想地截为两部分，考虑任一部分的平衡，按平面任意力系的平衡方程，求解指定杆件的内力。应当注意，应用截面法时，截面所截割的杆件数（未知力数）一般不能多于三个。
第八节 考虑摩擦的平衡问题简介
前面讲述问题均未考虑摩擦。我们知道，摩擦是无所不在的。从一般意义上说，在机械结构的力学分析时考虑摩擦，并不是十分复杂的问题。分析有摩擦时的平衡问题，与前面分析不考虑摩擦时的平衡问题有相似之处，即物体平衡时，其上所受的力应满足平衡条件。而且，考虑摩擦时的平衡问题的解题方法和过程也与前面所介绍的基本相同。
求解考虑摩擦的平衡问题时，必须增加两项思考：（1）画受力图时，必须考虑接触面间的摩擦力，摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反。这在物理学中已经学过；（2）求解时，必须要代入静滑动摩擦力公式Fmax=fN。这个公式在物理学中也已经学过。但要特别注意的是，由于在静滑动摩擦中，摩擦力的数值是在一定范围内变化的，既0≤F≤Fmax，因此，物体也是在一定范围内保持平衡的。只有当物体处于从静止到运动的临界状态时，摩擦力才会达到最大值。
下面举两个应用实例。
例2-14 长4m，重200N的梯子，斜靠在光滑的墙面上，如图2-33（a）示，与地面成α=60°角，梯子与地面的静摩擦系数f=0.4。有一重600N的人等梯而上，问他上到何处时梯子就要开始滑到。
图2-33
解 设梯子将要滑动时，人站在C点，令BC=x。
（1）以梯子为研究对象画受力图，如图2-33（b）.因梯子与墙光滑接触，故A点只有水平反力NA。B点有垂直反力NB、摩擦力F。
（2）选坐标轴x、y，列平衡方程并求解未知量。
,
所以
因梯子将要滑动时处于临界状态，故摩擦力为最大静摩擦力，即
,
故
,
即
或
所以
例2-15 图2-34（a）为一制动器的示意图。已知制动器摩擦块与滑轮表面间的静摩擦系数为f，作用在滑轮上的力偶的力偶矩为m，A和O都是铰链，几何尺寸如图所示。求制动滑轮所必须的最小力Pmin
图2-34
解 当滑轮刚刚能停止转动时，力P的值最小，制动块与滑轮的摩擦力达到最大值。以滑轮O为研究对象画受力图，如图3-34（a）。因为滑轮平衡，且为临界状态，故可列出平衡方程：
,
由此可得 ,
其次，以制动杆AB为研究对象画出其受力图，如图2-34（b）。制动杆也是处于临界平衡状态，故可列出平衡方程：
,
于是可解得
将 代入上式，则得制动滑轮所需的最小力
第九节 问题讨论与说明
一、从工程实际到本书讲述内容本书内容一直想向读者揭示，理论是从实际中来的，而实际问题是在理论的指导下解决的，理论是将实际问题进行了相应的理想化后得到的，这些结论已经被实际问题证实是正确的、有效的。
此如二力杆，工程中找不到一个没有自重的杆件。只是因为它的影响太小，就忽略了。可事实上，它仍然存在，这一点我们也必须承认。在解决问题时，如果不分主次全部加以考虑，那么就会影响对问题的把握。实践已经证明，这样的简化可以更好的认识和解决问题、指导实践。再此如铰约束，实际得约束远比我们所画的符号复杂的多，但我们给出的代表符号已经充分反应了铰约束的受力特点，这就足够了。对于复杂的结构也是这样，我们画的简图是用最简单的形式，充分反应了原结构的基本特性，以便于分析研究。
所以，书中简图看上去比较简单，似乎与工程实物相去甚远，见到工程实例不知道如果进行简化，找不到合适的应用理论。这一环节必须突破，这是贯穿全书的一件大事。望读者通过书中讲述仔细体会。
从简单到复杂，用已知求解未知，从实践到理论，再用理论指导实践，是我们学习和研究问题的基本策略。
二、受力分析的重要性从本章内容可以看出，受力分析的正确与否，事实上决定着一个问题的解是否正确。
关于如何正确进行受力分析，前面已经重点讲过。如果学到这里，受力图还常常出错，就必须重新学习前面的相关内容。在此只再强调一点，必须要根据约束的性质分析约束反力，而不能根据错误的直观判断画任何一个约束反力。这正是初学者最常犯的错误。
三、审视平面力系平衡方程总结前面的学习，不难得出如下结论：平面力系包括平面汇交力系、平面力偶系、平面平行力系和平面任意力系。其中平面任意力系是平面力系最一般的形式，其它三种是平面力系的特殊形式。
分别列出各力系平衡方程进行比较：
平面汇交力系平衡方程,
平面力偶系平衡方程,
平面平行力系平衡方程,
平面任意力系平衡方程,
不难看出，若平面任意力系平衡方程中∑mo(F)=0恒成立，即主矩等于零，则为平面汇交力系平衡方程（要注意此原力系不一定是真的汇交力系）；平衡方程中∑Fx=0，∑Fy=0恒成立，即主矩等于零，则为平面力偶系平衡方程；若平面任意力系平衡方程中∑Fx=0（或∑Fy=0）恒成立，则为平面平行力系。
各平衡方程可以独立地较方便地求解相应问题，也可以不细分什么类型的力系，直接应用平面任意力系平衡方程求解，平面任意力系平衡方程可以理解为解决平面力系问题的母公式。
四、物系平衡问题的再思考物系平衡问题是本章重点中的重点，更是本书重点之一。有必要再此强调以下几点。
1、许多教材都讲到，系统整体平衡，组成系统的每个局部必然平衡。这是求解物系平衡问题的重要概念，是正确的。但如果用这个概念来指导受力分析就不正确。如图2-35示，从整体受力图（图2-35a）看，似乎是正确的，但我们已经知道，这是不正确的。受力分析必须按约束性质进行。
(a) (b)
图2-35
2、研究物系平衡问题时，选择研究对象很重要。选择合适的研究对象会使问题更易求解。基本原则是：尽量使研究对象所能列出的每一个平衡方程只包含一个未知量。
3、研究物系平衡问题时，当研究对象不是单一物体时，就一定会有一些还没有解除的约束混在研究对象中，这些没有解除的约束中也含有约束力，我们称为内约束力，画受力图时，一定不能把内约束力画上。
4、考察局部平衡时，分布载荷最好在拆开后再进行简化，以免出错。当然也可以在拆除开前简化，但一定要注意，简化的合力加在何处才能满足力系等效要求。
五、启思摩擦平衡问题摩擦是工程中经常遇到的问题，也是也个比较复杂的问题。实际接触到的摩擦问题往往不象本书讲述的那样简单。但是，在一般情况下，物理学所讲授的摩擦知识已经足够了，应用到本书所讲问题中足可以解决简单问题。
1、工程中常见的摩擦平衡问题主要有三类。（1）、所有的外加力都是已知力，摩擦系数也已知，要求确定物体处于静止还是运动状态；（2）、已知静摩擦系数，并且物体处于临界状态，要求确定所加某个外力的大小和方向；（3）、已知物体处于临界状态，并且全部外加力已知，要求确定静摩擦系数。
2、考虑摩擦的平衡有两种状态：静止状态和临界状态。前者摩擦力尚未达到最大值，且不是一个定值；后者摩擦力达到最大值，是一个定植。
一般情况下，考虑摩擦平衡问题的平衡方程中所包含的摩擦力是在一定的范围内取值的，所以，由此平衡方程所得解也不是一个定值，而是在一定范围内取值。
3、在考虑摩擦的平面问题中，若作用在物体上的主动力合力作用线处于摩擦角范围内，则无论主动力多大，物体都处于平衡状态，这种现象称为自锁。自锁现象与主动力无关，只与摩擦角有关。
这个条件在实际工作中的应用很多。关于摩擦的问题，有兴趣的读者可以找相关的材料学习。
六、我们已经学会了什么至此，静力学篇的主要内容已经学完。空间问题多数可以转化为平面问题求解，平面力系部分就显得更加重要。因此，我们应该对学会了什么有个认识。
1、初步建立了力系模型、简图与工程实物间的联系；
2、掌握了一系列力学概念；
3、会对物体进行受力分析；
4、会解平面平衡问题；
5、会解简单的考虑摩擦的平面平衡问题。
上述每项内涵都很丰富，请读者仔细思考。
习 题
2-1 已知：F1=200N，F2=150N，F3=200N，F4=100N，各力方向如图所示。试求各力在x、y轴上的投影。
2-2 F1、F2、F3三力共拉一碾子。已知：F1=1kN，F2=1kN，F3=1.732kN，各力方向如图所示。试求此三力合力的大小与方向。
题图2-1 题图2-2
2-3 如图所示F1、F2、F3三力分别作用在板上的A、B、C三点。已知：F1=100N、F2=50N、F3=50N。求：此三力的合力。
2-4 四个力作用在桁架的节点上，方向如图。已知：F1=60kN，F2=50kN，F3=30kN，F4=49kN求：合力R的大小和与x轴的夹角。
题图2-3 题图2-4
2-5 试求图示各种情况下力P对点O的力矩。
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
(g)
题图2-5
2-6 图示构件C处受力F作用。已知：F、a、b、α。试求mA(F)、mB(F)的值。
题图2-6 题图2-7
2-7 如图，已知：F1=F2=75kN，F3=F4，圆的直径为D=40mm，圆处于平衡状态。试求F3及F4的大小。
2-8 电动机轴通过联轴器与工作轴相连接，联轴器上四个螺栓A、B、C、D的孔心均匀分布在一圆周上，，此圆的直径AC=BD=15mm，电动机轴传给联轴器的力偶矩m=2.5kNm。试求每个螺栓所受的力（设各螺栓所受的力相同）
题图2-8 题图2-9
2-9 有一胶带绕过一滑轮组，胶带两端所受拉力均为600N，滑轮组底板尺寸如图所示，底板用两个圆销加以固定。试求：（1）当圆销插入A、C孔或B、D孔时，圆销所受的作用力；（2）圆销插入哪两个孔，可使其受力最小？
题图2-10 题图2-11
2-10 平面任意力系如图所示。每方格边长为10mm，F1=F2=10kN，F3=F4=kN。试求力系向O点简化的结果。
2-11 有三条绳索同时拖一条驳船，船首A处的两个拖力各为100kN，船尾的拖力为120kN，三个拖力的方向如图所示。试求此三力的合力及其作用线位置（离A点的距离）。
2-12 用两绳吊挂重物如图所示，重物G=200N。试求绳AB、BC的拉力。
2-13 支架的B铰处悬重为G，已知G=10kN。试求杆AB、BC的内力。
题图2-12 题图2-13
2-14 半径为R的圆柱体O放于直角墙壁内，用力P通过长方体M推动圆柱体如图所示。长方体的高h=0.5R。已知圆柱体的重量为W。如果各接触面都是光滑的。试求能使圆柱体离开地面的最小力P。
2-15 图示为一夹具中的杠杆增力机构。其推力P作用于A点，夹紧时杆AB与水平的夹角α=10°。试求夹紧力Q是P的多少倍。
题图2-14 题图2-15
2-16 各梁的载荷和尺寸如图所示，求各梁支座的反力。
(a) (b) (c) (d)
题图2-16
2-17 试计算图a、b两种支架中支撑点的约束反力。已知悬重G=2kN，支架自重不计。
2-18 试计算图a、b两种支架中A、C处的约束反力。已知悬重G=10kN，自重不计。
(a) (b) (a) (b)
题图2-17 题图2-18
2-19 已知P=1kN，q=1kN/m，m=1kNm，a=1m。求图示各支座反力。
2-20 如图所示，已知P=60kN，l=3m，α=45°。试求地面和铰C的约束反力。
2-21 结构如图所示，已知AB=BC=1m，DK=KE，P=1732kN，Q=1000kN，杆重忽略不计。试求结构的外约束反力。
(a) (b)
题图2-19 题图2-20 题图2-21
2-22 构架尺寸如图所示。已知l=2R，重物重为P，各杆及滑轮的重量不计，铰链均为光滑，绳不可伸长。试求构架的外约束反力
2-23 如图所示。已知均布载荷的载荷集度为q，集中力偶的力偶矩为。试求A、C两处的约束反力。
题图2-22 题图2-23
2-24 在图示一构架中，已知作用力P=10kN，a=10cm。试求A、B两支座反力。
2-25 杆AB与BC在B处铰接，并在A、C处固定铰接，组成一对对称称的人字形支架，支架内有一圆柱重G=2kN，如图所示。试求中间饺B的作用内力及A、C支座处的约束反力。
题图2-24 题图2-25
2-26 质量m=300kg的物块，在力P作用下紧靠在墙上如图所示。摩擦系数f=0.25。试求保持物块平衡时力P的范围值。力P作用于物块侧面的中点。
2-27 图示质量为m的物块和斜面间的摩擦系数f=tgφm，已知α、β。试求使物块沿斜面向上运动的力P的表达式。
2-28 A、B两物体由自重不计的连杆AB相联，如图。已知GB=100N，α=30°，A与地面、B与墙的摩擦系数f=0.2。试求能使A、B均保持平衡的物A重GA的最小值。
2-29 图示构件1、2通过楔块3相联接，已知楔块与构件间的摩擦系数f=0.1。试求楔块能自锁的角α值。
题图2-26 题图2-27 题图2-28 题图2-29
第三章 空间力系
前面已经研究了平面力系的问题。在实际工程结构中还有许多构件或机器零部件受力是不在同一平面内的，这些力组成的力系称为空间力系。
空间力系的研究方法与平面力系基本相同，但因各力的作用线分布在空间，所以平面问题中的一些概念、理论和方法在这里要加以推广和延伸。
与平面力系存在一些特殊力系的情况相似，空间力系也存在一些特殊力系。也就是说，在空间力系中也存在空间汇交力系、空间平行力系、空间力偶系和空间任意力系。空间任意力系是空间力系最一般的表现形式，其他是空间力系的特殊形式。
与平面力系的研究相似，我们还是从一个空间力在坐标轴上的投影来开始学习。
第一节 力在空间直角坐标轴上的投影
一、力在空间直角坐标轴上的投影根据力在坐标轴上投影的概念，可以求得一个任意力在空间直角坐标轴上的三个投影。如图3-1所示，若已知力F与三个坐标轴x、y、z的夹角分别为α、β、γ时，则F在三个坐标轴上的投影分别为
（3-1）
以上投影方法称为直接投影方法，或一次投影法。
由图3-1可见，若以F为对角线，以三坐标轴为棱边作正六边体，则此正六面体的三条棱边之长正好等于力F在三个轴上投影Fx，Fy，Fz的绝对值。
图3-1 图3-2
也可采用二次投影法，如图3-2所式，当空间力F与某坐标轴（如z轴）的夹角γ及力在垂直此轴的面（Oxy面）上的投影与另一坐标轴x的夹角已知时，可先将力F投影到该坐标面内，然后再将力向其他坐标轴上投影，这种投影方法称做二次投影法。如图3-2所示的F力在三个坐标轴上的投影为
反之，当已知力F在三个坐标轴上的投影时，可求出力F的大小和方向
（3-2）
（3-3）
例3-1 长方体上作用有三个力，F1=50N，F2=100N，F3=150N，方向与尺寸如图3-3所示，求各力在三个坐标轴上的投影。
解 由于力F1及F2与坐标轴间的夹角都已知，可应用直接投影法，力F3在Oxy平面上的投影与坐标轴x的夹角及仰角θ已知，可用二次投影法，由几何关系知。
各力在坐标轴上的投影分别为
二、合力投影定理空间力系也存在合力投影定理，但要有相应延伸。
按照求平面汇交力系的合成方法，也可以求得空间汇交力系的合力，即合力的大小和方向可以用力的多边形求出，合力的作用线通过汇交点。与平面汇交力系不同的是，空间汇交力系的力多边形的各边不在同一平面内，它是一个空间力多边形。
由此可见，空间汇交力系可以合成为一个合力，合力矢等于各分力矢的矢量和，其作用线通过汇交点。写成矢量表达式为
（3-4）
在实际应用中，常以解析法求合力，它的根据是合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。合力投影定理的数学表达式为
（3-5）
式中，Rx、Ry、Rz表示合力在各轴上的投影。
若已知各力在坐标轴上的投影，则合力的大小和方向可按下式求得
（3-6）
（3-7）
式中α、β、γ 分别表示合力与x、y、z轴正向的夹角。
第二节 力对轴之矩
一、力对轴之矩我们已经知道力对点之矩的概念。如图3-4（a）示，记为。（图示为正）
图3-4
实际上，在力作用面内，力对点之矩就是指力对通过该点并垂直于其作用面的轴之矩，如图3-4（b）示。即
力对轴之矩是代数量，其正负号表示转向，按右手螺旋定则来判定；右手握拳，四指与转向一致，此时若姆指方向与坐标轴正向一致，则力对轴之矩为正；反之为负。
力对轴之矩的单位与力对点之矩的单位相同。
根据上述定义，显然可得出如下结论：
1、当力的作用线与轴相交时，既d=0，力对轴之矩等于零；
2、当力的作用线与轴线平行线时，即F=0，力对轴之矩等于零。
即：与轴共面的力，对该轴之矩为零。
二、合力矩定理平面力系中的合力矩在空间力系中仍然适用。如图3-5所示，力F对某轴（如z轴）的力矩，为力F在x、y、z三个坐标方向的分力Fx、Fy、Fz对同轴（z轴）力矩的代数和，称之为合力矩定理。
（3-8）
因分力Fz平行于z轴，故,于是
同理可得
力对轴之矩的解析表示式为
（3-9）
应用上式时，分力Fx、Fy、Fz及坐标x、y、z均应考虑本身的正负号，所得力矩的正负号也将表明力矩绕轴的转向。
第三节 空间力系的简化
与平面力系相似，空间力系也可以向任意一点简化，其简化结果也是一个主矢和一个主矩。
与平面力系不同的是，主矩是原来的力对简化中心之矩的矢量和。因此，空间力系简化结果是两个矢量。即
3-10
与平面力系一样，空间力系的主矢与简化中心位置无关，主矩与简化中心位置有关。
第四节 空间力系的平衡及其应用
当空间力系的简化结果主矢和主矩同时等于零时，该空间力系处于平衡状态。由此可推知，空间任意力系的平衡方程为
（3-11）
式3-11说明，空间任意力系平衡的必要与充分条件是：各力在三个坐标轴上的投影的代数和以及各力对此三轴之矩的代数和同时等于零。
例3-2 图3-6所示为一起重机，机身重G=100kN，重力通过E点；轮A、B、C与地面为光滑接触，成一等边三角形，E点即为三角形的形心；起重臂FHD可绕铅垂轴HD转动。已知a=5m，l=3.5m，载重P=20kN，且通过起重臂的铅垂平面与起重机的中心铅垂面成α=30°角。求静止时地面作用于三个轮子的反力，又当α=0°时最大载重Pmax是多少。
解 取起重机为研究对象，作用于起重机上的力有重力G与P和地面对于三个轮子的铅垂反力NA、NB、NC,这些力是一个空间平行力系。选坐标系Cxyz如图所示，列空间平行力系的平衡方程并求解如下：
（1）
故
（2）
将NA及已知数据代入上式得
（3）
所以
当α=0°时，由（1）式得
欲使起重机满载时不向右倾倒，必须NA≥0 。由上式得到保证起重机稳定的P值为
例3-3 用起重杆吊起重物（图3-7），A端用球形铰链固定在地面上，B端用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的点C和D。已知CE=EB=DE，α=30°，CDB平面与水平面间的夹角为∠EBF=30°，物重Q=10kN。起重杆重量不计，试求起重杆所受的压力和绳子的拉力。
解 以结点B为研究对象。Q为主动力；T1、T2为绳的约束反力；AB为二力杆，其反力S沿杆AB的轴线。选取坐标系Axyz如图所示。由题意知∠CBE=∠DBE=45°。列平衡方程有
则
得 （1）
即
代入数据得
将T1值代入（1）式得
第五节 空间任意力系的平衡问题
转化为平面问题的解法
当空间任意力系平衡时，它在任意平面上的投影组成的力系（平面任意力系）也是平衡的。因为有时将一些空间任意力系的平衡问题（例如轴类零件的平衡问题）投影在三个坐标平面上，通过三个平面力系来进行计算，即把空间问题转化为平面问题的形式来处理。一般情况下，按下列步骤进行：
1、确定研究对象，画受力图并选坐标轴x、y、z。
2、将所有外力（包括主动力和约束反力）投影在yOz平面内，按平面力系的平衡问题进行计算。
3、将所有外力投影在xOy平面内，按平面力系的平衡问题进行计算。
4、将所有外力投影在xOz平面内，按平面力系的平衡问题进行计算。
下面举例说明空间任意力系的平衡问题转化为平面问题的具体解法。
例3-4 起重机绞车如图3-8（a）所示。已知α=20°，r=0.1m，R=0.2m，G=10kN。试求重物匀速上升时，支座A和B的反力及齿轮所受的力Q（力Q在垂直于轴的平面内，与水平方向的切线成α角）。图中尺寸单位为mm。
解 （1）取鼓轮轴AB为研究对象，将G和Q力平移到轴线上得AB之受力图图3-8（b）。RAy、RAz和RBy、RBz分别为轴承A、B的约束反力，G为平移后的已知主动力，Q为平移后的未知主动力，mG和mQ分别为G和Q平移时的附加力偶矩。显然，mG=Gr而mQ=QRcosa。
（2）由于重物匀速上升，所以鼓轮作匀速运动，由
（1）
得
（3）将所有外力投影在xAz平面内（图3-8c），这些力组成平面平行力系，列平衡方程
（2）
解得
（3）
解得
（4）将所有外力投影在yAz平面内（图3-8d），这些力组成平面平行力系，列平衡方程
（4）
解得
图3-8
（5）
解得
例3-5 起重机铰车的鼓轮轴如图3-9所示。已知：G=10kN，手柄半径R=20cm，E点有水平力P作用，鼓轮半径r=10cm，A、B处为向心轴承，其余尺寸如图所示，单位均为cm。试求手柄上的作用力P及A、B两处的径向反力。
图3-9
解 （1）取轮轴为研究对象，画出它的分离体在三个坐标平面上的受力图投影。
（2）对符合可解条件的先行求解。先从xz平面解起。
xz面：
yz面：
xy面：
表3-1 常见空间约束类型简图空 间 约 束 类 型
简化画法及约束反力
1、球形铰链
2、向心轴承
3、滑动轴承
4、止推轴承
5、带销子夹板
6、空间固定端
第六节 重心与形心
一、物体的重心重力就是地球对物体质量的引力。任何物体都可以看成是无数质量微元的集合。每个微元所受的重力都重直指向地面，这些力的作用线相互平行，组成空间平行力系，这个力系的合力即为物体的重力，物体重力的作用点即为物体的重心。
因此，确定物体的重心，实质上就是确定空间平行力系合力作用点的坐标。
设物体重心坐标为xC、yC、zC,如图3-10所示。将物体分成若干微元，其重力分别为△W1，△W2，…，△Wn，各力作用点的坐标分别为（x1、y1、z1），（x2、y2、z2），…，（xn、yn、zn）。物体重力W的值为W=∑△Wi 。
根据合力矩定理，有
根据力系中心的位置与各力的方向无关的性质，可将物体连同坐标系一起绕 x轴顺时针转过90°，使 y轴朝下，这时重力W和各力△Wi都与y轴同向平行，再对x轴应用合力矩定理，得
因此得物体重心C的坐标公式为
（3-12）
若物体为均质，其密度为ρ，将W=ρgV，△Wi=ρg△Vi代入上式，令△Vi→0取极限，即可得
（3-13）
可见，均质物体重心完全取决于物体的几何形状和尺寸。
二、平面图形的形心若物体是等厚均质薄板，如图3-11所示。以A表示壳或板的表面面积，△Ai表示微元的面积，同理可求得均质薄板的重心的位置坐公式为
（3-14）
若令
（3-15）
则式（3-14）变为
（3-16）
式中Sx、Sy分别称为平面图形对于x轴、y轴的面积矩，简称面矩，或称静矩。单位为mm3或m3。
由此可见，均质平板的重心仅与平板的几何形状和尺寸有关，而从几何图形看，所确定的坐标点正是平面图形的几何中心，称平面图形的形心。
此时重心与形心位置重合，因此，均质平板的重心公式，也就成了平面图形的形心求解公式。
由式（3-15）和（3-16）可以得到二点重要结论：
1、由静矩的定义式（3-15）可知，同一图形对于不同坐标轴的静矩是不同的。静矩可能为正，也可能为负，也可能为零。
2、由式（3-16）可知，若坐标轴通过形心，即xC=0、yC=0，则图形对该轴之静矩等于零；若图形对于某轴的静矩等于零，即Sx=0或Sy=0，则该轴必通过形心。
三、用组合法确定平面组合图形的形心组合法是求平面组合图形的形心坐标的基本方法。组合图形大多数由简单几何图形组合而成，而这些简单几何图形的形心通常是我们熟知的（如圆形，矩形，三角等），或是可以由《机械设计手册》查出的（本书不单独列出），因此，可以先将组合图形分割成若干个简单图形，然后应用公式（3-14）确定组合图形的形心坐标。
其解题步骤如下：
1、选任意位置建立初始直角坐标系；
2、将组合图形分割为若干我们熟悉的简单图形，确定这些简单图形的形心在所建初始直角坐标系中的坐标；
3、应用公式（3-14）即可求得组合原形的形心坐标。也可以先应用公式（3-15）求得这些简单图形对于初始坐标的静矩，再应用公式（3-16）求得组合图形的形心坐标。
4、如果组合图形是由规则图形中挖去一部分或几部分而形成的，也同样按上述步骤计算，只是要将挖出去的部分的“xi△Ai”,yi△Ai”项前面加上负号即可。也就是说，是将挖去部分的面积视为负值。这种方法也称为负面积法。
请读者通过例题领会。
例3-6 求图3-12所示角钢横断面之形心。图中尺寸单位为mm。
解 选坐标系Oxy如图所示。将图形分割为两个矩形，以A1、A2分别表示其面积，C1（x1，y1）、C2（x2，y2）分别表示其形心位置，则
,
,
由公式（3-14）可求得
例3-7 已知图3-13所示振动器中偏心块的几何尺寸R=100mm，r=13mm，b=17mm。求偏心块形心的位置。
解 取坐标系Oxy，其中Oy轴为对称轴（图3-13）.根据对称性，偏心块重心C必在对称轴Oy上，所以
将偏心块分割成三部分：半径为R的A1部分，半径为（r+b）的半圆A2及半径为r的小圆A3.因A3时需要切去的部分，故其面积应为负值。这三部分的面积及其坐标为
,
,
,
由公式（3-14）可求得
故偏心块重心（即形心）C的坐标为
,
第六节 问题绪论与说明
一、回顾空间力系问题空间力系问题的求解，从解题思路上看，与平面力系问题的求解思路是基本相同的。在求解中要特别注意空间力的投影方向，要让力向着轴投影，这是容易出错的地方。
对于搞机械类专业人来说，轮轴类问题的平面解法更显重要。只要会投影，会平面力系求解，这类问题并不复杂。
二、确定形心坐标的意义确定平面图形形心坐标的问题会在第二篇中涉及到。这部分内容更重要的意义在于其对后续专业课程的帮助。在实际工作中，也会经常遇到要确定某个特殊图形形心的问题。
习 题
3-1 如图所示，已知F1=30N，F2=50N，F3=40N。试求各力在三坐标轴上的投影。
3-2 已知在图示边长为a的正六面体上作用有力F1=6kN，F2=2kN，F3=4kN。试计算各力在三坐标轴上的投影。
题图3-1 题图3-2
3-3 在图示边长a=12cm，b=16cm，c=10cm的六面体，作用有力F1=2kNF，F2=2kN，F3=4kN。试计算各力在三坐标轴上的投影。
3-4 已知F1=30N，F2=25N，F3=40N，其它尺寸如图所示。试计算此三力对x、y、z轴之矩。
题图3-3 题图3-4
3-5 如图所示，作用于手柄上的力P=100N。试计算mx(P)的值。
3-6 水平轮上A点处作用一力P，力P在铅垂平面内并与过A点的切线成60°角，OA与y轴的平行的切线成45°夹角，如图所示，P=103N，h=r=1m。试求力P的Px、Py、Pz及mz(P)。
题图3-5 题图3-6
3-7 重物Q=1kN悬挂在由杆AO、BO、CO所组成支架的O铰处，如图所示，各杆自重不计，两端均为铰接，α=45°。试求三支撑杆的内力。
题图3-7 题图3-8
3-8 图示悬臂刚架上，有分别平行于AB、CD的力P、Q作用，已知P=5kN，Q=4kN。试求固定端O处的约束反力及约束力偶矩。
3-9 图示空间桁架，在节点A上作用力P=10kN，作用在对称面内，杆自重不计，EA=AG=FB=BN，α=45°，AE⊥AG，HB⊥FB。试求六根杆件的内力。
3-10 在图示系统中力F=1kN。试求绳子BC、BD的拉力和球饺链A的约束反力。
题图3-9 题图3-10
3-11 变速箱中间轴上有两个齿轮，其分度圆半径r1=100mm，r2=72mm，啮合点分别在两齿轮的最低与最高位置，如图所示。齿轮压力角a=20°在大齿轮上的圆周力P1=1.58kN。试求当轴平衡时，作用在小齿轮上的圆周力P2及A、B两处的轴承约束反力。
3-12 图示为一铰车的正视、侧视图，已知G=2kN，鼓轮半径R=80mm。试求垂直于手柄的力P值应多大，才能保持平衡，并求平衡时A、B两轴承的约束反力。
题图3-11 题图3-12
3-13 试确定图示阴影部分的形心位置。
(a) (b) (c)
题图3-13
3-14试求图示截面的形心位置。长度单位为mm。
(a) (b)
题图3-14
为了实现本课程的最终目的，必须从静力分析的学习入手，因为静力分析不仅是学习构件承载能力分析编及运动分析与动力分析编的关键，而且也是正确进行工程设计必备的基础。
人们研究问题时总是接照“由简到繁、由浅入深”的原则进行的，这也是本课程学习的一般原则。本编所研究的正是机械运动的特殊情形，也就是机械运动的最简单形式——物体的平衡规律。
本编主要解决以下三方面的问题：
1、受力分析；
2、力系简化；
3、物体的平衡条件。
第一章 静力分析基础
本章是静力分析编的基础。本章的学习内容主要有三方面：一是静力学基本概念、基本假设和公理；二是工程中常见的几种约束及其约束力；三是对工程中的零件或构件进行受力分析，画出正确的受力图。
本章讲授的许多内容在物理学中都有所接触，初学者有可能忽视。但对于工程实际问题，物理学中所学是不足够的。学习本章要特别注意体会新的思想和解题方法，特别注意掌握工程问题中受力分析的基本方法。
第一节 力的概念
一、力的定义关于“力”的一些基本概念性的问题我们在物理学中已经有了较深入的学习。我们已经知道，力是物体间相互机械作用。力有三要素，即力的大小、力的方向和力的作用点。力是矢量，力的单位是牛（N）或千牛（kN）等等。工程力学中的所谓“力”，仍然是指物体间相互机械作用。它能使物体的机械运动状态发生变化，同时使物体发生变形。在此，我们不再更多讲述力的基本概念问题，而把目光转向工程力学更多关注的问题，即力对物体的作用效应。
二、力的效应作用在物体上的力可以使物体产生两种效应，一是可以引起物体运动状态变化或速度变化，一般称为力的“外效应”或“运动效应”；二是可以引起物体形状改变，一般称为“内效应”或“变形效应”。这两种效应既可能单独出现，也可能同时出现。对于刚体，只会出现运动效应，而对于变形固体则既会出现运动效应也会出现变形效应。
实践证明，力的运动效应与变形效应均与力的三要素有关。三要素中任何一个要素改变，都会引起力对物体作用效应的改变。
三、力的可传递性及其限制在物理学中曾经学过力的可传递性，即作用在物体上的力可以沿着力的作用线移动。
现在我们需要指出的是，力的可传递性只是对刚体才成立。或者说，是在只研究力对物体的运动效应时才成立，而在研究物体的变形效应时是不成立的。
四、集中力与均布载荷作用于物体的力又可称为载荷。无论其来源如何，按其作用方式可分为体积力和表面力。体积力是作用在物体内所有质点上的力，例如重力、惯性力等。体积力的单位是N/m3或kN/m3。表面力是作用于物体表面的力，可分为集中力和分布力。
沿某一面积或长度连续作用于构件上的力，称为分布力或分布载荷。分布在一定面积上的分布力，单位用N/m2或kN/m2。当分布力在其作用面上呈均匀分布时，也称为均布力或均布载荷。作用于油缸内壁的油压力、作用于船体上的水压力等均为沿面积的分布力。沿长度分布的分布力单位用N/m或kN/m。楼板对屋梁的作用力，就是以沿梁的轴线每单位长度内作用多少力来度量的。
若作用于构件上外力分布的面积远远小于物体的整体尺寸，或沿长度的分布力其分布长度远小于轴线的长度，则这样的外力就可以看成是作用于一点的集中力。火车轮子对钢轨的压力、轴承对轴的反力都是集中力。集中力的单位是N或kN。
五、力系的概念及其分类作用于同一物体上的若干力所组成的系统，称为力系。
如果作用在一物体上的力系可以用另一力系代替，而不改变对物体的作用效应，则这两个力系互为等效力系。
力系可分为平面力系和空间力系两大类。组成力系各力的作用线都处在同一平面内，则称为平面力系；若组成力系各力的作用线不都处在同一平面内，则称为空间力系。有关这两类力系的相关问题将在后续内容中进一步详细讲述。
第二节 平衡的概念
由物理学已经知道，所谓平衡，是指物体相对于参考系保持静止或匀速直线运动状态。要特别注意的是，当我们讨论平衡问题时，物体实际上已经被抽象为刚体。
刚体不是在任何力系作用下都能处于平衡状态的，只有构成力系的所有力满足一定条件时，刚体才能实现平衡，这个条件称为平衡条件。能够使刚体保持平衡的力系，称为平衡力系。
如果一个力对刚体的作用效应与一个力系对同一刚体的作用效应相同，我们就把这个力称为该力系的合力；组成该力系的各力则可称为分力。合力可以代替原力系对刚体的作用。
一、力的平行四边形法则作用于物体上同点的两个力，其合力也作用于该点，合力的大小与方向由这两个力为邻边所组成的平行四边形的对角线确定（图1-1），这就是力的平行四边形法则。根据这个公理作出平行四边形也称为力平行四边形。这种求合力的方法，称为矢量加法，合力矢等于原来两力的矢量和（几何和），可用公式表示为
R=F1+F2
图1-1 图1-2
用平行四边形法则求合力时，可以不画出整个平行四边形，而是过B点作一个与力F2大小相等、方向相同的矢量BC，则AC就是力F1、F2的合力R（图1-2）。这种求合力的方法，称为力三角形法则。
由前述可知，R称为F1、F2的合力，F1、F2就是R的分力。由F1、F2可以求得合力R，反之，由R也可以分解为两个分力F1、F2，分解也是按力的平行四边形法则进行的。显然，由一个已知力为对角线是可以作无数个平行四边形的，因此，必须要附加一定的条件才能得到确切解。附加条件一般为：（1）规定两个分力的方向；（2）规定其中一个分力的大小与方向；（3）规定一个分力的方向和另一个分力的大小；（4）规定两个分力的大小。
二、二力平衡条件作用在刚体上两个力平衡的必要与充分条件是：两个力大小相等、方向相反并且作用在同一直线上。这也称为二力平衡公理。
(a) (b)
图1-3
对于刚体，这一结论显然成立。例如图1-3中所示构件，当平衡时，显然有F1=F2，F3=F4，且方向相反（必要条件）；当F1=F2，或F2=F4，且方向相反时，构件保持平衡（充分条件）。
但是，对于变形固体来说，这个条件仅是必要的，却不是充分的。也就是说，在二力作用下物体平衡时，这两个力大小相等、方向相反并沿同一直线作用；但当作用在某些变形固体上的二力大小相等、方向相反并沿同一直线作用时，物体却不能平衡。例如，绳索受两个大小相等，方向相反的拉力时可以平衡（图1-4（a）），但受两个大小相等、方向相反的压力时，却不能平衡了（图1-4（b））。
(a) (b)
图1-4
在机械或结构中凡只受两个力作用处于平衡状态的构件称为二力构件（或二力杆）。二力构件上的力必须满足二力平衡条件。例如图1-5（a）中撑杆BC，图1-5（b）中三铰拱桥中的BC拱，若不计自重，则都是在B、C两点处受力，所受之力必在两力作用点的连线BC上。若要判断受力构件是受拉还是受压，则可假想将构件抽掉，如B、C两上靠拢，构件受压；如B、C两点分离，构件受拉。
要特别注意，不能把二力平衡条件与力的作用与反作用性质相混淆。满足二力平衡条件的两个力是作用在同一刚体上的，而作用力与反作用力是分别作用在受力物体和施力物体上的。
三、加减平衡力系公理在已知力系上加上或者减去任意平衡力系，不会改变原力系对刚体的效应。
这一结论是显然成立的，因为平衡力系中各力对于刚体的运动效应彼此抵消，从而使刚体保持平衡，所以加上或减去平衡力系不会改变原力系对于刚体的运动效应。
需要指出的是，这里谈的是“不改变刚体的运动效应”，对于变形的效应是不成立的。
四、不平行三力的平衡条件我们已经知道，如图1-6中，刚体上作用与A、B两点上的不平行的两个力F1、F2总会有一个作用线交点O。根据力的可传递性，可将此二力移至O点，再根据力的平行四边形法则，可知此二力的合力R必在此平面内，且通过O点。此时，若刚体上恰有一力F3，其大小与R相等，方向与R相反，且与R共线，则根据二力平衡条件可知，刚体处于平衡状态。如图1-7示。可见，当刚体受同一平面内互不平行的三个力作用而平衡时，此三力的作用线必交汇于一点。
图1-6 图1-7
要特别注意，前述内容强调的是在“三个力”作用下达到“平衡”时，此三力的作用线才汇交于一点。如果是一个刚体受同一平面内“三个汇交于一点的力”作用，那么刚体是不一定能达到平衡的。
第三节 约束与约束反力
各类机械和工程结构中的每个零件和构件，都是相互联系而又相互制约的，它们之间存在着相互作用的力，所以在解决工程中一般的力学问题时，都必须首先对零件、构件进行受力情况分析。
工程上所遇到的物体通常分为两类：一是不受任何限制，可以向任一方向自由运动的物体，称为自由体，例如飞行的飞机、炮弹等；二是受到其他物体的限制，沿着某些方向不能产生运动的物体，称非自由体。
限制非自由体运动的物体称为被限制物体的“约束”。工程上，为了传递运动实现所需要的动作以及承受确定的载荷，彼此间都要以某种方式联系，这就形成了各种各样的约束。例如，火车必须在铁轨上行驶，铁轨就是火车的约束；悬挂重物的绳索限制了重物的下落，绳索就是重物的约束；轴承限制了轴的运动，轴承就成了轴的约束。
使物体产生运动或运动趋势的力称为主动力。主动力一般是物体承受的载荷，如重力、水压、油压、电磁力等等。
物体在主动力的作用下将产生运动或运动趋势。此时如果有约束限制了物体的运动，那么这个受主动力作用的物体就会给约束一定的作用力，同时，约束也会给物体一个大小相等、方向相反的反作用力，这种力称为约束反力，简称约束力或反力。
主动力一般是已知的，或是可以根据已有资料确定的。约束力是未知的。静力分析的重要任务之一就是确定未知的约束力。
约束力与约束的性质有关。下面介绍几种几种工程中常见的约束及其约束力。
一、柔性约束由绳索、链条、皮带或胶带等非刚性体形成的约束，只能限制沿某一个方向的运动，而不能限制沿相反的运动，这一类约束称为柔性约束。这种约束的性质决定了它们提供的约束力只能是拉力。也就是说，柔性约束对被约束物体的约束反力的方向，是沿着约束的轴线背离被约束物体，柔性约束的约束反力常用T表示，如图1-8（a）、（b）、（c）示。
(a) (b) (c)
图1-8
二、不考虑摩擦的刚性约束我们把约束为刚体、约束与被约束物体之间为刚性接触的约束形成，称为刚性约束。
工程实际中的刚性约束，其接触面大多数为光滑面（表示光洁度高，润滑较好），接触面之间的摩擦力可以忽略不计。这类约束常见的有以下几种。
(一) 光滑面约束这是由光滑平面或曲面构成的约束，称为光滑面约束。这类约束可以与被约束物体之间形成点、线、面接触。这类约束无论是平面还是曲面，都只能限制沿接触面公法线方向上，向着约束体内方向的运动。因此，光滑面约束对被约束事物的约束反力的方向应沿接触面公法线且指向被约束物体。显然，当物体与这种光滑面接触且接触点位置可以确定时，约束力的方向和作用点均可确定。光滑面约束的约束反力常用N表示。
工程上常见的光滑面约束的触形式可以简化为三种类型：点接触（曲面和曲面）、线接触（柱面和平面）、面接触（平面和平面）。
图（1-9a）为点接触，A为接触点，约束反力为N。
图（1-9b）为线接触，可将接触线段的中点A视为接触点，约束反力N作用于A点。
图（1-9c）为面接触，可将接触面的形心位置视为接触点，约束反力N作用于接触面形心位置A处。
(a) (b) (c)
图1-9
(二) 圆柱铰链约束这类约束的共同特点是，两个物体用光滑圆柱体（例如销钉）相连接，二者都可绕光滑圆柱体自由转动，但对所连接物体的移动形成约束。其结构为，光滑圆柱体（销钉）与一个物体固连，插入另一个物体的孔内。如图1-10（a），（b）所示。
1、固定铰支座约束如果圆柱铰链约束中用光滑圆柱体连接的两个物体有一个固定，称为固定铰支座约束（图1-11（a））
(a) (b) (c) (d) (e)
图1-11
这类约束从本质上看仍然是光滑面约束，故其约束反力必在沿圆柱面接触点的公法线方向（图1-11（b））。但是，这个接触面的具体位置再哪里？约束反力的指向是什么方向？这两个判定约束力的的重要问题并不是总能准确地确定出来。
事实上，在通过计算后是可以准确找到这个力的，但在外力未定，接触点位置不确定的情况下，我们只能肯定两点：一是这个约束反力一定存在；二是这个约束反力通过圆柱体（销钉）中心。对于这种约束力，通常用通过铰链中心两个互相垂直的分力来表示，记为Rx、Ry（图1-11（d））。图1-11（e）所示为三种常见的固定铰支座约束的简单记法。
2、中间铰如果圆柱铰链约束中用光滑圆柱体连接的两个物体都不是完全固定的，称为中间铰（图1-12（a））。
中间铰与固定铰支座力约束形式很相似，也只有一个不确定方向的约束力，故也用通过铰链中心的两个垂直的分力来表示，记为Rx、Ry如图1-12（c），图1-12（b）所示为中间铰的二种简单记法。
３、活动铰支座约束活动铰支座约束又称为辊轴约束或辊轴支座。其实质是光滑面与光滑圆柱约束的复合约束。我们可以形象的将这种约束理解为在固定铰链支座的座体与支承中间加装了滚轮。其简化结构如1-13（a）示。
当接触光滑时，这种约束只能限制垂直于支承面的运动，因而只有垂直于支承面并通过铰链中心的约束力（图1-13（b）），记为R。图1-13（c）是三种常用活动铰支座的简单记法。
（三）球铰链约束球铰链约束是一种空间约束结构，工程上称为球铰（图1-14（a））。被约束的构件端部为球形，它被约束在固定底座的一球窝内。球与球窝的直径近似相等，球心固定不动，球可以在球窝中自动转动，但不能作任何方向的移动。
与铰链约束相似，由于球与球窝的接点的位置因与被约束构件所受载荷有关，因而不能预先确定，故这种约束的约束为通过球心，方向不定的力，可以用沿空间直角坐标轴x、y、z三个方向的三个分力Rx、Ry、Rz表示，如图1-14（b）示。图1-14（c）为球铰的简单记法。
（四）轴承约束轴承是机器中支承轴的重要零件，常用的有向心轴承和向心推力轴承。
１、向心轴承图1-15（a）所示为向心轴承的平面简图。轴承限制了轴在垂直于轴线平面内的移动，但轴仍可在轴承内转动。于是，其约束力与圆柱铰链约束力有相似之处，即约束力通过轴心，但方向不定。这样的约束力也可以用两个相互垂直的分力Nx、Ny来表示（图1-15（b）），图1-15（c）为向心轴承的简单记法。
２、向心推力轴承图1-16（a）所示为向心推力轴承平面简图。与向心轴承相似的是，向心推力轴承同样限制了轴在垂直其轴线平面内的移动；与向心轴承不同的是，向心推力轴承还限制了轴沿轴线方向的运动。因此，约束力可以用三个分力Nx、Ny、Nz表示（图１-16（b））。图１-16（c ）为向心推力轴承的简单记法。
除上述约束外，工程中还有一种常见的约束――固定端约束，该约束及其约束力的问题将在第三章中讲解。
第四节 受力分析与受力图
受力分析是指分析所研究物体的受力情况。
由前面的学习知道，工程实际中的构件或零件上都会有力的作用，这些力一般可以分为两类：一是主动力；二是约束力。
我们要进行研究，首先就要搞清楚这些力。主要要搞清两个问题：一是要知道有哪些力，以及这些力作用的位置和方向；二是要知道哪些力是已知的，哪些力是未知的，并能确定未知力的数值。受力分析要解决的正是这两个问题中的第一个问题。
受力分析时所研究的物体称为研究对象。
为了正确进行受力分析，必须将研究对象的约束全部解除，并将其从周围物体中分离出来。这种解除了约束并被分离出来的研究对象，称为分离体。
将分离体所受的主动力和约束力都用力矢量标在分离体相应的位置上，就得到了分离体的受力图，简称受力图。
受力图就是受力分析结果的最终体现。上述过程也就是进行受力分析的关键步骤。
画受力图的一般步骤如下：
１、确定研究的对象，画出分离体；
２、在分离体上画出全部主动力；
３、在分离体上画出全部的约束反力。
最后要提醒注意的是，在画受力图时，有时可以根据二力平衡条件和三力平衡条件，确定某些约束力的作用位置和方向。
下面举例说明受力图的画法。
例题1-1 重量为G的球，用绳挂在光滑的铅直墙上（图1-17a）。画出此球的受力图。
解 （1）以球为研究对象并画出分离体（图1-17b）。解除了绳和墙的约束。
（2）画出主动力G。
（3）画出全部约束反力：绳的约束反力T和光滑面约束反力NA。
例题1-2 梁AB，A端为固定铰链支座，B端为活动铰链支座，梁中点C受主动力F作用（图1-18a），梁重不计。试分析梁的受力情况。
解 （1）以梁AB为研究对象并画出分离体（图1-18b）。
（2）画出主动力F。
（3）画约束反力。活动铰链支座的约束反力NB铅垂向上且通过铰链中心。固定铰链支座的约束反力方向不定，但可以用大小未知的水平分力NAx、NAy来表示（图1-18b）。一般NAx和NAy的指向都假设和坐标轴的正向相同。
固定铰链支座的约束反力亦可用一个大小、方向均未知的力NA表示，因梁AB受同平面内的三力作用而平衡，故根据三力平衡汇交定理，NA的方向极易确定。延长NA和F力的作用线交于D点，梁平衡时，NA必在AD连线上，如图1-18c所示。
(a) (b) (c)
图1-18
有时，我们研究的问题是由几个物体组成的一个系统，则称其为物体系或物系。下例说明物系受力图的画法。
例题1-3 如图1-19a所示的三铰拱桥，由左、右两半拱铰接而成。设各半拱自重不计，在半拱AC上作用有载荷F。试分别画出半拱AC和CB的受力图。
解 一、画半拱BC的受力图（图1-19b）
（1）以半拱BC为研究对象并画出分离体。
（2）半拱BC上无主动力，不能画出。
（3）半拱BC只在B、C处受到铰链的约束反力SB和SC的作用。根据光滑铰链的性质，这两个约束反力必定通过铰链B、C的中心，方向暂时不能确定。如果进一步考虑到半拱BC只在SB和SC两个力作用下处于平衡，则根据二力平衡公理，这两个力必定沿同一直线，且等值、反向。由此可确定SB和SC的作用线应沿B与C的连线。一般情况下，力的方向不能确定出，可先按受拉力方向画出。
(a) (b) (c)
图1-19
二、画半拱AC的受力图（图1-19c）
（1）以半拱AC为研究对象并画分离体。
（2）画主动力F。
（3）画约束反力：铰链A处的反力NAx、NAy；铰链C处可根据作用力与反作用力的关系画出。
例1-4 两只油桶堆放在槽中，如图1-20a所示，桶重分别为P1、P2。试分析每个桶的受力情况。
解 首先分析桶Ⅰ的受力情况。取Ⅰ为研究对象画出分离体；桶Ⅰ上的主动力只有自重P1：桶Ⅰ在A和B两处都受到光滑面约束，其反力NA、NB都通过桶Ⅰ的中心。桶Ⅰ的受力如图1-20b所示。
再分析桶Ⅱ得受力情况。取桶Ⅱ位研究对象画出分离体（图1-20c）；桶Ⅱ上的主动力除自重P2外，还有上面桶Ⅰ传来的压力，注意到与互为作用力与反作用力关系，必通过桶Ⅱ的中心，且有，桶Ⅱ在C、D处受有光滑面约束，其约束反力NC、ND都指向桶Ⅱ且通过其中心。
图1-20
例1-5 如图1-21a所示，梯子的两部分AB和AC在点A处用光滑铰链（圆柱形销钉）连接，又在D、E两点用水平绳相连。梯子放在光滑水平面上，不及自重。在A点的销钉上作用一铅直载荷F。试分别画出梯子的AB、AC部分、销钉A及整个物系的受力图。
解 一、画梯子AB部分的受力图（图1-21b）。
（1）以AB杆为研究对象画出分离体。
（2）AB上无主动力，不能画出。
（3）因B点为光滑面约束，D点为柔性约束，A点为光滑铰链约束，故可相应地画出约束反力NB、TD、NAX左、NAy左。
图1-21
二、画梯子AC部分的受力图（图1-21c）
（1）以AC为研究对象画出分离体。
（2）AC上无主动力，不能画出。
（3）因C处为光滑面约束，E处为柔体约束，A处为光滑铰链约束，故可相应地画出约束反力NC、TE、NAX右、NAy右。
三、画销钉A的受力图（图1-21d）
（1）以销钉为研究对象画出分离体。
（2）画主动力F。
（3）根据作用力与反作用力的关系，可画出左、右两侧梯子对销钉的约束反力左、左、右、右。
四、画整个物系的受力图（1-20e）
（1）以整个物系为研究对象画出分离体。
（2）画主动力F。
（3）因B、C处为光滑面约束，故可画出其约束反力NB、NC。铰链A和绳DE在物系内部，铰链A处和绳子连接的点D和E处所受的力为作用力与反作用力，这些力都成对地作用在整个物系内，故称为物系内力。内力对系统的作用效果相互抵销，因此不能画出。
第五节 问题讨论与说明
一、关于平衡平衡这个概念是我们在物理学中很早就接触过的。在工程力学中，平衡是一个十分重要的概念。要特别注意对平衡的理解和把握。
比如我们谈到整体平衡，则应认识到，组成整体的每个局部也必然平衡。这里说的整体可以是由若干刚体组成的系统，也可以是单个刚体。这里说的局部，就是组成系统的每个刚体，或者由其中的部分刚体组成的子系统。
据此，我们在进行平衡研究时，就可以从于研究有利的角度出发，分别或全部研究整体或局部。
二、关于二力构件二力构件（二力杆）的概念我们已经清楚了，看到简图上的二力杆一般也都能正确判断出来。但问题是，在实际工程问题中，什么样的杆才能是二力杆？
实际工程中可以简化为二力杆的构件，一般要符合两个条件：一是可以忽略自重；二是两端铰链连接，两端之间无其他外力作用。
但这还是有问题的。在后续学习中我们会了解到，桁架结构有许多是焊接或铆接的，并不是定义的那种铰链连接，为什么也可以看成二力杆呢？这是因为，这种连接的刚性不大，简化成铰链所造成的误差小，但便利性大大提高。因此，在实际分析中，应根据约束对约束物体运动的限制，对约束情况进行适当的简化，使其成为与典型约束类型更为接近的，更为简单的约束形式。
三、从工程实例到力学简图教材中见到的工程实例都已经变成了力学简图的形式。关于这一抽象过程的重要意义在引论中已经阐述。经过本章学习我们更进一步知道，一个工程实例抽象为力学模型，是经过了一系列的理想化――即合理抽象化的。
比如，本编采用的力学模型是刚体。刚体实质就是对物体的理想化，它忽略了研究平衡时微小变形的影响。前面提到的分布力与集中力的概念，其实质是对受力情况的理想化。事实上，真正的集中力是不存在的，它本身就是对分布力的理想化，另一方面，分布力的实际分布情况也是很复杂的，我们所见到的那些很有规律的分布形式，也是近似的，或者说是理想化的结果。最后再看一下我们所讲过的各类约束和约束力。那实质上就是对物体间接触性质和连接方式的理想化。事实上摩擦是无处不在的，绝对光滑的接触面是不存在的。但我们把接触面都看成了绝对光滑，这就是理想约束。
综上所述，一个工程实例是经过了一系列的理想化后才成为力学模型的，再把力学模型用可以突出其主要力学特征的简图表示出来，就成了力学简图，通常依据力学简图进行力学分析和计算。
习 题
1-1 合力是否一定比分力大？
1-2 已知图中力F1与F2等值、反向、共线。试判断系统是否平衡？
1-3 将作用于刚体上的A点的力F移到B点，该力对刚体的作用效应是否相同？
题图1-2 题图1 -3
1-4 试说明下列等式（或说法）的意义。
（1） F1=F2 （2）F1=F2 （3） F1等效于F2
1-5 试指出下列做法是否正确？为什么？
题图1-5
1-6 试画出下列图示中各物体的受力图。各接触都是光滑的。
（a） (b) （c） (d)
题图1-6
1-7试画出AB杆的受力图。各接触都是光滑的。
（a） (b)
题图1-7
1-8试画出AB杆的受力图，并判断在图示位置是否处于平衡状态？各接触都是光滑的。
（a） (b)
题图1-8
1-9试画出AB杆的受力图。
（a） (b) (c)
题图1-9
1-10 试画出下列图示系统各构件的受力图。
（a） (b)
题图1-10
1-11试画出下列图示系统各构件的受力图。
（a） (b)
题图1-11
1-12综合分析下系统，画出其机构简图并分析各构件的受力。
题图1-12
第二章 平面力系
我们已经知道，静力学编主要研究三个问题：受力分析、力系的简化和物体的平衡条件。第一章已经学习了受力分析方法。本章研究平面力系的简化和物体的平衡条件。在工程实践中，多数力系问题具有平面对称性，都可以简化为平面力系问题，即使是空间问题，亦可简化为平面问题解决，故本章是重要一章。
显然，物体上只有一个力作用的形式是最简单的受力形式。综合前述知识可知，合力就是可以代替一个力系的最简单形式。因此，力系的简化过程也就是求合力的过程，这一过程也称为合成或简化。反之，合力也可以用各分力组成的力系来代替，把合力分解成分力的过程称为分解或投影。
现在就让我们从刚体上只有一个力作用的情况来开始我们的研究吧。
第一节 力的投影与合力投影定理
一,单力的分解与投影如图2-1(a)刚体上任意一点A作用一个力F，这显然是物体受力最简单的形式。由平行四边形法则可知，F可以认为是F1、F2的合力。同样，也可以认为是F3、F4的合力图2-1(b)。事实上，F可以按这样的方式分解出无数对分力。
(a) (b) (c)
图2-1
在这无数对分力中，一定存在一对相互垂直的分力。这会使我们自然联想到直角坐标系。
显然，如果将刚体放在一个直角坐标系中如图2-1（c）所示。则力F可以用AB表示，则Fx,Fy是F沿x、y轴方向的分力；也可以说F是Fx,Fy两个分力的合力。Fx,Fy是F沿x、y轴方向的投影。分力Fx,Fy的值分别与力F在同轴上的投影Fx,Fy相等，力F的分力Fx,Fy是矢量，作用于A点处；力F的投影是代数量，在坐标轴上，投影方向与坐标轴正向相同时为正，相反为负。
若已知力F的大小及其与x轴所夹锐角α,则有:
Fx=Fcosα
Fy=Fsinα (2-1)
若已知Fx,Fy值，同理可求出F的大小和方向
（2-2）
二、平面汇交力系的合成与合力投影定理研究问题总是本着由已知求未知、由简到繁、由易到难的原则进行的。现在，我们已知掌握了一个力分解的方法，并可以求得其沿直角坐标轴上的投影；也可以依据力的平行四边行法则将两个力合成一个力（相互垂直也可用解析法），即求得两个力的合力。也就是对由两个力组成的力系进行简化。
要注意的是，前面我们合成的两个力都是作用在同一点上的。
我们把这种各力作用线都汇交于一点的平面力系，称为平面汇交力系。
这是一种较为简单的平面力系，在工程上常常遇见。比如，图2-1(a)所示为内燃机的曲柄滑块机构工作图，图2-2（b）为其简图。在解题时，这个机构常常画成图2-2（c）的形式。当活塞C所在汽缸内燃气燃烧时，所产生的推力F推动活塞向左移动，通过两端铰接的连杆BC带动曲柄克服工作阻力矩M，绕A作定轴转动。滑块C的受力图如图2-2（d）所示。
(a) (b)
(c) (d)
图2-2
再比如，船上栓缆绳的各类钩环，如图2-3示，桥梁等桁架结构的节点受力，如图2-4示，等等，都的工程中的平面汇交力系形式。
工程上这类受力构件的具体形式及其受力的具体形式是多种多样的。为了更普通地对各种不同存在的工程问题进行研究，我们将各类具有具体形状的构件，抽象为忽略形状大小的刚体；将具体的受力情况只保留汇交力系的基本特征。这就成了平面汇交力系作用于刚体上的一般情形，如图2-5示。这样的研究思想在后面的学习中会经常用到，请读者用心体会。
图2-3 图2-4
１、平面汇交力系合成（简化）的几何法现在就让我们来研究一下作用于刚体上的平面汇交力系的一般情况，如图2-5。
(a) (b) (c) (d)
图2-5
设所有的力的作用线汇交于O点，如图2-5（a）。根据平行四边形法则，可将F1、F2合成为R12并可用F1、F2合力R12代替F1、F2的作用；再用R12与F3合成为R123，用R123代替F1、F2、F3的作用；最后用R123与F4合成，即可得出力系的合成力R，如图2-5（b）。
由上述分析可知，若力系中有更多力时，可按上述方法连接应用平行四边形法则求得合力。数学表达式为
(2-3)
还可以连接应用三角形法则来求得，如图2-5（c）示。
仔细观察图2-5会发现，求R12、R123也可以省略。只需要保持各力大小方向不变，将各力首尾相接，形成一条折线，最后连上没有封闭的一边，从力系汇交点指向最后力的末端形成的矢量即为合力R的大小和方向。如图2-5（d）示。这个方法称为力的多边形法则。
合力的作用点为力的汇交点，其大小、方向与各力相加次序无关。
结论：平面汇交力系简化的结果是一个力。
2、平面汇交力系合成简化的解析法——合力投影定理据式2-3知
将上式两边分别向x及y轴投影，有
（2-4）
上式说明，力系的合力在某轴上的投影等于力系中在同轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。根据2-2可求得合力R的大小方向如图2-6
（2-5）
例2-1 试求图2-3所示钩环所受的合力的大小及方向。已知：T1=2000N，T2=732N，T3=732N。α=30°。
解 以三力汇交点A为坐标原点建立直角坐标系，如图2-4所示。
利用公式（2-4），可求得：
再应用公式（2-5），可求得：
第二节 力对点之矩
实践告诉我们，力的运动效应中有一种情况是使受力物体产生转动效应。描述这种作用的概念有两个：力矩和力偶。本节研究力矩及相关问题。下一节研究力偶及相关问题。
—,力矩的概念在物理学中我们曾经接触过力矩的概念，通过分析杠杆，引入力F对固定支点O的矩，如图2-8示，记为m0=±F·d，O点称为矩心，d为力臂，M0为矩。它是力F使物体绕支点O转动效应的度量。
图2-8
并规定：绕矩心逆时针转动为正，反之为负。
本节的研究中，上述内容仍有定义，称为力对点之矩，简称力矩，记为
m0(F)=±F·d (2-6)
一切皆与以前所学相同。
但要说明两点：
1、力矩的概念不仅适用于描述力对有固定支点的物体的作用效应，也适用于描述力对没有固定支点的物体的作用效应；或者是描述力对有固定支点的物体上固定支点以外各点的作用效应。也就是说，矩心也可以是固定点或者是可转动的支点，也可以是物体上或者是物体外是任意一点。
2、在平面问题中，力矩是代数量，单位为N·m或kN·m。在空间问题中，力矩实际矢量，但其物理意义与平面问题基本相同。
由力矩的定义和公式（2-6）可知：
1、当力的作用线通过矩心时，力臂值为零，则力矩值为零；当力的大小为零时，力矩值为零。
2、力沿其作用线滑移时，不会改变力矩的值，因为此时没有改变力和力臂的大小及力矩的转向。
二,合力矩定理平面汇交力系的合力，对于平面上任一点之矩，等于力系中所有的力对同一点之矩的代数和（图2-9）。这就是合力矩定理。
数学表达式为
（2-7）
上述合力矩定理不仅适用于平面汇交力系，也适用于其它各类力系。
合力矩定理为我们提供了求解力系合力对某点之矩的方法，同时也提供了求解一个力的合力对某点之矩的方法。在计算力矩时，有时力臂值计算较繁，可应用此定理，简化力沿已知尺寸方向作正交分解，分别计算两个分力的力矩，然后相加求得原力对同点之矩。
例2-2 为了竖起塔架，在O点处以固定铰链支座与塔架相连接，如图2—10所示。设在图示位置钢丝绳的拉力为F，图中a、b和α均为已知量。计算力F对O点之矩。
解 若用式（3-1）计算，必须求出力臂OA。
OA=OA′+A′A
A′A=CB=bsinα
而 OA′=acosα
所以 OA= OA′+A′A=acosα+bsinα
Mo(F)=F·OA=F(acosα+bsinα)=Facosα+Fbsinα
若应用合力矩定理，则可根据已知条件直接进行计算。先把力F分解为与塔架两边相平行的二分力F1与F2其大小分别为
F1=Fsinα,F2=Fcosα
由合力矩定理得
Mo(F)= Mo(F1)+Mo(F2)= F1b+F2a=Facosα+Fbsinα
显然，用合力矩定理计算比较简便。
第三节 力偶及其性质
本节我们来研究描述物体转动效应的另一个概念——力偶。
一,力偶的概念工程中经常会见到物体受一对大小相等，方向相反，但不在同一直线上的平行力作用。例如图2-11所示的转动汽车方向盘和套丝板牙等。具有上述特征的一对力，称力偶。通常用符号（F，F′）表示。力偶的作用使物体产生单纯转动运动。
我们可以将上述具体实例中的力偶作用形式用图2-12所示刚体的力偶作用来表示。
力偶中两力作用线所确定的平面称为“力偶作用面”，两力作用线间垂直距离称为力偶臂。
由实践知，在力偶的作用面内，力偶对物体的转动效应取决于组成力偶的力的大小、力偶臂的大小及力偶的转向。在力学上，以F于d的乘积及其正负号作为量度力偶在其作用面内对物体转动效应的物理量，称为力偶矩，记作m（F，F′）或m。
即
m（F，F′）=±F·d （2-8）
规定：逆时针转向的力偶为正，顺时针转向的力偶为负。力偶矩的单位与力矩的单位相同，N·m或kN·m
需要注意的是，组成力偶的两个力虽然大小相等，方向相反，但由于二力作用线并不在一条直线上，因此，组成力偶的二力不能实现二力平衡。力偶对刚体的作用是使刚体产生转动效应。
二、力偶的三要素力偶和单力都是工程力学中不能再简化的一个基本作用量。与力的三要素相类似，力偶对物体的转动效应，也取决于三要素：
1、力偶矩的大小；
2、力偶的转向；
3、力偶作用面的方位。
三要素相同的力偶，彼此等效，可以相互替换。
需要说明的是，三要素中力偶的作用面方位是由垂直于作用面的垂线指向来表达的，它表征作用面在空间的位置及旋转轴的方向。简而言之，在空间相互平行的平面，即具有相同的方位。
也就是说，在空间相互平行的平面上作用的大小相等，转向相同的力偶，相互是等效的。这就是许多机械运动（如齿轮传动，带传动等）能够实现的基本依据。
四、力偶的性质虽然力偶与单力都是力学中的基本要素，但是，由于力偶是由两个具有特殊关系的力组成的，所以力偶具有自己独特的性质。
性质1：力偶无合力。故，力偶不能与一个力等效。
性质2：力偶对其作用面内任意点的力矩值恒等于此力偶的力偶矩，与该点（即矩心）在平面内位置无关。
性质3：作用在同一平面内的两个力偶，若二者的力偶矩大小相等且转向相同，则两个力偶对刚体的作用等效。
由此得出以下两个推论：
1、只要保持力偶矩的大小和转向不变，力偶可以在其作用面内任意转动，而不改变它对刚体的作用效应。
2、只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的大小，而不改变力偶对刚体的作用效应。
五、平面力偶系的合成若力偶系中各力偶作用面均在同一平面内，则称为平面力偶系。
我们已经知道，力偶没有合力，其作用效应完全取决于力偶矩，而力偶矩在平面上表现为代数形式，因此，平面力偶资简化（或合成）的结果，也必然是一个力偶，且合力偶的力偶矩应等于组成力偶系各个力偶的力偶矩的代数和。即
（2-9）
例2-3 用四轴钻床加工一工件上四个孔，如图2-13所示。每个钻头对工件的切削力偶m=6N·m，固定工件的两螺栓A、B与工件成光滑接触，且AB=０.３ｍ。求两螺栓所受的力。
(a) (b)
图2-13
解 （1）取工件为研究对象，画出其受力图如图2-13b所示。
（2）工件受四个力偶m及反向平行力NA、NB的作用而处于平衡状态，故NA、NB必等值、反向组成一个力偶。工件受一组平面力偶系的作用，其平衡条件为
,
第四节 力的平移定理
前面已经讲过，作用在刚体上的力可以对任一点产生力矩作用。实验证明，一个不受其他约束来的刚体，只有通过其质心的力，才会使刚体产生单纯的移动，否着，刚体就会一边移动，一边转动，这是为什么？这其中蕴含了什么道理呢？
如图2-14（a），C为刚体质心，A点作用一力F据加减平衡力系公理知，若在C点处加一对大小等于F力值、作用线与F平行的平衡力F′、F″，则刚体状态不变。如图2-14（b）示。
(a) (b) (c)
图2-14
显然，为F与F′可以构成一对力偶。且可知是力偶距值等于原力F对C点之距，即，M=mC（F）= F·d，（本问题中为正，实际也可能负）。这个力偶通常称为附加力偶。
于是，原来作用在A点的力F就与作用在质心C点的力F″及附加力偶M的联合作用等效。如图2-14（c）示。这就是刚体边移动边转动的原因。
上述结果可以推广为一般结论：作用在刚体上的力可以向平面内任意点平移，平移后除了这力之外，还会产生一个附加力偶，附加力偶的力偶矩值等于力在原位置对平移点的力矩。也就是说，平移前的一个力对刚体的效应，与平移后的一个力和一个力偶对刚体的联合效应相等效。这就是力的平移定理。
有了这个定理，作用在刚体上的力，就可以在刚体内任意平行移动了，这个意义十分重大。
第五节 平面力系的简化
平面力系有许多种形式，前面讲的平面汇交力系和平面力偶系都是平面力学中的特殊形式。图2-15（a）为简易吊车架，吊车轨道架AB的受力图如图2-15（b）示。显然，AB杆上各力除共面外，找不到其他共性，所有各力任意排列，称为平面任意力系。
本章的最终目的就是要对任意形式的平面力系进行简化和平衡计算。
一,平面任意力系的简化为了使我们的结论更具有普遍性，仍采用前面的研究方法，将AB杆抽象为普遍意义上的刚体，保持各力任意作用于刚体同一面的特点，如图2-16（a）示，构成一平面任意力系。
(a) (b)
图2-15
图2-16
为了对图2-16（a）各力进行简化，我们不妨先对已经学过的相关知识进行一下简单的梳理。所谓对力系进行简化，也就是寻找力系的合力、合力偶或者是合力和合力偶；我们已经掌握了平面汇交力系和平面力偶系简化（或者说合成）的方法。如果平面任意力系可以转化成已知的两种形式，我们就可以进行简化了。
现在的问题就是，这种想法能实现吗？
显然，应用力的平移定理，可以实现刚体上各力在平面内移动的目的。
首先，在平面内任意取一点O，然后将力系中的各力平移到O点。点O称为简化中心。根据力平移定理，各力移到O点后，必须相应增加一个附加力偶。如图2-16（b）示。这些力偶与力都作用在同一平面内，它们的矩分别等于力F1、F2、F3对点O的矩，分别为：m1=mo(F1)；m2=mo(F2)；m3=mo(F3)。
这样，平面任意力系分解成了两个力系：平面汇交力系和平面力偶系。也就是说，图2-16（b）中的的平面汇交系和平面力偶系的联合作用与图2-16（a）中的平面任意力系的作用等效。
我们已经知道，简化后的平面汇交力系、、和平面力偶系m1、m2、m3可以分别合成为一个作用于简化中心的合力和一个合力偶Mo，如图2-16（c）所示。
因为、、分别与F1、F2、F3大小相等方向相同，所以
合力偶的矩等于原来各力对简化中心的矩的代数和。
若作用于刚体上力系变为力的数目为n的平面任意力系，依据上述思路，则可很容易将上述结论推广为
（2-10）
（2-11）
由上述分析以知，原力系是与、Mo的共同作用等效的，故不能称为力系的合力，但确实又是由力系各力求矢量和而得到的，所以称为该力系的主矢量，简称主矢。对于Mo，则称为该力系对简化中心的主矩。
主矢量是将力系中各力平行移动到简化中心后合成得到的，所以，无论简化中心定在任何位置上，主矢量的大小、方向都不变改变。
主矩是由力系中各力对简化中心取矩后进行代数和得到的，所以，简化中心定在不同的位置上，主矩的大小、方向都是不完全相同的。
得结论如下：平面任意力系向任一点简化，其一般结果为作用在简化中心的一个主矢量和一个作用在平面上的主矩。
二、固定端的约束反力物体的一部分固嵌于另一物体所构成的约束，称为固定端约束。这种约束不仅限制物体在约束处沿任何方向的移动，也限制物体在约束处的转动。如建筑中的阳台、跳水比赛中的跳板等都是受固定端约束的实例。固定端约束的力学模型(如图2-17a所示)。
(a) (b) (c) (d)
图2-17
梁AB在主动力F作用下，其插入部分受到墙的约束，梁上每个与墙接触的点所受到的约束反力的大小和方向都不一样，这样杂乱分布的约束反力组成了一个平面任意力系(如图2-17b示)。把这个力系向A点简化，可得到一个作用在梁A点的约束反力和一个力偶矩为mA约束反力偶。约束反力一般用两个正交分力RAx和RAy来代替（图2-17c）。约束反力RAx、RAy限制粱的移动，约束反力偶mA则限制粱绕A点的转动。以上分析只说明了固定端约束反力的性质，而这些约束反力的大小和方向可以用平面任意力系的平衡方程来确定。固定端约束还可以更简单地表示为图2-17（d）所示的形式。
三、平面任意力系简化结果的分析
平面任意力系向平面内一点简化结果有四种情况：
1、R′=0，Mo＝0
这时作用于O点的汇交力系及附加力偶系都自成平衡，所以，原力系平衡。
2、R′=0，Mo≠0
此时作用于简化中心的汇交力系自成平衡，主矩Mo可以代替原力系对刚体的作用，故原力系可简化为一个力偶，其矩。在这种情况下，主矩与简化中心的位置无关。因为原力系与一个力偶等效，根据力偶的性质可知，此力偶对任意一点的主矩都保持不变。
3、R′≠0，Mo=0
即各附加力偶自成平衡，此时作用于简化中心的主矢可以代替原力系对刚体的作用，因此，这个主矢就是力系的合力。
4、R′≠0，Mo≠0
必须将R′和Mo进一步简化，才能求得力系的合力。
将主矩Mo用两个力R和R″表示，并令R″= -R′，且使R″=R=R′（图2-18b）。于是可将作用于O点的力R′和力偶（R′,R″）合成为一个作用在点O′的力R，如图2-18c 所示。这个力R就是原力系的合力。合力的大小等于主矢。合力的作用线在点的哪一侧，需根据主矢和主矩的方向确定。目光顺着主矢量看去，当主矩为逆时针转向时，合力R在主矢（或简化中心）的右侧，如图2-18（c）示；当主矩为顺时针转向时，合力R在主矢（或简化中心）的左侧。因为MO=Rd=R′d，所以，合力作用线到点O的垂直距离d可按下式计算得：
（2-12）
(a) (b) (c)
图2-18
例2-4 在图2-19a所示的平面任意力系中，F1=7N，F2=8N，F3=10N，各力的位置如图所示。试求此力系的合力。
(a) (b) (c)
图2-19
解 以B为简化中心（将力系向B点简化）。
（1）主矢
主矢的大小
主矢与x轴的夹角
因为正，为负，故主矢指向右下方（图2-19b）
（2）主矩MB
（3）合力R
合力的大小
合力与x轴的夹角
因
且主矩为顺时针转向，故合力作用线的位置如图2-19c所示。
第六节 平面力系的平衡条件及其应用
根据对平面任意力系简化结果的讨论可知，若平面任意力系向任一点O简化，所得到的主矢和主矩同时等于零，则刚体处于平衡状态。反之，若某力系是平衡力系，则它向任意点简化的主矢和主矩也同时等于零。所以，平面任意力系平衡的必要和充分条件可以表示为：
（2-13）
上式中，主矢量R′是矢量，主矩Mo是代数量。但我们知道，只要能够保证主矢量R′的大小等于零，式2-13就可以成立，所以，可以将上式表示为：
（2-14）
若式（2-14）成立，则可得平面任意力系的平衡方程为：
（2-15）
式（2-15）说明，平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系中各力在任何方向的坐标轴上投影的代数和为零，力系中各力对平面内任一点之矩的代数和同时等于零。也就是说，∑Fx=0和∑Fy=0两式，说明的是力系对物体没有产生任何方向的移动；∑mo(F)=0式说明，力系也没有对物体产生绕任何一点的转动，故此，物体处于平衡状态。
至此，本章要研究的问题都已得解，现在的问题是，如何应用平面任意力学平衡方程求解平面任意力学问题。那就让我们再回头看一下图2-15所示的简易吊车架，在实际工程中的情况吧，请看例2-5
例2-5 图2-20（a）所示起重机的横梁AC重W=10kN，重心位于C点，重物重G=24kN，现小车停于M处。AC=6m，AM=10m，α＝30°。求此时钢索BE上的拉力及支座A铰处的约束反力。
（a） （b）
图2-20
解 （1）取横梁AC为研究对象，画受力图，如图2-20(b)；
（2）列平衡方程求解；
由前面的分析可知，要运用平衡方程求解平面任意力系问题，应首先建立直角坐标系。为了解题方便，我们通常选择有多个未知力平行或者有相互正交的两个未知力的方向作为坐标轴方向。
本题中，铰A 的一对约束反力恰好可以作为坐标轴方向。
选取RAx、T、W的交点C为矩心，可得方程组：
①
②
③
求解上述联立方程组，显然方程③首先得解：
④
将④代入②得解：
⑤
将⑤代入①得解：
至此，题目求解完成下面我们再对这个题目涉及的一些问题进行一下讨论和说明。
问题1：关于建立直角坐标系。
无论是从前面的分析看，还是从本题求解过程看，建立直角坐标系都是重要的，也是必不可少的。但直角坐标系的建立是任意的，怎么建立要看解题的方便。解题过程中所讲到的两点都体现了这一要求。
所以，在实际解题时，直角坐标系常常不明确标出，而是用某些特殊约束的正交分解的约束反力来指明。如本题中已有了A铰约束反力RAx、RAy，坐标轴实际已经明确，故可不标出。如果没有这样适合的力，而又没有标出坐标轴位置的话，通常认为水平方向为x轴，垂直方向为y轴。
问题2：关于各量的正负。
由前面的学习已经知道，力和力矩的正负只代表方向。在坐标轴上的投影的正负是受坐标系方向影响的。本题列方程时，我们就时时在注意着力与坐标轴正向是否一致（见所列方程中各项正负即可知道）。求解过程中，对方程内许多项进行了移项，移到等号另一侧的量要改变符号。
既然这样，我们完全可以在列方程时就把方向相同的量写在等号一侧，把方向相反的量写在等号的别一侧，这样就免去了在列方程时因为方向问题的困扰。这样也就把坐标系方向的作用削弱了，不明确画出坐标系也就更显得可行了。
由于受力图上各力都是依据约束反力的画法要求画上去的，所以，当计算得出的得结果是负值时（如本例题RAy= -16kN），说明受力图上力的方向与实际方向相反。
问题3：关于列方程组和解方程组的顺序。
联立方程组中的三个方程是既相互联系又各自独立的。三个方程同时成立时，物体才能平衡，但是这并不妨碍三个方程中有一个或者二个同时成立，而另外的不成立。所以，这三个方程可以任意先列或者先进行求解。把握的原则仍是便于解题，一般来说，应尽量使一个方程就能直接求解一个未知量。
问题4：关于取哪一点为矩心的问题。
前述分析我们知道，矩心是任一点都可以取的。既然这样，我们仍是本着便于解题的原则来取矩心。一般说来，应选两个未知力的交点为矩心。这样就可以力矩方程直接求得一个未力。本题就选了符合上述条件的C点为矩心，但实际上，A点也符合上述条件，选用A点为矩心不可以吗？当然也可以，让我们来看一下。
若以A点为矩心，如图2-21，则可得方程
⑥
解得
显然，这与例题求解的T值相同。这个方法可以用来检查计算结果是否正确。
如果先选A为矩心，则会形成由方程⑥、①、②组成联立方程组，也能得到正确的解。这种解法可以由以C点为矩心的方程来进行检查。
观察方程③和方程⑥会发现，这也是两个独立的方程，并且方程③可直接求得RAY的值。方程⑥可直接求得T的值。既然矩心是可以任意选的，那么这两个方程也应该是可以同时成立的。
正是由于这个原因，平面任意力系平衡方程还有二种其他形式，即二力矩式和三力矩式。所以公式（2-15）也称一力矩式。
平面任意力系二力矩式平衡方程：
（2-16）
要注意的是，公式（2-16）仅是物体平衡的必要条件，但不是充分条件，需附加条件：x(或y)轴不垂直于AB连线。
平面任意力系三力矩式平衡方程,
（2-17）
公式（2-17）在应用时也必须附加条件：A、B、C 三点不能共线。
再看例题可知，例题所解用的是应用一矩式的方法。若将方程①、③、⑥联立求解，就是应用二力矩式（读者可适解之）。那么，可不可以应用三力矩式进行求解呢？我们来看一下。
设T与RAx的交点为P，如图2-22所示。
以P点为矩心，可得方程：
⑦
解得
再以C点为矩心，可得方程③，解得RAy= -16kN；
最后以A点为矩心，可得方程⑥，解得T=100kN。
应用三力矩式求解的结果，可以用∑Fx=0或∑Fy=0来进行检查。
综合上述分析可以看出，矩心可以任意选取，合适的矩心会使求解更加方便。三个不同形式的平衡方程给解题带来了更大的方便和自由。
问题5：例题与实际问题。
对照看了本例题图2-20（a）和引发本节研究问题的图2-15（a），开始会觉得这是不同的两个问题。但在对照图2-20（b）和图2-15（b）后，就会明确，这两个构件所表现出来的是完全相同的问题。由抽象的刚体上作用一个平面任意力系所得出的结论（公式2-15及其另外两种表达形式的公式2-16和公式2-17），则是对所有平面力系问题具有普遍指导意义的公式。前述分析过程所展示的，就是工程力学研究中由实际问题到力学理论，再由力学理论指导解决实际工程问题的一般过程。本书内所有研究的问题都存在类似的关系，望读者细细得体会，书中就不一一叙述了。
其实，图2-15(a)所示简易吊车架也是过去工程中常见的，现在不常用了。本题所示是工程中常见的实例。
但是，实际工程中的情况还是要比例题所示复杂些的。比如，实际工程中小车M是可以运动的，M在不同位置会产生不同的影响，这个问题后面仍会讲到。无论如何，如例题讲到的这样基本分析方法，对解决实际工程问题都是十分有意义的。在实际工程中，我们要全面研究可能出现的各种情况。比如本例所示起重机，整机在工作中和空载时都必须平衡，这也是我们要研究的问题（见例2-6）。
例2-6 我们来研究一下例2-5中起重机自身平衡问题。
已知图2-23（a）所示起重机身（包括横梁）重W=100kN，其重心C距右轨道B为b=0.6m，最大起重重量G=36kN（前例中显然未达到工作极限），距右轨道B为l1=10m，起重机上平衡铁重为Q，其重心距左轨道A为l2=4m，轨距a=3m。试求此起重机在满载与空载时都不致翻到的平衡重Q值的范围。
(a) (b) (c)
图2-23
解 以起重机整体为研究对象。依题意可分为满载右翻与空载左翻两个临界情况，Q值的范围应在此二种情况要求的值之间。
（1）满载时，G=Gmax=36kN，要求保障以最小的平衡重Qmin。此时左轨道A必处于悬空状态，即只有右轨道B支撑全重，如图2-23（b）所示。
取B为矩心，列平衡方程，有
（2）空载时，G=0，要求保障的平衡重最大不能超过Qmax。此时右轨道B必处于悬空状态，即只有左轨道A支撑全重，如图2-23（c）所示。
取A为矩心，列平衡方程，有
所以，平衡重Q的范围为：
70KN≤Q≤90KN
下面对本例涉及的一些问题进行讨论和说明。
问题1：起重机所受力系观察图2-23（b）、(c)可以看出，起重机所受各力不仅都处于同一平面内，但所有力的作用线都是平行的，力学上把这样的力系称为平面平行力系。
图2-24所示为受平面平行力系作用而平衡的刚体。若取x轴与各力相垂直，则各力在x轴上的投影均为零，平面任意力系平衡方程中式∑Fx=0恒成立，所以平面平行力系的平衡方程就可以表述为
（2-18）
由此可见，平面平行力系与平面汇交力系、平面力偶系一样，不过是平面任意力系的一种特殊形式。平面任意力系平衡方程中已经包含了所有平面力系平衡的条件。
问题2：解决问题时选用哪个方程。
既然平面任意力系平衡方程中已经包含了所有平面力系平衡条件，解决平面问题时就可以直接以平面任意力系平衡方程的应用来思考。比如本例题，在没有建立平面平行力系的概念下，只以平面力系平衡来分析，也是可解的。
但是，如果能较好掌物各类力系的受力和平衡问题，无论对于认识问题还是解决问题，都回产生更大更好的帮助，请读者慎思之。
(a) (b)
图2-25
例2-7 梁AB一端固定。一端自由，如图2-25a示。梁上作用均布载荷，载荷集度为q，在梁的自由端还受集中力F和力偶矩为m的力偶作用，梁的长度为l。试求固定端A处的约束反力。
解 （1）取梁AB为研究对象并画受力图（图2-25a）
(2)l列平衡方程并求解
第七节 物体系统平衡
前面讨论的平衡问题，只涉及了单个物体。工程中更多的是由两个或两个以上的物体以一定的约束方式联成一体的机器或结构，我们称之为物体系统，简称物系。
在物体系统中，由于物体不止一个，其约束方式和受力情况也较复杂，因此，在很多情况下只考虑整体、或整体中某局部、或整体中单一物体，都不能求出全部未知力。必须要全面地合适的对整体、局部或单个物体进行分别研究，最后求得所有未知力。
若物系有n个物体组成，在平面问题中，对每个物体可列出不超出3个的独立平衡方程，整个物系就会列出不超过3n个的独立平衡方程。若物系平衡问题中未知量数小于或等于能列出的独立平衡方程数时，问题为静定问题，否则，就属于静不定（或称超静定）问题。静定问题是我们可解的问题，本书涉及的问题是静定问题。
下面就是从例题来学习物系平衡问题的解法。
例2-8 已知梁AB和BC在B点连接，C为固定端，如图2-26（a）示，若m=20KN·m，q=15KN/m，试求A、B、C三点的约束反力。
解 本题若以整个物系为研究对象，则未知数较多，不能求解。
（1）以梁AB为研究对象画受力图，如图2-26（b）示，选坐标轴x、y，列平衡方程并求解未知量。
解得
解得
（2）以量BC为研究对象画受力图，如图2-26（c），选坐标轴x、y，列平衡方程并求解未知量。
讨论与说明：
从本例求解过程看，是先对AB杆求解，得出未知力RA、RBx、RBy的值，杆BC上的、由于作用与反作用的关系就转化为已知，再由BC杆求出未知力NCx、NCy、mC
我们把物系中象AB杆这样，有已知力作用且未知量个数少于或等于独立方程个数的整体、局部或单个物体称可解物体，这个条件称为可解条件。
本题的做法是，对符合可解条件的可解物体先行求解；将求得的未知力作为已知力，通过作用与反作用的关系，转移到其他物体，使其相对应的未知力也变为已知力；如此逐步扩大已知量的数目，直至最终全部解出。这也正是求解物系平衡问题的一般程序。
例2-9 人字梯AB、AC两杆在A点铰链，在D、E两点用水平绳连接，如图2-27（a）所示。梯子放在光滑的水平面上，其一边有人攀登而上，梯子处于平静状态。已知人重力W=60KN，AB=AC=L=3m，α=45°，梯子重力不计，其他尺寸见图2-27（a）。求绳子的张力和铰链的约束反力。
(a) (b) (c)
图2-27
解 （1）先取人字梯BAC为研究对象受力如图2-27（b）所示。显然梯子在W、NB、NC组成的平面平行力系作用下平衡。列平衡方程求解：
解得
解得
（2）再选AC杆为研究对象受力图为2-27（c）所示，显然AC杆在平面任意力系作用下处于平衡状态，列平衡方程求解
将 NC=20kN 代入，解得
将 代入，解得
将代入，解得
讨论与说明：
（1）此例若接前例之法则发现，所分离两杆AB、AC皆不符合可解条件，而其整体却符合可解条件。这也是常见情况之一。
（2）为了尽量达到一个方程求解一个未知数的目的，在力臂易求的情况下，应尽量采用力矩方程，在力臂求解较繁的情况下，采用投影方程也许更为便利。如本例中研究AC杆时，采用一力矩式求解就较方便，若用二力矩式反而麻烦。
例2-10 一构架如图2-28（a）所示，已知F=10KN，P=20KN，a=1m。试求两固定铰A、B的约束反力。
(a) (b) (c)
解 （1）画ACD杆及CEB杆受力图如图2-28(b)、(c)示。
（2）研究CEB杆，如图2-28（c）示，则有
解得
解得
（3）研究ACD杆，如图2-28（b）示，则有
解得
解得
（4）再研究CEB杆，如图2-28(c)示。
讨论与说明：
此例与前两例题皆不相同，按前述方法都找不到可解条件。仔细观察会发现，在CEB杆上的点C、B，都有三个未知力通过，若以此点为矩心，建立力矩方程，则可求出一个未知力。这正是此题的可解条件。
可解条件有时会在局部存在。如果n个未知力中，有n-1个未知力互相汇交或相互平衡，则可选此汇交点为矩心或选平行力的垂线为坐标列出平衡方程，即可求得部分未知力，然后再如前述，逐步扩大已知量数，直至全部解决。这也是求解物系平衡问题常见情况之一。
例2-8、2-9、2-10题蕴涵了求解物系平衡问题，寻找可解条件的基本方法，请读者仔细体会。
例2-11 图2-29（a）所示为曲轴冲床简图，由轮、连杆AB和冲头B组成。A、B两处为固定铰链连接。OA=R，AB=L。如忽略摩擦和物体的自重，当OA在水平位置、冲压力为P时，求：（1）作用在轮上的力偶矩M的大小；（2）轴承O处的约束反力；（3）连杆AB受的力；（4）冲头给导轨的侧压力。
(a) (b) (c) (d)
图2-29
解 （1）首先以冲头为研究对象。冲头受力为平面汇交力系，如图2-29（b）。
解得
解得
（2）再以轮为研究对象，如图2-29（d）。
解得
解得
解得
讨论与说明：
（1）本例中冲头B受到的是平面汇交力系作用，连杆AB为二力杆。以此题类推，请仔细留意有关的力学概念在实际工程中的具体形式及相关的内在联系等问题。
（2）图2-29（a）是保持了实际机械基本结构特征的简图。实际上，在后续课程中会我们知道，这是一种机械中常见的机构，称为曲柄滑块机构。它可以用一个更具体普遍意义的简图来表示，如图2-30。
曲柄冲床、柴油机汽缸、往复式水泵、蒸汽机车传动等等，许多工程设备的传动机构都可以简化成这个形式。
将例题中已知条件对应到图2-30，会求得同样结果，其分析过程与例题完全相同。读者一试便知。
下面简单介绍一下桁架的计算，以备相关专业选择学习。
桁架是工程上常用的结构，广泛应用在屋架、桥梁、起重机架，输电铁塔等大型结构中。所谓桁架，是由许多不计自重的直杆两端用光滑铰链链接而组成的以三角形为基础的几何形状不变的结构。若桁架的所有杆都在同一平面内，则称为平面桁架。桁架中链接杆件的铰链称为节点。通常规定，桁架的外力只能作用在节点上。由上述分析可以看出，桁架中的每根杆件都是二力构件。所以，各杆件的内力均沿杆件的轴线。
例 2-12 试求图2-31（a）所示的平面桁架中各杆件的内力。已知F1=40kN、F2=10kN、a=2m。
解 （1）首先求支座反力。取整个桁架为研究对象画受力图，如图2-31（b），列平衡方程：
得
得
得
（2）取节点A为研究对象，如图2-31（c），一般都假设杆受拉力（设各力均背离节点，若计算后结果某杆内力为负值，则该杆受压）。列平衡方程：
得
得
图2-31
（3）以节点C为研究对象。列平衡方程：
得
得
（4）以节点D为研究对象。列平衡方程：
得
得
（5）以节点E为研究对象。列平衡方程：
得
得
（6）以节点H为研究对象，列平衡方程：
得
至此已求出全部内力。但节点H还能列出一个方程，节点B还能列出两个方程，它们可以用来校核以上的计算结果是否正确。
最后，可将求得的内力符号标注在桁架简图上，图2-31（d），杆件受拉者标以正号，杆件受压者标以负号。
上例中计算桁架内力的方法称为节点法。该法是逐次截割桁架的每一个节点，并应用平面汇交力系的平衡方程求出各杆内力。应当指出，在应用节点法求各杆的内力时，截割节点的次序可以任意选择，但因平面汇交力系只有两个独立的平衡方程，所以每次截出的节点都不能有两个以上的未知力。
例2-13 一屋架如图2-32（a）所示，长度a=2m，受载荷F1=F5=10KN，F2=F3=F4=20KN。试求4、5、6三杆的内力。
图2-32
解 （1）求支座反力。以桁架整体为研究对象画受力图，如图2-32（b），列平衡方程：
得
得
（2）用截面Ⅰ-Ⅰ将桁架截割为两部分，以左边部分为研究对象考虑其平衡，图2-32（c），该部分受载荷F1、F2和支座反力RA，还有杆4、5、6的未知内力S4、S5和S6的作用。
（3）列平衡方程并求出4、5、6杆的内力。
得
得
得
上例中求桁架内力的方法称为截面法。该法是将桁架用一截面假想地截为两部分，考虑任一部分的平衡，按平面任意力系的平衡方程，求解指定杆件的内力。应当注意，应用截面法时，截面所截割的杆件数（未知力数）一般不能多于三个。
第八节 考虑摩擦的平衡问题简介
前面讲述问题均未考虑摩擦。我们知道，摩擦是无所不在的。从一般意义上说，在机械结构的力学分析时考虑摩擦，并不是十分复杂的问题。分析有摩擦时的平衡问题，与前面分析不考虑摩擦时的平衡问题有相似之处，即物体平衡时，其上所受的力应满足平衡条件。而且，考虑摩擦时的平衡问题的解题方法和过程也与前面所介绍的基本相同。
求解考虑摩擦的平衡问题时，必须增加两项思考：（1）画受力图时，必须考虑接触面间的摩擦力，摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反。这在物理学中已经学过；（2）求解时，必须要代入静滑动摩擦力公式Fmax=fN。这个公式在物理学中也已经学过。但要特别注意的是，由于在静滑动摩擦中，摩擦力的数值是在一定范围内变化的，既0≤F≤Fmax，因此，物体也是在一定范围内保持平衡的。只有当物体处于从静止到运动的临界状态时，摩擦力才会达到最大值。
下面举两个应用实例。
例2-14 长4m，重200N的梯子，斜靠在光滑的墙面上，如图2-33（a）示，与地面成α=60°角，梯子与地面的静摩擦系数f=0.4。有一重600N的人等梯而上，问他上到何处时梯子就要开始滑到。
图2-33
解 设梯子将要滑动时，人站在C点，令BC=x。
（1）以梯子为研究对象画受力图，如图2-33（b）.因梯子与墙光滑接触，故A点只有水平反力NA。B点有垂直反力NB、摩擦力F。
（2）选坐标轴x、y，列平衡方程并求解未知量。
,
所以
因梯子将要滑动时处于临界状态，故摩擦力为最大静摩擦力，即
,
故
,
即
或
所以
例2-15 图2-34（a）为一制动器的示意图。已知制动器摩擦块与滑轮表面间的静摩擦系数为f，作用在滑轮上的力偶的力偶矩为m，A和O都是铰链，几何尺寸如图所示。求制动滑轮所必须的最小力Pmin
图2-34
解 当滑轮刚刚能停止转动时，力P的值最小，制动块与滑轮的摩擦力达到最大值。以滑轮O为研究对象画受力图，如图3-34（a）。因为滑轮平衡，且为临界状态，故可列出平衡方程：
,
由此可得 ,
其次，以制动杆AB为研究对象画出其受力图，如图2-34（b）。制动杆也是处于临界平衡状态，故可列出平衡方程：
,
于是可解得
将 代入上式，则得制动滑轮所需的最小力
第九节 问题讨论与说明
一、从工程实际到本书讲述内容本书内容一直想向读者揭示，理论是从实际中来的，而实际问题是在理论的指导下解决的，理论是将实际问题进行了相应的理想化后得到的，这些结论已经被实际问题证实是正确的、有效的。
此如二力杆，工程中找不到一个没有自重的杆件。只是因为它的影响太小，就忽略了。可事实上，它仍然存在，这一点我们也必须承认。在解决问题时，如果不分主次全部加以考虑，那么就会影响对问题的把握。实践已经证明，这样的简化可以更好的认识和解决问题、指导实践。再此如铰约束，实际得约束远比我们所画的符号复杂的多，但我们给出的代表符号已经充分反应了铰约束的受力特点，这就足够了。对于复杂的结构也是这样，我们画的简图是用最简单的形式，充分反应了原结构的基本特性，以便于分析研究。
所以，书中简图看上去比较简单，似乎与工程实物相去甚远，见到工程实例不知道如果进行简化，找不到合适的应用理论。这一环节必须突破，这是贯穿全书的一件大事。望读者通过书中讲述仔细体会。
从简单到复杂，用已知求解未知，从实践到理论，再用理论指导实践，是我们学习和研究问题的基本策略。
二、受力分析的重要性从本章内容可以看出，受力分析的正确与否，事实上决定着一个问题的解是否正确。
关于如何正确进行受力分析，前面已经重点讲过。如果学到这里，受力图还常常出错，就必须重新学习前面的相关内容。在此只再强调一点，必须要根据约束的性质分析约束反力，而不能根据错误的直观判断画任何一个约束反力。这正是初学者最常犯的错误。
三、审视平面力系平衡方程总结前面的学习，不难得出如下结论：平面力系包括平面汇交力系、平面力偶系、平面平行力系和平面任意力系。其中平面任意力系是平面力系最一般的形式，其它三种是平面力系的特殊形式。
分别列出各力系平衡方程进行比较：
平面汇交力系平衡方程,
平面力偶系平衡方程,
平面平行力系平衡方程,
平面任意力系平衡方程,
不难看出，若平面任意力系平衡方程中∑mo(F)=0恒成立，即主矩等于零，则为平面汇交力系平衡方程（要注意此原力系不一定是真的汇交力系）；平衡方程中∑Fx=0，∑Fy=0恒成立，即主矩等于零，则为平面力偶系平衡方程；若平面任意力系平衡方程中∑Fx=0（或∑Fy=0）恒成立，则为平面平行力系。
各平衡方程可以独立地较方便地求解相应问题，也可以不细分什么类型的力系，直接应用平面任意力系平衡方程求解，平面任意力系平衡方程可以理解为解决平面力系问题的母公式。
四、物系平衡问题的再思考物系平衡问题是本章重点中的重点，更是本书重点之一。有必要再此强调以下几点。
1、许多教材都讲到，系统整体平衡，组成系统的每个局部必然平衡。这是求解物系平衡问题的重要概念，是正确的。但如果用这个概念来指导受力分析就不正确。如图2-35示，从整体受力图（图2-35a）看，似乎是正确的，但我们已经知道，这是不正确的。受力分析必须按约束性质进行。
(a) (b)
图2-35
2、研究物系平衡问题时，选择研究对象很重要。选择合适的研究对象会使问题更易求解。基本原则是：尽量使研究对象所能列出的每一个平衡方程只包含一个未知量。
3、研究物系平衡问题时，当研究对象不是单一物体时，就一定会有一些还没有解除的约束混在研究对象中，这些没有解除的约束中也含有约束力，我们称为内约束力，画受力图时，一定不能把内约束力画上。
4、考察局部平衡时，分布载荷最好在拆开后再进行简化，以免出错。当然也可以在拆除开前简化，但一定要注意，简化的合力加在何处才能满足力系等效要求。
五、启思摩擦平衡问题摩擦是工程中经常遇到的问题，也是也个比较复杂的问题。实际接触到的摩擦问题往往不象本书讲述的那样简单。但是，在一般情况下，物理学所讲授的摩擦知识已经足够了，应用到本书所讲问题中足可以解决简单问题。
1、工程中常见的摩擦平衡问题主要有三类。（1）、所有的外加力都是已知力，摩擦系数也已知，要求确定物体处于静止还是运动状态；（2）、已知静摩擦系数，并且物体处于临界状态，要求确定所加某个外力的大小和方向；（3）、已知物体处于临界状态，并且全部外加力已知，要求确定静摩擦系数。
2、考虑摩擦的平衡有两种状态：静止状态和临界状态。前者摩擦力尚未达到最大值，且不是一个定值；后者摩擦力达到最大值，是一个定植。
一般情况下，考虑摩擦平衡问题的平衡方程中所包含的摩擦力是在一定的范围内取值的，所以，由此平衡方程所得解也不是一个定值，而是在一定范围内取值。
3、在考虑摩擦的平面问题中，若作用在物体上的主动力合力作用线处于摩擦角范围内，则无论主动力多大，物体都处于平衡状态，这种现象称为自锁。自锁现象与主动力无关，只与摩擦角有关。
这个条件在实际工作中的应用很多。关于摩擦的问题，有兴趣的读者可以找相关的材料学习。
六、我们已经学会了什么至此，静力学篇的主要内容已经学完。空间问题多数可以转化为平面问题求解，平面力系部分就显得更加重要。因此，我们应该对学会了什么有个认识。
1、初步建立了力系模型、简图与工程实物间的联系；
2、掌握了一系列力学概念；
3、会对物体进行受力分析；
4、会解平面平衡问题；
5、会解简单的考虑摩擦的平面平衡问题。
上述每项内涵都很丰富，请读者仔细思考。
习 题
2-1 已知：F1=200N，F2=150N，F3=200N，F4=100N，各力方向如图所示。试求各力在x、y轴上的投影。
2-2 F1、F2、F3三力共拉一碾子。已知：F1=1kN，F2=1kN，F3=1.732kN，各力方向如图所示。试求此三力合力的大小与方向。
题图2-1 题图2-2
2-3 如图所示F1、F2、F3三力分别作用在板上的A、B、C三点。已知：F1=100N、F2=50N、F3=50N。求：此三力的合力。
2-4 四个力作用在桁架的节点上，方向如图。已知：F1=60kN，F2=50kN，F3=30kN，F4=49kN求：合力R的大小和与x轴的夹角。
题图2-3 题图2-4
2-5 试求图示各种情况下力P对点O的力矩。
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
(g)
题图2-5
2-6 图示构件C处受力F作用。已知：F、a、b、α。试求mA(F)、mB(F)的值。
题图2-6 题图2-7
2-7 如图，已知：F1=F2=75kN，F3=F4，圆的直径为D=40mm，圆处于平衡状态。试求F3及F4的大小。
2-8 电动机轴通过联轴器与工作轴相连接，联轴器上四个螺栓A、B、C、D的孔心均匀分布在一圆周上，，此圆的直径AC=BD=15mm，电动机轴传给联轴器的力偶矩m=2.5kNm。试求每个螺栓所受的力（设各螺栓所受的力相同）
题图2-8 题图2-9
2-9 有一胶带绕过一滑轮组，胶带两端所受拉力均为600N，滑轮组底板尺寸如图所示，底板用两个圆销加以固定。试求：（1）当圆销插入A、C孔或B、D孔时，圆销所受的作用力；（2）圆销插入哪两个孔，可使其受力最小？
题图2-10 题图2-11
2-10 平面任意力系如图所示。每方格边长为10mm，F1=F2=10kN，F3=F4=kN。试求力系向O点简化的结果。
2-11 有三条绳索同时拖一条驳船，船首A处的两个拖力各为100kN，船尾的拖力为120kN，三个拖力的方向如图所示。试求此三力的合力及其作用线位置（离A点的距离）。
2-12 用两绳吊挂重物如图所示，重物G=200N。试求绳AB、BC的拉力。
2-13 支架的B铰处悬重为G，已知G=10kN。试求杆AB、BC的内力。
题图2-12 题图2-13
2-14 半径为R的圆柱体O放于直角墙壁内，用力P通过长方体M推动圆柱体如图所示。长方体的高h=0.5R。已知圆柱体的重量为W。如果各接触面都是光滑的。试求能使圆柱体离开地面的最小力P。
2-15 图示为一夹具中的杠杆增力机构。其推力P作用于A点，夹紧时杆AB与水平的夹角α=10°。试求夹紧力Q是P的多少倍。
题图2-14 题图2-15
2-16 各梁的载荷和尺寸如图所示，求各梁支座的反力。
(a) (b) (c) (d)
题图2-16
2-17 试计算图a、b两种支架中支撑点的约束反力。已知悬重G=2kN，支架自重不计。
2-18 试计算图a、b两种支架中A、C处的约束反力。已知悬重G=10kN，自重不计。
(a) (b) (a) (b)
题图2-17 题图2-18
2-19 已知P=1kN，q=1kN/m，m=1kNm，a=1m。求图示各支座反力。
2-20 如图所示，已知P=60kN，l=3m，α=45°。试求地面和铰C的约束反力。
2-21 结构如图所示，已知AB=BC=1m，DK=KE，P=1732kN，Q=1000kN，杆重忽略不计。试求结构的外约束反力。
(a) (b)
题图2-19 题图2-20 题图2-21
2-22 构架尺寸如图所示。已知l=2R，重物重为P，各杆及滑轮的重量不计，铰链均为光滑，绳不可伸长。试求构架的外约束反力
2-23 如图所示。已知均布载荷的载荷集度为q，集中力偶的力偶矩为。试求A、C两处的约束反力。
题图2-22 题图2-23
2-24 在图示一构架中，已知作用力P=10kN，a=10cm。试求A、B两支座反力。
2-25 杆AB与BC在B处铰接，并在A、C处固定铰接，组成一对对称称的人字形支架，支架内有一圆柱重G=2kN，如图所示。试求中间饺B的作用内力及A、C支座处的约束反力。
题图2-24 题图2-25
2-26 质量m=300kg的物块，在力P作用下紧靠在墙上如图所示。摩擦系数f=0.25。试求保持物块平衡时力P的范围值。力P作用于物块侧面的中点。
2-27 图示质量为m的物块和斜面间的摩擦系数f=tgφm，已知α、β。试求使物块沿斜面向上运动的力P的表达式。
2-28 A、B两物体由自重不计的连杆AB相联，如图。已知GB=100N，α=30°，A与地面、B与墙的摩擦系数f=0.2。试求能使A、B均保持平衡的物A重GA的最小值。
2-29 图示构件1、2通过楔块3相联接，已知楔块与构件间的摩擦系数f=0.1。试求楔块能自锁的角α值。
题图2-26 题图2-27 题图2-28 题图2-29
第三章 空间力系
前面已经研究了平面力系的问题。在实际工程结构中还有许多构件或机器零部件受力是不在同一平面内的，这些力组成的力系称为空间力系。
空间力系的研究方法与平面力系基本相同，但因各力的作用线分布在空间，所以平面问题中的一些概念、理论和方法在这里要加以推广和延伸。
与平面力系存在一些特殊力系的情况相似，空间力系也存在一些特殊力系。也就是说，在空间力系中也存在空间汇交力系、空间平行力系、空间力偶系和空间任意力系。空间任意力系是空间力系最一般的表现形式，其他是空间力系的特殊形式。
与平面力系的研究相似，我们还是从一个空间力在坐标轴上的投影来开始学习。
第一节 力在空间直角坐标轴上的投影
一、力在空间直角坐标轴上的投影根据力在坐标轴上投影的概念，可以求得一个任意力在空间直角坐标轴上的三个投影。如图3-1所示，若已知力F与三个坐标轴x、y、z的夹角分别为α、β、γ时，则F在三个坐标轴上的投影分别为
（3-1）
以上投影方法称为直接投影方法，或一次投影法。
由图3-1可见，若以F为对角线，以三坐标轴为棱边作正六边体，则此正六面体的三条棱边之长正好等于力F在三个轴上投影Fx，Fy，Fz的绝对值。
图3-1 图3-2
也可采用二次投影法，如图3-2所式，当空间力F与某坐标轴（如z轴）的夹角γ及力在垂直此轴的面（Oxy面）上的投影与另一坐标轴x的夹角已知时，可先将力F投影到该坐标面内，然后再将力向其他坐标轴上投影，这种投影方法称做二次投影法。如图3-2所示的F力在三个坐标轴上的投影为
反之，当已知力F在三个坐标轴上的投影时，可求出力F的大小和方向
（3-2）
（3-3）
例3-1 长方体上作用有三个力，F1=50N，F2=100N，F3=150N，方向与尺寸如图3-3所示，求各力在三个坐标轴上的投影。
解 由于力F1及F2与坐标轴间的夹角都已知，可应用直接投影法，力F3在Oxy平面上的投影与坐标轴x的夹角及仰角θ已知，可用二次投影法，由几何关系知。
各力在坐标轴上的投影分别为
二、合力投影定理空间力系也存在合力投影定理，但要有相应延伸。
按照求平面汇交力系的合成方法，也可以求得空间汇交力系的合力，即合力的大小和方向可以用力的多边形求出，合力的作用线通过汇交点。与平面汇交力系不同的是，空间汇交力系的力多边形的各边不在同一平面内，它是一个空间力多边形。
由此可见，空间汇交力系可以合成为一个合力，合力矢等于各分力矢的矢量和，其作用线通过汇交点。写成矢量表达式为
（3-4）
在实际应用中，常以解析法求合力，它的根据是合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。合力投影定理的数学表达式为
（3-5）
式中，Rx、Ry、Rz表示合力在各轴上的投影。
若已知各力在坐标轴上的投影，则合力的大小和方向可按下式求得
（3-6）
（3-7）
式中α、β、γ 分别表示合力与x、y、z轴正向的夹角。
第二节 力对轴之矩
一、力对轴之矩我们已经知道力对点之矩的概念。如图3-4（a）示，记为。（图示为正）
图3-4
实际上，在力作用面内，力对点之矩就是指力对通过该点并垂直于其作用面的轴之矩，如图3-4（b）示。即
力对轴之矩是代数量，其正负号表示转向，按右手螺旋定则来判定；右手握拳，四指与转向一致，此时若姆指方向与坐标轴正向一致，则力对轴之矩为正；反之为负。
力对轴之矩的单位与力对点之矩的单位相同。
根据上述定义，显然可得出如下结论：
1、当力的作用线与轴相交时，既d=0，力对轴之矩等于零；
2、当力的作用线与轴线平行线时，即F=0，力对轴之矩等于零。
即：与轴共面的力，对该轴之矩为零。
二、合力矩定理平面力系中的合力矩在空间力系中仍然适用。如图3-5所示，力F对某轴（如z轴）的力矩，为力F在x、y、z三个坐标方向的分力Fx、Fy、Fz对同轴（z轴）力矩的代数和，称之为合力矩定理。
（3-8）
因分力Fz平行于z轴，故,于是
同理可得
力对轴之矩的解析表示式为
（3-9）
应用上式时，分力Fx、Fy、Fz及坐标x、y、z均应考虑本身的正负号，所得力矩的正负号也将表明力矩绕轴的转向。
第三节 空间力系的简化
与平面力系相似，空间力系也可以向任意一点简化，其简化结果也是一个主矢和一个主矩。
与平面力系不同的是，主矩是原来的力对简化中心之矩的矢量和。因此，空间力系简化结果是两个矢量。即
3-10
与平面力系一样，空间力系的主矢与简化中心位置无关，主矩与简化中心位置有关。
第四节 空间力系的平衡及其应用
当空间力系的简化结果主矢和主矩同时等于零时，该空间力系处于平衡状态。由此可推知，空间任意力系的平衡方程为
（3-11）
式3-11说明，空间任意力系平衡的必要与充分条件是：各力在三个坐标轴上的投影的代数和以及各力对此三轴之矩的代数和同时等于零。
例3-2 图3-6所示为一起重机，机身重G=100kN，重力通过E点；轮A、B、C与地面为光滑接触，成一等边三角形，E点即为三角形的形心；起重臂FHD可绕铅垂轴HD转动。已知a=5m，l=3.5m，载重P=20kN，且通过起重臂的铅垂平面与起重机的中心铅垂面成α=30°角。求静止时地面作用于三个轮子的反力，又当α=0°时最大载重Pmax是多少。
解 取起重机为研究对象，作用于起重机上的力有重力G与P和地面对于三个轮子的铅垂反力NA、NB、NC,这些力是一个空间平行力系。选坐标系Cxyz如图所示，列空间平行力系的平衡方程并求解如下：
（1）
故
（2）
将NA及已知数据代入上式得
（3）
所以
当α=0°时，由（1）式得
欲使起重机满载时不向右倾倒，必须NA≥0 。由上式得到保证起重机稳定的P值为
例3-3 用起重杆吊起重物（图3-7），A端用球形铰链固定在地面上，B端用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的点C和D。已知CE=EB=DE，α=30°，CDB平面与水平面间的夹角为∠EBF=30°，物重Q=10kN。起重杆重量不计，试求起重杆所受的压力和绳子的拉力。
解 以结点B为研究对象。Q为主动力；T1、T2为绳的约束反力；AB为二力杆，其反力S沿杆AB的轴线。选取坐标系Axyz如图所示。由题意知∠CBE=∠DBE=45°。列平衡方程有
则
得 （1）
即
代入数据得
将T1值代入（1）式得
第五节 空间任意力系的平衡问题
转化为平面问题的解法
当空间任意力系平衡时，它在任意平面上的投影组成的力系（平面任意力系）也是平衡的。因为有时将一些空间任意力系的平衡问题（例如轴类零件的平衡问题）投影在三个坐标平面上，通过三个平面力系来进行计算，即把空间问题转化为平面问题的形式来处理。一般情况下，按下列步骤进行：
1、确定研究对象，画受力图并选坐标轴x、y、z。
2、将所有外力（包括主动力和约束反力）投影在yOz平面内，按平面力系的平衡问题进行计算。
3、将所有外力投影在xOy平面内，按平面力系的平衡问题进行计算。
4、将所有外力投影在xOz平面内，按平面力系的平衡问题进行计算。
下面举例说明空间任意力系的平衡问题转化为平面问题的具体解法。
例3-4 起重机绞车如图3-8（a）所示。已知α=20°，r=0.1m，R=0.2m，G=10kN。试求重物匀速上升时，支座A和B的反力及齿轮所受的力Q（力Q在垂直于轴的平面内，与水平方向的切线成α角）。图中尺寸单位为mm。
解 （1）取鼓轮轴AB为研究对象，将G和Q力平移到轴线上得AB之受力图图3-8（b）。RAy、RAz和RBy、RBz分别为轴承A、B的约束反力，G为平移后的已知主动力，Q为平移后的未知主动力，mG和mQ分别为G和Q平移时的附加力偶矩。显然，mG=Gr而mQ=QRcosa。
（2）由于重物匀速上升，所以鼓轮作匀速运动，由
（1）
得
（3）将所有外力投影在xAz平面内（图3-8c），这些力组成平面平行力系，列平衡方程
（2）
解得
（3）
解得
（4）将所有外力投影在yAz平面内（图3-8d），这些力组成平面平行力系，列平衡方程
（4）
解得
图3-8
（5）
解得
例3-5 起重机铰车的鼓轮轴如图3-9所示。已知：G=10kN，手柄半径R=20cm，E点有水平力P作用，鼓轮半径r=10cm，A、B处为向心轴承，其余尺寸如图所示，单位均为cm。试求手柄上的作用力P及A、B两处的径向反力。
图3-9
解 （1）取轮轴为研究对象，画出它的分离体在三个坐标平面上的受力图投影。
（2）对符合可解条件的先行求解。先从xz平面解起。
xz面：
yz面：
xy面：
表3-1 常见空间约束类型简图空 间 约 束 类 型
简化画法及约束反力
1、球形铰链
2、向心轴承
3、滑动轴承
4、止推轴承
5、带销子夹板
6、空间固定端
第六节 重心与形心
一、物体的重心重力就是地球对物体质量的引力。任何物体都可以看成是无数质量微元的集合。每个微元所受的重力都重直指向地面，这些力的作用线相互平行，组成空间平行力系，这个力系的合力即为物体的重力，物体重力的作用点即为物体的重心。
因此，确定物体的重心，实质上就是确定空间平行力系合力作用点的坐标。
设物体重心坐标为xC、yC、zC,如图3-10所示。将物体分成若干微元，其重力分别为△W1，△W2，…，△Wn，各力作用点的坐标分别为（x1、y1、z1），（x2、y2、z2），…，（xn、yn、zn）。物体重力W的值为W=∑△Wi 。
根据合力矩定理，有
根据力系中心的位置与各力的方向无关的性质，可将物体连同坐标系一起绕 x轴顺时针转过90°，使 y轴朝下，这时重力W和各力△Wi都与y轴同向平行，再对x轴应用合力矩定理，得
因此得物体重心C的坐标公式为
（3-12）
若物体为均质，其密度为ρ，将W=ρgV，△Wi=ρg△Vi代入上式，令△Vi→0取极限，即可得
（3-13）
可见，均质物体重心完全取决于物体的几何形状和尺寸。
二、平面图形的形心若物体是等厚均质薄板，如图3-11所示。以A表示壳或板的表面面积，△Ai表示微元的面积，同理可求得均质薄板的重心的位置坐公式为
（3-14）
若令
（3-15）
则式（3-14）变为
（3-16）
式中Sx、Sy分别称为平面图形对于x轴、y轴的面积矩，简称面矩，或称静矩。单位为mm3或m3。
由此可见，均质平板的重心仅与平板的几何形状和尺寸有关，而从几何图形看，所确定的坐标点正是平面图形的几何中心，称平面图形的形心。
此时重心与形心位置重合，因此，均质平板的重心公式，也就成了平面图形的形心求解公式。
由式（3-15）和（3-16）可以得到二点重要结论：
1、由静矩的定义式（3-15）可知，同一图形对于不同坐标轴的静矩是不同的。静矩可能为正，也可能为负，也可能为零。
2、由式（3-16）可知，若坐标轴通过形心，即xC=0、yC=0，则图形对该轴之静矩等于零；若图形对于某轴的静矩等于零，即Sx=0或Sy=0，则该轴必通过形心。
三、用组合法确定平面组合图形的形心组合法是求平面组合图形的形心坐标的基本方法。组合图形大多数由简单几何图形组合而成，而这些简单几何图形的形心通常是我们熟知的（如圆形，矩形，三角等），或是可以由《机械设计手册》查出的（本书不单独列出），因此，可以先将组合图形分割成若干个简单图形，然后应用公式（3-14）确定组合图形的形心坐标。
其解题步骤如下：
1、选任意位置建立初始直角坐标系；
2、将组合图形分割为若干我们熟悉的简单图形，确定这些简单图形的形心在所建初始直角坐标系中的坐标；
3、应用公式（3-14）即可求得组合原形的形心坐标。也可以先应用公式（3-15）求得这些简单图形对于初始坐标的静矩，再应用公式（3-16）求得组合图形的形心坐标。
4、如果组合图形是由规则图形中挖去一部分或几部分而形成的，也同样按上述步骤计算，只是要将挖出去的部分的“xi△Ai”,yi△Ai”项前面加上负号即可。也就是说，是将挖去部分的面积视为负值。这种方法也称为负面积法。
请读者通过例题领会。
例3-6 求图3-12所示角钢横断面之形心。图中尺寸单位为mm。
解 选坐标系Oxy如图所示。将图形分割为两个矩形，以A1、A2分别表示其面积，C1（x1，y1）、C2（x2，y2）分别表示其形心位置，则
,
,
由公式（3-14）可求得
例3-7 已知图3-13所示振动器中偏心块的几何尺寸R=100mm，r=13mm，b=17mm。求偏心块形心的位置。
解 取坐标系Oxy，其中Oy轴为对称轴（图3-13）.根据对称性，偏心块重心C必在对称轴Oy上，所以
将偏心块分割成三部分：半径为R的A1部分，半径为（r+b）的半圆A2及半径为r的小圆A3.因A3时需要切去的部分，故其面积应为负值。这三部分的面积及其坐标为
,
,
,
由公式（3-14）可求得
故偏心块重心（即形心）C的坐标为
,
第六节 问题绪论与说明
一、回顾空间力系问题空间力系问题的求解，从解题思路上看，与平面力系问题的求解思路是基本相同的。在求解中要特别注意空间力的投影方向，要让力向着轴投影，这是容易出错的地方。
对于搞机械类专业人来说，轮轴类问题的平面解法更显重要。只要会投影，会平面力系求解，这类问题并不复杂。
二、确定形心坐标的意义确定平面图形形心坐标的问题会在第二篇中涉及到。这部分内容更重要的意义在于其对后续专业课程的帮助。在实际工作中，也会经常遇到要确定某个特殊图形形心的问题。
习 题
3-1 如图所示，已知F1=30N，F2=50N，F3=40N。试求各力在三坐标轴上的投影。
3-2 已知在图示边长为a的正六面体上作用有力F1=6kN，F2=2kN，F3=4kN。试计算各力在三坐标轴上的投影。
题图3-1 题图3-2
3-3 在图示边长a=12cm，b=16cm，c=10cm的六面体，作用有力F1=2kNF，F2=2kN，F3=4kN。试计算各力在三坐标轴上的投影。
3-4 已知F1=30N，F2=25N，F3=40N，其它尺寸如图所示。试计算此三力对x、y、z轴之矩。
题图3-3 题图3-4
3-5 如图所示，作用于手柄上的力P=100N。试计算mx(P)的值。
3-6 水平轮上A点处作用一力P，力P在铅垂平面内并与过A点的切线成60°角，OA与y轴的平行的切线成45°夹角，如图所示，P=103N，h=r=1m。试求力P的Px、Py、Pz及mz(P)。
题图3-5 题图3-6
3-7 重物Q=1kN悬挂在由杆AO、BO、CO所组成支架的O铰处，如图所示，各杆自重不计，两端均为铰接，α=45°。试求三支撑杆的内力。
题图3-7 题图3-8
3-8 图示悬臂刚架上，有分别平行于AB、CD的力P、Q作用，已知P=5kN，Q=4kN。试求固定端O处的约束反力及约束力偶矩。
3-9 图示空间桁架，在节点A上作用力P=10kN，作用在对称面内，杆自重不计，EA=AG=FB=BN，α=45°，AE⊥AG，HB⊥FB。试求六根杆件的内力。
3-10 在图示系统中力F=1kN。试求绳子BC、BD的拉力和球饺链A的约束反力。
题图3-9 题图3-10
3-11 变速箱中间轴上有两个齿轮，其分度圆半径r1=100mm，r2=72mm，啮合点分别在两齿轮的最低与最高位置，如图所示。齿轮压力角a=20°在大齿轮上的圆周力P1=1.58kN。试求当轴平衡时，作用在小齿轮上的圆周力P2及A、B两处的轴承约束反力。
3-12 图示为一铰车的正视、侧视图，已知G=2kN，鼓轮半径R=80mm。试求垂直于手柄的力P值应多大，才能保持平衡，并求平衡时A、B两轴承的约束反力。
题图3-11 题图3-12
3-13 试确定图示阴影部分的形心位置。
(a) (b) (c)
题图3-13
3-14试求图示截面的形心位置。长度单位为mm。
(a) (b)
题图3-14
