1
2
§ 9–1 刚体平面运动的概述
§ 9–2 平面运动分解为平动和转动 ·
刚体的平面运动方程
§ 9–3 平面图形内各点的速度
§ 9–4 平面图形内各点的加速度 ·
加速度瞬心的概念习题课第九章 刚体的平面运动
3
刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动．对它的研究可以在研究刚体的平动和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动．然后应用合成运动的理论，推导出平面运动刚体上一点的速度和加速度的计算公式．
§ 9-1 刚体平面运动的概述一．平面运动的定义在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变．也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动．具有这种特点的运动称为刚体的平面运动．
4
例如,曲柄连杆机构中连杆 AB的运动，
A点作圆周运动,B点作直线运动,因此，
AB 杆的运动既不是平动也不是定轴转动，
而是平面运动．
5
请看动画
6
二．平面运动的简化刚体的平面运动可以简化为平面图形 S在其自身平面内的运动,即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度．
7
§ 9-2 平面运动分解为平动和转动 ·
刚体的平面运动方程一．平面运动方程为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置．
任意线段 AB的位置可用 A点的坐标和 AB与 x轴夹角表示．因此图形 S 的位置决定于 三个独立的参变量．所以
,,AA yx
8
二．平面运动分解为平动和转动当图形 Ｓ 上 Ａ 点不动时，则刚体作定轴转动当图形 Ｓ 上? 角不变时，则刚体作平动．
故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动．
,,AA yx
平面运动方程
)(1 tfx A?
)(2 tfy A?
)(3 tf
对于每一瞬时 t,都可以求出对应的,图形 S
在该瞬时的位置也就确定了。
9
例如 车轮的运动．
车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平动和相对车厢的转动的合成．
车轮对于静系的平面运动 （绝对运动）
车厢（动系 Ax?y? ) 相对静系的平动 （牵连运动）
车轮相对车厢（动系 Ax?y?）的转动 （相对运动）
10
我们称动系上的原点 Ａ 为 基点,于是车轮的平面运动随基点 A的平动 绕基点 A'的转动刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动．
11
再例如,平面图形 Ｓ 在?ｔ 时间内从位置 I运动到位置 II
① 以 A为基点,随基点 A平动到 A'B''后,绕基点转 角到 A'B'
② 以 B为基点,随基点 B平动到 A''B'后,绕基点转 角到 A'B'
图中看出,ABA'B''A''B',于是有21
1
2
2121212010,;,limlim
dt
d
dt
d
tt tt
12
所以,平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关,(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的
,?都是相同的） 基点的选取是任意的 。 (通常选取运动情况已知的点作为基点 )
13
曲柄连杆机构
AB杆作平面运动平面运动的分解
（请看动画）
14
§ 9-3 平面图形内各点的速度根据速度合成定理
,rea vvv
则Ｂ点速度为：
BAAB vvv
一．基点法（合成法）
取 B为动点,则 B点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成,,ABAB 方向大小?,vv;vv;vv
BArAeBa
已知：图形 S内一点 A的速度,
图形角速度? 求：
指向与? 转向一致．
取 A为基点,将动系固结于 A点,
动系作平动。
Av
Bv
15
由于 A,B点是任意的，因此 表示了图形上任意两点速度间的关系．由于恒有,因此将上式在 AB
上投影，有
BAAB vvv
ABv BA?
ABAABB vv? — 速度投影定理即 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等,这种求解速度的方法称为 速度投影法,
即 平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和,这种求解速度的方法称为 基点法,
也称为 合成法,它是求解平面图形内一点速度的基本方法．
二．速度投影法
16
三．瞬时速度中心法（速度瞬心法）
1,问题的提出若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化．于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？
所以反向恰与方向,,,AAPA vPAvAPv
0?Pv
２．速度瞬心的概念平面图形 S，某瞬时其上一点 A速度,
图形角速度?，沿 方向取半直线 AL,然后顺?的转向转 90o至 AL'的位置,在 AL'上取长度 则：?/AvAP?
Av
Av
PAAP vvv
17
即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心．
３．几种确定速度瞬心位置的方法
① 已知图形上一点的速度 和图形角速度?，
可以确定速度瞬心的位置,（ P点）
且 Ｐ 在 顺?转向绕 A点转 90o的 方向一侧．
,,AA vAPvAP
Av
Av
② 已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动,则图形与固定面的接触点 P为速度瞬心．
18
AB
vvvva BA
BA
,)( 同向与
AB
vvvvb BA
BA
,)( 反向与
④ 已知某瞬时图形上 A,B两点速度大小,且
BA vv,
ABvABv BA,
(b)(a)
③ 已知某瞬间平面图形上 A,B两点速度的方向，且过 A,B两点分别作速度 的垂线,交点
P即为该瞬间的速度瞬心,
BA vv,
BA vv 不平行
BA vv,
19
另：对 ④ 种 (a)的情况，若 vA＝ vB，
则是瞬时平动．
⑤ 已知某瞬时图形上 A,B两点的速度方向相同，且不与 AB连线垂直．
此时,图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度? =0,图形上各点速度相等,这种情况称为 瞬时平动,(此时各点的加速度不相等 )
20
例如,曲柄连杆机构在图示位置时，连杆 BC作瞬时平动．
此时连杆 BC的图形角速度,
BC杆上各点的速度都相等,但各点的加速度并不相等．
设匀?，则 )(2ABaa n
BB
而 的方向沿 AC的,瞬时平动与平动不同
ca cB aa?
0?BC?
21
４,速度瞬心法利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法,
平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。
若 P点为速度瞬心，则任意一点 A的速度方向?AP，指向与? 一致。 APv A
５,注意的问题
① 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。
② 速度瞬心处的速度为零,加速度不一定为零。不同于定轴转动
③ 刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度是不一定相同的。不同于刚体作平动。
22
解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运动,滑块 B作平动。①
基点法（合成法）
研究 AB，以 A为基点，且 方向如图示。,?lv
A?
llABv
llvv
ll
vv
BAAB
ABA
AB
//
45tgtg
)(245c o s/
c o s/
（ ）
[例 1] 已知：曲柄连杆机构 OA=AB=l，
取柄 OA以匀?转动。 求：当? =45o时,
滑块 B的速度及 AB杆的角速度．
根据,
BAAB vvv
在 Ｂ 点做 速度平行四边形，如图示。
23
)(2
//
,
lBPv
llAPv
lAPlv
ABB
AAB
A? （ ）
试比较上述三种方法的特点。
ABAABB vv?根据速度投影定理
c o sBA vv?
)(245c o s/
c o s/
ll
vv AB
不能求出 AB?
② 速度投影法 研究 AB,,
方向?OA,方向沿 BO直线
lv A?
Bv
③ 速度瞬心法研究 AB，已知 的方向，因此可确定出 P点为速度瞬心
BA vv,
24
§ 9-4 平面图形内各点的加速度加速度瞬心的概念取 A为基点，将平动坐标系固结于 A点取 B动点，则 B点的运动分解为相对运动为圆周运动和牵连运动为平动．
nBABABArAeBa aaaaaaaa ; ;
于是,由牵连平动时加速度合成定理 可得如下公式．
rea aaa
nBABAAB aaaa
一,基点法 (合成法 ) 已知：图形 S 内一点 A 的加速度 和图形的?,?（某一瞬时）。
求,该瞬时图形上任一点 B的加速度。
Aa
25
其中：,方向?AB，指向与?一致；
，方向沿 AB，指向 A点。
ABa BA
2 ABa nBA
即 平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和 。这种求解加速度的方法称为 基点法,也称为 合成法 。是求解平面图形内一点加速度的基本方法。
上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求出其余两个。由于 方位总是已知，所以在使用该公式中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。
nBABA aa,?
nBABAAB aaaa
26
nBABA aa,?
二．加速度瞬心,
由于 的大小和方向随 B点的不同而不同,所以总可以在图形内找到一点 Q，在此瞬时，相对加速度 大小恰与基点 A的加速度 等值反向，其绝对加速度
Q点就称为图形在该瞬时的 加速度瞬心,
QAa
Aa 0?Qa
[注 ]① 一般情况下,加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点．
② 一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关系式,即一般情况下,图形上任意两点 A,B的加速度
ABBABA aa?
若某瞬时图形? =0,即瞬时平动,则有即 若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等,
ABBABA aa?
27
③ 由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，且一般情况下又不存在类似于速度投影定理的关系式，故常采用基点法求图形上各点的加速度或图形角加速度．
分析：
大小？ √ Ｒ? Ｒ? 2
方向？ √ √ √
故应先求出．
nPOPOOP aaaa
Rv O / （ ）
[例 1] 半径为 R的车轮沿直线作纯滚动,已知轮心 O点的速度及加速度,求车轮与轨道接触点 P的加速度,O
v
Oa
解：轮 O作平面运动,P为速度瞬心，
28
由于此式在任何瞬时都成立，且 O点作直线运动，故而
RadtdvRdtd OO 1
（ ）
由此看出，速度瞬心 P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心．当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心 P的加速度指向轮心．
以 O为基点，有 其中：
做出加速度矢量图，由图中看出：
（ 与 等值反向）
即
nPOPOOP aaaa
R
v
R
vRRaaRa OOn
POOPO
2
22 )(,
nPOP aa?
Oa?POa
)(/2 Rva OP
29
解,(a) AB作平动,),(,n
BnABABABA aaaaaavv
BOAO
BOaAOa
BOvAOv
BA
BA
21
2211
2211;/,/;/,/
而又
,; 2121
[例 2] 已知 O1A=O2B,图示瞬时 O1A?/O2B
试问 (a),(b)两种情况下?1和? 2,?1和?2是否相等？
(a) (b)
30
(b) AB作平面运动,图示瞬时作瞬时平动,此时 BAAB vv,0?
21221121,/,/, BOvAOvBOAO BA?
ABnBABBABnAABAABBABA aaaaaa,即
c o ss i nc o ss i n 2222221111 BOBOAOAO
BA aaAB 作瞬时平动时并由此看出即,c t g2 212112
31
[例 3] 曲柄滚轮机构 滚子半径 R=15cm,n=60 rpm
求：当? =60o时 (OA?AB),滚轮的?Ｂ,?Ｂ,
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32
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33
解,OA定轴转动,AB杆和轮 B作平面运动研究 AB：
r a d / s 32153/30/ 1 APv AAB
（ ）
cm / s 30215
r ad / s 230/6030/
OAv
n
A
P１ 为其速度瞬心
)(c m / s 3203215321 ABB BPv
分析,要想求出滚轮的?Ｂ,?Ｂ 先要求出 vB,aB
P2
P1
vBP2为轮速度瞬心
34
取 A为基点,2222 c m / s60)2(15 OAa A 指向 O点
nBABAAB aaaa ),
3
320)
3
2(153( 222 BAABa
AB
n
BA 沿?
大小？ √？ √
方向 √ √ √ √
作加速度矢量图，将上式向 BA线上投影
nBAB aa 0030co s?
)(c m / s5.1313402 3/3 32030c os/ 222nBAB aa
r a d / s25.715/320/ 2 BPv BB
22 r a d / s77.815/5.131/ BPa BB?
）(
）(
研究轮 B,P2为其速度瞬心
35
第九章 刚体平面运动习题课一．概念与内容
1,刚体平面运动的定义刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变．
2,刚体平面运动的简化可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形 S在自身平面内的运动代替刚体的整体运动．
3,刚体平面运动的分解分解为
4,基点可以选择平面图形内任意一点,通常是运动状态已知的点．
随基点的平动（平动规律与基点的选择有关）
绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）
36
5,瞬心（速度瞬心）
① 任一瞬时,平面图形或扩大部分都唯一存在一个速度为零的点
② 瞬心位置随时间改变．
③ 每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动．这种瞬时绕瞬心的转动与定轴转动不同．
④? =0,瞬心位于无穷远处,各点速度相同,刚体作瞬时平动,
瞬时平动与平动不同．
6,刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例．
7,求平面图形上任一点速度的方法
①基点法：
②速度投影法：
③速度瞬心法：
其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例．
为基点Avvv BAAB,
ABAABB vv?
为瞬心一致与 PBPvBPv BB,,,
37
8,求平面图形上一点加速度的方法基点法：,A为基点,是最常用的方法此外，当? =0,瞬时平动时也可采用方法它是基点法在? =0时的特例。
nBABAAB aaaa
ABAABB aa?
9,平面运动方法与合成运动方法的应用条件
① 平面运动方法用于研究 一个平面运动刚体 上任意两点的速度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形角速度、角加速度之间的关系．
② 合成运动方法常用来确定 两个相接触的物体 在接触点处有相对滑动时的运动关系的传递．
38
二．解题步骤和要点
1,根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动形式．注意每一次的研究对象只是一个刚体．
2,对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速度 (图形角速度 )问题的方法,用基点法求加速度 (图形角加速度 )
3,作速度分析和加速度分析，求出待求量．
(基点法,恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图；
速度投影法,不能求出图形? ;
速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键．）
39
[例 1] 曲柄肘杆压床机构已知,OA=0.15m,n=300 rpm,AB=0.76m,
BC=BD=0.53m,图示位置时,AB水平求该位置时的,及ABBD
Dv
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41
[例 1] 曲柄肘杆压床机构已知,OA=0.15m,n=300 rpm,AB=0.76m,
BC=BD=0.53m,图示位置时,AB水平,
求该位置时的,及
ABBD Dv
解,OA,BC作定轴转动,
AB,BD均作平面运动根据题意：
研究 AB,P１ 为其速度瞬心
r a d / s103030030 n
m / s 5.11015.0 OAv A
（ ） r a d / s 16.7
376.0
25.1
60s i n
5.1
1
ABAPv AAB
m / s 72.216.75.076.016.760c os1ABBPv ABB?
研究 BD,P2为其速度瞬心,?BDP2为等边三角形 DP2=BP2=BD
r a d / s 13.553.0 73.2
2
BPv BBD?
)(m / s 72.213.553.02 BDD DPv?
（ ）
42
[例 2] 行星齿轮机构请看动画
43
解,OA定轴转动 ; 轮 A作平面运动,瞬心 P点
,)(2211 ooM rRr rRrPMv
ooA r rRrrRv )(
）(
方向均如图示,)(2222 ooM rRr rRrPMv
[例 2] 行星齿轮机构已知,R,r,?o 轮 A作纯滚动，求
21,MM vv
44
[例 3] 平面机构中,楔块 M,? =30o,v=12cm/s ; 盘,r = 4cm,与 楔块间无滑动．求圆盘的?及轴 O的速度和 B点速度．
请看动画
45
解,轴 O,杆 OC,楔块 M均作平动,
圆盘作平面运动,P为速度瞬心
,c m / s 12 vv A
r a d / s 3230c o s4/12c o s/12/ rPAv A
)(m / s 343230s i n4s i n rPOv o
m7221422421 20c os2 2222OBPOOBPOPB
) ( m / s 3.182143272 PBPBv B
）(
[例 3] 平面机构中,楔块 M,? =30o,v=12cm/s ;
盘,r = 4cm,与 楔块间无滑动．求圆盘的?
及轴 O的速度和 B点速度．
46
① 比较 [例 2]和 [例 3]可以看出,不能认为圆轮只滚不滑时,接触点就是瞬心,只有在接触面是固定面时,圆轮上接触点才是速度瞬心
② 每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和角速度,并且瞬心在刚体或其扩大部分上,不能认为瞬心在其他刚体上,例如,[例 1] 中 AB的瞬心在 P1点,BD的瞬心在 P2
点,而且 P1也不是 CB杆上的点
47
[例 4] 导槽滑块机构 请看动画
48
[例 4] 导槽滑块机构已知,曲柄 OA= r,匀角速度? 转动,连杆 AB的中点 C处连接一滑块 C可沿导槽 O1D滑动,AB=l,图示瞬时 O,A,O1三点在同一水平线上,OA?AB,?AO1C=?=30。
求,该瞬时 O1D的角速度．
解,OA,O1D均作定轴转动,
AB作平面运动
① 研究 AB:,图示位置,
作 瞬时平动,所以
rvvrv AcB ;
rvA?
② 用合成运动方法求 O1D杆上与滑块 C 接触的点的速度动点,AB杆上 C (或滑块 C ),动系,O1D杆,静系,机架
49
绝对运动,曲线运动,方向 ④
相对运动,直线运动，,方向 // O1D
牵连运动,定轴转动，,方向? O1D
rvv ca
rv
ev
根据,作速度平行四边形
rea vvv
rrvv Ce 2 330c osc os
l
r
l
r
CO
v
COv
e
DO
DOe
2
3
s i n/
2
23
1
1
1
1
又
）(
这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论求解的综合性问题,注意这类题的解法，再看下例．
50
[例 5] 平面机构请看动画
51
[例 5] 平面机构图示瞬时,O点在 AB中点,? =60o,
BC?AB,已知 O,C在同一水平线上,
AB=20cm,vA=16cm/s,
试求 该瞬时 AB杆,BC杆的角速度及滑块 C的速度．
解,轮 A,杆 AB,杆 BC均作平面运动,套筒 O作定轴转动,滑块 C平动,
取套筒上 O点为 动点,动系 固结于 AB杆 ; 静系 固结于机架,
rea vvv
,由于 沿 AB,
所以 方向沿 AB并且与 反向。 从而确定了 AB杆上与 O点接触点的速度方向。
ra vv,0?
ev rv
研究 AB,P1为速度瞬心
52也可以用瞬心法求?BC和 vC，很简便
cm / s31631660
cm / s321622
60co s
tgvv
vvv
BCB
B
B
C
cm3103 OBBCBCv BCCB
研究 BC,以 B为基点,
根据作 速度平行四边形
CBBC vvv
c m / s 1611 AABABB vAPBPv
r a d / s 35460s i n/10 16s i n/16
1
OAAPv AAB
）(
（ ）
r a d / s 6.1310 316 BCv CBBC?
53
解,OA定轴转动 ; AB,BC均作平面运动,
滑块 B和 C均作平动
① 求 cv
对 AB杆应用速度投影定理：
30c o s60c o s AB vv? oAB rvv?33
对 BC杆应用速度投影定理,?60s inBc vv?
)( ooc rrv 232 33
[例 6] 已知,配气机构中,OA= r,以等?o转动,在某瞬时? = 60o
AB?BC,AB=6 r,BC=,求 该瞬时滑块 C的速度和加速度．
r33
54
② 求 ca
以 A为基点 求 B点加速度,n
BABAAB aaaa
( a )
,,22 ABnBAoA ABara P1为 AB杆速度瞬心，而 rAP 31?
22
1
3
2
3
6
33
o
on
BA
ooA
AB
rra
r
r
AP
v
)(
,
作加速度矢量图,
并沿 BA方向投影
222
33
4
6060
oooB
n
BAAB
rrra
aaa
c o sc o s
55
)( baaaa nCBCBBc
作加速度矢量图,
P2 为 BC的瞬心,而 P2C = 9 r
再以 B为基点,求
ca
69
1
2
3
2
oocBC
rrCP
v
222
12
3
633 ooBC
n
CB rrBCa?
)(
将 (b) 式在 BC方向线上投影
222
12
3
12
3
2
3
330 ooo
n
CBBc rr
raaac os
[注 ] 指向可假设，结果为正说明假设与实际指向相同，
反之，结果为负，说明假设与实际指向相反,cB aa,
30o
56
[例 7] 导槽滑块机构 请看动画
57
解,① 应用点的合成运动方法确定 CD杆上 C点与 AE杆上接触 点 C'之间的速度关系取 CD杆上 C为动点，动系固结于 AE，静系固结于机架；则
(a)
rcc vvv '
② 应用平面运动方法确定 AE上 A,C' 点之间速度关系
(b)
AcAc vvv'
[例 7] 导槽滑块机构图示瞬时,杆 AB速度,杆 CD速度及? 角已知，且 AC= l,
求导槽 AE的图形角速度．
u
v
58
将 (b) 代入 (a) 得,作速度矢量图投至?轴，
且 vC＝ v,v＝ u，有
rACAC vvvv
s i n c os
s i nc os
uvv
vvv
AC
ACAC
即
l
uv
AC
v AC
AE
s i nc o s （ ）
59
2
§ 9–1 刚体平面运动的概述
§ 9–2 平面运动分解为平动和转动 ·
刚体的平面运动方程
§ 9–3 平面图形内各点的速度
§ 9–4 平面图形内各点的加速度 ·
加速度瞬心的概念习题课第九章 刚体的平面运动
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刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动．对它的研究可以在研究刚体的平动和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动．然后应用合成运动的理论，推导出平面运动刚体上一点的速度和加速度的计算公式．
§ 9-1 刚体平面运动的概述一．平面运动的定义在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变．也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动．具有这种特点的运动称为刚体的平面运动．
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例如,曲柄连杆机构中连杆 AB的运动，
A点作圆周运动,B点作直线运动,因此，
AB 杆的运动既不是平动也不是定轴转动，
而是平面运动．
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请看动画
6
二．平面运动的简化刚体的平面运动可以简化为平面图形 S在其自身平面内的运动,即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度．
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§ 9-2 平面运动分解为平动和转动 ·
刚体的平面运动方程一．平面运动方程为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置．
任意线段 AB的位置可用 A点的坐标和 AB与 x轴夹角表示．因此图形 S 的位置决定于 三个独立的参变量．所以
,,AA yx
8
二．平面运动分解为平动和转动当图形 Ｓ 上 Ａ 点不动时，则刚体作定轴转动当图形 Ｓ 上? 角不变时，则刚体作平动．
故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动．
,,AA yx
平面运动方程
)(1 tfx A?
)(2 tfy A?
)(3 tf
对于每一瞬时 t,都可以求出对应的,图形 S
在该瞬时的位置也就确定了。
9
例如 车轮的运动．
车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平动和相对车厢的转动的合成．
车轮对于静系的平面运动 （绝对运动）
车厢（动系 Ax?y? ) 相对静系的平动 （牵连运动）
车轮相对车厢（动系 Ax?y?）的转动 （相对运动）
10
我们称动系上的原点 Ａ 为 基点,于是车轮的平面运动随基点 A的平动 绕基点 A'的转动刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动．
11
再例如,平面图形 Ｓ 在?ｔ 时间内从位置 I运动到位置 II
① 以 A为基点,随基点 A平动到 A'B''后,绕基点转 角到 A'B'
② 以 B为基点,随基点 B平动到 A''B'后,绕基点转 角到 A'B'
图中看出,ABA'B''A''B',于是有21
1
2
2121212010,;,limlim
dt
d
dt
d
tt tt
12
所以,平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关,(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的
,?都是相同的） 基点的选取是任意的 。 (通常选取运动情况已知的点作为基点 )
13
曲柄连杆机构
AB杆作平面运动平面运动的分解
（请看动画）
14
§ 9-3 平面图形内各点的速度根据速度合成定理
,rea vvv
则Ｂ点速度为：
BAAB vvv
一．基点法（合成法）
取 B为动点,则 B点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成,,ABAB 方向大小?,vv;vv;vv
BArAeBa
已知：图形 S内一点 A的速度,
图形角速度? 求：
指向与? 转向一致．
取 A为基点,将动系固结于 A点,
动系作平动。
Av
Bv
15
由于 A,B点是任意的，因此 表示了图形上任意两点速度间的关系．由于恒有,因此将上式在 AB
上投影，有
BAAB vvv
ABv BA?
ABAABB vv? — 速度投影定理即 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等,这种求解速度的方法称为 速度投影法,
即 平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和,这种求解速度的方法称为 基点法,
也称为 合成法,它是求解平面图形内一点速度的基本方法．
二．速度投影法
16
三．瞬时速度中心法（速度瞬心法）
1,问题的提出若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化．于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？
所以反向恰与方向,,,AAPA vPAvAPv
0?Pv
２．速度瞬心的概念平面图形 S，某瞬时其上一点 A速度,
图形角速度?，沿 方向取半直线 AL,然后顺?的转向转 90o至 AL'的位置,在 AL'上取长度 则：?/AvAP?
Av
Av
PAAP vvv
17
即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心．
３．几种确定速度瞬心位置的方法
① 已知图形上一点的速度 和图形角速度?，
可以确定速度瞬心的位置,（ P点）
且 Ｐ 在 顺?转向绕 A点转 90o的 方向一侧．
,,AA vAPvAP
Av
Av
② 已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动,则图形与固定面的接触点 P为速度瞬心．
18
AB
vvvva BA
BA
,)( 同向与
AB
vvvvb BA
BA
,)( 反向与
④ 已知某瞬时图形上 A,B两点速度大小,且
BA vv,
ABvABv BA,
(b)(a)
③ 已知某瞬间平面图形上 A,B两点速度的方向，且过 A,B两点分别作速度 的垂线,交点
P即为该瞬间的速度瞬心,
BA vv,
BA vv 不平行
BA vv,
19
另：对 ④ 种 (a)的情况，若 vA＝ vB，
则是瞬时平动．
⑤ 已知某瞬时图形上 A,B两点的速度方向相同，且不与 AB连线垂直．
此时,图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度? =0,图形上各点速度相等,这种情况称为 瞬时平动,(此时各点的加速度不相等 )
20
例如,曲柄连杆机构在图示位置时，连杆 BC作瞬时平动．
此时连杆 BC的图形角速度,
BC杆上各点的速度都相等,但各点的加速度并不相等．
设匀?，则 )(2ABaa n
BB
而 的方向沿 AC的,瞬时平动与平动不同
ca cB aa?
0?BC?
21
４,速度瞬心法利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法,
平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。
若 P点为速度瞬心，则任意一点 A的速度方向?AP，指向与? 一致。 APv A
５,注意的问题
① 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。
② 速度瞬心处的速度为零,加速度不一定为零。不同于定轴转动
③ 刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度是不一定相同的。不同于刚体作平动。
22
解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运动,滑块 B作平动。①
基点法（合成法）
研究 AB，以 A为基点，且 方向如图示。,?lv
A?
llABv
llvv
ll
vv
BAAB
ABA
AB
//
45tgtg
)(245c o s/
c o s/
（ ）
[例 1] 已知：曲柄连杆机构 OA=AB=l，
取柄 OA以匀?转动。 求：当? =45o时,
滑块 B的速度及 AB杆的角速度．
根据,
BAAB vvv
在 Ｂ 点做 速度平行四边形，如图示。
23
)(2
//
,
lBPv
llAPv
lAPlv
ABB
AAB
A? （ ）
试比较上述三种方法的特点。
ABAABB vv?根据速度投影定理
c o sBA vv?
)(245c o s/
c o s/
ll
vv AB
不能求出 AB?
② 速度投影法 研究 AB,,
方向?OA,方向沿 BO直线
lv A?
Bv
③ 速度瞬心法研究 AB，已知 的方向，因此可确定出 P点为速度瞬心
BA vv,
24
§ 9-4 平面图形内各点的加速度加速度瞬心的概念取 A为基点，将平动坐标系固结于 A点取 B动点，则 B点的运动分解为相对运动为圆周运动和牵连运动为平动．
nBABABArAeBa aaaaaaaa ; ;
于是,由牵连平动时加速度合成定理 可得如下公式．
rea aaa
nBABAAB aaaa
一,基点法 (合成法 ) 已知：图形 S 内一点 A 的加速度 和图形的?,?（某一瞬时）。
求,该瞬时图形上任一点 B的加速度。
Aa
25
其中：,方向?AB，指向与?一致；
，方向沿 AB，指向 A点。
ABa BA
2 ABa nBA
即 平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和 。这种求解加速度的方法称为 基点法,也称为 合成法 。是求解平面图形内一点加速度的基本方法。
上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求出其余两个。由于 方位总是已知，所以在使用该公式中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。
nBABA aa,?
nBABAAB aaaa
26
nBABA aa,?
二．加速度瞬心,
由于 的大小和方向随 B点的不同而不同,所以总可以在图形内找到一点 Q，在此瞬时，相对加速度 大小恰与基点 A的加速度 等值反向，其绝对加速度
Q点就称为图形在该瞬时的 加速度瞬心,
QAa
Aa 0?Qa
[注 ]① 一般情况下,加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点．
② 一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关系式,即一般情况下,图形上任意两点 A,B的加速度
ABBABA aa?
若某瞬时图形? =0,即瞬时平动,则有即 若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等,
ABBABA aa?
27
③ 由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，且一般情况下又不存在类似于速度投影定理的关系式，故常采用基点法求图形上各点的加速度或图形角加速度．
分析：
大小？ √ Ｒ? Ｒ? 2
方向？ √ √ √
故应先求出．
nPOPOOP aaaa
Rv O / （ ）
[例 1] 半径为 R的车轮沿直线作纯滚动,已知轮心 O点的速度及加速度,求车轮与轨道接触点 P的加速度,O
v
Oa
解：轮 O作平面运动,P为速度瞬心，
28
由于此式在任何瞬时都成立，且 O点作直线运动，故而
RadtdvRdtd OO 1
（ ）
由此看出，速度瞬心 P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心．当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心 P的加速度指向轮心．
以 O为基点，有 其中：
做出加速度矢量图，由图中看出：
（ 与 等值反向）
即
nPOPOOP aaaa
R
v
R
vRRaaRa OOn
POOPO
2
22 )(,
nPOP aa?
Oa?POa
)(/2 Rva OP
29
解,(a) AB作平动,),(,n
BnABABABA aaaaaavv
BOAO
BOaAOa
BOvAOv
BA
BA
21
2211
2211;/,/;/,/
而又
,; 2121
[例 2] 已知 O1A=O2B,图示瞬时 O1A?/O2B
试问 (a),(b)两种情况下?1和? 2,?1和?2是否相等？
(a) (b)
30
(b) AB作平面运动,图示瞬时作瞬时平动,此时 BAAB vv,0?
21221121,/,/, BOvAOvBOAO BA?
ABnBABBABnAABAABBABA aaaaaa,即
c o ss i nc o ss i n 2222221111 BOBOAOAO
BA aaAB 作瞬时平动时并由此看出即,c t g2 212112
31
[例 3] 曲柄滚轮机构 滚子半径 R=15cm,n=60 rpm
求：当? =60o时 (OA?AB),滚轮的?Ｂ,?Ｂ,
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32
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33
解,OA定轴转动,AB杆和轮 B作平面运动研究 AB：
r a d / s 32153/30/ 1 APv AAB
（ ）
cm / s 30215
r ad / s 230/6030/
OAv
n
A
P１ 为其速度瞬心
)(c m / s 3203215321 ABB BPv
分析,要想求出滚轮的?Ｂ,?Ｂ 先要求出 vB,aB
P2
P1
vBP2为轮速度瞬心
34
取 A为基点,2222 c m / s60)2(15 OAa A 指向 O点
nBABAAB aaaa ),
3
320)
3
2(153( 222 BAABa
AB
n
BA 沿?
大小？ √？ √
方向 √ √ √ √
作加速度矢量图，将上式向 BA线上投影
nBAB aa 0030co s?
)(c m / s5.1313402 3/3 32030c os/ 222nBAB aa
r a d / s25.715/320/ 2 BPv BB
22 r a d / s77.815/5.131/ BPa BB?
）(
）(
研究轮 B,P2为其速度瞬心
35
第九章 刚体平面运动习题课一．概念与内容
1,刚体平面运动的定义刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变．
2,刚体平面运动的简化可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形 S在自身平面内的运动代替刚体的整体运动．
3,刚体平面运动的分解分解为
4,基点可以选择平面图形内任意一点,通常是运动状态已知的点．
随基点的平动（平动规律与基点的选择有关）
绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）
36
5,瞬心（速度瞬心）
① 任一瞬时,平面图形或扩大部分都唯一存在一个速度为零的点
② 瞬心位置随时间改变．
③ 每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动．这种瞬时绕瞬心的转动与定轴转动不同．
④? =0,瞬心位于无穷远处,各点速度相同,刚体作瞬时平动,
瞬时平动与平动不同．
6,刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例．
7,求平面图形上任一点速度的方法
①基点法：
②速度投影法：
③速度瞬心法：
其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例．
为基点Avvv BAAB,
ABAABB vv?
为瞬心一致与 PBPvBPv BB,,,
37
8,求平面图形上一点加速度的方法基点法：,A为基点,是最常用的方法此外，当? =0,瞬时平动时也可采用方法它是基点法在? =0时的特例。
nBABAAB aaaa
ABAABB aa?
9,平面运动方法与合成运动方法的应用条件
① 平面运动方法用于研究 一个平面运动刚体 上任意两点的速度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形角速度、角加速度之间的关系．
② 合成运动方法常用来确定 两个相接触的物体 在接触点处有相对滑动时的运动关系的传递．
38
二．解题步骤和要点
1,根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动形式．注意每一次的研究对象只是一个刚体．
2,对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速度 (图形角速度 )问题的方法,用基点法求加速度 (图形角加速度 )
3,作速度分析和加速度分析，求出待求量．
(基点法,恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图；
速度投影法,不能求出图形? ;
速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键．）
39
[例 1] 曲柄肘杆压床机构已知,OA=0.15m,n=300 rpm,AB=0.76m,
BC=BD=0.53m,图示位置时,AB水平求该位置时的,及ABBD
Dv
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41
[例 1] 曲柄肘杆压床机构已知,OA=0.15m,n=300 rpm,AB=0.76m,
BC=BD=0.53m,图示位置时,AB水平,
求该位置时的,及
ABBD Dv
解,OA,BC作定轴转动,
AB,BD均作平面运动根据题意：
研究 AB,P１ 为其速度瞬心
r a d / s103030030 n
m / s 5.11015.0 OAv A
（ ） r a d / s 16.7
376.0
25.1
60s i n
5.1
1
ABAPv AAB
m / s 72.216.75.076.016.760c os1ABBPv ABB?
研究 BD,P2为其速度瞬心,?BDP2为等边三角形 DP2=BP2=BD
r a d / s 13.553.0 73.2
2
BPv BBD?
)(m / s 72.213.553.02 BDD DPv?
（ ）
42
[例 2] 行星齿轮机构请看动画
43
解,OA定轴转动 ; 轮 A作平面运动,瞬心 P点
,)(2211 ooM rRr rRrPMv
ooA r rRrrRv )(
）(
方向均如图示,)(2222 ooM rRr rRrPMv
[例 2] 行星齿轮机构已知,R,r,?o 轮 A作纯滚动，求
21,MM vv
44
[例 3] 平面机构中,楔块 M,? =30o,v=12cm/s ; 盘,r = 4cm,与 楔块间无滑动．求圆盘的?及轴 O的速度和 B点速度．
请看动画
45
解,轴 O,杆 OC,楔块 M均作平动,
圆盘作平面运动,P为速度瞬心
,c m / s 12 vv A
r a d / s 3230c o s4/12c o s/12/ rPAv A
)(m / s 343230s i n4s i n rPOv o
m7221422421 20c os2 2222OBPOOBPOPB
) ( m / s 3.182143272 PBPBv B
）(
[例 3] 平面机构中,楔块 M,? =30o,v=12cm/s ;
盘,r = 4cm,与 楔块间无滑动．求圆盘的?
及轴 O的速度和 B点速度．
46
① 比较 [例 2]和 [例 3]可以看出,不能认为圆轮只滚不滑时,接触点就是瞬心,只有在接触面是固定面时,圆轮上接触点才是速度瞬心
② 每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和角速度,并且瞬心在刚体或其扩大部分上,不能认为瞬心在其他刚体上,例如,[例 1] 中 AB的瞬心在 P1点,BD的瞬心在 P2
点,而且 P1也不是 CB杆上的点
47
[例 4] 导槽滑块机构 请看动画
48
[例 4] 导槽滑块机构已知,曲柄 OA= r,匀角速度? 转动,连杆 AB的中点 C处连接一滑块 C可沿导槽 O1D滑动,AB=l,图示瞬时 O,A,O1三点在同一水平线上,OA?AB,?AO1C=?=30。
求,该瞬时 O1D的角速度．
解,OA,O1D均作定轴转动,
AB作平面运动
① 研究 AB:,图示位置,
作 瞬时平动,所以
rvvrv AcB ;
rvA?
② 用合成运动方法求 O1D杆上与滑块 C 接触的点的速度动点,AB杆上 C (或滑块 C ),动系,O1D杆,静系,机架
49
绝对运动,曲线运动,方向 ④
相对运动,直线运动，,方向 // O1D
牵连运动,定轴转动，,方向? O1D
rvv ca
rv
ev
根据,作速度平行四边形
rea vvv
rrvv Ce 2 330c osc os
l
r
l
r
CO
v
COv
e
DO
DOe
2
3
s i n/
2
23
1
1
1
1
又
）(
这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论求解的综合性问题,注意这类题的解法，再看下例．
50
[例 5] 平面机构请看动画
51
[例 5] 平面机构图示瞬时,O点在 AB中点,? =60o,
BC?AB,已知 O,C在同一水平线上,
AB=20cm,vA=16cm/s,
试求 该瞬时 AB杆,BC杆的角速度及滑块 C的速度．
解,轮 A,杆 AB,杆 BC均作平面运动,套筒 O作定轴转动,滑块 C平动,
取套筒上 O点为 动点,动系 固结于 AB杆 ; 静系 固结于机架,
rea vvv
,由于 沿 AB,
所以 方向沿 AB并且与 反向。 从而确定了 AB杆上与 O点接触点的速度方向。
ra vv,0?
ev rv
研究 AB,P1为速度瞬心
52也可以用瞬心法求?BC和 vC，很简便
cm / s31631660
cm / s321622
60co s
tgvv
vvv
BCB
B
B
C
cm3103 OBBCBCv BCCB
研究 BC,以 B为基点,
根据作 速度平行四边形
CBBC vvv
c m / s 1611 AABABB vAPBPv
r a d / s 35460s i n/10 16s i n/16
1
OAAPv AAB
）(
（ ）
r a d / s 6.1310 316 BCv CBBC?
53
解,OA定轴转动 ; AB,BC均作平面运动,
滑块 B和 C均作平动
① 求 cv
对 AB杆应用速度投影定理：
30c o s60c o s AB vv? oAB rvv?33
对 BC杆应用速度投影定理,?60s inBc vv?
)( ooc rrv 232 33
[例 6] 已知,配气机构中,OA= r,以等?o转动,在某瞬时? = 60o
AB?BC,AB=6 r,BC=,求 该瞬时滑块 C的速度和加速度．
r33
54
② 求 ca
以 A为基点 求 B点加速度,n
BABAAB aaaa
( a )
,,22 ABnBAoA ABara P1为 AB杆速度瞬心，而 rAP 31?
22
1
3
2
3
6
33
o
on
BA
ooA
AB
rra
r
r
AP
v
)(
,
作加速度矢量图,
并沿 BA方向投影
222
33
4
6060
oooB
n
BAAB
rrra
aaa
c o sc o s
55
)( baaaa nCBCBBc
作加速度矢量图,
P2 为 BC的瞬心,而 P2C = 9 r
再以 B为基点,求
ca
69
1
2
3
2
oocBC
rrCP
v
222
12
3
633 ooBC
n
CB rrBCa?
)(
将 (b) 式在 BC方向线上投影
222
12
3
12
3
2
3
330 ooo
n
CBBc rr
raaac os
[注 ] 指向可假设，结果为正说明假设与实际指向相同，
反之，结果为负，说明假设与实际指向相反,cB aa,
30o
56
[例 7] 导槽滑块机构 请看动画
57
解,① 应用点的合成运动方法确定 CD杆上 C点与 AE杆上接触 点 C'之间的速度关系取 CD杆上 C为动点，动系固结于 AE，静系固结于机架；则
(a)
rcc vvv '
② 应用平面运动方法确定 AE上 A,C' 点之间速度关系
(b)
AcAc vvv'
[例 7] 导槽滑块机构图示瞬时,杆 AB速度,杆 CD速度及? 角已知，且 AC= l,
求导槽 AE的图形角速度．
u
v
58
将 (b) 代入 (a) 得,作速度矢量图投至?轴，
且 vC＝ v,v＝ u，有
rACAC vvvv
s i n c os
s i nc os
uvv
vvv
AC
ACAC
即
l
uv
AC
v AC
AE
s i nc o s （ ）
59
