1
2
§ 14–1 力的功
§ 14–2 动能
§ 14–3 动能定理
§ 14–4 功率 · 功率方程
§ 14–5 势力场 · 势能 · 机械能守恒定理
§ 14–6 动力学普遍定理及综合应用第十四章 动能定理
3
与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量 —动能和作用力的物理量 —功之间的联系，这是一种能量传递的规律。
14-1 力的功力的功是力沿路程累积效应的度量。
SF
FSW
c o s?
力的功是代数量。 时,正功； 时,功为零； 时,负功。
单位：焦耳（Ｊ）；
2 2 2
m1N1J1
一．常力的功
4
二．变力的功
dsF
rdF
Z dzY dyX dx
kdzjdyidxrdkZjYiXF,(
)Z d zY d yX dxrdF
力 在曲线路程 中作功为F
21MM
2
1
2
1
c os
M
M
M
M
dsFdsFW （自然形式表达式）
2
1
M
M
rdF （矢量式）
2
1
M
M
Z d zY d yX d x
（直角坐标表达式）
dsFW c o s?元功,
5
三．合力的功质点 M 受 n个力 作用合力为 则合力的功
nFFF,,,21 iFR R
rdFFFrdRW n
M
M
M
M
)(
2
1
2
1
21
rdFrdFrdF
M
M
n
M
M
M
M
2
1
2
1
2
1
21
nWWW 21
即在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。
iWW
6
四．常见力的功
1．重力的功
2
1
)( 21
z
z
zzmgmg d zW
质点系,)()(
2121 CCiiii zzMgzzgmWW
质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。
mgZYX,0,0
质点：重力在三轴上的投影：
7
2．弹性力的功弹簧原长,在弹性极限内
k—弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力。 N/m,N/cm。。
0l 00 )( rlrkF
rrr /0?
2
1
2
1
00 )(
m
M
M
M
rdrlrkrdFW
drrdrrrdrrdrrrdr )(21)(21 20
2
00 )( 2 )(
2
1
2
1
lrdkdrlrkW
r
r
r
r
022011202201,])()[(2 lrlrlrlrk令
)( 22212 kW即弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。
8
dFmrdFdsFW z )(
)( 12
2
1
)(
dFmW z
作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。
2
1
mdW
若 m = 常量,则 )( 12 mW
注意：功的符号的确定。
3．万有引力的功
)11( 120 rrG m mW
万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。
如果作用力偶,m,且力偶的作用面垂直转轴
4．作用于转动刚体上的力的功，力偶的功设在绕 z 轴转动的刚体上 M点作用有力,计算刚体转过一角度?时力 所作的功。 M点轨迹已知。
F
F bn FFFF
9
0 dtvrd C 0 dtvFrdFW
C?
正压力,摩擦力 作用于瞬心 C处，而瞬心的元位移N F
(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功
(3) 滚动摩擦阻力偶 m的功
5．摩擦力的功
(1) 动滑动摩擦力的功
2121 'MMMM N dsfdsFW?
N=常量时,W= –f′N S,与质点的路径有关。
R
smmW若 m = 常量则
10
五．质点系内力的功只要 A,B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零 。
不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。
不可伸长的绳索内力功之和等于零 。
BA rdFrdFW '? BA rdFrdF
)( BA rrdF )( BAdF
11
六．理想约束反力的功约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束 。
1．光滑固定面约束
2．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承
3．刚体沿固定面作纯滚动
4．联接刚体的光滑铰链（中间铰）
5．柔索约束（不可伸长的绳索）
拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
)( 0)( rdNrdNW N
rdNrdNW N ')(?
0 rdNrdN
12
§ 14-2 动能物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。
一．质点的动能二．质点系的动能
221 mvT?
瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位也是 J。
221 ii vmT
对于任一质点系：（ 为第 i个质点相对质心的速度）'
iv
22 '2121 iiC vmMvT 柯尼希定理
13
221?PIT?
（ P为速度瞬心）
2MdII CP
22222 21 21)(2121 CCC IvMdMI
2222 2121)(2121 Ciii MvMvvmvmT
2222 21)(2121 ziiii IrmvmT
1．平动刚体
2．定轴转动刚体
3．平面运动刚体三．刚体的动能
14
§ 14-3 动能定理
1．质点的动能定理：
)21()(2)( 2mvdvvdmdtvvmdtd而
Wmvd)21( 2
因此 动能定理的微分形式将上式沿路径 积分，可得
21MM
Wmvmv 2122 2121 动能定理的积分形式两边点乘以,有dtvrd rdFdtvvmdtd
FvmdtdFam )(
15
对质点系中的一质点,
iM
iii Wvmd)21( 2
即 质点系动能定理的微分形式
iWdT?
21MM
WTT 12 质点系动能定理的积分形式在理想约束的条件下，质点系的动能定理可写成以下的形式
)(12)( ; FF WTTWdT?
iiiiii WvmdWvmd )21( )21( 22
对整个质点系，有
2．质点系的动能定理将上式沿路径 积分，可得
16
[例 1] 图示系统中,均质圆盘 A,B各重 P，半径均为 R,两盘中心线为水平线,盘 A上作用矩为 M(常量 )的一力偶；重物 D重 Q。问下落距离 h时重物的速度与加速度。 (绳重不计，绳不可伸长，
盘 B作纯滚动，初始时系统静止 )
17
解,取系统为研究对象
)/( )( RhQhmW F 01?T
222
2 2
1
2
1
2
1
BCAO Ivg
QIT
)78(
16
2
3
2
1
2
1
22
1
2
22222
PQ
g
v
R
g
Pv
g
Q
R
g
P
BA
)(12 FWTT由
PQ
hgQRMvhQ
R
MPQ
g
v
78
)/(4 )(0)78(
16
2
上式求导得：
)( )(216 78 dtdhvdtdhQRMdtdvvg PQ
PQ
gQRMa
78
)/(8
18
动能定理的应用练习题
1．图示的均质杆 OA的质量为 30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数 k =3kN/m，为使杆能由铅直位置 OA
转到水平位置 OA'，在铅直位置时的角速度至少应为多大？
解,研究 OA杆
)(212.1 2221)( kPW F ])22.14.2(0[3 0 0 0212.18.930 22
)J(4.38 8
,8.284.2303121 202021T
02?T 由 )(12 FWTT
r a d / s67.3
4.3 8 88.280
0
2
0
19
2．行星齿轮传动机构,放在水平面内。 动齿轮半径 r,重 P,视为均质圆盘；曲柄重 Q,长 l,作用一力偶,矩为 M(常量 ),曲柄由静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角? 的函数表示 ) 和角加速度。
解,取整个系统为研究对象
MW F )(
01?T 21221222 2 2121321 grPvgPgQlT
rlrvlv 111,
22222222 12 92)( 4 )(26 lg PQrlgrPlgPgQlT
根据动能定理，得
Mlg PQ 012 92 22? PQ
gM
l 92
32
将?式对 t 求导数，得
2)92(
6
lPQ
gM
20
3．两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示； OA杆质量是
AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当 OA杆转到铅垂位置时,AB杆 B 端的速度。
mgmgmgW F 35.1)15.06.0(2 9.02)(
01?T
2222 219.023121 mvmT
v9.0
得代入到 )(1222 65 FWTTmvT
m / s98.3 35.1065 2 vmgmv
解,取整个系统为研究对象
21
§ 14-4 功率 · 功率方程一．功率,力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。
dtWN
作用力的功率：
vFvFdt rdFdtWN
力矩的功率：
30
nMM
dt
dM
dt
WN zzz
功率的单位：瓦特（ W），千瓦（ kW），１ W=１ J/s 。
22
二．功率方程,
由 的两边同除以 dt 得 WdT?
无用有用输入即 NNNNdtdTdt WdtdT?
分析：起动阶段（加速）,即制动阶段（减速）,即稳定阶段（匀速）,即
0?dtdT
0?dtdT
0?dtdT
无用有用输入 NNN
无用有用输入 NNN
无用有用输入 NNN
机器稳定运行时,机械效率0/?dtdT
%1 0 0
输入有用
N
N?
是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下? ＜１ 。
23
§ 14-5 势力场、势能、机械能守恒定律一．势力场
1．力场,若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为 力场 。
重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。
质点在势力场中受到的场力称为有势力 (保守力 ),如重力、弹力等。
2．势力场,在力场中,如果作用于质点的场力作功只决定于质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为 势力场 。
24
二．势能在势力场中,质点从位置 M 运动到任选位置 M0,有势力所作的功称为质点在位置 M 相对于位置 M0的势能，用 V 表示。
00
M
M
M
M
Z d zY d yX d xrdFV
M0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。势能具有相对性。
dVZ dzY dyX d x
),,( zyxVV? 是坐标的单值连续函数。
等势面：质点位于该面上任何地方，势能都相等。
dzzVdyyVdxxVdV,,zVZyVYxVX
质点系的势能：
io
i
M
M
iiiiiinnn dzZdyYdxXzyxzyxV )(),,,,,,( 111
25
1.重力场质点：
质点系：
2,弹性力场,取弹簧的自然位置为零势能点
3,万有引力场,取与引力中心相距无穷远处为零势能位置
PhzzPV )( 0
hPzzPV CC )( 0
221?kV?
)( 0r
r
mGmV 21
有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。
三．有势力的功在 M1位置：
101
0
1
WrdFV
M
M
202 0
2
WrdFV M
M
M2位置：
21201012 VVWWW
M1→ M2：
26
设质点系只受到有势力 (或同时受到不作功的非有势力 ) 作用，
则 211212 VVWTT
—机械能守恒定律 常量
2211 VTVT
对非保守系统，设非保守力的功为 W12',则有
121122 )()( WVTVT
四．机械能守恒定律机械能：系统的动能与势能的代数和 。
这样的系统成为保守系统 。
[例 1] 长为 l，质量为 m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角?
和质心的位置表达）。
27
解,由于水平方向不受外力，
且初始静止，故质心 C铅垂下降。
由于约束反力不作功,主动力为有势力，
因此可用机械能守恒定律求解。
s i n2,s i n2 c os12 l ylyly 即又由机械能守恒定律：
)2(2124120 222 ylmgymmlmgl
将 代入上式，化简后得
sin2l y
ygy2
2
s in31
s in6
mglVT 2,0 11初瞬时：
222222 212412121 ymmlymIT C
)2(2 ylmgV
任一瞬时：
28
§ 14-6 动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和动能定理。 动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。
动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义,一是能根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联合求解。
求解过程中,要正确进行运动分析,提供正确的运动学补充方程。
29
举例说明动力学普遍定理的综合应用：
[例 1] 两根均质杆 AC和 BC各重为 P，长为 l，在 C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止,C点高度为 h，求铰 C到达地面时的速度。
30
讨论?动量守恒定理＋动能定理求解。
计算动能时，利用平面运动的运动学关系。
解,由于不求系统的内力，可以不拆开。
研究对象：整体分析受力：,
且初始静止，所以水平方向质心位置守恒。
0)( exF
PhhPW F 22)( 01?T
22222 3123121 lgPlgPT
代入动能定理：
ghvPhvgP CC 3 031 2
22 31 CC vgPTlv
31
[例 2] 均质圆盘 A,m,r；滑块 B：
m；杆 AB：质量不 计，平行于斜面。斜面倾角?，摩擦系数 f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：
滑块的加速度。
解：选系统为研究对象
)c oss i n2( c os s i n 2)( fSmgm gSfSmgW F
222221 21212121 0?mrmvmvTT
运动学关系,?rv?
22 45 mvT
由动能定理：
)c o ss i n2(045 2 fm g Smv
对 ｔ 求导，得
gfa )co s52s i n54(
32
[例 3] 重 150N的均质圆盘与重 60N、长 24cm的均质杆 AB在 B处用铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。 求 系统经过最低位置 B'点时的速度及支座 A的约束反力。
解,（ 1）取圆盘为研究对象; 0)(Fm B 0 0 BBBI
00 B,圆盘平动。
33
（ 2）用动能定理求速度 。
取系统研究。初始时 T1=0,
最低位置时：
2222 2121 BA vgGIT
2212221 6 3213121 BBB vg GGvgGvgG
)30s i n)(2()30s i n()30s i n22( 2121)( llGGllGllGW F
)(12 FWTT
)30s i n)(2(06 3 21221 llGGvg GG B
代入数据，得 m /s 58.1'?Bv
34
（ 3）用动量矩定理求杆的角加速度? 。
)31(31 2221221 lgGlgGvlgGlgGL A
由于 0)( )( e
AA FmdtdL
所以?＝ 0 。
杆质心 C的加速度：
盘质心加速度：
)0( 2 2 CnCC alaa
)0( 2' BnBB alaa
r a d/ s 58.624.0 58.1' lv B?
（ 4）由质心运动定理求支座反力。 研究整个系统。; 0'21 ABcixi XagGagGam
代入数据，得 N4 0 1,0
AA YX
212221 2 GGYlgGlgGam Aiyi
35
相对质心动量矩守恒定理 +动能定理 +动量矩定理 +质心运动定理。
可用对积分形式的动能定理求导计算?，但要注意需取杆 AB在一般位置进行分析 。
mLmvK C 61
])6(121[ 22 LmmLIL OO
291 mL?
222 18121 mLIT O
223 mRL O?
2243?mRT?
mRK? mvK?
221 mRL C?
222 4121?mRmvT
[例 4] 基本量计算 (动量,动量矩,动能 )
36
[例５ ] 质量为 m 的杆置于两个半径为 r,质量为 的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力 时，杆的加速度。
设接触处都有摩擦，而无相对滑动。
2m
P
解,(1)用动能定理求解。
取系统为研究对象，杆作平动，圆柱体作平面运动。设任一瞬时，
杆的速度为 v，则圆柱体质心速度为 v/2，角速度
rv2
系统的动能
22222 1611])2)(221(21)2(221[221 mvrvrmvmmvT
主动力的元功之和, dSPW F )(? 由动能定理的微分形式：
)( FWdT? dSPmvd)
1611( 2
两边除以,并求导数，得dt
vPavm 21611 mPa 118
37
(2) 用动量矩定理求解取系统为研究对象
m v rrvrmrvmrmvL O 411)222122(22 2 rPFm eO 2)( )(
根据动量矩定理：,得 )( Fm
dtdL OO
rPmv rdtd 2)411(
mParPm r a 118 2411
38
解,取杆为研究对象
231 2 lPlgP lg 2/3
由质心运动定理：
OCx Xag
P 0
PYPYlgPagP OOCy 41 2
[例 6] 均质杆 OA，重 P，长 l，绳子突然剪断。 求 该瞬时，角加速度及 O处反力。
由动量矩定理：
39
2
§ 14–1 力的功
§ 14–2 动能
§ 14–3 动能定理
§ 14–4 功率 · 功率方程
§ 14–5 势力场 · 势能 · 机械能守恒定理
§ 14–6 动力学普遍定理及综合应用第十四章 动能定理
3
与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量 —动能和作用力的物理量 —功之间的联系，这是一种能量传递的规律。
14-1 力的功力的功是力沿路程累积效应的度量。
SF
FSW
c o s?
力的功是代数量。 时,正功； 时,功为零； 时,负功。
单位：焦耳（Ｊ）；
2 2 2
m1N1J1
一．常力的功
4
二．变力的功
dsF
rdF
Z dzY dyX dx
kdzjdyidxrdkZjYiXF,(
)Z d zY d yX dxrdF
力 在曲线路程 中作功为F
21MM
2
1
2
1
c os
M
M
M
M
dsFdsFW （自然形式表达式）
2
1
M
M
rdF （矢量式）
2
1
M
M
Z d zY d yX d x
（直角坐标表达式）
dsFW c o s?元功,
5
三．合力的功质点 M 受 n个力 作用合力为 则合力的功
nFFF,,,21 iFR R
rdFFFrdRW n
M
M
M
M
)(
2
1
2
1
21
rdFrdFrdF
M
M
n
M
M
M
M
2
1
2
1
2
1
21
nWWW 21
即在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。
iWW
6
四．常见力的功
1．重力的功
2
1
)( 21
z
z
zzmgmg d zW
质点系,)()(
2121 CCiiii zzMgzzgmWW
质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。
mgZYX,0,0
质点：重力在三轴上的投影：
7
2．弹性力的功弹簧原长,在弹性极限内
k—弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力。 N/m,N/cm。。
0l 00 )( rlrkF
rrr /0?
2
1
2
1
00 )(
m
M
M
M
rdrlrkrdFW
drrdrrrdrrdrrrdr )(21)(21 20
2
00 )( 2 )(
2
1
2
1
lrdkdrlrkW
r
r
r
r
022011202201,])()[(2 lrlrlrlrk令
)( 22212 kW即弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。
8
dFmrdFdsFW z )(
)( 12
2
1
)(
dFmW z
作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。
2
1
mdW
若 m = 常量,则 )( 12 mW
注意：功的符号的确定。
3．万有引力的功
)11( 120 rrG m mW
万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。
如果作用力偶,m,且力偶的作用面垂直转轴
4．作用于转动刚体上的力的功，力偶的功设在绕 z 轴转动的刚体上 M点作用有力,计算刚体转过一角度?时力 所作的功。 M点轨迹已知。
F
F bn FFFF
9
0 dtvrd C 0 dtvFrdFW
C?
正压力,摩擦力 作用于瞬心 C处，而瞬心的元位移N F
(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功
(3) 滚动摩擦阻力偶 m的功
5．摩擦力的功
(1) 动滑动摩擦力的功
2121 'MMMM N dsfdsFW?
N=常量时,W= –f′N S,与质点的路径有关。
R
smmW若 m = 常量则
10
五．质点系内力的功只要 A,B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零 。
不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。
不可伸长的绳索内力功之和等于零 。
BA rdFrdFW '? BA rdFrdF
)( BA rrdF )( BAdF
11
六．理想约束反力的功约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束 。
1．光滑固定面约束
2．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承
3．刚体沿固定面作纯滚动
4．联接刚体的光滑铰链（中间铰）
5．柔索约束（不可伸长的绳索）
拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
)( 0)( rdNrdNW N
rdNrdNW N ')(?
0 rdNrdN
12
§ 14-2 动能物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。
一．质点的动能二．质点系的动能
221 mvT?
瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位也是 J。
221 ii vmT
对于任一质点系：（ 为第 i个质点相对质心的速度）'
iv
22 '2121 iiC vmMvT 柯尼希定理
13
221?PIT?
（ P为速度瞬心）
2MdII CP
22222 21 21)(2121 CCC IvMdMI
2222 2121)(2121 Ciii MvMvvmvmT
2222 21)(2121 ziiii IrmvmT
1．平动刚体
2．定轴转动刚体
3．平面运动刚体三．刚体的动能
14
§ 14-3 动能定理
1．质点的动能定理：
)21()(2)( 2mvdvvdmdtvvmdtd而
Wmvd)21( 2
因此 动能定理的微分形式将上式沿路径 积分，可得
21MM
Wmvmv 2122 2121 动能定理的积分形式两边点乘以,有dtvrd rdFdtvvmdtd
FvmdtdFam )(
15
对质点系中的一质点,
iM
iii Wvmd)21( 2
即 质点系动能定理的微分形式
iWdT?
21MM
WTT 12 质点系动能定理的积分形式在理想约束的条件下，质点系的动能定理可写成以下的形式
)(12)( ; FF WTTWdT?
iiiiii WvmdWvmd )21( )21( 22
对整个质点系，有
2．质点系的动能定理将上式沿路径 积分，可得
16
[例 1] 图示系统中,均质圆盘 A,B各重 P，半径均为 R,两盘中心线为水平线,盘 A上作用矩为 M(常量 )的一力偶；重物 D重 Q。问下落距离 h时重物的速度与加速度。 (绳重不计，绳不可伸长，
盘 B作纯滚动，初始时系统静止 )
17
解,取系统为研究对象
)/( )( RhQhmW F 01?T
222
2 2
1
2
1
2
1
BCAO Ivg
QIT
)78(
16
2
3
2
1
2
1
22
1
2
22222
PQ
g
v
R
g
Pv
g
Q
R
g
P
BA
)(12 FWTT由
PQ
hgQRMvhQ
R
MPQ
g
v
78
)/(4 )(0)78(
16
2
上式求导得：
)( )(216 78 dtdhvdtdhQRMdtdvvg PQ
PQ
gQRMa
78
)/(8
18
动能定理的应用练习题
1．图示的均质杆 OA的质量为 30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数 k =3kN/m，为使杆能由铅直位置 OA
转到水平位置 OA'，在铅直位置时的角速度至少应为多大？
解,研究 OA杆
)(212.1 2221)( kPW F ])22.14.2(0[3 0 0 0212.18.930 22
)J(4.38 8
,8.284.2303121 202021T
02?T 由 )(12 FWTT
r a d / s67.3
4.3 8 88.280
0
2
0
19
2．行星齿轮传动机构,放在水平面内。 动齿轮半径 r,重 P,视为均质圆盘；曲柄重 Q,长 l,作用一力偶,矩为 M(常量 ),曲柄由静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角? 的函数表示 ) 和角加速度。
解,取整个系统为研究对象
MW F )(
01?T 21221222 2 2121321 grPvgPgQlT
rlrvlv 111,
22222222 12 92)( 4 )(26 lg PQrlgrPlgPgQlT
根据动能定理，得
Mlg PQ 012 92 22? PQ
gM
l 92
32
将?式对 t 求导数，得
2)92(
6
lPQ
gM
20
3．两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示； OA杆质量是
AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当 OA杆转到铅垂位置时,AB杆 B 端的速度。
mgmgmgW F 35.1)15.06.0(2 9.02)(
01?T
2222 219.023121 mvmT
v9.0
得代入到 )(1222 65 FWTTmvT
m / s98.3 35.1065 2 vmgmv
解,取整个系统为研究对象
21
§ 14-4 功率 · 功率方程一．功率,力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。
dtWN
作用力的功率：
vFvFdt rdFdtWN
力矩的功率：
30
nMM
dt
dM
dt
WN zzz
功率的单位：瓦特（ W），千瓦（ kW），１ W=１ J/s 。
22
二．功率方程,
由 的两边同除以 dt 得 WdT?
无用有用输入即 NNNNdtdTdt WdtdT?
分析：起动阶段（加速）,即制动阶段（减速）,即稳定阶段（匀速）,即
0?dtdT
0?dtdT
0?dtdT
无用有用输入 NNN
无用有用输入 NNN
无用有用输入 NNN
机器稳定运行时,机械效率0/?dtdT
%1 0 0
输入有用
N
N?
是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下? ＜１ 。
23
§ 14-5 势力场、势能、机械能守恒定律一．势力场
1．力场,若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为 力场 。
重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。
质点在势力场中受到的场力称为有势力 (保守力 ),如重力、弹力等。
2．势力场,在力场中,如果作用于质点的场力作功只决定于质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为 势力场 。
24
二．势能在势力场中,质点从位置 M 运动到任选位置 M0,有势力所作的功称为质点在位置 M 相对于位置 M0的势能，用 V 表示。
00
M
M
M
M
Z d zY d yX d xrdFV
M0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。势能具有相对性。
dVZ dzY dyX d x
),,( zyxVV? 是坐标的单值连续函数。
等势面：质点位于该面上任何地方，势能都相等。
dzzVdyyVdxxVdV,,zVZyVYxVX
质点系的势能：
io
i
M
M
iiiiiinnn dzZdyYdxXzyxzyxV )(),,,,,,( 111
25
1.重力场质点：
质点系：
2,弹性力场,取弹簧的自然位置为零势能点
3,万有引力场,取与引力中心相距无穷远处为零势能位置
PhzzPV )( 0
hPzzPV CC )( 0
221?kV?
)( 0r
r
mGmV 21
有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。
三．有势力的功在 M1位置：
101
0
1
WrdFV
M
M
202 0
2
WrdFV M
M
M2位置：
21201012 VVWWW
M1→ M2：
26
设质点系只受到有势力 (或同时受到不作功的非有势力 ) 作用，
则 211212 VVWTT
—机械能守恒定律 常量
2211 VTVT
对非保守系统，设非保守力的功为 W12',则有
121122 )()( WVTVT
四．机械能守恒定律机械能：系统的动能与势能的代数和 。
这样的系统成为保守系统 。
[例 1] 长为 l，质量为 m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角?
和质心的位置表达）。
27
解,由于水平方向不受外力，
且初始静止，故质心 C铅垂下降。
由于约束反力不作功,主动力为有势力，
因此可用机械能守恒定律求解。
s i n2,s i n2 c os12 l ylyly 即又由机械能守恒定律：
)2(2124120 222 ylmgymmlmgl
将 代入上式，化简后得
sin2l y
ygy2
2
s in31
s in6
mglVT 2,0 11初瞬时：
222222 212412121 ymmlymIT C
)2(2 ylmgV
任一瞬时：
28
§ 14-6 动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和动能定理。 动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。
动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义,一是能根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联合求解。
求解过程中,要正确进行运动分析,提供正确的运动学补充方程。
29
举例说明动力学普遍定理的综合应用：
[例 1] 两根均质杆 AC和 BC各重为 P，长为 l，在 C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止,C点高度为 h，求铰 C到达地面时的速度。
30
讨论?动量守恒定理＋动能定理求解。
计算动能时，利用平面运动的运动学关系。
解,由于不求系统的内力，可以不拆开。
研究对象：整体分析受力：,
且初始静止，所以水平方向质心位置守恒。
0)( exF
PhhPW F 22)( 01?T
22222 3123121 lgPlgPT
代入动能定理：
ghvPhvgP CC 3 031 2
22 31 CC vgPTlv
31
[例 2] 均质圆盘 A,m,r；滑块 B：
m；杆 AB：质量不 计，平行于斜面。斜面倾角?，摩擦系数 f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：
滑块的加速度。
解：选系统为研究对象
)c oss i n2( c os s i n 2)( fSmgm gSfSmgW F
222221 21212121 0?mrmvmvTT
运动学关系,?rv?
22 45 mvT
由动能定理：
)c o ss i n2(045 2 fm g Smv
对 ｔ 求导，得
gfa )co s52s i n54(
32
[例 3] 重 150N的均质圆盘与重 60N、长 24cm的均质杆 AB在 B处用铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。 求 系统经过最低位置 B'点时的速度及支座 A的约束反力。
解,（ 1）取圆盘为研究对象; 0)(Fm B 0 0 BBBI
00 B,圆盘平动。
33
（ 2）用动能定理求速度 。
取系统研究。初始时 T1=0,
最低位置时：
2222 2121 BA vgGIT
2212221 6 3213121 BBB vg GGvgGvgG
)30s i n)(2()30s i n()30s i n22( 2121)( llGGllGllGW F
)(12 FWTT
)30s i n)(2(06 3 21221 llGGvg GG B
代入数据，得 m /s 58.1'?Bv
34
（ 3）用动量矩定理求杆的角加速度? 。
)31(31 2221221 lgGlgGvlgGlgGL A
由于 0)( )( e
AA FmdtdL
所以?＝ 0 。
杆质心 C的加速度：
盘质心加速度：
)0( 2 2 CnCC alaa
)0( 2' BnBB alaa
r a d/ s 58.624.0 58.1' lv B?
（ 4）由质心运动定理求支座反力。 研究整个系统。; 0'21 ABcixi XagGagGam
代入数据，得 N4 0 1,0
AA YX
212221 2 GGYlgGlgGam Aiyi
35
相对质心动量矩守恒定理 +动能定理 +动量矩定理 +质心运动定理。
可用对积分形式的动能定理求导计算?，但要注意需取杆 AB在一般位置进行分析 。
mLmvK C 61
])6(121[ 22 LmmLIL OO
291 mL?
222 18121 mLIT O
223 mRL O?
2243?mRT?
mRK? mvK?
221 mRL C?
222 4121?mRmvT
[例 4] 基本量计算 (动量,动量矩,动能 )
36
[例５ ] 质量为 m 的杆置于两个半径为 r,质量为 的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力 时，杆的加速度。
设接触处都有摩擦，而无相对滑动。
2m
P
解,(1)用动能定理求解。
取系统为研究对象，杆作平动，圆柱体作平面运动。设任一瞬时，
杆的速度为 v，则圆柱体质心速度为 v/2，角速度
rv2
系统的动能
22222 1611])2)(221(21)2(221[221 mvrvrmvmmvT
主动力的元功之和, dSPW F )(? 由动能定理的微分形式：
)( FWdT? dSPmvd)
1611( 2
两边除以,并求导数，得dt
vPavm 21611 mPa 118
37
(2) 用动量矩定理求解取系统为研究对象
m v rrvrmrvmrmvL O 411)222122(22 2 rPFm eO 2)( )(
根据动量矩定理：,得 )( Fm
dtdL OO
rPmv rdtd 2)411(
mParPm r a 118 2411
38
解,取杆为研究对象
231 2 lPlgP lg 2/3
由质心运动定理：
OCx Xag
P 0
PYPYlgPagP OOCy 41 2
[例 6] 均质杆 OA，重 P，长 l，绳子突然剪断。 求 该瞬时，角加速度及 O处反力。
由动量矩定理：
39
