1
2
§ 8–1 点的合成运动的概念
§ 8–2 点的速度合成定理
§ 8–3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
§ 8–4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理习题课第八章 点的合成运动
3
§ 8-1 点的合成运动的概念一．坐标系：
1.静坐标系,把固结于地面上的坐标系称为静坐标系,简称静系。
2.动坐标系,把固结于相对于地面运动物体上的坐标系，
称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。
前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点是向后斜落的等。
为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不同的结果呢？ 我们说事物都是相互联系着的。下面我们就将研究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究，下面先来介绍有关的概念。
4
三．三种运动及三种速度与三种加速度。
１．绝对运动,动点对静系的运动。
２．相对运动,动点对动系的运动。
例如：人在行驶的汽车里走动。
３．牵连运动,动系相对于静系的运动例如：行驶的汽车相对于地面的运动。
绝对运动中,动点的速度与加速度称为 绝对速度 与 绝对加速度相对运动中,动点的速度和加速度称为 相对速度 与 相对加速度牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为 牵连速度 与 牵连加速度
aa
ev ea
rv ra
av
牵连点,在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时该点叫牵连点。
点的运动刚体的运动二．动点,所研究的点（运动着的点）。
5
下面举例说明以上各概念：
四．动点的选择原则：
一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有运动的点。
五．动系的选择原则,
动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，
或者能直接看出的。
动点：
动系：
静系：
AB杆上 A点固结于凸轮 Ｏ '上固结在地面上
6
相对运动,
牵连运动,
曲线（圆弧）
直线平动绝对运动,直线
7
evrvav
绝对速度,相对速度,牵连速度,
8
绝对加速度：
相对加速度：
牵连加速度：
aa
ea
ra
9
动点,A（在圆盘上 )
动系,O'A摆杆静系：机架绝对运动：曲线（圆周）
相对运动：直线牵连运动：定轴转动动点,A1（在 O'A1 摆杆上 )
动系：圆盘静系：机架绝对运动：曲线（圆弧）
相对运动：曲线牵连运动：定轴转动
10
若动点 A在偏心轮上时动点,A(在 AB杆上 ) A（在偏心轮上）
动系：偏心轮 AB杆静系：地面 地面绝对运动：直线 圆周（红色虚线）
相对运动：圆周（曲线） 曲线（未知）
牵连运动：定轴转动 平动
[注 ] 要指明动点应在哪个物体上,但不能选在动系上。
11
§ ８－２点的速度合成定理速度合成定理将建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。
1MM
＝'MM ＋ '
1MM
当 t?t+△ t AB?A'B'
M?M'
也可看成 M?M１?M′
MM ' 为绝对轨迹
MM ' 为绝对位移
M1M ' 为相对轨迹
M1M ' 为相对位移
t
MM
t
MM
tMM ttt
1
0
1
00 limlimlim
t?将上式两边同除以 后，
0t 时的极限，得取一．证明
12
13
说明,?va— 动点的绝对速度；
vr— 动点的相对速度；
ve— 动点的牵连速度，是动系上一点 (牵连点 )的速度
I) 动系作平动时，动系上各点速度都相等。
II) 动系作转动时,ve必须是该瞬时动系上与动点相重合点的速度。
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
rea vvv
14
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小?方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。
二．应用举例
[例 1] 桥式吊车 已知：小车水平运行，速度为 v平,
物块 A相对小车垂直上升的速度为 v?。求物块 A的运行速度。
15
作出速度平四边形 如图示，则物块Ａ的速度大小和方向为
222 vvvvvv reaA 2平平v
v 1tg?
解,选取 动点,物块 A
动系,小车静系,地面相对运动,直线 ;
相对速度 vr =v? 方向?
牵连运动,平动 ;
牵连速度 ve=v平 方向?
绝对运动,曲线 ;
绝对速度 va的大小,方向待求 由速度合成定理,rea vvv
16
解,取 OA杆上 A点为动点，摆杆 O1B为动系，
基座为静系。
绝对速度 va = r? 方向? OA
相对速度 vr =? 方向 //O1B
牵连速度 ve =? 方向?O1B
2
2
2
2
21
111
22
2
22
222
1
,
s i n,s i n
lr
r
lr
r
lrAO
v
AOv
lr
r
vv
lr
r
e
e
ae
又 （ ）
[例 2] 曲柄摆杆机构已知,OA= r,?,OO1=l 图示瞬时 OA?OO1
求,摆杆 O1B角速度?1
由速度合成定理 va= vr+ ve 作出 速度平行四边形 如图示。
17
由速度合成定理 va= vr+ ve,
作出速度平行四边形 如图示。
解,动点 取直杆上 A点,动系 固结于圆盘，
静系 固结于基座。
绝对速度 va =? 待求,方向 //AB
相对速度 vr =? 未知,方向?CA
牵连速度 ve =OA=2e?,方向? OA
（翻页请看动画）
)(3 32 3 3230 0 evetgvv ABea
[例 3] 圆盘凸轮机构已知,OC＝ e,,?（匀角速度）
图示瞬时,OC?CA 且 O,A,B三点共线。
求,从动杆 AB的速度。
eR 3?
18
19
由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的 一般步骤 为：
选取动点，动系和静系。
三种运动的分析。
三种速度的分析。
根据速度合成定理 作出速度平行四边形。
根据速度平行四边形，求出未知量。
恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。
,rea vvv
20
动点、动系和静系的选择原则
动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体,
否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动
动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断 （已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。
21
分析,相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，
因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。
[例４ ] 已知,凸轮半径 r,图示时 杆 OA靠在凸轮上。
求：杆 OA的角速度。;30,v
22
解,取凸轮上 C点为 动点,
动系 固结于 OA杆上,
静系 固结于基座。
绝对运动,直线运动,
绝对速度,
相对运动,直线运动,
相对速度,
牵连运动,定轴转动,牵连速度,
,方向vv a
OCOCv e 方向待求未知,,
方向未知,rv OA
如图示。根据速度合成定理,
rea vvv
做出速度平行四边形
r
vv
rr
v e
6
3
3
3
2
1
2
vvv ae 33tg
（ ）
,2s i n rrOCv e又
23
§ 8-3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
rea vvv
由于 牵连运动为平动,故由速度合成定理
'',OeOe aavv
''''''v r kdtdzjdtdyidtdx而
kdtdzjdtdyidtdxvv Oa '''
对 t求导,''''''
2
2
2
2
2
2 k
dt
zdj
dt
ydi
dt
xd
dt
vd
dt
vda Oa
a
设有一动点 M按一定规律沿着固连于动系 O'x'y'z' 的曲线
AB运动,而曲线 AB同时又随同动系 O'x'y'z' 相对静系 Oxyz平动。
24
0',0',0' dtzddtyddtid
(其中 为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，所以 ）
',',' kji
rea aaa
— 牵连运动为平动时点的加速度合成定理即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。
'''''',222222'' kdt zdjdt ydidt xdaaadtvd reOO又
naaa
nrrneenaa aaaaaa
∴ 一般式可写为：
25
解,取杆上的 A点为 动点,
动系 与凸轮固连。
[例 1] 已知：凸轮半径求,? =60o时,顶杆 AB的加速度。
oo avR,,
请看动画
26
绝对速度 va =?,方向AB ；绝对加速度 aa=?,方向AB,待求。
相对速度 vr =?,方向?CA; 相对加速度 ar? =? 方向?CA
,方向沿 CA指向 C
牵连速度 ve=v0,方向 → ; 牵连加速度 ae=a0,方向 →
由速度合成定理,
rea vvv
做出速度平行四边形,如图示。
00 3
2
60s i ns i n v
vvv
o
er
Rva rnr /2?
27
因 牵连运动为平动,故有
nrea aaaa
r
R
vRvRva
r
n
r 3
4/)
3
2(/ 202
0
2其中作 加速度矢量图 如图示，
将上式投影到法线上，得
nrea aaa c o ss in
60s i n/)3460c o s(s i n/)c o s(
2
00 Rvaaaa nrea
整理得 )
3
8(
3
3 20
0 R
vaaa
aAB
[注 ]加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程的投影关系不同
n
28
§ 8-4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理上一节我们证明了牵连运动为平动时的点的加速度合成定理,那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一特例。
设一圆盘以匀角速度? 绕定轴 Ｏ 顺时针转动，盘上圆槽内有一点 M以大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，那么 M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？
29
R
vav r
rr
2
, 常数有相对运动 为匀速圆周运动，
（方向如图）
由速度合成定理可得出常数 rrea vRvvv?
选点 M为动点，动系固结与圆盘上,
则 M点的 牵连运动 为匀速转动
RaRv ee 2, （方向如图）
即 绝对运动 也为匀速圆周运动，所以
r
rra
a vR
vR
R
vR
R
va 2)( 2222
方向指向圆心 Ｏ 点
30
分析上式,还多出一项 2? vr 。
可见,当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度 并不等于牵连加速度 和相对加速度 的矢量和。 那么他们之间的关系是什么呢？ 2? vr 又是怎样出现的呢？它是什么呢？ 下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理。
ea ra
aa
,,/ 22?RaRva err
r
rra
a vR
vR
R
vR
R
va 2)( 2222
31
三种速度分析牵连速度相对速度绝对速度
t 瞬时在位置Ｉ t+?t 瞬时在位置 II
ev
rv
rea vvv ''' rea vvv
'ev
'rv
可以看出，经过?t 时间间隔，牵连速度和相对速度的大小和方向都变化了。
设有已知杆 OA在图示平面内以匀
绕轴 O转动，套筒 M（可视为点
M）沿直杆作变速运动。 取套筒 M
为动点，动系固结于杆 OA上，静系固结于机架。
32
其中 -- 在?t内相对速度大小的改变量，它与牵连转动无关。
-- 在?t内由于牵连转动而引起的相对速度方向的改变量，与牵连转动的? 的大小有关 。
t 时间间隔内的速度变化分析
相对速度,由 作速度矢量三角形，
在 矢量上截取 长度后,分解为 和
rrr vvv?,',
'rv rv rv? 'rv? ''rv?
''' rrr vvv即
'rv?
''rv?
牵连速度,
由 作速度矢量三角形，
在 矢量上截取等于 长后，
将 分解为 和,
eee vvv?,',
'ev ev
ev? 'ev? ''ev?
''' eee vvv即
33
其中,
— 表示?t内由于牵连转动而引起的牵连速度方向的改变量，与相对运动无关。
— 表示?t内动点的牵连速度，由于相对运动而引起的大小改变量，与相对速度 有关。
'ev?
''ev?
rv
加速度分析根据加速度定义
t
vvvv
t
vva rere
t
aa
ta?
)()''(lim'lim
00
t
v
t
v
t
vvvv r
t
e
t
rree
t?
000 limlim
)'()'(lim
上式中 各项的物理意义 如下：
第一项大小：
eetet aOMtvt
v
2
00 lim
'lim
tvtvtvtv rtrtetet ''lim'lim''lim'lim 0000
34
方向,?t?0时,0,其方向沿着直杆指向 A点。
因此,第一项正是 t 瞬时动点的牵连加速度 。ea
第三项大小,为对应于 大小改变
rrrt adtvdtv 'lim 0 rv
方向：总是沿直杆。
因此,该项恰是 ｔ 瞬时动点的相对加速度 。ra
第二项大小：
t OMOMt vvtv teetet'lim'lim''lim 000
rrt vvtMM 方向,'lim 10
该项为由于相对运动的存在而引起牵连速度的大小改变的加速度。
第四项大小：
。方向,lim''lim
00 rrrt
r
t
vvtvtv
这一项表明由于牵连转动而引起相对速度方向改变的加速度。
35
所以，当牵连运动为转动时，加速度合成定理为
krea aaaa
当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。
一般式
knrrneenaa aaaaaaa
一般情况下 科氏加速度 的计算可以用矢积表示) ( 不垂直时与
rv? ka
rk va2
转动的一边指向顺方向,,2 rrk vva
由于第二项和第四项所表示的加速度分量的大小，方向都相同，可以合并为一项，用 表示，称为科里奥利加速度，简称科氏加速度。
ka
36
解,动点,顶杆上 A点；
动系,凸轮 ; 静系,地面。
绝对运动,直线 ;
绝对速度,va=? 待求,方向 //AB;
相对运动,曲线 ; 相对速度,vr=? 方向?n;
牵连运动,定轴转动 ;
牵连速度,ve=? r,方向?OA,?。
),s i n (2,rrk v va大小方向：按右手法则确定。
0),/ / ( 1 8 0 0 kr av 时或当
rkr vav 2),( 90 时当
[例 2] 已知：凸轮机构以匀? 绕 O轴转动，
图示瞬时 OA= r,A点曲率半径?,? 已知。
求：该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。
37
nθ rva rnr 方向同相对加速度,co s//,2222
ABa a //,?,方向绝对加速度?
na r 方向;,,0,2 Oraaa neeτe 方向指向轴心牵连加速度
相反。指向与方向科氏加速度
,//
,c os/22,2
nn
rva rk
)(tg tg rvvv eaAB
c o s/ c o s/ rvv er
根据速度合成定理
rea vvv
做出速度平行四边形
38
由 牵连运动为转动时的加速度合成定理
knea aaaaa rr
作出 加速度矢量图 如图示向 n 轴投影：
knrea aaaa c o sc o s
c o s/)s e c2/s e cc o s( 22222 rrraa aAB
)s e c2/s e c1( 232 rr
39
DA
B C解,点 M1的科氏加速度垂直板面向里?。? s i n2 11 va k?
)//( 0 22 va k
[例 3] 矩形板 ABCD以匀角速度? 绕固定轴 z 转动，点 M1和点 M2分别沿板的对角线
BD和边线 CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为 和,计算点 M1,M2
的科氏加速度大小,并图示方向。
1v 2v
点 M2 的科氏加速度
40
解：
rk va 22?
rkr vav 22 2
rea vvv
根据 做出速度平行四边形
)c o s (s i n),s i n (c o s 11 rvvrvv arae
11
2
2 c o s
s i n)s i n (
c o s
s i n)s i n (?
rrAO
v e
rva rk 212 c o s )22s i n (2
方向：与 相同。
ev
[例 4] 曲柄摆杆机构已知,O1A＝ r,?,?,?1;
取 O1A杆上 A点为动点，动系固结 O2B
上，
试计算动点 A的科氏加速度。
41
rea vvv
rea aaa
第八章 点的合成运动习题课一．概念及公式
1,一点、二系、三运动点的绝对运动为点的相对运动与牵连运动的合成．
2,速度合成定理
3,加速度合成定理牵连运动为平动时牵连运动为转动时 )2( rkkrea vaaaaa
42
二．解题步骤
1,选择动点、动系、静系。
2,分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。
3,作速度分析,画出速度平行四边形,求出有关未知量 (速度,
角速度）。
4,作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、
角加速度未知量。
43
二．解题技巧
1,恰当地选择动点,动系和静系,应满足选择原则,，具体地有：
两个不相关的动点，求二者的相对速度。
根据题意,选择其中之一为动点,动系为固结于另一点的平动坐标系。
运动刚体上有一动点，点作复杂运动。
该点取为动点，动系固结于运动刚体上。
机构传动,传动特点是在一个刚体上存在一个不变的接触点,
相对于另一个刚体运动。
导杆滑块机构：典型方法是动系固结于导杆，取滑块为动点。
凸轮挺杆机构：典型方法是动系固结与凸轮，取挺杆上与凸轮接触点为动点。
44
特殊问题,特点是相接触两个物体的接触点位置都随时间而变化,此时,这两个物体的接触点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则的非接触点为动点。
2,速度问题,一般采用几何法求解简便,即作出速度平行四边形；
加速度问题,往往超过三个矢量,一般采用解析（投影）法求解，投影轴的选取依解题简便的要求而定。
45
四．注意问题
1,牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度。
2,牵连转动时作加速度分析不要丢掉,正确分析和计算 。
3,加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程的投影式不同。
4,圆周运动时，
非圆周运动时,( 为曲率半径 )
ka
RRva n 22 /
22 / va n
ka
46
已知,OA＝ l,= 45o 时,?,e;
求,小车的速度与加速度．
解,动点,OA杆上 A点 ;
动系：固结在滑杆上 ;
静系：固结在机架上。
绝对运动：圆周运动，
相对运动：直线运动，
牵连运动：平动；
)( OAlv a 方向?
)( ),( 2 OAOlaOAla naa 指向沿方向?e
铅直方向 rr av
.,待求量水平方向 ee av
[例 1] 曲柄滑杆机构请看动画
47
小车的速度,
evv?
根据速度合成定理 做出速度平行四边形,如图示
rea vvv
)(c osc os llvv ae 2 245?
投至 x轴：
enaa aaa s i nc o s
4545 2 s i nco s?e lla e
，方向如图示
l)(22 2?e小车的加速度,
eaa?
根据牵连平动的加速度合成定理
renaa aaaa
做出速度矢量图如图示 。
48
[例 2] 摇杆滑道机构解,动点,销子 D (BC上 ); 动系,固结于 OA；静系,固结于机架。
绝对运动：直线运动，
相对运动：直线运动，,沿 OA 线牵连运动：定轴转动，
aavv aa,
, rr av
OODaOAODa nee 指向?;?,2e?
OAODv e,?
s i ns i n,c o sc o s vvvvvv arae
hv
hvODv
e
2c o s )
c o s/(c o s/
（ ）
avh,,,,?
已知 求,OA杆的?,e 。
根据 速度合成定理 做出速度平行四边形,如图示。
rea vvv
请看动画
49
投至?轴,kea aaac o s
c o ss i nc o s2c o s 22 ahvaaa ake
e
22
2
2 c o s2s i nc o s
h
a
h
v
OD
a e （ ）
根据 牵连转动的加速度合成定理
krneea aaaaa
s i nc o s22
,c o s)c o s(c o s
2
32
2
2
vhvva
h
v
h
vha
rk
n
e
50
请看动画
[例 3] 曲柄滑块机构解,动点,O1A上 A点 ; 动系,固结于 BCD上,静系固结于机架上。
绝对运动：圆周运动 ;
相对运动：直线运动 ;
牵连运动：平动 ;,水平方向
AOrv a 11,
BCv r / /?,?
ev
已知,h;
图示瞬时 ;
求,该瞬时 杆的?2 。
EOAO 21 //
EO2
,,,11rAO?
51
根据做出速度平行四边形 rea vvv
再选动点,BCD上 F点动系：固结于 O2E上，
静系固结于机架上绝对运动：直线运动，
相对运动：直线运动，
牵连运动：定轴转动,
)(s i n1rv Fa
)( / /?,2 EOv Fr?
)(?,2 EOv Fe
s i ns i n 1rvv ae
根据 做出速度平行四边形
FrFeFa vvv
211 s i ns i ns i ns i n rrvv FaFe
s i n/,222 hFOFOv eF又
3121
2
2 s i n
s i ns i n
h
r
hrFO
v eF ）（
52
解,取凸轮上 C点为动点，
动系固结于 OA杆上，
静系固结于地面上．
绝对运动,直线运动，
相对运动,直线运动，
牵连运动,定轴转动，
aavv aa,
OAav rr //,方向
OCv e 方向?,
已知,凸轮半径为 R，图示瞬时 O,C
在一条铅直线上 ; 已知 ;
求,该瞬时 OA杆的角速度和角加速度。
av,,?
分析,由于接触点在两个物体上的位置均是变化的，因此不宜选接触点为动点。
[例 4] 凸轮机构;?2 OOCa ne 指向, e? OCa e
方向 OC?
请看动画
53
s i ns i n/ ;,0 RvR vOCvvvvv eaer
）(
做出速度平行四边形,知根据
rea vvv
根据
krneea aaaaa
做出加速度矢量图
02,s i n)s i n(s i n
2
2
rk
n
e vaR
v
R
vRa
投至?轴, c o ss i nc o s
enea aaa
tgneae aaa
2
222 s i ns i n
s i n/
/s i n
R
v
R
a
R
Rva
OC
a e
e
转向由上式符号决定,>0则,<0 则
54
（请看动画）
[例 5] 刨床机构已知,主动轮 O转速 n=30 r/min
OA=150mm,图示瞬时,OA?OO1
求,O1D 杆的?1,e1
和滑块 B的 。
BB av,
55
其中
m / s 15.03015.0 nOAv a
r ad / s
5515.0
503.0
m / s 503.0s i n
1
1
AO
v
vv
e
ae
）(
解,动点：轮 O上 A点动系,O1D,静系：机架根据 做出速度平行四边形 。
rea vvv
m / s 506.0c o s
)
5
5s i n,
5
52( c o s
ar vv
56
根据
krneea aaaaa
做出加速度矢量图
rka vaa 12 2 15.0
投至 方向,
ka eka aaac o s
222 m/s 5 518.0506.0525 5215.0ea
22211 r ad / s 256
515.0
1
5
518.0/e AOa
e
）(
再选动点,滑块 B; 动系,O1D; 静系,机架。
57
根据
BrBeBa vvv
做出速度矢量图 。
,m / s 506.02 eeB vv
m / s 503.0tg
m / s 15.0c o s/
eBrB
eBaBB
vv
vvv
投至 x 轴,kBeBaB aaac o s
2222 m / s 15.05 52/)5 506.05 536.0( aBB aa
根据
kBrBneBBeBa aaaaa
做出加速度矢量图
2 2 m / s5 536.02 eeB aa
其中
221 m / s 5 506.0 503.0522 rBkB va
58
[例 6] 套筒滑道机构图示瞬时,h已知,
求,套筒 O的?,e 。
av,,?
解,方法 1：
A点作直线运动
tg hx A
hxx AA /)2s i nc o s( 2
hxhx AA /c o s s e c 22 即代入图示瞬时的已知量，得
e 2222 c o s)2s i n(,c o s hvhahv （ ） （ ）
请看动画
59
对比两种方法（ ）e? 2
2
2
c os)2s in(
h
v
h
a
OA
a e
投至 方向,
eka aaac o ska
c o s2s i nc o s
2
hvaa e
h
vOAv
e
2c o s/ （ ）
方法 2,动点,CD上 A点，
动系,套筒 O，静系,机架
rea vvv
s i n,c o sc o s vvvvv rae
krneea aaaaa
c o s2s i n2,2 hvvaaa rka
vva?其中
60
2
§ 8–1 点的合成运动的概念
§ 8–2 点的速度合成定理
§ 8–3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
§ 8–4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理习题课第八章 点的合成运动
3
§ 8-1 点的合成运动的概念一．坐标系：
1.静坐标系,把固结于地面上的坐标系称为静坐标系,简称静系。
2.动坐标系,把固结于相对于地面运动物体上的坐标系，
称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。
前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点是向后斜落的等。
为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不同的结果呢？ 我们说事物都是相互联系着的。下面我们就将研究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究，下面先来介绍有关的概念。
4
三．三种运动及三种速度与三种加速度。
１．绝对运动,动点对静系的运动。
２．相对运动,动点对动系的运动。
例如：人在行驶的汽车里走动。
３．牵连运动,动系相对于静系的运动例如：行驶的汽车相对于地面的运动。
绝对运动中,动点的速度与加速度称为 绝对速度 与 绝对加速度相对运动中,动点的速度和加速度称为 相对速度 与 相对加速度牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为 牵连速度 与 牵连加速度
aa
ev ea
rv ra
av
牵连点,在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时该点叫牵连点。
点的运动刚体的运动二．动点,所研究的点（运动着的点）。
5
下面举例说明以上各概念：
四．动点的选择原则：
一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有运动的点。
五．动系的选择原则,
动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，
或者能直接看出的。
动点：
动系：
静系：
AB杆上 A点固结于凸轮 Ｏ '上固结在地面上
6
相对运动,
牵连运动,
曲线（圆弧）
直线平动绝对运动,直线
7
evrvav
绝对速度,相对速度,牵连速度,
8
绝对加速度：
相对加速度：
牵连加速度：
aa
ea
ra
9
动点,A（在圆盘上 )
动系,O'A摆杆静系：机架绝对运动：曲线（圆周）
相对运动：直线牵连运动：定轴转动动点,A1（在 O'A1 摆杆上 )
动系：圆盘静系：机架绝对运动：曲线（圆弧）
相对运动：曲线牵连运动：定轴转动
10
若动点 A在偏心轮上时动点,A(在 AB杆上 ) A（在偏心轮上）
动系：偏心轮 AB杆静系：地面 地面绝对运动：直线 圆周（红色虚线）
相对运动：圆周（曲线） 曲线（未知）
牵连运动：定轴转动 平动
[注 ] 要指明动点应在哪个物体上,但不能选在动系上。
11
§ ８－２点的速度合成定理速度合成定理将建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。
1MM
＝'MM ＋ '
1MM
当 t?t+△ t AB?A'B'
M?M'
也可看成 M?M１?M′
MM ' 为绝对轨迹
MM ' 为绝对位移
M1M ' 为相对轨迹
M1M ' 为相对位移
t
MM
t
MM
tMM ttt
1
0
1
00 limlimlim
t?将上式两边同除以 后，
0t 时的极限，得取一．证明
12
13
说明,?va— 动点的绝对速度；
vr— 动点的相对速度；
ve— 动点的牵连速度，是动系上一点 (牵连点 )的速度
I) 动系作平动时，动系上各点速度都相等。
II) 动系作转动时,ve必须是该瞬时动系上与动点相重合点的速度。
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
rea vvv
14
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小?方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。
二．应用举例
[例 1] 桥式吊车 已知：小车水平运行，速度为 v平,
物块 A相对小车垂直上升的速度为 v?。求物块 A的运行速度。
15
作出速度平四边形 如图示，则物块Ａ的速度大小和方向为
222 vvvvvv reaA 2平平v
v 1tg?
解,选取 动点,物块 A
动系,小车静系,地面相对运动,直线 ;
相对速度 vr =v? 方向?
牵连运动,平动 ;
牵连速度 ve=v平 方向?
绝对运动,曲线 ;
绝对速度 va的大小,方向待求 由速度合成定理,rea vvv
16
解,取 OA杆上 A点为动点，摆杆 O1B为动系，
基座为静系。
绝对速度 va = r? 方向? OA
相对速度 vr =? 方向 //O1B
牵连速度 ve =? 方向?O1B
2
2
2
2
21
111
22
2
22
222
1
,
s i n,s i n
lr
r
lr
r
lrAO
v
AOv
lr
r
vv
lr
r
e
e
ae
又 （ ）
[例 2] 曲柄摆杆机构已知,OA= r,?,OO1=l 图示瞬时 OA?OO1
求,摆杆 O1B角速度?1
由速度合成定理 va= vr+ ve 作出 速度平行四边形 如图示。
17
由速度合成定理 va= vr+ ve,
作出速度平行四边形 如图示。
解,动点 取直杆上 A点,动系 固结于圆盘，
静系 固结于基座。
绝对速度 va =? 待求,方向 //AB
相对速度 vr =? 未知,方向?CA
牵连速度 ve =OA=2e?,方向? OA
（翻页请看动画）
)(3 32 3 3230 0 evetgvv ABea
[例 3] 圆盘凸轮机构已知,OC＝ e,,?（匀角速度）
图示瞬时,OC?CA 且 O,A,B三点共线。
求,从动杆 AB的速度。
eR 3?
18
19
由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的 一般步骤 为：
选取动点，动系和静系。
三种运动的分析。
三种速度的分析。
根据速度合成定理 作出速度平行四边形。
根据速度平行四边形，求出未知量。
恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。
,rea vvv
20
动点、动系和静系的选择原则
动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体,
否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动
动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断 （已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。
21
分析,相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，
因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。
[例４ ] 已知,凸轮半径 r,图示时 杆 OA靠在凸轮上。
求：杆 OA的角速度。;30,v
22
解,取凸轮上 C点为 动点,
动系 固结于 OA杆上,
静系 固结于基座。
绝对运动,直线运动,
绝对速度,
相对运动,直线运动,
相对速度,
牵连运动,定轴转动,牵连速度,
,方向vv a
OCOCv e 方向待求未知,,
方向未知,rv OA
如图示。根据速度合成定理,
rea vvv
做出速度平行四边形
r
vv
rr
v e
6
3
3
3
2
1
2
vvv ae 33tg
（ ）
,2s i n rrOCv e又
23
§ 8-3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
rea vvv
由于 牵连运动为平动,故由速度合成定理
'',OeOe aavv
''''''v r kdtdzjdtdyidtdx而
kdtdzjdtdyidtdxvv Oa '''
对 t求导,''''''
2
2
2
2
2
2 k
dt
zdj
dt
ydi
dt
xd
dt
vd
dt
vda Oa
a
设有一动点 M按一定规律沿着固连于动系 O'x'y'z' 的曲线
AB运动,而曲线 AB同时又随同动系 O'x'y'z' 相对静系 Oxyz平动。
24
0',0',0' dtzddtyddtid
(其中 为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，所以 ）
',',' kji
rea aaa
— 牵连运动为平动时点的加速度合成定理即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。
'''''',222222'' kdt zdjdt ydidt xdaaadtvd reOO又
naaa
nrrneenaa aaaaaa
∴ 一般式可写为：
25
解,取杆上的 A点为 动点,
动系 与凸轮固连。
[例 1] 已知：凸轮半径求,? =60o时,顶杆 AB的加速度。
oo avR,,
请看动画
26
绝对速度 va =?,方向AB ；绝对加速度 aa=?,方向AB,待求。
相对速度 vr =?,方向?CA; 相对加速度 ar? =? 方向?CA
,方向沿 CA指向 C
牵连速度 ve=v0,方向 → ; 牵连加速度 ae=a0,方向 →
由速度合成定理,
rea vvv
做出速度平行四边形,如图示。
00 3
2
60s i ns i n v
vvv
o
er
Rva rnr /2?
27
因 牵连运动为平动,故有
nrea aaaa
r
R
vRvRva
r
n
r 3
4/)
3
2(/ 202
0
2其中作 加速度矢量图 如图示，
将上式投影到法线上，得
nrea aaa c o ss in
60s i n/)3460c o s(s i n/)c o s(
2
00 Rvaaaa nrea
整理得 )
3
8(
3
3 20
0 R
vaaa
aAB
[注 ]加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程的投影关系不同
n
28
§ 8-4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理上一节我们证明了牵连运动为平动时的点的加速度合成定理,那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一特例。
设一圆盘以匀角速度? 绕定轴 Ｏ 顺时针转动，盘上圆槽内有一点 M以大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，那么 M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？
29
R
vav r
rr
2
, 常数有相对运动 为匀速圆周运动，
（方向如图）
由速度合成定理可得出常数 rrea vRvvv?
选点 M为动点，动系固结与圆盘上,
则 M点的 牵连运动 为匀速转动
RaRv ee 2, （方向如图）
即 绝对运动 也为匀速圆周运动，所以
r
rra
a vR
vR
R
vR
R
va 2)( 2222
方向指向圆心 Ｏ 点
30
分析上式,还多出一项 2? vr 。
可见,当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度 并不等于牵连加速度 和相对加速度 的矢量和。 那么他们之间的关系是什么呢？ 2? vr 又是怎样出现的呢？它是什么呢？ 下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理。
ea ra
aa
,,/ 22?RaRva err
r
rra
a vR
vR
R
vR
R
va 2)( 2222
31
三种速度分析牵连速度相对速度绝对速度
t 瞬时在位置Ｉ t+?t 瞬时在位置 II
ev
rv
rea vvv ''' rea vvv
'ev
'rv
可以看出，经过?t 时间间隔，牵连速度和相对速度的大小和方向都变化了。
设有已知杆 OA在图示平面内以匀
绕轴 O转动，套筒 M（可视为点
M）沿直杆作变速运动。 取套筒 M
为动点，动系固结于杆 OA上，静系固结于机架。
32
其中 -- 在?t内相对速度大小的改变量，它与牵连转动无关。
-- 在?t内由于牵连转动而引起的相对速度方向的改变量，与牵连转动的? 的大小有关 。
t 时间间隔内的速度变化分析
相对速度,由 作速度矢量三角形，
在 矢量上截取 长度后,分解为 和
rrr vvv?,',
'rv rv rv? 'rv? ''rv?
''' rrr vvv即
'rv?
''rv?
牵连速度,
由 作速度矢量三角形，
在 矢量上截取等于 长后，
将 分解为 和,
eee vvv?,',
'ev ev
ev? 'ev? ''ev?
''' eee vvv即
33
其中,
— 表示?t内由于牵连转动而引起的牵连速度方向的改变量，与相对运动无关。
— 表示?t内动点的牵连速度，由于相对运动而引起的大小改变量，与相对速度 有关。
'ev?
''ev?
rv
加速度分析根据加速度定义
t
vvvv
t
vva rere
t
aa
ta?
)()''(lim'lim
00
t
v
t
v
t
vvvv r
t
e
t
rree
t?
000 limlim
)'()'(lim
上式中 各项的物理意义 如下：
第一项大小：
eetet aOMtvt
v
2
00 lim
'lim
tvtvtvtv rtrtetet ''lim'lim''lim'lim 0000
34
方向,?t?0时,0,其方向沿着直杆指向 A点。
因此,第一项正是 t 瞬时动点的牵连加速度 。ea
第三项大小,为对应于 大小改变
rrrt adtvdtv 'lim 0 rv
方向：总是沿直杆。
因此,该项恰是 ｔ 瞬时动点的相对加速度 。ra
第二项大小：
t OMOMt vvtv teetet'lim'lim''lim 000
rrt vvtMM 方向,'lim 10
该项为由于相对运动的存在而引起牵连速度的大小改变的加速度。
第四项大小：
。方向,lim''lim
00 rrrt
r
t
vvtvtv
这一项表明由于牵连转动而引起相对速度方向改变的加速度。
35
所以，当牵连运动为转动时，加速度合成定理为
krea aaaa
当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。
一般式
knrrneenaa aaaaaaa
一般情况下 科氏加速度 的计算可以用矢积表示) ( 不垂直时与
rv? ka
rk va2
转动的一边指向顺方向,,2 rrk vva
由于第二项和第四项所表示的加速度分量的大小，方向都相同，可以合并为一项，用 表示，称为科里奥利加速度，简称科氏加速度。
ka
36
解,动点,顶杆上 A点；
动系,凸轮 ; 静系,地面。
绝对运动,直线 ;
绝对速度,va=? 待求,方向 //AB;
相对运动,曲线 ; 相对速度,vr=? 方向?n;
牵连运动,定轴转动 ;
牵连速度,ve=? r,方向?OA,?。
),s i n (2,rrk v va大小方向：按右手法则确定。
0),/ / ( 1 8 0 0 kr av 时或当
rkr vav 2),( 90 时当
[例 2] 已知：凸轮机构以匀? 绕 O轴转动，
图示瞬时 OA= r,A点曲率半径?,? 已知。
求：该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。
37
nθ rva rnr 方向同相对加速度,co s//,2222
ABa a //,?,方向绝对加速度?
na r 方向;,,0,2 Oraaa neeτe 方向指向轴心牵连加速度
相反。指向与方向科氏加速度
,//
,c os/22,2
nn
rva rk
)(tg tg rvvv eaAB
c o s/ c o s/ rvv er
根据速度合成定理
rea vvv
做出速度平行四边形
38
由 牵连运动为转动时的加速度合成定理
knea aaaaa rr
作出 加速度矢量图 如图示向 n 轴投影：
knrea aaaa c o sc o s
c o s/)s e c2/s e cc o s( 22222 rrraa aAB
)s e c2/s e c1( 232 rr
39
DA
B C解,点 M1的科氏加速度垂直板面向里?。? s i n2 11 va k?
)//( 0 22 va k
[例 3] 矩形板 ABCD以匀角速度? 绕固定轴 z 转动，点 M1和点 M2分别沿板的对角线
BD和边线 CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为 和,计算点 M1,M2
的科氏加速度大小,并图示方向。
1v 2v
点 M2 的科氏加速度
40
解：
rk va 22?
rkr vav 22 2
rea vvv
根据 做出速度平行四边形
)c o s (s i n),s i n (c o s 11 rvvrvv arae
11
2
2 c o s
s i n)s i n (
c o s
s i n)s i n (?
rrAO
v e
rva rk 212 c o s )22s i n (2
方向：与 相同。
ev
[例 4] 曲柄摆杆机构已知,O1A＝ r,?,?,?1;
取 O1A杆上 A点为动点，动系固结 O2B
上，
试计算动点 A的科氏加速度。
41
rea vvv
rea aaa
第八章 点的合成运动习题课一．概念及公式
1,一点、二系、三运动点的绝对运动为点的相对运动与牵连运动的合成．
2,速度合成定理
3,加速度合成定理牵连运动为平动时牵连运动为转动时 )2( rkkrea vaaaaa
42
二．解题步骤
1,选择动点、动系、静系。
2,分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。
3,作速度分析,画出速度平行四边形,求出有关未知量 (速度,
角速度）。
4,作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、
角加速度未知量。
43
二．解题技巧
1,恰当地选择动点,动系和静系,应满足选择原则,，具体地有：
两个不相关的动点，求二者的相对速度。
根据题意,选择其中之一为动点,动系为固结于另一点的平动坐标系。
运动刚体上有一动点，点作复杂运动。
该点取为动点，动系固结于运动刚体上。
机构传动,传动特点是在一个刚体上存在一个不变的接触点,
相对于另一个刚体运动。
导杆滑块机构：典型方法是动系固结于导杆，取滑块为动点。
凸轮挺杆机构：典型方法是动系固结与凸轮，取挺杆上与凸轮接触点为动点。
44
特殊问题,特点是相接触两个物体的接触点位置都随时间而变化,此时,这两个物体的接触点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则的非接触点为动点。
2,速度问题,一般采用几何法求解简便,即作出速度平行四边形；
加速度问题,往往超过三个矢量,一般采用解析（投影）法求解，投影轴的选取依解题简便的要求而定。
45
四．注意问题
1,牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度。
2,牵连转动时作加速度分析不要丢掉,正确分析和计算 。
3,加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程的投影式不同。
4,圆周运动时，
非圆周运动时,( 为曲率半径 )
ka
RRva n 22 /
22 / va n
ka
46
已知,OA＝ l,= 45o 时,?,e;
求,小车的速度与加速度．
解,动点,OA杆上 A点 ;
动系：固结在滑杆上 ;
静系：固结在机架上。
绝对运动：圆周运动，
相对运动：直线运动，
牵连运动：平动；
)( OAlv a 方向?
)( ),( 2 OAOlaOAla naa 指向沿方向?e
铅直方向 rr av
.,待求量水平方向 ee av
[例 1] 曲柄滑杆机构请看动画
47
小车的速度,
evv?
根据速度合成定理 做出速度平行四边形,如图示
rea vvv
)(c osc os llvv ae 2 245?
投至 x轴：
enaa aaa s i nc o s
4545 2 s i nco s?e lla e
，方向如图示
l)(22 2?e小车的加速度,
eaa?
根据牵连平动的加速度合成定理
renaa aaaa
做出速度矢量图如图示 。
48
[例 2] 摇杆滑道机构解,动点,销子 D (BC上 ); 动系,固结于 OA；静系,固结于机架。
绝对运动：直线运动，
相对运动：直线运动，,沿 OA 线牵连运动：定轴转动，
aavv aa,
, rr av
OODaOAODa nee 指向?;?,2e?
OAODv e,?
s i ns i n,c o sc o s vvvvvv arae
hv
hvODv
e
2c o s )
c o s/(c o s/
（ ）
avh,,,,?
已知 求,OA杆的?,e 。
根据 速度合成定理 做出速度平行四边形,如图示。
rea vvv
请看动画
49
投至?轴,kea aaac o s
c o ss i nc o s2c o s 22 ahvaaa ake
e
22
2
2 c o s2s i nc o s
h
a
h
v
OD
a e （ ）
根据 牵连转动的加速度合成定理
krneea aaaaa
s i nc o s22
,c o s)c o s(c o s
2
32
2
2
vhvva
h
v
h
vha
rk
n
e
50
请看动画
[例 3] 曲柄滑块机构解,动点,O1A上 A点 ; 动系,固结于 BCD上,静系固结于机架上。
绝对运动：圆周运动 ;
相对运动：直线运动 ;
牵连运动：平动 ;,水平方向
AOrv a 11,
BCv r / /?,?
ev
已知,h;
图示瞬时 ;
求,该瞬时 杆的?2 。
EOAO 21 //
EO2
,,,11rAO?
51
根据做出速度平行四边形 rea vvv
再选动点,BCD上 F点动系：固结于 O2E上，
静系固结于机架上绝对运动：直线运动，
相对运动：直线运动，
牵连运动：定轴转动,
)(s i n1rv Fa
)( / /?,2 EOv Fr?
)(?,2 EOv Fe
s i ns i n 1rvv ae
根据 做出速度平行四边形
FrFeFa vvv
211 s i ns i ns i ns i n rrvv FaFe
s i n/,222 hFOFOv eF又
3121
2
2 s i n
s i ns i n
h
r
hrFO
v eF ）（
52
解,取凸轮上 C点为动点，
动系固结于 OA杆上，
静系固结于地面上．
绝对运动,直线运动，
相对运动,直线运动，
牵连运动,定轴转动，
aavv aa,
OAav rr //,方向
OCv e 方向?,
已知,凸轮半径为 R，图示瞬时 O,C
在一条铅直线上 ; 已知 ;
求,该瞬时 OA杆的角速度和角加速度。
av,,?
分析,由于接触点在两个物体上的位置均是变化的，因此不宜选接触点为动点。
[例 4] 凸轮机构;?2 OOCa ne 指向, e? OCa e
方向 OC?
请看动画
53
s i ns i n/ ;,0 RvR vOCvvvvv eaer
）(
做出速度平行四边形,知根据
rea vvv
根据
krneea aaaaa
做出加速度矢量图
02,s i n)s i n(s i n
2
2
rk
n
e vaR
v
R
vRa
投至?轴, c o ss i nc o s
enea aaa
tgneae aaa
2
222 s i ns i n
s i n/
/s i n
R
v
R
a
R
Rva
OC
a e
e
转向由上式符号决定,>0则,<0 则
54
（请看动画）
[例 5] 刨床机构已知,主动轮 O转速 n=30 r/min
OA=150mm,图示瞬时,OA?OO1
求,O1D 杆的?1,e1
和滑块 B的 。
BB av,
55
其中
m / s 15.03015.0 nOAv a
r ad / s
5515.0
503.0
m / s 503.0s i n
1
1
AO
v
vv
e
ae
）(
解,动点：轮 O上 A点动系,O1D,静系：机架根据 做出速度平行四边形 。
rea vvv
m / s 506.0c o s
)
5
5s i n,
5
52( c o s
ar vv
56
根据
krneea aaaaa
做出加速度矢量图
rka vaa 12 2 15.0
投至 方向,
ka eka aaac o s
222 m/s 5 518.0506.0525 5215.0ea
22211 r ad / s 256
515.0
1
5
518.0/e AOa
e
）(
再选动点,滑块 B; 动系,O1D; 静系,机架。
57
根据
BrBeBa vvv
做出速度矢量图 。
,m / s 506.02 eeB vv
m / s 503.0tg
m / s 15.0c o s/
eBrB
eBaBB
vv
vvv
投至 x 轴,kBeBaB aaac o s
2222 m / s 15.05 52/)5 506.05 536.0( aBB aa
根据
kBrBneBBeBa aaaaa
做出加速度矢量图
2 2 m / s5 536.02 eeB aa
其中
221 m / s 5 506.0 503.0522 rBkB va
58
[例 6] 套筒滑道机构图示瞬时,h已知,
求,套筒 O的?,e 。
av,,?
解,方法 1：
A点作直线运动
tg hx A
hxx AA /)2s i nc o s( 2
hxhx AA /c o s s e c 22 即代入图示瞬时的已知量，得
e 2222 c o s)2s i n(,c o s hvhahv （ ） （ ）
请看动画
59
对比两种方法（ ）e? 2
2
2
c os)2s in(
h
v
h
a
OA
a e
投至 方向,
eka aaac o ska
c o s2s i nc o s
2
hvaa e
h
vOAv
e
2c o s/ （ ）
方法 2,动点,CD上 A点，
动系,套筒 O，静系,机架
rea vvv
s i n,c o sc o s vvvvv rae
krneea aaaaa
c o s2s i n2,2 hvvaaa rka
vva?其中
60
