1
2
第五章 摩擦
§ 5–1 引言
§ 5–2 滑动摩擦
§ 5–3 考虑摩擦时的平衡问题
§ 5–4 滚动摩擦习题课
3
前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下都存在有摩擦。
[例 ]
第四章 摩 擦
§ 4-1 引言平衡必计摩擦?
4
一、为什么研究摩擦？
二、怎样研究摩擦，掌握规律利用其利，克服其害。
三、按接触面的运动情况看：
摩擦分为 滑动摩擦滚动摩擦?
5
1,定义,相接触物体，产生相对滑动（趋势）时，其接触面产生阻止物体运动的力叫滑动摩擦力。
（ 就是接触面对物体作用的切向约束反力）
2,状态,①静止：
②临界：（将滑未滑）
③滑动：
PF? )( 不固定值 FP
NfFm a x
NfF ''
§ 4-2 滑动摩擦一、静滑动摩擦力
（翻页请看动画）
所以增大摩擦力的途径为：①加大正压力 N,
② 加大摩擦系数 f
（ f — 静滑动摩擦系数）
（ f '— 动摩擦系数）
6
7
二、动滑动摩擦力,（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）
大小,（无平衡范围）
动摩擦力特征,方向：与物体运动方向相反定律,（ f '只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关。）
m a x0 FF 0X
NfFm a x
NfF ''
NfF ''
3,特征,大小,（平衡范围）满足静摩擦力特征,方向：与物体相对滑动趋势方向相反定律,（ f 只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关。）
8
maxF
m?
三、摩擦角：
① 定义：当摩擦力达到最大值 时其全反力与法线的夹角 叫做 摩擦角 。
翻页请看动画
fN NfNFm m a xtg?
② 计算：
9
10
四、自锁
① 定义：当物体依靠接触面间的相互作用的摩擦 力 与正压力（即全反力），自己把自己卡 紧，不会松开
（无论外力多大），这种现象称为自锁。
当 时，永远平衡（即自锁）
m
m
② 自锁条件：
11
摩擦系数的测定,OA绕 O 轴转动使物块刚开始下滑时测出
角,tg?=f,(该两种材料间静 摩 擦系数 )
fN NfNFm m a xtg?
（翻页请看动画）
③ 自锁应用举例
12
13
14
§ 4-3 考虑滑动摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题，一般是对临界状态求解，这时可列出 的补充方程。其它解法与平面任意力系相同。
只是平衡常是一个范围
NfFm a x
（从例子说明）。
[例 1] 已知,? =30o,G =100N,f =0.2 求：①物体静止时，
水平力 Q的平衡范围。②当水平力 Q = 60N时，物体能否平衡？
（翻页请看动画）
15
16
解,① 先求使物体不致于上滑的 图 (1)
maxQ
NfF
GQNY
FGQX
m a x
m a x
m a xm a x
,
0c o ss i n,0
0s i nc o s,0
补充方程由
tg1
tg,
m a x f
fGQ
解得
tgtg1
tgtg
m
m
G
)(tg m G
t gtg1
tgtg
)(tg
:
m
m
m?
应用三角公式
17
同理,
再求使物体不致下滑的 图 (2) minQ
) ( t g t g1 tgs i n c o s c o ss i n mm i n Gf fGGffQ
解得：
平衡范围应是
m a xm i n QQQ
18
[例 2] 梯子长 AB=l，重为 P，若梯子与墙和地面的静摩擦系数 f =0.5,求? 多大时，梯子能处于平衡？
解,考虑到梯子在临界平衡状态有下滑趋势，做 受力图。
19
)2(0,0
)1(0,0
PFNY
FNX
BA
AB由
)5(
)4(
BB
AA
NfF
NfF
)3( 0s i nc o sc o s2,0 m i nm i nm i n lNlFlPm BBA
)3(1,1,1,222 代入解得 fPPFffPNfPN BBA
'022m i n 87365.02 5.01a r c t g21a r c t g, ff?得注意,由于?不可能大于,
所以梯子平衡倾角? 应满足
90
0'0 908736
20
由实践可知，使滚子滚动比使它滑动省力，下图的受力分析看出一个问题，即此物体平衡，但没有完全满足平衡方程。
)(0,0
0,0
0,0
不成立
rQM
NPY
FQX
A
Q与 F形成主动力偶使前滚
§ 5-4 滚动摩擦出现这种现象的原因是，
实际接触面并不是刚体，它们在力的作用下都会发生一些变形，如图：
21
此力系向
A点简化
① 滚阻力偶 M随主动力偶（ Q,F）的增大而增大 ;
② 有个平衡范围 ;
滚动 摩擦 ③ 与滚子半径无关 ;
④ 滚动摩擦定律：,d 为滚动 摩 擦系数。
m a x0 MM
maxM
NM dm a x
滚阻力偶与主动力偶（ Q,F）相平衡（翻页请看动画）
'd
22
23
滚动摩擦系数 d的说明,
①有长度量纲，单位一般用 mm,cm；
②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。
③ d 的物理意义见图示。
根据力线平移定理，将 N和 M合成一个力 N',
N'=N
'NMd? NdNdM '
d d
从图中看出，滚阻力偶 M的力偶臂正是 d（滚阻系数），
所以,d 具有长度量纲 。
由于滚阻系数很小，所以在工程中大多数情况下滚阻力偶不计，即滚动摩擦忽略不计。
'd
24
第四章,摩擦,习题课本章小结一、概念,
1、摩擦力 ----是一种切向约束反力，方向总是与物体运动趋势方向相反。
a,当滑动没发生时 F<f N (F=P 外力 )
b,当滑动即将发生时 Fmax=f?N
c,当滑动已经发生时 F' =f '?N (一般 f '动 << f 静 )
25
2,全反力与摩擦角
a.全反力 R（即 F 与 N 的合力）
b,当 时，
物体不动（平衡）。
3,自锁当 时自锁。m
m
26
二、内容,
1、列平衡方程时要将摩擦力考虑在内；
2、解题方法：①解析法 ② 几何法
3、除平衡方程外，增加补充方程 (一般在临界平衡
4、解题步骤同前。 状态计算）
三、解题中注意的问题,
1、摩擦力的方向不能假设，要根据物体运动趋势来判断。
（只有在摩擦力是待求未知数时，可以假设其方向）
2、由于摩擦情况下，常常有一个平衡范围，所以解也常常是力、尺寸或角度的一个平衡范围。（原因是和 ）
NfFm a x
m
NfF
27
四、例题
[例 1] 作出下列各物体的受力图
28
[例 2] 作出下列各物体的受力图
① P 最小维持平衡 ② P 最大维持平衡状态受力图； 状态受力图
29
[例 3] 构件 1及 2用楔块 3联结，已知楔块与构件间的摩擦系数 f=0.1,
求能自锁的倾斜角? 。
解：研究楔块，受力如图
0c o s)c o s (,0 1 RRX由
1,RR?由二力平衡条件时能自锁即当极限状态又
'26112
)( '26112
'4351.0tg,1.0tg
2,
0
0
01
f?
30
[例 4] 已知,B块重 Q=2000N，与斜面的摩擦角? =15°,A块与水 平面的摩擦系数 f=0.4，不计杆自重。 求：使 B块不下滑，物块 A最小重量。
解,① 研究 B块，若使 B块不下滑
Q
QRS
RSX
Q
R
QRY
)(c t g
)s i n (
)c o s (
)c o s (
0)c o s (,0
)s i n (
0)s i n (,0
由
31
)N(50002000
4.0
)1530(ct g)(ct g'
,0',0
Q
ff
SP
PfNfSFSX
② 再研究 A块
32
[练习 1] 已知,Q=10N,f '动 =0.1 f 静 =0.2
求,P=1 N; 2N,3N 时摩擦力 F？
解：
N2,0,N 2 PFXP 由时所以物体运动：此时 N11.010'' fNF
动
（没动,F 等于外力）
（临界平衡）
（物体已运动）
N2102.0 m ax NfF 静?
N1,0,N 1 PFXP 由时
N2N3,N 3 m a x FPP?时
33
[练习 2] 已知 A块重 500N，轮 B重 1000N,D轮无摩擦,E
点的摩擦系数 fE=0.2,A点的摩擦系数 fA=0.5。
求：使物体平衡时块 C的重量 Q=？
解,① A不动（即 i点不产生 平移）求 Q
N2505005.0
' 11
NfFT A
由于
1
34
N2 5 05 0 05.0T
0)c o s1010(c o ss i n10s i n15 QQT
分析轮有
0]c o sc o s[ s i n1015 22QT
)N(208
)541(10
25015
]co s1[10
15?
TQ
0 Em由
35
② E 点不产生水平位移
)531 0 0 0(2.02.0, QNfNF E即
Qm i 可得由 0
)N(3 8 4
8.7
3 0 0 0
,
068.13 0 0 0,
0)c o s5.0c o s( s i n10)6.01 0 0 0(2.015
0)5c o s10(c o ss i n10s i n15
22
Q
QQ
QQ
QQF
即化简
36
③ B轮不向上运动，即 N≥0;0s i n,0QGNY B由
)N(1 6 7 06.01 0 0 0,0531 0 0 0s i n QQQGN B?
显然,如果 i,E两点均不产生运动,Q必须小于 208N,即
)N(2 0 8m ax?Q
37
补充方程 ③fNF
21 QQ
Pf
∴ 当 时，能滚过去（这是小球与地面的 f 条件）
21 QQ
Pf
[练习 3] 已知,P,D,d,Q1,Q2,P为水平。
求：在大球滚过小球时,f=?
解,① 研究整体 FPX,0由 ①
fQQP )( 21将①、②代入③得：
要保证大球滚过小球，必须使大球与小球之间不打滑
21,0 QQNY ②
38
0c os)90c os (,0 10 NFPX
PFDPDFm O,022,0由 ①
② 求大球与小球之间的 f,研究大球
0c o ss i n 1 NPP ②
补充方程 ③
fFNfNF 11,
将③代入②得,④
0c o ss i n fPPP
又
dD
Dd
dD
dD
dD
dD
2s i n1c o s,
22
22s i n 2
39
∴ 当 时能滚过小球
Ddf?
结论,当 和 时能保证大球能滚过小球的条件。
Ddf?21 QQ Pf
Ddfs in1 c o s
解④得：
[注 ]大球与小球间的 f
又一种求法：
1
tg QPf
40
解,① 作法线 AH和 BH
② 作 A,B点的 摩 擦角?
交 E,G两点
③ E,G两点间的水平距离 l为人的 活 动范围
[练习 4] 水平梯子放在直角 V形槽内，略去梯重，梯子与两个斜面间的摩擦系数（摩擦角均为?），如人在梯子上走动，试分析不使梯子滑动，人的活动应限制在什么范围内？
l
41
090 A G BAEB
)60c os ()30s i n()60c os (
)30c os ()60s i n()30c os (
000
000
ABBGBD
ABAEAC
所以人在 AC和 BD段活动都不能满足三力平衡必汇交的原理,只有在 CD段活动时,才能满足三力平衡必汇交，能交上
（有交点）
证明,由几何关系
42
2
第五章 摩擦
§ 5–1 引言
§ 5–2 滑动摩擦
§ 5–3 考虑摩擦时的平衡问题
§ 5–4 滚动摩擦习题课
3
前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下都存在有摩擦。
[例 ]
第四章 摩 擦
§ 4-1 引言平衡必计摩擦?
4
一、为什么研究摩擦？
二、怎样研究摩擦，掌握规律利用其利，克服其害。
三、按接触面的运动情况看：
摩擦分为 滑动摩擦滚动摩擦?
5
1,定义,相接触物体，产生相对滑动（趋势）时，其接触面产生阻止物体运动的力叫滑动摩擦力。
（ 就是接触面对物体作用的切向约束反力）
2,状态,①静止：
②临界：（将滑未滑）
③滑动：
PF? )( 不固定值 FP
NfFm a x
NfF ''
§ 4-2 滑动摩擦一、静滑动摩擦力
（翻页请看动画）
所以增大摩擦力的途径为：①加大正压力 N,
② 加大摩擦系数 f
（ f — 静滑动摩擦系数）
（ f '— 动摩擦系数）
6
7
二、动滑动摩擦力,（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）
大小,（无平衡范围）
动摩擦力特征,方向：与物体运动方向相反定律,（ f '只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关。）
m a x0 FF 0X
NfFm a x
NfF ''
NfF ''
3,特征,大小,（平衡范围）满足静摩擦力特征,方向：与物体相对滑动趋势方向相反定律,（ f 只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关。）
8
maxF
m?
三、摩擦角：
① 定义：当摩擦力达到最大值 时其全反力与法线的夹角 叫做 摩擦角 。
翻页请看动画
fN NfNFm m a xtg?
② 计算：
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10
四、自锁
① 定义：当物体依靠接触面间的相互作用的摩擦 力 与正压力（即全反力），自己把自己卡 紧，不会松开
（无论外力多大），这种现象称为自锁。
当 时，永远平衡（即自锁）
m
m
② 自锁条件：
11
摩擦系数的测定,OA绕 O 轴转动使物块刚开始下滑时测出
角,tg?=f,(该两种材料间静 摩 擦系数 )
fN NfNFm m a xtg?
（翻页请看动画）
③ 自锁应用举例
12
13
14
§ 4-3 考虑滑动摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题，一般是对临界状态求解，这时可列出 的补充方程。其它解法与平面任意力系相同。
只是平衡常是一个范围
NfFm a x
（从例子说明）。
[例 1] 已知,? =30o,G =100N,f =0.2 求：①物体静止时，
水平力 Q的平衡范围。②当水平力 Q = 60N时，物体能否平衡？
（翻页请看动画）
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解,① 先求使物体不致于上滑的 图 (1)
maxQ
NfF
GQNY
FGQX
m a x
m a x
m a xm a x
,
0c o ss i n,0
0s i nc o s,0
补充方程由
tg1
tg,
m a x f
fGQ
解得
tgtg1
tgtg
m
m
G
)(tg m G
t gtg1
tgtg
)(tg
:
m
m
m?
应用三角公式
17
同理,
再求使物体不致下滑的 图 (2) minQ
) ( t g t g1 tgs i n c o s c o ss i n mm i n Gf fGGffQ
解得：
平衡范围应是
m a xm i n QQQ
18
[例 2] 梯子长 AB=l，重为 P，若梯子与墙和地面的静摩擦系数 f =0.5,求? 多大时，梯子能处于平衡？
解,考虑到梯子在临界平衡状态有下滑趋势，做 受力图。
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)2(0,0
)1(0,0
PFNY
FNX
BA
AB由
)5(
)4(
BB
AA
NfF
NfF
)3( 0s i nc o sc o s2,0 m i nm i nm i n lNlFlPm BBA
)3(1,1,1,222 代入解得 fPPFffPNfPN BBA
'022m i n 87365.02 5.01a r c t g21a r c t g, ff?得注意,由于?不可能大于,
所以梯子平衡倾角? 应满足
90
0'0 908736
20
由实践可知，使滚子滚动比使它滑动省力，下图的受力分析看出一个问题，即此物体平衡，但没有完全满足平衡方程。
)(0,0
0,0
0,0
不成立
rQM
NPY
FQX
A
Q与 F形成主动力偶使前滚
§ 5-4 滚动摩擦出现这种现象的原因是，
实际接触面并不是刚体，它们在力的作用下都会发生一些变形，如图：
21
此力系向
A点简化
① 滚阻力偶 M随主动力偶（ Q,F）的增大而增大 ;
② 有个平衡范围 ;
滚动 摩擦 ③ 与滚子半径无关 ;
④ 滚动摩擦定律：,d 为滚动 摩 擦系数。
m a x0 MM
maxM
NM dm a x
滚阻力偶与主动力偶（ Q,F）相平衡（翻页请看动画）
'd
22
23
滚动摩擦系数 d的说明,
①有长度量纲，单位一般用 mm,cm；
②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。
③ d 的物理意义见图示。
根据力线平移定理，将 N和 M合成一个力 N',
N'=N
'NMd? NdNdM '
d d
从图中看出，滚阻力偶 M的力偶臂正是 d（滚阻系数），
所以,d 具有长度量纲 。
由于滚阻系数很小，所以在工程中大多数情况下滚阻力偶不计，即滚动摩擦忽略不计。
'd
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第四章,摩擦,习题课本章小结一、概念,
1、摩擦力 ----是一种切向约束反力，方向总是与物体运动趋势方向相反。
a,当滑动没发生时 F<f N (F=P 外力 )
b,当滑动即将发生时 Fmax=f?N
c,当滑动已经发生时 F' =f '?N (一般 f '动 << f 静 )
25
2,全反力与摩擦角
a.全反力 R（即 F 与 N 的合力）
b,当 时，
物体不动（平衡）。
3,自锁当 时自锁。m
m
26
二、内容,
1、列平衡方程时要将摩擦力考虑在内；
2、解题方法：①解析法 ② 几何法
3、除平衡方程外，增加补充方程 (一般在临界平衡
4、解题步骤同前。 状态计算）
三、解题中注意的问题,
1、摩擦力的方向不能假设，要根据物体运动趋势来判断。
（只有在摩擦力是待求未知数时，可以假设其方向）
2、由于摩擦情况下，常常有一个平衡范围，所以解也常常是力、尺寸或角度的一个平衡范围。（原因是和 ）
NfFm a x
m
NfF
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四、例题
[例 1] 作出下列各物体的受力图
28
[例 2] 作出下列各物体的受力图
① P 最小维持平衡 ② P 最大维持平衡状态受力图； 状态受力图
29
[例 3] 构件 1及 2用楔块 3联结，已知楔块与构件间的摩擦系数 f=0.1,
求能自锁的倾斜角? 。
解：研究楔块，受力如图
0c o s)c o s (,0 1 RRX由
1,RR?由二力平衡条件时能自锁即当极限状态又
'26112
)( '26112
'4351.0tg,1.0tg
2,
0
0
01
f?
30
[例 4] 已知,B块重 Q=2000N，与斜面的摩擦角? =15°,A块与水 平面的摩擦系数 f=0.4，不计杆自重。 求：使 B块不下滑，物块 A最小重量。
解,① 研究 B块，若使 B块不下滑
Q
QRS
RSX
Q
R
QRY
)(c t g
)s i n (
)c o s (
)c o s (
0)c o s (,0
)s i n (
0)s i n (,0
由
31
)N(50002000
4.0
)1530(ct g)(ct g'
,0',0
Q
ff
SP
PfNfSFSX
② 再研究 A块
32
[练习 1] 已知,Q=10N,f '动 =0.1 f 静 =0.2
求,P=1 N; 2N,3N 时摩擦力 F？
解：
N2,0,N 2 PFXP 由时所以物体运动：此时 N11.010'' fNF
动
（没动,F 等于外力）
（临界平衡）
（物体已运动）
N2102.0 m ax NfF 静?
N1,0,N 1 PFXP 由时
N2N3,N 3 m a x FPP?时
33
[练习 2] 已知 A块重 500N，轮 B重 1000N,D轮无摩擦,E
点的摩擦系数 fE=0.2,A点的摩擦系数 fA=0.5。
求：使物体平衡时块 C的重量 Q=？
解,① A不动（即 i点不产生 平移）求 Q
N2505005.0
' 11
NfFT A
由于
1
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N2 5 05 0 05.0T
0)c o s1010(c o ss i n10s i n15 QQT
分析轮有
0]c o sc o s[ s i n1015 22QT
)N(208
)541(10
25015
]co s1[10
15?
TQ
0 Em由
35
② E 点不产生水平位移
)531 0 0 0(2.02.0, QNfNF E即
Qm i 可得由 0
)N(3 8 4
8.7
3 0 0 0
,
068.13 0 0 0,
0)c o s5.0c o s( s i n10)6.01 0 0 0(2.015
0)5c o s10(c o ss i n10s i n15
22
Q
QQF
即化简
36
③ B轮不向上运动，即 N≥0;0s i n,0QGNY B由
)N(1 6 7 06.01 0 0 0,0531 0 0 0s i n QQQGN B?
显然,如果 i,E两点均不产生运动,Q必须小于 208N,即
)N(2 0 8m ax?Q
37
补充方程 ③fNF
21 QQ
Pf
∴ 当 时，能滚过去（这是小球与地面的 f 条件）
21 QQ
Pf
[练习 3] 已知,P,D,d,Q1,Q2,P为水平。
求：在大球滚过小球时,f=?
解,① 研究整体 FPX,0由 ①
fQQP )( 21将①、②代入③得：
要保证大球滚过小球，必须使大球与小球之间不打滑
21,0 QQNY ②
38
0c os)90c os (,0 10 NFPX
PFDPDFm O,022,0由 ①
② 求大球与小球之间的 f,研究大球
0c o ss i n 1 NPP ②
补充方程 ③
fFNfNF 11,
将③代入②得,④
0c o ss i n fPPP
又
dD
Dd
dD
dD
dD
dD
2s i n1c o s,
22
22s i n 2
39
∴ 当 时能滚过小球
Ddf?
结论,当 和 时能保证大球能滚过小球的条件。
Ddf?21 QQ Pf
Ddfs in1 c o s
解④得：
[注 ]大球与小球间的 f
又一种求法：
1
tg QPf
40
解,① 作法线 AH和 BH
② 作 A,B点的 摩 擦角?
交 E,G两点
③ E,G两点间的水平距离 l为人的 活 动范围
[练习 4] 水平梯子放在直角 V形槽内，略去梯重，梯子与两个斜面间的摩擦系数（摩擦角均为?），如人在梯子上走动，试分析不使梯子滑动，人的活动应限制在什么范围内？
l
41
090 A G BAEB
)60c os ()30s i n()60c os (
)30c os ()60s i n()30c os (
000
000
ABBGBD
ABAEAC
所以人在 AC和 BD段活动都不能满足三力平衡必汇交的原理,只有在 CD段活动时,才能满足三力平衡必汇交，能交上
（有交点）
证明,由几何关系
42
