1
2
工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。
(a)图为空间汇交力系； (b)图为空间任意力系；
(b)图中去了风力为空间平行力系。
迎 面风 力侧 面风 力
b
3
第四章 空间力系
§ 4–1 空间汇交力系
§ 4–2 空间力偶系
§ 4–3 力对点的矩与力对轴的矩
§ 4–4 空间一般力系向一点的简化
§ 4–5 空间一般力系简化结果的讨论
§ 4–6 空间一般力系的平衡方程及应用
§ 4–7 平行力系的中心与物体的重心习题课
4
一、力在空间轴上的投影与分解,
1.力在空间的表示,
力的三要素：
大小、方向、作用点 (线 )
大小：
作用点,在物体的哪点就是哪点方向,
由?,?,g三个方向角确定由仰角? 与俯角? 来确定。
g
Fxy
O
FF?
§ 4-1 空间汇交力系
5
2、一次投影法（直接投影法）
由图可知：
g
c o s
,c o s
,c o s
FZ
FY
FX
g co sco sco sco ss i n FFFX xy
g s i nco ss i ns i ns i n FFFY xy
g s i nc o s FFZ
3、二次投影法（间接投影法）
当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将 F 投影到 xy
面上，然后再投影到 x,y轴上，
即
6
4、力沿坐标轴分解,
若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量，则：
zyx FFF,,
zyx FFFF
222 ZYXF
F
Z
F
Y
F
X g c o s,c o s,c o s
kZFjYFiXF zyx,,
而：
kZjYiXF
所以：
Fx
Fy
Fz
7
1、几何法,与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求合力。
即：合力等于各分力的矢量和
in FFFFFR321
2、解析法,
由于 代入上式合力由 为合力在 x轴的投影,∴
kZjYiXF iiii
kZjYiXR iii
iX
ix XR
iy YR
iz ZR
二、空间汇交力系的合成,
8
3、合力投影定理,
空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。
222222 )()()(,ZYXRRRR zyx合力
R
R
R
R
R
R zyx g c o s,c o s,c o s
9
三、空间汇交力系的平衡：
0X
0Y
0Z
称为平衡方程空间汇交力系的平衡方程
∴ 解析法 平衡充要条件为：
∴ 几何法 平衡充要条件为该力系的 力多边形封闭 。
0 iFR
空间汇交力系平衡的充要条件是,力系的合力为零,即：
10
§ 4-2 空间力偶系由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，
所以空间力偶矩必须用矢量表示。
一、力偶矩用矢量表示：
力偶的转向为右手螺旋定则。
从力偶矢末端看去，逆时针转动为正。
空间力偶是一个自由矢量。
11
[证 ] ① 作 II//Ⅰ,cd // ab
② 作一对平衡力 R,R' (在 E点,且使 -R=R')
③ 由反向平行力合成得：
F1与 R合成得 F2，作用在 d点
F1'与 R'合成得 F2'，作用在 c点且 R-F1=F2,R'- F1'= F2'
④ 在 I内的力偶（ F1,F1'）等效变成 II内的（ F2,F2' ）
二、空间力偶的等效定理作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。
12
由此可得出,空间力偶矩是自由矢量,它有三个要素：
①力偶矩的大小 =
② 力偶矩的方向 ——与力偶作用面法线方向相同
③转向 ——遵循右手螺旋规则。
m
三、空间力偶系的合成与平衡由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合矢量运算法则。 合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和
13
n
i
in mmmmmm
1
321?
投影式 为,0
xm
0 ym
0 zm
m
m
m
m
m
mmmmm zyx
zyx g c o s,c o s,c o s;222
0 imm
显然空间力偶系的平衡条件是：
14
在平面中：力对点的矩是代数量。
在空间中：力对点的矩是矢量。
[例 ] 汽车反镜的球铰链
§ 4-3 力对点的矩与力对轴的矩一、力对点的矩的矢量表示面积A O BdFFm O 2)(
如果 r 表示 A点的矢径，则：
15
即,力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。
dFFrFrFmFrFm OO ),s i n()(,)(
21
kZjYiXF由于 kzjyixr
ZYX
zyx
kji
FrFm O )(
kFmjFmiFm
kyXxYjxZzXizYyZ
zOyOxO )]([)]([)]([
)()()(
两矢量夹角为
O
16
定义：
它是代数量，方向规定 + –
的面积''2)()( BOAdFFmFm xyxyOz
二、力对轴的矩结论,力对 //它的轴的矩为零。即力 F与轴共面时，力对轴之矩为零。
)()()()( xyOxyzzzz FmFmFmFm
[证 ]
17
力对 //它的轴的矩为零。即力 F与轴共面时，力对轴之矩为零。
18
即：
)(c o s)( FmFm zO g )()]([ FmFm zzO?
三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系面积由于 A O BFm O?2)(?
[证 ]
''2)()( BOAFmFm xyzz
通过 O点作任一轴 Z，则：
''c o s BOAO A B?g
由几何关系：
''2c os2 BOAO A B?g所以：
19
定理,力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。
)(
)(c o s,
)(
)(c o s,
)(
)(c o s
Fm
Fm
Fm
Fm
Fm
Fm
O
z
O
y
O
x g
222 ))(())(())(()( FmFmFmFm zyxO
kFmjFmiFmFrFm zOyOxOO )]([)]([)]([)(
kFmjFmiFm zyx )()()(
又由于所以力对点 O的矩为：
20
把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。
§ 4-4 空间一般力系向一点简化
nFFFF?321,,
设作用在刚体上有空间一般力系向 O点简化
（ O点任选）
21
① 根据力线平移定理，将各力平行搬到 O点得到一空间汇交力系,和附加力偶系
[注意 ] 分别是各力对 O点的矩。
② 由于空间力偶是自由矢量，总可汇交于 O点。
'',',' 321 nFFFF? nmmm?,,21
nmmm?,,21
22
③ 合成 得主矢即 （主矢 过简化中心 O，
且与 O点的选择无关）
合成 得主矩即,（主矩 与简化中心 O有关）
'',',' 321 nFFFF? 'R
ii FFR '' 'R
nmmm?,,21 OM
)( iOiO Fmmm OM
23
若取 简化中心 O点为坐标原点，则：
主矢大小主矢方向根据力对点之矩与力对轴之矩的关系,
则 主矩大小 为：
主矩方向,
222222 )()()('''' ZYXRRRR zyx
'c o s,'c o s,'c o s R
Z
R
Y
R
X g
)(])([ ;)(])([;)(])([
FmFmmFmFmm
mFmFm
zzOOzyyOOy
OxixxiO
222 OzOyOxO MMMM
O
Oz
O
Oy
O
Ox
M
M
M
M
M
M 'c os,'c os,'c os g
24
空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。
§ 4-5 空间一般力系简化结果的讨论
1,若,则该力系 平衡 （下节专门讨论）。0,0'
OMR
2、若 则力系可合成一个 合力偶,其矩等于原力系对于简化中心的主矩 MO。 此时主矩与简化中心的位置无关。
0,0' OMR
3,若 则力系可合成为一个 合力,主矢 等于原力系合力矢,合力 通过简化中心 O点。 （此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
0,0' OMR 'R
R R
25
4,若 此时分两种情况讨论。即,①
②
OMR?'
OMR //'
0,0' OMR
由于做?
iOOO FRRMRMddRM 合力,',
① 若 时
OMR?'
)( dRM O
可进一步简化，将 MO变成 ( R'',R)使 R'与 R''抵消只剩下 R。
26
② 若 时,——为力螺旋的情形 （新概念，又移动又转动）
[例 ] ①拧螺丝 ②炮弹出膛时炮弹螺线
OMR //'
③ R′ 不平行也不垂直 M0,最一般的成任意角?
在此种情况下,<1>首先把 MO 分解为 M//和 M?
<2>将 M//和 M? 分别按①、②处理。
' '
27
M? 使主矢 R'搬家，搬家的矩离：
'
s in
'' R
M
R
MOO O
所以在 O'点处形成一个力螺旋 。
因为 M// 是自由矢量，
可将 M//搬到 O'处
M//不变，
28
[注意 ]
力系简化中的不变量（不随简化中心改变）有,R′,M//
简化中心为 O时：为 M? 当简化中心为 O′ 时，为 M?′
但 M//总是不变的（ 它是原力系中的力偶与简化中心无关 ）
29
)('' RmROOMM OO
)( iOO FmM主矩又?
)()( iOO FmRM
)()( izz FmRM常用投影式空间力系向 O点简化后得主矢 R'和主矩 MO,若 MO?R'，可进一步合成为一个 作用在新简化中心 O'点的 合力 R 。
空间力系的合力矩定理,
30
一、空间任意力系的平衡充要条件是：
0)( iOO FmM00' FR
222 )()()(' ZYXR?又
222 ))(())(())(( FmFmFmM zyxO
所以 空间任意力系的平衡方程 为：
还有四矩式，五矩式和六矩式，
同时各有一定限制条件。
0)(,0
0)(,0
0)(,0
FmZ
FmY
FmX
z
y
x
§ 4-6 空间一般力系的平衡方程及应用
31
空间汇交力系的平衡方程为：
因为各力线都汇交于一点，各轴都通过该点，故各力矩方程都成为了恒等式。
0
0
0
Z
Y
X
空间平行力系的平衡方程，设各力线都 // z 轴。
因为均成为了恒等式。
0)(
0)(
0
Fm
Fm
Z
y
x?
0
0
0)(
Y
X
Fm z
32
1、球形铰链二、空间约束观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。
阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。 [例 ]
33
球形铰链
34
2、向心轴承，蝶铰链，滚珠 (柱 )轴承
35
3、滑动轴承
36
4、止推轴承
37
5、带有销子的夹板
38
6、空间固定端
39
空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点 C 就是此空间平行力系的中心 。而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。
§ 4-7 平行力系的中心 物体的重心一、空间平行力系的中心、物体的重心
1、平行力系的中心由合力矩定理：
)()( iOO FmRm nnC FrFrFrRr2211
40
0110,PFFPRR令
nnC rFrFrFrR2211
i
iinn
C F
rF
R
rFrFrFr?2211
R
zFz
R
yFy
R
xFx ii
C
ii
C
ii
C
,,:投影式
41
如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。
由合力矩定理：
iiC xPxP
P
Pz
z
P
Py
y
P
Px
x
i
C
i
C
i
C
,
,
物体分割的越多，每一小部分体积越小，
求得的重心位置就越准确。在极限情况下，
(n? ),常用积分法求物体的重心位置。
二、重心坐标公式,
42
设 gi表示第 i个小部分每单位体积的重量,⊿ Vi第 i个小体积，则代入上式并取极限，可得：
式中,上式为 重心 C 坐标的精确公式 。
P
dVzz
P
dVyy
P
dVxx V
C
V
C
V
C
ggg,,
iii VP?g
V dVP g
对于均质物体,g =恒量，上式成为：
V
dVzz
V
dVyy
V
dVxx V
C
V
C
V
C
,,
同理对于薄平面和细长杆均可写出相应的公式。
43
根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将力线转成与 y轴平行，再应用合力矩定理对 x 轴取矩得：
P
zPzzPPz ii
CiiC
,
综合上述得 重心坐标公式 为：
P
zPz
P
yPy
P
xPx ii
C
ii
C
ii
C
,,
若以△ Pi= △ mig,P=Mg 代入上式可得质心公式
M
zmz
M
ymy
M
xmx ii
C
ii
C
ii
C
,,
44
同理：可写出均质体，均质板，均质杆的形心（几何中心）
坐标分别为：
V
zVz
V
yVy
V
xVx ii
CiiCiiC
,,:立体
A
zAz
A
yAy
A
xAx ii
CiiCiiC
,,:平板
l
zlz
l
yly
l
xlx ii
CiiCiiC
,,:细杆
45
解,由于对称关系，该圆弧重心必在 Ox轴，即 yC=0。取微段
dRdL
c o s Rx
R
dR
L
dLx
x LC
2
c o s
2?
s inRx
C?
下面用积分法 求物体的重心实例,
[例 ] 求半径为 R，顶角为 2? 的均质圆弧的重心。
O
46
三、重心的求法,① 组合法
cm4.6
21
2211?
SS
ySyS
A
yA
y
ii
C
由解,
cm248 cm4 21,8 0 c m 212 221 )πR(y,y,π RSS
求：该组合体的重心？
已知：
47
0)( Fm B由 01 CxPlP 称 P lPx C 1 称简单图形的面积及重心坐标公式可由表中查出。
② 实验法：
<1>悬挂法 <2>称重法
48
[例 ] 已知,RC=100mm,RD=50mm,Px=466N,Py=352N,Pz=1400N
求：平衡时 (匀速转动 )力 Q=？ (Q力作用在 C轮的最低点）
和轴承 A,B的约束反力？
解,①选研究对象 ②作受力图 ③选坐标列方程最好使每一个方程有一个未知数，方便求解。
49
)N(7 46,01 0050;0
)N(3 52,0;0
QQPm
PYPYY
xzy
yAyA?由
50
)N(3 8 5,020s i n ;0
)N(2 0 4 0,020s i n 503 0 02 0 0 ;0
)N(7 2 9,020c o s ;0
)N(4 3 7,020c o s 502 0 0503 0 0 ;0
0
0
0
0
AzBA
BzBx
AxBA
BByxz
ZQPZZZ
ZQPZm
XQPXXX
XQXPPm
A
A
51
方法 (二 ),将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解。
52
一、概念及内容,
1、空间力偶及空间力对点之矩是矢量，
2、空间力对轴之矩和平面力偶、平面力对点之矩是代数量。
3、空间力系 合力投影定理,
4、空间力系的 合力矩定理,
5,空间力对点之矩与对轴之矩的关系,
)(,FmM o
iziyix ZRYRXR,,
)()( ioo FmRm
)()(,izz FmRm投影式
)()( FmFm zZo?
第五章,空间力系,习题课
53
二、基本方程
1,空间力系的平衡方程空间一般力系空间汇交力系
0
0
0
Z
Y
X
空间力偶系
0
0
0
0
0
0
z
y
x
m
m
m
Z
Y
X
0
0
0
z
y
x
m
m
m
空间∥
x
轴力系
0
0
0
z
y
m
m
X
0
0
0
0
0
z
y
x
m
m
m
Y
X
空间∥
xoy
面的力系
0
0
0
0
0
0
'x
z
y
x
m
m
m
m
Y
X
四矩式,五矩式和六矩式的附加条件均为使方程式独立。
54
三、解题步骤、技巧与注意问题,
1,解题步骤,①选研究对象
(与平面的相同 ) ② 画受力图
③选坐标、列方程
④解方程、求出未知数
2、空间力系的几个问题,
① x,y,z (三个取矩轴和三个投影轴可以不重合 )可以任选的六个轴。
② 取矩方程不能少于三个（ ∵ MO是矢量）
③ 空间力系独立方程六个（ ∵ 空间物体六个自由度）
平面三个自由度
④ 空间力系中也包括摩擦问题。
55
2,解题技巧,
①用取矩轴代替投影轴，解题常常方便
②投影轴尽量选在与未知力?，力矩轴选在与未知力平行或相交
③一般从整体 —>局部的研究方法。
④摩擦力 F = N f,方向与运动趋势方向相反。
3,注意问题：
① 力偶在投影轴中不出现（即在投影方程中不出现）
② 空间力偶是矢量，平面力偶是代数量。
③ 求物体重心问题常用组合法。
对于均质物体，重心、中心、形心为同一点。
56
[例 1] 已知,P=2000N,C点在 Oxy平面内求：力 P对三个坐标轴的矩
60c o s45c o s
60s i n45c o s
45c o s
45s i n
PP
PP
PP
PP
y
x
xy
z
解,①选研究对象；②画受力图；③选坐标列方程。
57
)mN(2.3860c os45c os560s i n45c os6
0)5(6)()()()(
PP
PPPmPmPmPm yxzzyzxzz
)mN(8.8445s i n6
600)()()()(
P
PPmPmPmPm zzxyxxxx
)mN(7.7045s i n5
500
)()()(
)(
P
P
PmPmPm
Pm
z
zyyyxy
y
58
[例 2] 已知,AB=3m,AE=AF=4m,Q=20kN;
求,绳 BE,BF的拉力和杆 AB的内力
)kN(546
,045s i n15s i n',0
1
1
T
QTY
由 C点：
解：分别研究 C点和 B点作受力图
59
)kN( 2 3 0
,)kN( 4 1 9
5
3
s i n,
5
4
43
4
c o s
0 s i n s i n60c o s,0
045c o s c o s45c o s c o s60s i n,0
045c o s c o s45c o s c o s,0
2
32
22
3212
321
32
N
TT
TTTNZ
TTTY
TTX
由 B点：
60
此题训练：
① 力偶不出现在投影式中
② 力偶在力矩方程中出现是把力偶当成矢量后，类似力在投影式中投影
③ 力争一个方程求一个支反力
④ 了解空间支座反力
[例 3] 曲杆 ABCD,∠ ABC=∠ BCD=900,AB=a,BC=b,
CD=c,m2,m3 求：支座反力及 m1=?
61
解,
0,0
,0,0
,0,0
,0,0
,0,0
0,0
1
2
3
3
3
2
2
1
DDx
ADDA
ADDA
AADz
AADy
D
YcbZmm
a
m
ZZZZZ
a
m
YYYYY
a
m
YaYmm
a
m
ZaZmm
XX
32
32
1 )()( ma
cm
a
b
a
mc
a
mbcYbZm
DD
62
[例 4] 已知,AB杆,AD,CB为绳,A,C在同一垂线上,AB
重 80N,A,B光滑接触，
∠ ABC=∠ BCE=600,且 AD水平,AC铅直。求平衡时,TA，
TB及支座 A,B的反力。
解,思路：要巧选投影轴和取矩轴，使一个方程解出一个未知数。
63
0N8,0 PNZ B由
02160c o s
,0'
CEPACT
m
B
DD
N)( 1.2380
6
3
3
3
2
60c t g
2
60c o s60c t g
2
160c o s
PPT
ACPACT
B
B
CEAC 60c o s60c t g?又
64
)N( 5.1121806 360c o s
060c o s,0
BA
BA
TT
TTX
)N( 202 3806 3
060s i n,0
A
BA
N
TNY
65
2
工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。
(a)图为空间汇交力系； (b)图为空间任意力系；
(b)图中去了风力为空间平行力系。
迎 面风 力侧 面风 力
b
3
第四章 空间力系
§ 4–1 空间汇交力系
§ 4–2 空间力偶系
§ 4–3 力对点的矩与力对轴的矩
§ 4–4 空间一般力系向一点的简化
§ 4–5 空间一般力系简化结果的讨论
§ 4–6 空间一般力系的平衡方程及应用
§ 4–7 平行力系的中心与物体的重心习题课
4
一、力在空间轴上的投影与分解,
1.力在空间的表示,
力的三要素：
大小、方向、作用点 (线 )
大小：
作用点,在物体的哪点就是哪点方向,
由?,?,g三个方向角确定由仰角? 与俯角? 来确定。
g
Fxy
O
FF?
§ 4-1 空间汇交力系
5
2、一次投影法（直接投影法）
由图可知：
g
c o s
,c o s
,c o s
FZ
FY
FX
g co sco sco sco ss i n FFFX xy
g s i nco ss i ns i ns i n FFFY xy
g s i nc o s FFZ
3、二次投影法（间接投影法）
当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将 F 投影到 xy
面上，然后再投影到 x,y轴上，
即
6
4、力沿坐标轴分解,
若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量，则：
zyx FFF,,
zyx FFFF
222 ZYXF
F
Z
F
Y
F
X g c o s,c o s,c o s
kZFjYFiXF zyx,,
而：
kZjYiXF
所以：
Fx
Fy
Fz
7
1、几何法,与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求合力。
即：合力等于各分力的矢量和
in FFFFFR321
2、解析法,
由于 代入上式合力由 为合力在 x轴的投影,∴
kZjYiXF iiii
kZjYiXR iii
iX
ix XR
iy YR
iz ZR
二、空间汇交力系的合成,
8
3、合力投影定理,
空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。
222222 )()()(,ZYXRRRR zyx合力
R
R
R
R
R
R zyx g c o s,c o s,c o s
9
三、空间汇交力系的平衡：
0X
0Y
0Z
称为平衡方程空间汇交力系的平衡方程
∴ 解析法 平衡充要条件为：
∴ 几何法 平衡充要条件为该力系的 力多边形封闭 。
0 iFR
空间汇交力系平衡的充要条件是,力系的合力为零,即：
10
§ 4-2 空间力偶系由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，
所以空间力偶矩必须用矢量表示。
一、力偶矩用矢量表示：
力偶的转向为右手螺旋定则。
从力偶矢末端看去，逆时针转动为正。
空间力偶是一个自由矢量。
11
[证 ] ① 作 II//Ⅰ,cd // ab
② 作一对平衡力 R,R' (在 E点,且使 -R=R')
③ 由反向平行力合成得：
F1与 R合成得 F2，作用在 d点
F1'与 R'合成得 F2'，作用在 c点且 R-F1=F2,R'- F1'= F2'
④ 在 I内的力偶（ F1,F1'）等效变成 II内的（ F2,F2' ）
二、空间力偶的等效定理作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。
12
由此可得出,空间力偶矩是自由矢量,它有三个要素：
①力偶矩的大小 =
② 力偶矩的方向 ——与力偶作用面法线方向相同
③转向 ——遵循右手螺旋规则。
m
三、空间力偶系的合成与平衡由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合矢量运算法则。 合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和
13
n
i
in mmmmmm
1
321?
投影式 为,0
xm
0 ym
0 zm
m
m
m
m
m
mmmmm zyx
zyx g c o s,c o s,c o s;222
0 imm
显然空间力偶系的平衡条件是：
14
在平面中：力对点的矩是代数量。
在空间中：力对点的矩是矢量。
[例 ] 汽车反镜的球铰链
§ 4-3 力对点的矩与力对轴的矩一、力对点的矩的矢量表示面积A O BdFFm O 2)(
如果 r 表示 A点的矢径，则：
15
即,力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。
dFFrFrFmFrFm OO ),s i n()(,)(
21
kZjYiXF由于 kzjyixr
ZYX
zyx
kji
FrFm O )(
kFmjFmiFm
kyXxYjxZzXizYyZ
zOyOxO )]([)]([)]([
)()()(
两矢量夹角为
O
16
定义：
它是代数量，方向规定 + –
的面积''2)()( BOAdFFmFm xyxyOz
二、力对轴的矩结论,力对 //它的轴的矩为零。即力 F与轴共面时，力对轴之矩为零。
)()()()( xyOxyzzzz FmFmFmFm
[证 ]
17
力对 //它的轴的矩为零。即力 F与轴共面时，力对轴之矩为零。
18
即：
)(c o s)( FmFm zO g )()]([ FmFm zzO?
三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系面积由于 A O BFm O?2)(?
[证 ]
''2)()( BOAFmFm xyzz
通过 O点作任一轴 Z，则：
''c o s BOAO A B?g
由几何关系：
''2c os2 BOAO A B?g所以：
19
定理,力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。
)(
)(c o s,
)(
)(c o s,
)(
)(c o s
Fm
Fm
Fm
Fm
Fm
Fm
O
z
O
y
O
x g
222 ))(())(())(()( FmFmFmFm zyxO
kFmjFmiFmFrFm zOyOxOO )]([)]([)]([)(
kFmjFmiFm zyx )()()(
又由于所以力对点 O的矩为：
20
把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。
§ 4-4 空间一般力系向一点简化
nFFFF?321,,
设作用在刚体上有空间一般力系向 O点简化
（ O点任选）
21
① 根据力线平移定理，将各力平行搬到 O点得到一空间汇交力系,和附加力偶系
[注意 ] 分别是各力对 O点的矩。
② 由于空间力偶是自由矢量，总可汇交于 O点。
'',',' 321 nFFFF? nmmm?,,21
nmmm?,,21
22
③ 合成 得主矢即 （主矢 过简化中心 O，
且与 O点的选择无关）
合成 得主矩即,（主矩 与简化中心 O有关）
'',',' 321 nFFFF? 'R
ii FFR '' 'R
nmmm?,,21 OM
)( iOiO Fmmm OM
23
若取 简化中心 O点为坐标原点，则：
主矢大小主矢方向根据力对点之矩与力对轴之矩的关系,
则 主矩大小 为：
主矩方向,
222222 )()()('''' ZYXRRRR zyx
'c o s,'c o s,'c o s R
Z
R
Y
R
X g
)(])([ ;)(])([;)(])([
FmFmmFmFmm
mFmFm
zzOOzyyOOy
OxixxiO
222 OzOyOxO MMMM
O
Oz
O
Oy
O
Ox
M
M
M
M
M
M 'c os,'c os,'c os g
24
空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。
§ 4-5 空间一般力系简化结果的讨论
1,若,则该力系 平衡 （下节专门讨论）。0,0'
OMR
2、若 则力系可合成一个 合力偶,其矩等于原力系对于简化中心的主矩 MO。 此时主矩与简化中心的位置无关。
0,0' OMR
3,若 则力系可合成为一个 合力,主矢 等于原力系合力矢,合力 通过简化中心 O点。 （此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
0,0' OMR 'R
R R
25
4,若 此时分两种情况讨论。即,①
②
OMR?'
OMR //'
0,0' OMR
由于做?
iOOO FRRMRMddRM 合力,',
① 若 时
OMR?'
)( dRM O
可进一步简化，将 MO变成 ( R'',R)使 R'与 R''抵消只剩下 R。
26
② 若 时,——为力螺旋的情形 （新概念，又移动又转动）
[例 ] ①拧螺丝 ②炮弹出膛时炮弹螺线
OMR //'
③ R′ 不平行也不垂直 M0,最一般的成任意角?
在此种情况下,<1>首先把 MO 分解为 M//和 M?
<2>将 M//和 M? 分别按①、②处理。
' '
27
M? 使主矢 R'搬家，搬家的矩离：
'
s in
'' R
M
R
MOO O
所以在 O'点处形成一个力螺旋 。
因为 M// 是自由矢量，
可将 M//搬到 O'处
M//不变，
28
[注意 ]
力系简化中的不变量（不随简化中心改变）有,R′,M//
简化中心为 O时：为 M? 当简化中心为 O′ 时，为 M?′
但 M//总是不变的（ 它是原力系中的力偶与简化中心无关 ）
29
)('' RmROOMM OO
)( iOO FmM主矩又?
)()( iOO FmRM
)()( izz FmRM常用投影式空间力系向 O点简化后得主矢 R'和主矩 MO,若 MO?R'，可进一步合成为一个 作用在新简化中心 O'点的 合力 R 。
空间力系的合力矩定理,
30
一、空间任意力系的平衡充要条件是：
0)( iOO FmM00' FR
222 )()()(' ZYXR?又
222 ))(())(())(( FmFmFmM zyxO
所以 空间任意力系的平衡方程 为：
还有四矩式，五矩式和六矩式，
同时各有一定限制条件。
0)(,0
0)(,0
0)(,0
FmZ
FmY
FmX
z
y
x
§ 4-6 空间一般力系的平衡方程及应用
31
空间汇交力系的平衡方程为：
因为各力线都汇交于一点，各轴都通过该点，故各力矩方程都成为了恒等式。
0
0
0
Z
Y
X
空间平行力系的平衡方程，设各力线都 // z 轴。
因为均成为了恒等式。
0)(
0)(
0
Fm
Fm
Z
y
x?
0
0
0)(
Y
X
Fm z
32
1、球形铰链二、空间约束观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。
阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。 [例 ]
33
球形铰链
34
2、向心轴承，蝶铰链，滚珠 (柱 )轴承
35
3、滑动轴承
36
4、止推轴承
37
5、带有销子的夹板
38
6、空间固定端
39
空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点 C 就是此空间平行力系的中心 。而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。
§ 4-7 平行力系的中心 物体的重心一、空间平行力系的中心、物体的重心
1、平行力系的中心由合力矩定理：
)()( iOO FmRm nnC FrFrFrRr2211
40
0110,PFFPRR令
nnC rFrFrFrR2211
i
iinn
C F
rF
R
rFrFrFr?2211
R
zFz
R
yFy
R
xFx ii
C
ii
C
ii
C
,,:投影式
41
如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。
由合力矩定理：
iiC xPxP
P
Pz
z
P
Py
y
P
Px
x
i
C
i
C
i
C
,
,
物体分割的越多，每一小部分体积越小，
求得的重心位置就越准确。在极限情况下，
(n? ),常用积分法求物体的重心位置。
二、重心坐标公式,
42
设 gi表示第 i个小部分每单位体积的重量,⊿ Vi第 i个小体积，则代入上式并取极限，可得：
式中,上式为 重心 C 坐标的精确公式 。
P
dVzz
P
dVyy
P
dVxx V
C
V
C
V
C
ggg,,
iii VP?g
V dVP g
对于均质物体,g =恒量，上式成为：
V
dVzz
V
dVyy
V
dVxx V
C
V
C
V
C
,,
同理对于薄平面和细长杆均可写出相应的公式。
43
根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将力线转成与 y轴平行，再应用合力矩定理对 x 轴取矩得：
P
zPzzPPz ii
CiiC
,
综合上述得 重心坐标公式 为：
P
zPz
P
yPy
P
xPx ii
C
ii
C
ii
C
,,
若以△ Pi= △ mig,P=Mg 代入上式可得质心公式
M
zmz
M
ymy
M
xmx ii
C
ii
C
ii
C
,,
44
同理：可写出均质体，均质板，均质杆的形心（几何中心）
坐标分别为：
V
zVz
V
yVy
V
xVx ii
CiiCiiC
,,:立体
A
zAz
A
yAy
A
xAx ii
CiiCiiC
,,:平板
l
zlz
l
yly
l
xlx ii
CiiCiiC
,,:细杆
45
解,由于对称关系，该圆弧重心必在 Ox轴，即 yC=0。取微段
dRdL
c o s Rx
R
dR
L
dLx
x LC
2
c o s
2?
s inRx
C?
下面用积分法 求物体的重心实例,
[例 ] 求半径为 R，顶角为 2? 的均质圆弧的重心。
O
46
三、重心的求法,① 组合法
cm4.6
21
2211?
SS
ySyS
A
yA
y
ii
C
由解,
cm248 cm4 21,8 0 c m 212 221 )πR(y,y,π RSS
求：该组合体的重心？
已知：
47
0)( Fm B由 01 CxPlP 称 P lPx C 1 称简单图形的面积及重心坐标公式可由表中查出。
② 实验法：
<1>悬挂法 <2>称重法
48
[例 ] 已知,RC=100mm,RD=50mm,Px=466N,Py=352N,Pz=1400N
求：平衡时 (匀速转动 )力 Q=？ (Q力作用在 C轮的最低点）
和轴承 A,B的约束反力？
解,①选研究对象 ②作受力图 ③选坐标列方程最好使每一个方程有一个未知数，方便求解。
49
)N(7 46,01 0050;0
)N(3 52,0;0
QQPm
PYPYY
xzy
yAyA?由
50
)N(3 8 5,020s i n ;0
)N(2 0 4 0,020s i n 503 0 02 0 0 ;0
)N(7 2 9,020c o s ;0
)N(4 3 7,020c o s 502 0 0503 0 0 ;0
0
0
0
0
AzBA
BzBx
AxBA
BByxz
ZQPZZZ
ZQPZm
XQPXXX
XQXPPm
A
A
51
方法 (二 ),将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解。
52
一、概念及内容,
1、空间力偶及空间力对点之矩是矢量，
2、空间力对轴之矩和平面力偶、平面力对点之矩是代数量。
3、空间力系 合力投影定理,
4、空间力系的 合力矩定理,
5,空间力对点之矩与对轴之矩的关系,
)(,FmM o
iziyix ZRYRXR,,
)()( ioo FmRm
)()(,izz FmRm投影式
)()( FmFm zZo?
第五章,空间力系,习题课
53
二、基本方程
1,空间力系的平衡方程空间一般力系空间汇交力系
0
0
0
Z
Y
X
空间力偶系
0
0
0
0
0
0
z
y
x
m
m
m
Z
Y
X
0
0
0
z
y
x
m
m
m
空间∥
x
轴力系
0
0
0
z
y
m
m
X
0
0
0
0
0
z
y
x
m
m
m
Y
X
空间∥
xoy
面的力系
0
0
0
0
0
0
'x
z
y
x
m
m
m
m
Y
X
四矩式,五矩式和六矩式的附加条件均为使方程式独立。
54
三、解题步骤、技巧与注意问题,
1,解题步骤,①选研究对象
(与平面的相同 ) ② 画受力图
③选坐标、列方程
④解方程、求出未知数
2、空间力系的几个问题,
① x,y,z (三个取矩轴和三个投影轴可以不重合 )可以任选的六个轴。
② 取矩方程不能少于三个（ ∵ MO是矢量）
③ 空间力系独立方程六个（ ∵ 空间物体六个自由度）
平面三个自由度
④ 空间力系中也包括摩擦问题。
55
2,解题技巧,
①用取矩轴代替投影轴，解题常常方便
②投影轴尽量选在与未知力?，力矩轴选在与未知力平行或相交
③一般从整体 —>局部的研究方法。
④摩擦力 F = N f,方向与运动趋势方向相反。
3,注意问题：
① 力偶在投影轴中不出现（即在投影方程中不出现）
② 空间力偶是矢量，平面力偶是代数量。
③ 求物体重心问题常用组合法。
对于均质物体，重心、中心、形心为同一点。
56
[例 1] 已知,P=2000N,C点在 Oxy平面内求：力 P对三个坐标轴的矩
60c o s45c o s
60s i n45c o s
45c o s
45s i n
PP
PP
PP
PP
y
x
xy
z
解,①选研究对象；②画受力图；③选坐标列方程。
57
)mN(2.3860c os45c os560s i n45c os6
0)5(6)()()()(
PP
PPPmPmPmPm yxzzyzxzz
)mN(8.8445s i n6
600)()()()(
P
PPmPmPmPm zzxyxxxx
)mN(7.7045s i n5
500
)()()(
)(
P
P
PmPmPm
Pm
z
zyyyxy
y
58
[例 2] 已知,AB=3m,AE=AF=4m,Q=20kN;
求,绳 BE,BF的拉力和杆 AB的内力
)kN(546
,045s i n15s i n',0
1
1
T
QTY
由 C点：
解：分别研究 C点和 B点作受力图
59
)kN( 2 3 0
,)kN( 4 1 9
5
3
s i n,
5
4
43
4
c o s
0 s i n s i n60c o s,0
045c o s c o s45c o s c o s60s i n,0
045c o s c o s45c o s c o s,0
2
32
22
3212
321
32
N
TT
TTTNZ
TTTY
TTX
由 B点：
60
此题训练：
① 力偶不出现在投影式中
② 力偶在力矩方程中出现是把力偶当成矢量后，类似力在投影式中投影
③ 力争一个方程求一个支反力
④ 了解空间支座反力
[例 3] 曲杆 ABCD,∠ ABC=∠ BCD=900,AB=a,BC=b,
CD=c,m2,m3 求：支座反力及 m1=?
61
解,
0,0
,0,0
,0,0
,0,0
,0,0
0,0
1
2
3
3
3
2
2
1
DDx
ADDA
ADDA
AADz
AADy
D
YcbZmm
a
m
ZZZZZ
a
m
YYYYY
a
m
YaYmm
a
m
ZaZmm
XX
32
32
1 )()( ma
cm
a
b
a
mc
a
mbcYbZm
DD
62
[例 4] 已知,AB杆,AD,CB为绳,A,C在同一垂线上,AB
重 80N,A,B光滑接触，
∠ ABC=∠ BCE=600,且 AD水平,AC铅直。求平衡时,TA，
TB及支座 A,B的反力。
解,思路：要巧选投影轴和取矩轴，使一个方程解出一个未知数。
63
0N8,0 PNZ B由
02160c o s
,0'
CEPACT
m
B
DD
N)( 1.2380
6
3
3
3
2
60c t g
2
60c o s60c t g
2
160c o s
PPT
ACPACT
B
B
CEAC 60c o s60c t g?又
64
)N( 5.1121806 360c o s
060c o s,0
BA
BA
TT
TTX
)N( 202 3806 3
060s i n,0
A
BA
N
TNY
65
