1
2
§ 12–1 动量矩
§ 12–2 动量矩定理
§ 12–3 刚体定轴转动微分方程
§ 12–4 刚体对轴的转动惯量
§ 12–5 质点系相对于质心的动量矩定理 ·
刚体平面运动微分方程习题课第十二章 动量矩定理
3
质点质点系动量定理,动量的改变 —?外力（外力系主矢）
若当质心为固定轴上一点时,vC=0，则其动量恒等于零，
质心无运动，可是质点系确受外力的作用。 动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。
§ 12-1 动量矩一．质点的动量矩质点对点 O的动量矩,矢量质点对轴 z 的动量矩,代数量
vmrvmm O)(
)()( xyOz vmmvmm?
质心运动定理,质心的运动 —?外力（外力系主矢）
4
质点对点 O的动量矩与对轴 z 的动量矩之间的关系,
)( )(( vmmvmm zzO?
O A Bvmm O?2)(?
''2)( BOAvmm z
正负号规定与力对轴矩的规定相同对着轴看：顺时针为负逆时针为正二．质点系的动量矩质系对点 O动量矩,
质系对轴 z 动量矩：
iiiiiOO vmrvmmL )(
zOiizz LvmmL )(
kg·ｍ 2/s。动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点 (轴 )转动的强弱。
5
3．平面运动刚体平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。
ziiiizz IrmvmmL 2)(
CCzz IvmmL )(
刚体动量矩计算,
1．平动刚体
CCCOO vmrvmmL )(
)( CCCiiiii vmrvrmvmr
)( Czz vmmL?
平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点
（轴）的动量矩。
2．定轴转动刚体定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。
6
112223 2
1 RRvv
32322
2
2
2
2
1 )( vRmm
R
I
R
IL
O
OCOBOAO LLLL
2332222211 )( RvmRvmII
解,
[例 1] 滑轮 A,m1,R1,R1=2R2,I1
滑轮 B,m2,R2,I2 ；物体 C,m3
求 系统对 O轴的动量矩。
7
Fdt vmd?)(
§ 12-2 动量矩定理一．质点的动量矩定理两边叉乘矢径,有 Fr
dt
vmdr )(r
左边可写成
vmdt rdvmrdtddt vmdr )()(
,)(,0 FmFrvmvvmdt rd O而
)()]([,)( FmvmmdtdFrvmrdtd OO
质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是 质点对固定点的动量矩定理。
故：
8
将上式在通过固定点 O的三个直角坐标轴上投影，得
)()( ),()( ),()( FmvmmdtdFmvmmdtdFmvmmdtd zzyyxx
上式称 质点对固定轴的动量矩定理,也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，
等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
称为 质点的动量矩守恒 。
若 )0)(( 0)( FmFm
zO 则?)( vmm O
常矢量 ))(( 常量?vmm z
9
运动分析,。? 2)( mllmlvmm
OOMlv,
由动量矩定理即
)()( Fmvmmdtd OO?
0s i n,s i n)( 2 lgm g lmldtd
微幅摆动时,并令,则,s in
l
g
n?
2? 02 n
解微分方程,并代入初始条件 则运动方程 )0,,0(
00t
tlgc o s0,摆动周期
l
gT?2?
s i n)()()( m g lgmmTmFm OOO
解,将小球视为质点。
受力分析；受力图如图示。
[例 2] 单摆 已知 m,l,t =0时?=?0，从静止开始释放。 求 单摆的运动规律。
10
注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正）
质点动量矩定理的应用：
在质点受有心力的作用时。
质点绕某心（轴）转动的问题。
11
质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。
二．质点系的动量矩定理左边交换求和与导数运算的顺序，而则,0)( ),( )( iiOiiOO FmvmmL
)()( )( eOeiOO MFmdtLd 一 质点系对固定点的动量矩定理
),,3,2,1( )()()( )()( niFmFmvmmdtd eiOiiOiiO对质点系，有
),,3,2,1( )()()( )()( niFmFmvmmdtd eiOiiOiiO对质点 Mi,
)()()()()()( )(,)(,)( ezeizzeyeiyyexeixx MFmdtdLMFmdtdLMFmdtdL
将上式在通过固定点 O的三个直角坐标轴上投影，得
12
上式称为 质点系对固定轴的动量矩定理 。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
质点系的动量矩守恒
当 时,常矢量。
当 时,常量。
0)(?eOM
0)(?ezM
OL
zL
定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。
13
解,取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析,v =ｒ?
rPPrPrPM BABAeO )()(
OBAO IrvgPrvgPL
)2(,21 22 PPPgrLrgPI BAOO得代入将由动量矩定理：
rPPPPPgrdtd BABA )()]2([ 2
2/PPP
PP
r
g
dt
d
BA
BA
[例 3] 已知,。求。 ; ;?rPPP
BA?
14
解,系统的动量矩守恒。,0)( )( e
O Fm
rvvmrvm ABAA )(0
2
vv
A?
猴 A与猴 B向上的绝对速度是一样的,
均为 。
2v
[例 4] 已知：猴子 A重 =猴子 B重，猴 B以相对绳速度上爬，猴 A不动，问当猴 B向上爬时，猴 A将如何动？
动的速度多大？（轮重不计）
v
15
§ 12-3 刚体定轴转动微分方程对于 一个定轴转动刚体代入质点系动量矩定理，有
zz IL?
)()( e
zz MIdt
d
)(
2
2)( e
zzezz Mdt
dIMI 或 — 刚体定轴转动微分方程解决两类问题,
已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。
已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。
但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。
16
特殊情况,
若,则 恒量，刚体作匀速转动或保持静止。
若 常量，则? =常量，刚体作匀变速转动。
将 与 比较，刚体的转动惯量 是刚体转动惯性的度量。
0)( )()( ezez FmM,0
)(ezM
)( ezz MI Fam? zI
17
§ 12-4 刚体对轴的转动惯量一．定义,
若刚体的质量是连续分布，则
2iiz rmI
dmrI mz 2
刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。
转动惯量恒为正值，国际单位制中单位 kg·m2 。
18
１．积分法 （具有规则几何形状的均匀刚体可采用）
[例 1] 匀质细直杆长为 l,质量为 m 。
求,?对 z轴的转动惯量 ；
对 z' 轴的转动惯量 。
zI
'zI
二．转动惯量的计算
222
2 12
1 mldx
l
mxI l
lz
2
0
2' 31 mldxlmxI lz
解,
19
2,回转半径由 所定义的长度 称为刚体对 z 轴的回转半径。
m
I z z?
2zz mI
对于均质刚体,仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。
z?
在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质刚体的,以供参考。
zzI?和
20
3,平行移轴定理同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。
2' mdII zCz
刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。
21
)( 222 iiiiizC yxmrmI
)''(' 222' iiiiiz yxmrmI
])([
','
22
' dyxmI
dyyxx
iiiz
iiii?
ii
iiii
ymd
dmyxm
2
)()( 222
证明,设质量为 m的刚体，质心为 C,CzzO //''
2' 0,mdIImyymmm zCzCiii?
例如,对于例 1中均质细杆 z' 轴的转动惯量为
2222 314112 1)2(' mlmlmllmII zz
刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值 。
22
当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分 (物体 )的转动惯量,然后再加起来就是整个物体的转动惯量。
若物体有空心部分,要把此部分的转动惯量视为负值来处理。
4．计算转动惯量的组合法盘杆 OOO III 222221 )(2
131 RlmRmlm
)423(2131 22221 lRlRmlm
解,
[例 2] 钟摆,均质直杆 m1,l ；
均质圆盘,m2,R 。 求 IO 。
23
[例 3] 提升装置中，轮 A,B的重量分别为 P1,P2,半径分别为
r1,r2,可视为均质圆盘 ; 物体 C 的重量为 P3 ; 轮 A上作用常力矩 M1 。
求 物体 C上升的加速度。
取轮 B连同物体 C为研究对象
( 2 ) ')21( 232232222 rPrTvrgPrgPdtd
补充运动学条件
112222, rarvr
化简 (1) 得：
化简 (2) 得：
332 '2
2 PTa
g
PP
TrMagP
1
11
2
gPPP PrMa 22/
321
311
( 1 ) 21 111211 TrMrgP解,取轮 A为研究对象
24
§ 12-5 质点系相对于质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程一．质点系动量矩
)( rCCrCCCO LLLvmrL
质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系 。
)()( )( eCeiCrC MFmdtLd二．质点系相对质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩的改变，只与作用在质点系上的外力有关，而与内力无关。
25
三．刚体平面运动微分方程设有一平面运动刚体具有质量对称平面，力系可以简化为该平面内的一个力系。取质量对称平面为平面图形 S，
质心一定位于 S内。
nFFF,,,21
取质心 C为动系原点，则此平面运动可分解为
随质心 C的平动 (xC,yC)
绕质心 C的平动 （?）
可通过质心运动定理和相对质心的动量矩定理来确定。
CCrCCrC IIdtdLIL,
)(,)( eCCC FmIFam?
26
写成 投影形式
)(,,)( eCCyCxC FmIYmaXma?
或
)(,,)( eCCCC FmIYymXxm
上式称为 平面运动微分方程 。
27
[例 4] 质量为 m半径为 R的均质圆轮置放于倾角为? 的斜面上，
在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为 f,f′，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。
解,取轮为研究对象。
受力分析如图示。
运动分析：取直角坐标系 Oxy
aC y =0,aC x =aC，
一般情况下轮作平面运动。
根据平面运动微分方程，有
Fmgma Cs in
Nmgc os 0
FRI C
由?式得
c o smgN?
,?两式中含有三个未知数 aC,F,?,需补充附加条件。
28
1．设接触面绝对光滑。
因为轮由静止开始运动，故?＝ 0，轮沿斜面平动下滑。
常量。,0,s i n,0 gaF C
s i n31 ; s i n3 2,s i n32 mgFgRga C
2．设接触面足够粗糙。轮作纯滚动,所以可解得,?raC?
3．设轮与斜面间有滑动，轮又滚又滑。 F=f′N,可解得
c os,c os'2,)c os'( s i n mgfFR gfgfa C
轮作纯滚动的条件：
c o ss i n31 m a x f mgfNFmgF
tg31?f
表明：当 时，解答 3适用；
当 时，解答 2适用； f =0 时解答 1适用。
tg31?f
tg31?f
29
一．基本概念
1．动量矩,物体某瞬时机械运动强弱的一种度量。
2．质点的动量矩,
3．质点系的动量矩,
4．转动惯量,物体转动时惯性的度量。
vmrvmm O)(
iiiO vmrL
对于均匀直杆，细圆环，薄圆盘（圆柱）对过质心垂直于质量对称平面的转轴的转动惯量要熟记。
第十二章 动量矩定理习题课
30
5．刚体动量矩计算平动：
定轴转动：
平面运动：
)(,CzzCCO vmmLvmrL
zz IL
CCzz IvmmL )(
二．质点的动量矩定理及守恒
1．质点的动量矩定理
)()( )()]([ FmvmmdtdFmvmmdtd zzOO 或
2．质点的动量矩守恒
若,则 常矢量。
若,则 常量。
0)(?Fm O
0)(?Fm z
)( vmm O
)( vmm z
31
三．质点系的动量矩定理及守恒
1．质点系的动量矩定理
)()()()( )( )( ezezzeOeOO MFmdtdLMFmdtLd 或
2．质点系的动量矩守恒
若,则 常矢量
若,则 常量
0)(?eOm
0)(?ezm
OL
zL
)(
)( e
zCzC
e
CC Mdt
dLM
dt
Ld 或四．质点系相对质心的动量矩定理
32
)( )( z FmIFmI zzz或五．刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程
1．刚体定轴转动微分方程
2．刚体平面运动微分方程或
Xma Cx
Yma Cy
)( FmI CC?
Xxm C
Yym C
)( FmI CC
33
六．动量矩定理的应用应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：（对单轴传动系统尤为方便）
1．已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外力矩。
2．已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体的角加速度或角速度的改变。
3．已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。
34
七．应用举例
[例 1] 均质圆柱，半径为 r，重量为 Q，置圆柱于墙角。初始角速度?0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f '，
滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。
解,选取圆柱为研究对象。 (注意只是一个刚体 )受力分析如图示。
运动分析：质心 C不动，刚体绕质心转动。
根据刚体平面运动微分方程 )0,0(
CyCx aa
BA FN0
QNF BA0
rFrFdtdrgQ BA 21 2
补充方程：
BBAA NfFNfF ','
35
将?式代入?,?两式，有 0)1'( 2 QNf B
1'
',
1'
',
1'
',
1' 2
2
222 f
QfF
f
QfN
f
QfF
f
QN
AABB
将上述结果代入?式，有
dtf frgfdr gff fdtd t 0202 '1 '1'2,2''1 '1 0
解得：
)'1('2
)'1( 02
fgf
rft
BA FN0
QNF BA0
rFrFdtdrgQ BA 21 2
补充方程：
BBAA NfFNfF ','
36
[例 2] 两根质量各为 8 kg的均质细杆固连成 T 字型，可绕通过 O
点的水平轴转动，当 OA处于水平位置时,T 形杆具有角速度?
=4rad/s 。求该瞬时轴承 O的反力。
解,选 T 字型杆为研究对象。
受力分析如图示。
r a d /s 2 0,7 5
5.08.9825.08.98 5.081217
2
2
5.025.0 mgmgI O?
2222 121712131 mlmlmlmlI O
由定轴转动微分方程
37
根据质心运动微分方程，得
OxCxC Xmama 21
mgmgYmama OyCyC 21
N 96) 5.04 25.04( 8)( 2221 xCxCO aamX
N 3.32 ) 5.075.20 25.075.20 ( 88.982OY
38
[例 3] 均质圆柱体 A和 B的重量均为 P，半径均为 r，一绳缠在绕固定轴 O转动的圆柱 A上，绳的另一端绕在圆柱 B上，绳重不计且不可伸长，不计轴 O处 摩擦。
求,?圆柱 B下落时质心的加速度。
若在圆柱体 A上作用一逆时针转向的转矩 M，试问在什么条件下圆柱 B的质心将上升。
39
选圆柱 B为研究对象
rTrgP B '21 2
'TPagP C
运动学关系：
BAC rra
TrrgP A221
解：选圆柱 A为研究对象由?,?式得：
BA
,52 rgBA ga C 54?
代入?,?式得：
40
由动量矩定理：
rPMMrgPrvgPrgPdtd eOBCA 2)222( )(22
rPMrgPragPrgP BcA 2222 22
补充运动学关系式：
BAC rra
代入?式，得
grP rPMarPMargPargP CCC 5 )2(2 ; 222
当 M >2Pr 时，,圆柱 B的质心将上升。0?
Ca
再取系统为研究对象
BCAO rg
Prv
g
Pr
g
PL 22
222
rPMM eO 2)(
41
研究刚体平面运动的动力学问题，一定要建立补充方程，找出质心运动与刚体转动之间的联系。
应用动量矩定理列方程时,要特别注意正负号的规定的一致性。
42
2
§ 12–1 动量矩
§ 12–2 动量矩定理
§ 12–3 刚体定轴转动微分方程
§ 12–4 刚体对轴的转动惯量
§ 12–5 质点系相对于质心的动量矩定理 ·
刚体平面运动微分方程习题课第十二章 动量矩定理
3
质点质点系动量定理,动量的改变 —?外力（外力系主矢）
若当质心为固定轴上一点时,vC=0，则其动量恒等于零，
质心无运动，可是质点系确受外力的作用。 动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。
§ 12-1 动量矩一．质点的动量矩质点对点 O的动量矩,矢量质点对轴 z 的动量矩,代数量
vmrvmm O)(
)()( xyOz vmmvmm?
质心运动定理,质心的运动 —?外力（外力系主矢）
4
质点对点 O的动量矩与对轴 z 的动量矩之间的关系,
)( )(( vmmvmm zzO?
O A Bvmm O?2)(?
''2)( BOAvmm z
正负号规定与力对轴矩的规定相同对着轴看：顺时针为负逆时针为正二．质点系的动量矩质系对点 O动量矩,
质系对轴 z 动量矩：
iiiiiOO vmrvmmL )(
zOiizz LvmmL )(
kg·ｍ 2/s。动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点 (轴 )转动的强弱。
5
3．平面运动刚体平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。
ziiiizz IrmvmmL 2)(
CCzz IvmmL )(
刚体动量矩计算,
1．平动刚体
CCCOO vmrvmmL )(
)( CCCiiiii vmrvrmvmr
)( Czz vmmL?
平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点
（轴）的动量矩。
2．定轴转动刚体定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。
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112223 2
1 RRvv
32322
2
2
2
2
1 )( vRmm
R
I
R
IL
O
OCOBOAO LLLL
2332222211 )( RvmRvmII
解,
[例 1] 滑轮 A,m1,R1,R1=2R2,I1
滑轮 B,m2,R2,I2 ；物体 C,m3
求 系统对 O轴的动量矩。
7
Fdt vmd?)(
§ 12-2 动量矩定理一．质点的动量矩定理两边叉乘矢径,有 Fr
dt
vmdr )(r
左边可写成
vmdt rdvmrdtddt vmdr )()(
,)(,0 FmFrvmvvmdt rd O而
)()]([,)( FmvmmdtdFrvmrdtd OO
质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是 质点对固定点的动量矩定理。
故：
8
将上式在通过固定点 O的三个直角坐标轴上投影，得
)()( ),()( ),()( FmvmmdtdFmvmmdtdFmvmmdtd zzyyxx
上式称 质点对固定轴的动量矩定理,也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，
等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
称为 质点的动量矩守恒 。
若 )0)(( 0)( FmFm
zO 则?)( vmm O
常矢量 ))(( 常量?vmm z
9
运动分析,。? 2)( mllmlvmm
OOMlv,
由动量矩定理即
)()( Fmvmmdtd OO?
0s i n,s i n)( 2 lgm g lmldtd
微幅摆动时,并令,则,s in
l
g
n?
2? 02 n
解微分方程,并代入初始条件 则运动方程 )0,,0(
00t
tlgc o s0,摆动周期
l
gT?2?
s i n)()()( m g lgmmTmFm OOO
解,将小球视为质点。
受力分析；受力图如图示。
[例 2] 单摆 已知 m,l,t =0时?=?0，从静止开始释放。 求 单摆的运动规律。
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注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正）
质点动量矩定理的应用：
在质点受有心力的作用时。
质点绕某心（轴）转动的问题。
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质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。
二．质点系的动量矩定理左边交换求和与导数运算的顺序，而则,0)( ),( )( iiOiiOO FmvmmL
)()( )( eOeiOO MFmdtLd 一 质点系对固定点的动量矩定理
),,3,2,1( )()()( )()( niFmFmvmmdtd eiOiiOiiO对质点系，有
),,3,2,1( )()()( )()( niFmFmvmmdtd eiOiiOiiO对质点 Mi,
)()()()()()( )(,)(,)( ezeizzeyeiyyexeixx MFmdtdLMFmdtdLMFmdtdL
将上式在通过固定点 O的三个直角坐标轴上投影，得
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上式称为 质点系对固定轴的动量矩定理 。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
质点系的动量矩守恒
当 时,常矢量。
当 时,常量。
0)(?eOM
0)(?ezM
OL
zL
定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。
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解,取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析,v =ｒ?
rPPrPrPM BABAeO )()(
OBAO IrvgPrvgPL
)2(,21 22 PPPgrLrgPI BAOO得代入将由动量矩定理：
rPPPPPgrdtd BABA )()]2([ 2
2/PPP
PP
r
g
dt
d
BA
BA
[例 3] 已知,。求。 ; ;?rPPP
BA?
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解,系统的动量矩守恒。,0)( )( e
O Fm
rvvmrvm ABAA )(0
2
vv
A?
猴 A与猴 B向上的绝对速度是一样的,
均为 。
2v
[例 4] 已知：猴子 A重 =猴子 B重，猴 B以相对绳速度上爬，猴 A不动，问当猴 B向上爬时，猴 A将如何动？
动的速度多大？（轮重不计）
v
15
§ 12-3 刚体定轴转动微分方程对于 一个定轴转动刚体代入质点系动量矩定理，有
zz IL?
)()( e
zz MIdt
d
)(
2
2)( e
zzezz Mdt
dIMI 或 — 刚体定轴转动微分方程解决两类问题,
已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。
已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。
但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。
16
特殊情况,
若,则 恒量，刚体作匀速转动或保持静止。
若 常量，则? =常量，刚体作匀变速转动。
将 与 比较，刚体的转动惯量 是刚体转动惯性的度量。
0)( )()( ezez FmM,0
)(ezM
)( ezz MI Fam? zI
17
§ 12-4 刚体对轴的转动惯量一．定义,
若刚体的质量是连续分布，则
2iiz rmI
dmrI mz 2
刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。
转动惯量恒为正值，国际单位制中单位 kg·m2 。
18
１．积分法 （具有规则几何形状的均匀刚体可采用）
[例 1] 匀质细直杆长为 l,质量为 m 。
求,?对 z轴的转动惯量 ；
对 z' 轴的转动惯量 。
zI
'zI
二．转动惯量的计算
222
2 12
1 mldx
l
mxI l
lz
2
0
2' 31 mldxlmxI lz
解,
19
2,回转半径由 所定义的长度 称为刚体对 z 轴的回转半径。
m
I z z?
2zz mI
对于均质刚体,仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。
z?
在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质刚体的,以供参考。
zzI?和
20
3,平行移轴定理同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。
2' mdII zCz
刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。
21
)( 222 iiiiizC yxmrmI
)''(' 222' iiiiiz yxmrmI
])([
','
22
' dyxmI
dyyxx
iiiz
iiii?
ii
iiii
ymd
dmyxm
2
)()( 222
证明,设质量为 m的刚体，质心为 C,CzzO //''
2' 0,mdIImyymmm zCzCiii?
例如,对于例 1中均质细杆 z' 轴的转动惯量为
2222 314112 1)2(' mlmlmllmII zz
刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值 。
22
当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分 (物体 )的转动惯量,然后再加起来就是整个物体的转动惯量。
若物体有空心部分,要把此部分的转动惯量视为负值来处理。
4．计算转动惯量的组合法盘杆 OOO III 222221 )(2
131 RlmRmlm
)423(2131 22221 lRlRmlm
解,
[例 2] 钟摆,均质直杆 m1,l ；
均质圆盘,m2,R 。 求 IO 。
23
[例 3] 提升装置中，轮 A,B的重量分别为 P1,P2,半径分别为
r1,r2,可视为均质圆盘 ; 物体 C 的重量为 P3 ; 轮 A上作用常力矩 M1 。
求 物体 C上升的加速度。
取轮 B连同物体 C为研究对象
( 2 ) ')21( 232232222 rPrTvrgPrgPdtd
补充运动学条件
112222, rarvr
化简 (1) 得：
化简 (2) 得：
332 '2
2 PTa
g
PP
TrMagP
1
11
2
gPPP PrMa 22/
321
311
( 1 ) 21 111211 TrMrgP解,取轮 A为研究对象
24
§ 12-5 质点系相对于质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程一．质点系动量矩
)( rCCrCCCO LLLvmrL
质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系 。
)()( )( eCeiCrC MFmdtLd二．质点系相对质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩的改变，只与作用在质点系上的外力有关，而与内力无关。
25
三．刚体平面运动微分方程设有一平面运动刚体具有质量对称平面，力系可以简化为该平面内的一个力系。取质量对称平面为平面图形 S，
质心一定位于 S内。
nFFF,,,21
取质心 C为动系原点，则此平面运动可分解为
随质心 C的平动 (xC,yC)
绕质心 C的平动 （?）
可通过质心运动定理和相对质心的动量矩定理来确定。
CCrCCrC IIdtdLIL,
)(,)( eCCC FmIFam?
26
写成 投影形式
)(,,)( eCCyCxC FmIYmaXma?
或
)(,,)( eCCCC FmIYymXxm
上式称为 平面运动微分方程 。
27
[例 4] 质量为 m半径为 R的均质圆轮置放于倾角为? 的斜面上，
在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为 f,f′，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。
解,取轮为研究对象。
受力分析如图示。
运动分析：取直角坐标系 Oxy
aC y =0,aC x =aC，
一般情况下轮作平面运动。
根据平面运动微分方程，有
Fmgma Cs in
Nmgc os 0
FRI C
由?式得
c o smgN?
,?两式中含有三个未知数 aC,F,?,需补充附加条件。
28
1．设接触面绝对光滑。
因为轮由静止开始运动，故?＝ 0，轮沿斜面平动下滑。
常量。,0,s i n,0 gaF C
s i n31 ; s i n3 2,s i n32 mgFgRga C
2．设接触面足够粗糙。轮作纯滚动,所以可解得,?raC?
3．设轮与斜面间有滑动，轮又滚又滑。 F=f′N,可解得
c os,c os'2,)c os'( s i n mgfFR gfgfa C
轮作纯滚动的条件：
c o ss i n31 m a x f mgfNFmgF
tg31?f
表明：当 时，解答 3适用；
当 时，解答 2适用； f =0 时解答 1适用。
tg31?f
tg31?f
29
一．基本概念
1．动量矩,物体某瞬时机械运动强弱的一种度量。
2．质点的动量矩,
3．质点系的动量矩,
4．转动惯量,物体转动时惯性的度量。
vmrvmm O)(
iiiO vmrL
对于均匀直杆，细圆环，薄圆盘（圆柱）对过质心垂直于质量对称平面的转轴的转动惯量要熟记。
第十二章 动量矩定理习题课
30
5．刚体动量矩计算平动：
定轴转动：
平面运动：
)(,CzzCCO vmmLvmrL
zz IL
CCzz IvmmL )(
二．质点的动量矩定理及守恒
1．质点的动量矩定理
)()( )()]([ FmvmmdtdFmvmmdtd zzOO 或
2．质点的动量矩守恒
若,则 常矢量。
若,则 常量。
0)(?Fm O
0)(?Fm z
)( vmm O
)( vmm z
31
三．质点系的动量矩定理及守恒
1．质点系的动量矩定理
)()()()( )( )( ezezzeOeOO MFmdtdLMFmdtLd 或
2．质点系的动量矩守恒
若,则 常矢量
若,则 常量
0)(?eOm
0)(?ezm
OL
zL
)(
)( e
zCzC
e
CC Mdt
dLM
dt
Ld 或四．质点系相对质心的动量矩定理
32
)( )( z FmIFmI zzz或五．刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程
1．刚体定轴转动微分方程
2．刚体平面运动微分方程或
Xma Cx
Yma Cy
)( FmI CC?
Xxm C
Yym C
)( FmI CC
33
六．动量矩定理的应用应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：（对单轴传动系统尤为方便）
1．已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外力矩。
2．已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体的角加速度或角速度的改变。
3．已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。
34
七．应用举例
[例 1] 均质圆柱，半径为 r，重量为 Q，置圆柱于墙角。初始角速度?0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f '，
滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。
解,选取圆柱为研究对象。 (注意只是一个刚体 )受力分析如图示。
运动分析：质心 C不动，刚体绕质心转动。
根据刚体平面运动微分方程 )0,0(
CyCx aa
BA FN0
QNF BA0
rFrFdtdrgQ BA 21 2
补充方程：
BBAA NfFNfF ','
35
将?式代入?,?两式，有 0)1'( 2 QNf B
1'
',
1'
',
1'
',
1' 2
2
222 f
QfF
f
QfN
f
QfF
f
QN
AABB
将上述结果代入?式，有
dtf frgfdr gff fdtd t 0202 '1 '1'2,2''1 '1 0
解得：
)'1('2
)'1( 02
fgf
rft
BA FN0
QNF BA0
rFrFdtdrgQ BA 21 2
补充方程：
BBAA NfFNfF ','
36
[例 2] 两根质量各为 8 kg的均质细杆固连成 T 字型，可绕通过 O
点的水平轴转动，当 OA处于水平位置时,T 形杆具有角速度?
=4rad/s 。求该瞬时轴承 O的反力。
解,选 T 字型杆为研究对象。
受力分析如图示。
r a d /s 2 0,7 5
5.08.9825.08.98 5.081217
2
2
5.025.0 mgmgI O?
2222 121712131 mlmlmlmlI O
由定轴转动微分方程
37
根据质心运动微分方程，得
OxCxC Xmama 21
mgmgYmama OyCyC 21
N 96) 5.04 25.04( 8)( 2221 xCxCO aamX
N 3.32 ) 5.075.20 25.075.20 ( 88.982OY
38
[例 3] 均质圆柱体 A和 B的重量均为 P，半径均为 r，一绳缠在绕固定轴 O转动的圆柱 A上，绳的另一端绕在圆柱 B上，绳重不计且不可伸长，不计轴 O处 摩擦。
求,?圆柱 B下落时质心的加速度。
若在圆柱体 A上作用一逆时针转向的转矩 M，试问在什么条件下圆柱 B的质心将上升。
39
选圆柱 B为研究对象
rTrgP B '21 2
'TPagP C
运动学关系：
BAC rra
TrrgP A221
解：选圆柱 A为研究对象由?,?式得：
BA
,52 rgBA ga C 54?
代入?,?式得：
40
由动量矩定理：
rPMMrgPrvgPrgPdtd eOBCA 2)222( )(22
rPMrgPragPrgP BcA 2222 22
补充运动学关系式：
BAC rra
代入?式，得
grP rPMarPMargPargP CCC 5 )2(2 ; 222
当 M >2Pr 时，,圆柱 B的质心将上升。0?
Ca
再取系统为研究对象
BCAO rg
Prv
g
Pr
g
PL 22
222
rPMM eO 2)(
41
研究刚体平面运动的动力学问题，一定要建立补充方程，找出质心运动与刚体转动之间的联系。
应用动量矩定理列方程时,要特别注意正负号的规定的一致性。
42
